[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les nombres premiers et leur décomposition, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $1$ est un nombre premier.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts. Or $1$ n'admet qu'un seul diviseur (lui-même), donc $1$ n'est pas premier. Cette exclusion est aussi indispensable pour que la décomposition en facteurs premiers soit unique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique : on dit parfois que $1$ « n'a pas d'autre diviseur que $1$ et lui-même », ce qui semble correspondre à la définition. Mais c'est en fait $1 = 1$ : un seul diviseur, pas deux. Donc $1$ ne remplit pas la condition « exactement deux diviseurs ».[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $1$ n'a qu'un seul diviseur (lui-même), alors qu'un nombre premier en a exactement deux. Cette exclusion garantit aussi l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Tout entier naturel $n \geqslant 2$ admet au moins un diviseur premier.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Si $n$ est lui-même premier, $n$ est son propre diviseur premier. Sinon, $n$ admet un diviseur $d$ avec $1 < d < n$ ; en réitérant le raisonnement sur $d$, on finit par tomber sur un diviseur premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est une propriété fondamentale : tout entier $n \geqslant 2$ admet un diviseur premier (raisonnement par récurrence ou par descente infinie). Cette propriété est au cœur de l'existence de la décomposition en facteurs premiers.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Tout entier $n \geqslant 2$ admet un diviseur premier (soit $n$ lui-même s'il est premier, soit obtenu par descente sur ses diviseurs).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le nombre $221$ est premier.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a $221 = 13 \times 17$ : ce nombre admet $13$ et $17$ comme diviseurs propres, il n'est donc pas premier. (À l'épreuve : tester les premiers $\leqslant \sqrt{221} \approx 14{,}9$, et arriver à $13$ qui divise $221$.)[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Tester systématiquement les premiers $p \leqslant \sqrt{221} \approx 14{,}87$. On trouve $221 = 13 \times 17$. Donc $221$ admet des diviseurs propres et n'est pas premier.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $221 = 13 \times 17$ : il a des diviseurs autres que $1$ et lui-même.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La décomposition en facteurs premiers d'un entier $n \geqslant 2$ est unique à l'ordre près des facteurs.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est le théorème fondamental de l'arithmétique. Quel que soit l'ordre dans lequel on découvre les facteurs premiers, on aboutit aux mêmes facteurs avec les mêmes exposants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le théorème fondamental de l'arithmétique garantit cette unicité : peu importe la stratégie de décomposition (commencer par $2$, par $3$, ou autre), on retrouve toujours la même liste de facteurs premiers avec les mêmes exposants.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est le théorème fondamental de l'arithmétique : tout entier $n \geqslant 2$ se décompose de manière unique (à l'ordre près) en produit de facteurs premiers.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le nombre $n = 2^{2} \times 5$ admet exactement $3$ diviseurs positifs.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Le nombre de diviseurs est $(2+1) \times (1+1) = 6$, pas $3$. On peut les énumérer : $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $20$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La règle est de multiplier les $(a_{i} + 1)$ : ici $(2 + 1) \times (1 + 1) = 6$, pas $3$. La liste complète : $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $20$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $20 = 2^{2} \times 5$ admet $(2+1)(1+1) = 6$ diviseurs : $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $20$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $n = p^{2}$ avec $p$ premier, alors $n$ admet exactement trois diviseurs positifs.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour $n = p^{2}$, le nombre de diviseurs est $2 + 1 = 3$, et la liste est $1$, $p$, $p^{2}$. Par exemple $n = 9 = 3^{2}$ a pour diviseurs $1$, $3$, $9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$n = p^{2}$ contient un seul facteur premier, avec exposant $2$. Le nombre de diviseurs vaut donc $2 + 1 = 3$ : $1$, $p$ et $p^{2}$. Exemple : $9 = 3^{2}$ a pour diviseurs $1$, $3$, $9$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $p^{2}$ admet exactement trois diviseurs : $1$, $p$ et $p^{2}$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la définition correcte d'un nombre premier ?
