[enonce]
L'espace est muni d'un repère $(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Pour chaque affirmation suivante sur les intersections et positions relatives, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère les deux droites
$d_1 : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$ et $d_2 : \begin{cases} x = 2 - s \\ y = 1 + s \\ z = s \end{cases}$, $s \in \mathbb{R}$.

Affirmation : Les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes au point $\left(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On résout le système formé par les égalités $x_1 = x_2$, $y_1 = y_2$, $z_1 = z_2$. La troisième équation donne $t = s$, et la première $t + s = 1$, d'où $t = s = \dfrac{1}{2}$. La deuxième équation est bien vérifiée.
On reporte $t = \dfrac{1}{2}$ dans $d_1$ : on obtient le point $\left(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand on cherche l'intersection de deux droites en paramétrique, il faut bien utiliser deux paramètres distincts ($t$ pour $d_1$ et $s$ pour $d_2$), puis résoudre les trois équations obtenues.
Ici, on trouve $t = s = \dfrac{1}{2}$, et le point d'intersection est bien $\left(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le système donne $t = s = \dfrac{1}{2}$, ce qui correspond au point $\left(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère les deux droites
$d_3 : \begin{cases} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 2 - t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$ et $d_4 : \begin{cases} x = 1 + s \\ y = s \\ z = 2s \end{cases}$, $s \in \mathbb{R}$.

Affirmation : Les droites $d_3$ et $d_4$ sont sécantes.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les vecteurs directeurs $(1\,;1\,;-1)$ et $(1\,;1\,;2)$ ne sont pas colinéaires : les droites ne sont pas parallèles.
On résout le système : $t = 1 + s$ et $1 + t = s$. En substituant, $1 + (1 + s) = s$ donne $2 = 0$, ce qui est impossible.
Le système est sans solution : les droites n'ont aucun point commun. N'étant pas parallèles, elles sont gauches.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
En dimension 3, deux droites non parallèles ne sont pas forcément sécantes : elles peuvent être gauches.
Ici, le système d'intersection conduit à $2 = 0$, qui est impossible. Comme les vecteurs directeurs $(1\,;1\,;-1)$ et $(1\,;1\,;2)$ ne sont pas colinéaires, les droites sont gauches.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le système d'intersection est incompatible et les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires : les droites $d_3$ et $d_4$ sont gauches.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles et incluses respectivement dans deux plans $P_1$ et $P_2$ sécants suivant une droite $\Delta$, alors $\Delta$ est parallèle à $d_1$ et à $d_2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
C'est l'énoncé du théorème du toit, fondamental pour étudier les positions relatives.
Il sert dès qu'on cherche la direction de l'intersection de deux plans contenant chacun une droite parallèle à l'autre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est le théorème du toit. L'image mentale est celle de deux pans de toiture (les plans $P_1$ et $P_2$) qui s'arêtent suivant la ligne de faîte ($\Delta$) ; si chaque pan contient une gouttière parallèle à l'autre, alors la ligne de faîte est aussi parallèle aux gouttières.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est le théorème du toit : la droite d'intersection de deux plans contenant des droites parallèles est elle-même parallèle à ces droites.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux plans distincts et non parallèles de l'espace ont toujours pour intersection une droite.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
En dimension 3, l'intersection de deux plans peut être : vide (plans strictement parallèles), un plan entier (plans confondus) ou une droite (plans sécants).
Si les plans sont distincts (pas confondus) et non parallèles (donc strictement non parallèles), il ne reste que le cas « droite ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : trois cas pour deux plans dans l'espace — strictement parallèles (intersection vide), confondus (intersection = plan), ou sécants (intersection = droite).
« Distincts et non parallèles » exclut les deux premiers cas, il ne reste donc que l'intersection en droite.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Distincts exclut le cas confondus, non parallèles exclut le cas sans intersection : reste l'intersection en une droite.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Trois plans de l'espace deux à deux sécants ont toujours un point commun.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Considérer trois plans formant un prisme triangulaire infini : chaque paire de plans se coupe selon une arête, mais ces trois arêtes sont parallèles entre elles et n'ont aucun point commun aux trois plans.