[qcm]
[option]Un entier naturel admettant un nombre impair de diviseurs.[/option]
[option]Un entier naturel non divisible par $2$.[/option]
[option correct="true"]Un entier naturel admettant exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.[/option]
[option]Un entier naturel supérieur ou égal à $2$.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La définition exige exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Cette précision exclut $1$ (qui n'a qu'un diviseur) tout en incluant $2$, $3$, $5$, $7$, etc.[/reponse]
[reponse motif="Un entier naturel admettant un nombre impair de diviseurs."]Non.
Un nombre impair de diviseurs caractérise les carrés parfaits ($1$, $4$, $9$, $16$...), pas les nombres premiers.[/reponse]
[reponse motif="Un entier naturel non divisible par $2$."]Non.
$2$ est premier ($2$ est divisible par $2$) tandis que $9 = 3 \times 3$ est impair sans être premier. Être impair et être premier sont deux propriétés distinctes.[/reponse]
[reponse motif="Un entier naturel supérieur ou égal à $2$."]Non.
$4$, $6$, $8$, $9$ sont tous supérieurs à $2$ sans être premiers. La condition « avoir exactement deux diviseurs » est plus restrictive.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts dans $\mathbb{N}$ : $1$ et lui-même.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour démontrer qu'un entier $n > 1$ est premier, on cherche s'il est divisible par un nombre premier $p$ vérifiant :
[qcm]
[option]$p \leqslant n$.[/option]
[option correct="true"]$p \leqslant \sqrt{n}$.[/option]
[option]$p \leqslant \dfrac{n}{2}$.[/option]
[option]$p^{2} \leqslant n + 1$.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un entier $n > 1$ non premier admet toujours un diviseur premier $p \leqslant \sqrt{n}$. Il suffit donc de tester les premiers $p$ jusqu'à $\sqrt{n}$ pour conclure.[/reponse]
[reponse motif="$p \leqslant n$."]Non.
Tester tous les premiers jusqu'à $n$ est inutilement coûteux. La borne optimale, donnée par le théorème, est $\sqrt{n}$.[/reponse]
[reponse motif="$p \leqslant \dfrac{n}{2}$."]Non.
Cette borne est meilleure que $n$, mais elle reste trop large. La borne théorique est $\sqrt{n}$ (qui est plus petite dès que $n > 4$).[/reponse]
[reponse motif="$p^{2} \leqslant n + 1$."]Non.
La bonne formulation est $p^{2} \leqslant n$ (équivalente à $p \leqslant \sqrt{n}$). L'ajout de $+1$ peut conduire à tester un diviseur de trop sans bénéfice.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le critère est : si $n > 1$ n'a aucun diviseur premier $p$ avec $p \leqslant \sqrt{n}$, alors $n$ est premier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le nombre $97$ est-il premier ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui, car aucun nombre premier $\leqslant \sqrt{97}$ ne le divise.[/option]
[option]Non, car $97 = 7 \times 14 - 1$.[/option]
[option]Non, car $97$ est trop grand pour être premier.[/option]
[option]On ne peut pas savoir sans utiliser une calculatrice.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\sqrt{97} \approx 9{,}85$, donc on teste les premiers $\leqslant 9$ : $2$, $3$, $5$, $7$. Aucun ne divise $97$ ($97$ est impair, somme des chiffres = $16$, ne finit ni par $0$ ni par $5$, $97 = 7 \times 13 + 6$). Donc $97$ est premier.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $97 = 7 \times 14 - 1$."]Non.
Une écriture comme « $7 \times 14 - 1$ » ne prouve rien sur la primalité : il faut chercher des diviseurs au moyen d'une division euclidienne exacte, pas d'une approximation algébrique.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $97$ est trop grand pour être premier."]Non.
La taille d'un entier ne préjuge pas de sa primalité. Il existe des nombres premiers arbitrairement grands.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas savoir sans utiliser une calculatrice."]Non.
Le test à la main est rapide ici : il suffit d'examiner $4$ diviseurs premiers candidats (jusqu'à $\sqrt{97} < 10$). C'est tout à fait abordable.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\sqrt{97} < 10$. Tester $2$, $3$, $5$, $7$ : aucun ne divise $97$. Conclusion : $97$ est premier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la décomposition de $360$ en produit de facteurs premiers ?
[qcm]
[option]$2^{2} \times 3 \times 5 \times 6$[/option]
[option correct="true"]$2^{3} \times 3^{2} \times 5$[/option]
[option]$2^{2} \times 3^{3} \times 5$[/option]
[option]$8 \times 9 \times 5$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$360 = 2 \times 180 = 2^{2} \times 90 = 2^{3} \times 45 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$. Tous les facteurs ($2$, $3$, $5$) sont bien premiers et le produit vaut $360$.[/reponse]
[reponse motif="$2^{2} \times 3 \times 5 \times 6$"]Non.
$6$ n'est pas un nombre premier ($6 = 2 \times 3$). Une décomposition en facteurs premiers ne contient que des nombres premiers.[/reponse]
[reponse motif="$2^{2} \times 3^{3} \times 5$"]Non.
Vérifier le calcul : $4 \times 27 \times 5 = 540$, pas $360$. L'exposant de $2$ ou de $3$ a été permuté dans la décomposition.[/reponse]
[reponse motif="$8 \times 9 \times 5$"]Non.
$8 = 2^{3}$ et $9 = 3^{2}$ ne sont pas premiers. Le produit donne bien $360$, mais une décomposition en facteurs premiers doit être écrite avec des nombres premiers et leurs exposants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposer pas à pas : $360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 2 \times 45 = 2^{3} \times 3 \times 15 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien $360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ admet-il de diviseurs (positifs) ?
[qcm]
[option]$10$[/option]
[option correct="true"]$24$[/option]
[option]$30$[/option]
[option]$360$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On compte $(3+1) \times (2+1) \times (1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ choix d'exposants pour les diviseurs $2^{a} \times 3^{b} \times 5^{c}$ avec $0 \leqslant a \leqslant 3$, $0 \leqslant b \leqslant 2$, $0 \leqslant c \leqslant 1$.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10$ correspond à la somme $3 + 2 + 1 + 4$ ou à un mauvais comptage des exposants. La règle correcte est de multiplier les valeurs $(a_{i} + 1)$, où les $a_{i}$ sont les exposants de la décomposition.[/reponse]
[reponse motif="$30$"]Non.
$30$ pourrait être $3 \times 2 \times 5$ (les premiers et l'exposant maximal de $5$ ?). Le bon raisonnement : $(3+1) \times (2+1) \times (1+1) = 24$.[/reponse]
[reponse motif="$360$"]Non.
$360$ est le nombre lui-même, pas son nombre de diviseurs. Le nombre de diviseurs est toujours bien plus petit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $n = p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{k}^{a_{k}}$, le nombre de diviseurs est $(a_{1}+1)(a_{2}+1) \cdots (a_{k}+1)$. Ici $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si $p$ est un nombre premier qui divise $ab$ (avec $a$ et $b$ entiers), alors :
[qcm]
[option]$p$ divise $a$ et $p$ divise $b$.[/option]
[option correct="true"]$p$ divise $a$ ou $p$ divise $b$.[/option]
[option]$p$ divise $a + b$.[/option]
[option]$p$ divise toujours $a$.[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
C'est une conséquence du théorème de Gauss : si $p$ est premier et $p \mid ab$, alors $p$ divise au moins l'un des facteurs (mais pas nécessairement les deux).[/reponse]
[reponse motif="$p$ divise $a$ et $p$ divise $b$."]Non.
Le « et » est trop fort. Par exemple $3 \mid 6 = 2 \times 3$, mais $3 \nmid 2$. Le théorème conclut au « ou », pas au « et ».[/reponse]
[reponse motif="$p$ divise $a + b$."]Non.
Aucune relation directe entre $p$ et $a + b$ ne se déduit ici. Par exemple $5 \mid 5 \times 2 = 10$, mais $5 \nmid 5 + 2 = 7$.[/reponse]
[reponse motif="$p$ divise toujours $a$."]Non.
Cela serait arbitraire : la conclusion porte sur l'un ou l'autre des facteurs, sans privilégier $a$. Par exemple $3 \mid 4 \times 3 = 12$, mais $3 \nmid 4$ : c'est $b = 3$ qui est divisible.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Si $p$ est premier et $p$ divise $ab$, alors $p$ divise $a$ ou $p$ divise $b$. Cette propriété est essentielle pour démontrer l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]