Trois plans deux à deux sécants peuvent donc avoir une intersection commune réduite à une droite, à un point, ou être vide.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de raisonner par analogie avec deux plans sécants. Avec trois plans, plusieurs configurations existent : un point commun, une droite commune (les trois plans s'arêtent suivant la même droite), ou aucun point commun (configuration en prisme : les trois droites d'intersection sont alors parallèles).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La configuration en prisme triangulaire fournit un contre-exemple : trois plans deux à deux sécants peuvent ne partager aucun point commun.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $P$ le plan passant par $A(1\,;0\,;0)$ et dirigé par $\vec{u}(1\,;1\,;0)$ et $\vec{v}(0\,;1\,;1)$.
Soit $d$ la droite passant par $B(0\,;0\,;0)$ de vecteur directeur $\vec{w}(1\,;2\,;1)$.

Affirmation : La droite $d$ est sécante au plan $P$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On cherche $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$, c'est-à-dire $(1\,;2\,;1) = (a\,;a+b\,;b)$. On obtient $a = 1$, $b = 1$ et $a+b = 2$ : la décomposition fonctionne.
$\vec{w}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, donc $d$ est parallèle à $P$ ou incluse dans $P$.
Test : $B \in P$ équivaut à $\overrightarrow{AB} = (-1\,;0\,;0)$ combinaison de $\vec{u}$, $\vec{v}$. On aurait $a = -1$ et $b = 0$, mais alors $a+b = -1 \neq 0$ : $B \notin P$.
La droite est strictement parallèle au plan, donc pas sécante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Avant de conclure à une intersection, il faut tester si le vecteur directeur de la droite est dans la direction du plan.
Ici $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$, donc $d$ est parallèle au plan. Comme $B \notin P$, la droite n'est pas dans le plan : elle est strictement parallèle, et n'a donc aucun point d'intersection avec $P$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$ donne une direction dans $P$, et $B \notin P$ : $d$ est strictement parallèle à $P$, donc sans intersection.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : positions relatives de droites, positions relatives droite/plan et plan/plan, intersections et théorème du toit. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Dans le cube $ABCDEFGH$, les droites $(AB)$ et $(EG)$ sont :
[qcm]
[option]strictement parallèles[/option]
[option]sécantes[/option]
[option correct="true"]non coplanaires[/option]
[option]confondues[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Plaçons-nous dans le repère $(A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE})$ : on a $\overrightarrow{AB}(1~;~0~;~0)$ et $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC} = (1~;~1~;~0)$.
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (les deuxièmes coordonnées diffèrent), donc les droites ne sont pas parallèles.
De plus $E(0~;~0~;~1)$ n'appartient pas au plan $(AB)$-$\overrightarrow{AC}$ (qui a son plan $z = 0$), donc les droites n'ont aucun point commun. Elles sont non coplanaires.[/reponse]
[reponse motif="strictement parallèles"]Non.
Les vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires : les droites ne peuvent pas être parallèles.[/reponse]
[reponse motif="sécantes"]Non.
Pour être sécantes, les droites doivent avoir un point commun. Or $(AB)$ est dans la face inférieure du cube et $(EG)$ dans la face supérieure : aucune intersection possible.[/reponse]
[reponse motif="confondues"]Non.
Deux droites confondues partagent tous leurs points. Ici, $(AB)$ ne contient aucun des points $E$ ou $G$ : ce n'est pas le cas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer d'abord les vecteurs directeurs (colinéaires ou non), puis chercher un point commun éventuel. Si aucune des conditions n'est remplie, les droites sont non coplanaires.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans le cube $ABCDEFGH$, le plan $(ABFE)$ et la droite $(DH)$ sont :
[qcm]
[option correct="true"]strictement parallèles[/option]
[option]la droite est incluse dans le plan[/option]
[option]sécants en un point[/option]
[option]sécants selon une droite[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Plaçons-nous dans le repère $(A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE})$ : le plan $(ABFE)$ est le plan des points de coordonnée $y = 0$.
Or $D(0~;~1~;~0)$ et $H(0~;~1~;~1)$ ont tous deux pour ordonnée $1$ : la droite $(DH)$ ne rencontre jamais $(ABFE)$.
De plus $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$, donc le vecteur directeur appartient bien à la direction du plan : la droite est strictement parallèle au plan.[/reponse]
[reponse motif="la droite est incluse dans le plan"]Non.
Pour qu'une droite soit incluse, il faut au moins un de ses points dans le plan. Or $D$ et $H$ ont une ordonnée $y = 1$, alors que le plan $(ABFE)$ a $y = 0$ : aucun point commun.[/reponse]
[reponse motif="sécants en un point"]Non.
Le vecteur directeur $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$ appartient à la direction du plan $(ABFE)$ : la droite ne peut donc pas couper le plan en un point.[/reponse]
[reponse motif="sécants selon une droite"]Non.
Une intersection « selon une droite » concerne deux plans, jamais une droite et un plan. Vérifier le type d'objets en présence avant de choisir.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester si le vecteur directeur de la droite appartient à la direction du plan ; si oui, vérifier qu'un point de la droite appartient au plan pour distinguer parallélisme strict et inclusion.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\mathscr{D}_1 : \left\{\begin{matrix}x = 1 + t \\ y = -1 + t \\ z = 2 + 2t\end{matrix}\right.$ et $\mathscr{D}_2 : \left\{\begin{matrix}x = 2 - s \\ y = s \\ z = 3 - 2s\end{matrix}\right.$. Quelle est leur position relative ?
[qcm]
[option]strictement parallèles[/option]
[option correct="true"]non coplanaires[/option]
[option]sécantes[/option]
[option]confondues[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
Vecteurs directeurs : $\vec{u_1}(1~;~1~;~2)$ et $\vec{u_2}(-1~;~1~;~-2)$, qui ne sont pas colinéaires.
On cherche un point commun : $1 + t = 2 - s$, $-1 + t = s$ et $2 + 2t = 3 - 2s$. Les deux premières donnent $t + s = 1$ et $t - s = 1$, soit $t = 1$ et $s = 0$. La troisième devient $4 = 3$, ce qui est faux.
Donc les droites n'ont pas de point commun et leurs directions sont distinctes : elles sont non coplanaires.[/reponse]
[reponse motif="strictement parallèles"]Non.
Pour des droites parallèles, les vecteurs directeurs doivent être colinéaires. Or $\vec{u_1}(1~;~1~;~2)$ et $\vec{u_2}(-1~;~1~;~-2)$ ne sont pas multiples l'un de l'autre.[/reponse]
[reponse motif="sécantes"]Non.
Les droites n'ont pas de point commun : la valeur $(t~;~s) = (1~;~0)$ obtenue à partir des deux premières équations rend la troisième fausse. Il n'existe pas de point d'intersection.[/reponse]
[reponse motif="confondues"]Non.
Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires : les droites ne peuvent pas être confondues. Vérifier d'abord la colinéarité avant d'envisager ce cas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester d'abord la colinéarité des vecteurs directeurs. Si elle échoue, chercher un point commun ; si le système est incompatible, les droites sont non coplanaires.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient deux plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sécants. Une droite $\mathscr{D}$ incluse dans $\mathscr{P}_1$ est parallèle à une droite $\mathscr{D}'$ incluse dans $\mathscr{P}_2$. Que peut-on dire de la droite $\Delta$ d'intersection de $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\Delta$ est parallèle à $\mathscr{D}$ et à $\mathscr{D}'$[/option]
[option]$\Delta$ passe par le point d'intersection de $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$[/option]
[option]$\Delta$ est perpendiculaire à $\mathscr{D}$ et à $\mathscr{D}'$[/option]
[option]On ne peut rien dire sans plus d'informations[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
C'est l'énoncé du théorème du toit : si deux plans sécants contiennent chacun une droite et que ces deux droites sont parallèles entre elles, alors la droite d'intersection des deux plans est parallèle à ces deux droites.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta$ passe par le point d'intersection de $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$"]Non.
Comme $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont parallèles, elles n'ont pas de point d'intersection (sauf si elles sont confondues, mais alors elles seraient dans les deux plans). La conclusion porte sur la direction de $\Delta$, pas sur un point particulier.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta$ est perpendiculaire à $\mathscr{D}$ et à $\mathscr{D}'$"]Non.
Aucune perpendicularité n'est imposée par les hypothèses. Le résultat porte sur le parallélisme : il s'agit du théorème du toit.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien dire sans plus d'informations"]Non.
Les hypothèses de la situation correspondent exactement à celles du théorème du toit. Ce théorème permet de conclure sur la direction de $\Delta$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Cette configuration est celle du théorème du toit : deux plans sécants contenant chacun une droite, ces deux droites étant parallèles entre elles. La conclusion porte sur la direction de la droite d'intersection.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La droite $\mathscr{D} : \left\{\begin{matrix}x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = t\end{matrix}\right.$ coupe le plan $(xOy)$ d'équation $z = 0$. Quel est le point d'intersection ?
[qcm]
[option correct="true"]$M(1~;~2~;~0)$[/option]
[option]$M(1~;~2~;~1)$[/option]
[option]La droite est parallèle à $(xOy)$[/option]
[option]$M(0~;~0~;~0)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On cherche la valeur de $t$ qui rend $z = 0$ : la troisième équation donne $t = 0$.
On reporte dans les deux autres : $x = 1 + 0 = 1$ et $y = 2 - 0 = 2$.
Le point d'intersection est donc $M(1~;~2~;~0)$.[/reponse]
[reponse motif="$M(1~;~2~;~1)$"]Non.
La condition $z = 0$ n'a pas été imposée : ces coordonnées correspondent au point obtenu pour $t = 1$, qui n'est pas dans $(xOy)$. Reprendre en posant $z = 0$ dans la troisième équation.[/reponse]
[reponse motif="La droite est parallèle à $(xOy)$"]Non.
Le vecteur directeur de la droite est $(1~;~-1~;~1)$, dont la troisième coordonnée est non nulle : la droite n'est pas parallèle au plan $(xOy)$.[/reponse]
[reponse motif="$M(0~;~0~;~0)$"]Non.
L'origine n'est pas sur la droite $\mathscr{D}$ : pour $t = 0$, on obtient $(1~;~2~;~0)$, pas $(0~;~0~;~0)$. Calculer les coordonnées du point pour la valeur de $t$ qui annule $z$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver l'intersection avec $(xOy)$ : poser $z = 0$ dans la représentation paramétrique pour déterminer $t$, puis calculer $x$ et $y$ avec cette valeur de $t$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\mathscr{P}_1 : \left\{\begin{matrix}x = s + t \\ y = s - t \\ z = 2s\end{matrix}\right.$ et $\mathscr{P}_2 : \left\{\begin{matrix}x = 1 + s' \\ y = 2 + t' \\ z = s' + t'\end{matrix}\right.$. Quelle est leur position relative ?
[qcm]
[option correct="true"]strictement parallèles[/option]
[option]sécants selon une droite[/option]
[option]confondus[/option]
[option]non parallèles, ils se coupent en un point[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Vecteurs directeurs de $\mathscr{P}_1$ : $\vec{u_1}(1~;~1~;~2)$ et $\vec{v_1}(1~;~-1~;~0)$. Vecteurs directeurs de $\mathscr{P}_2$ : $\vec{u_2}(1~;~0~;~1)$ et $\vec{v_2}(0~;~1~;~1)$.
On vérifie que $\vec{u_2} = \dfrac{1}{2}\vec{u_1} + \dfrac{1}{2}\vec{v_1}$ et $\vec{v_2} = \dfrac{1}{2}\vec{u_1} - \dfrac{1}{2}\vec{v_1}$ : les deux paires engendrent la même direction. Les plans sont parallèles ou confondus.
On teste si $B(1~;~2~;~0)$ (point de $\mathscr{P}_2$) appartient à $\mathscr{P}_1$ : le système $s + t = 1$, $s - t = 2$, $2s = 0$ donne $s = 0$ puis $t = 1$ et $t = -2$, ce qui est contradictoire.
$B$ n'appartient pas à $\mathscr{P}_1$ : les plans sont strictement parallèles.[/reponse]
[reponse motif="sécants selon une droite"]Non.
Pour des plans sécants, leurs directions doivent être différentes. Or les vecteurs directeurs de $\mathscr{P}_2$ sont combinaisons linéaires de ceux de $\mathscr{P}_1$ : les deux plans ont la même direction.[/reponse]
[reponse motif="confondus"]Non.
Les directions sont bien identiques, mais il faut encore vérifier qu'un point d'un plan appartient à l'autre. Tester $B(1~;~2~;~0)$ de $\mathscr{P}_2$ dans $\mathscr{P}_1$ : si le système est incompatible, les plans ne sont pas confondus.[/reponse]
[reponse motif="non parallèles, ils se coupent en un point"]Non.
Deux plans ne se coupent jamais en un seul point : leur intersection est soit vide (parallèles stricts), soit une droite, soit le plan entier (confondus). Revoir les positions relatives possibles entre deux plans.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer d'abord les directions : exprimer les vecteurs directeurs d'un plan comme combinaisons linéaires de ceux de l'autre. Tester ensuite si un point d'un plan appartient à l'autre pour distinguer parallèles stricts / confondus.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]