[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, qui combine plusieurs propriétés du chapitre, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Lire attentivement chaque énoncé avant de conclure.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est une propriété fondamentale du parallélisme : deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. On peut le démontrer en utilisant l'égalité des angles correspondants formés par une sécante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : si $(d_1) \parallel (d_3)$ et $(d_2) \parallel (d_3)$, alors $(d_1) \parallel (d_2)$. Le parallélisme se "transmet" via une droite intermédiaire.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle $ABC$, on trace par $A$ la droite $(d)$ parallèle à $(BC)$. Alors les trois angles formés en $A$ entre $(AB)$, $(AC)$ et $(d)$ ont une somme égale à $180°$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les trois angles en $A$ se trouvent de part et d'autre du point $A$ sur la droite $(d)$, qui est plate.
Leur somme couvre exactement le demi-plan défini par $(d)$, donc vaut $180°$.

C'est d'ailleurs ce raisonnement qui permet de démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut $180°$ : en utilisant la parallèle à $(BC)$ passant par $A$, les angles à la base se transposent en $A$ par alternes-internes, et leur somme avec $\widehat{BAC}$ vaut $180°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : trois angles côte à côte couvrant un demi-plan (alignés sur une droite) ont une somme égale à $180°$. C'est le principe de la démonstration de la somme des angles du triangle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Trois angles adjacents qui couvrent un demi-plan ont nécessairement une somme égale à $180°$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par deux sécantes parallèles entre elles, alors les angles correspondants formés sur $(d_1)$ ont la même mesure.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La propriété d'égalité des angles correspondants concerne deux droites parallèles coupées par une sécante.
Ici, les deux droites sont $(d_1)$ et $(d_2)$ (qui ne sont pas forcément parallèles), et les sécantes parallèles ne jouent pas le rôle requis.
On ne peut donc rien conclure directement avec cette propriété.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à bien identifier qui sont les "deux droites parallèles" et qui est la "sécante" dans la propriété.
Ici, le rôle est inversé : la propriété ne s'applique pas dans cette configuration.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La propriété des angles correspondants demande que les deux droites coupées soient parallèles, pas les deux sécantes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si dans un triangle $ABC$ on a $\widehat{BAC} = 40°$ et $\widehat{ABC} = 75°$, alors $\widehat{BCA}$ est un angle aigu.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\widehat{BCA} = 180° - 40° - 75° = 65°$.
$65°$ est strictement compris entre $0°$ et $90°$ : c'est un angle aigu.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour vérifier la nature du troisième angle, le calculer ($180 - 40 - 75 = 65$), puis comparer à $90°$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\widehat{BCA} = 180° - 40° - 75° = 65°$, qui est strictement inférieur à $90°$ : l'angle est aigu.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une sécante. Si deux angles alternes-internes formés ont pour somme $180°$, alors les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour conclure au parallélisme par la réciproque, les angles alternes-internes doivent être égaux (même mesure), pas avoir une somme de $180°$.
Si leur somme est $180°$, on peut seulement dire qu'ils sont supplémentaires, ce qui est insuffisant pour conclure au parallélisme dans le cas général.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre les conditions de la réciproque : pour les alternes-internes, c'est l'égalité (et non la supplémentarité) qui entraîne le parallélisme.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La réciproque demande que les angles alternes-internes soient égaux, pas seulement supplémentaires.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle isocèle, l'angle au sommet et un angle à la base peuvent à eux deux mesurer plus de $180°$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La somme des trois angles d'un triangle vaut $180°$.
La somme de deux des trois angles est donc nécessairement inférieure à $180°$ (sinon, le troisième angle serait nul ou négatif, ce qui est impossible).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : si la somme de deux angles dépassait $180°$, le troisième angle (positif) ne pourrait pas compléter à $180°$ pour respecter la somme totale du triangle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Dans tout triangle, la somme de deux angles est strictement inférieure à $180°$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : vocabulaire et calculs d'angles, angles alternes-internes / correspondants, somme des angles d'un triangle. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Deux droites se coupent en $O$, formant quatre angles. Trois des angles mesurent $\alpha$, $\alpha$ et $\beta$. Combien mesure le quatrième angle ?
[qcm]
[option]$\alpha$[/option]
[option correct="true"]$\beta$[/option]
[option]$\alpha + \beta$[/option]
[option]$180° - \alpha - \beta$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Deux droites sécantes forment $4$ angles regroupés en $2$ paires d'angles opposés par le sommet, de mesures $\alpha$ et $\beta$.
Les deux angles déjà notés $\alpha$ sont opposés par le sommet ; les deux autres sont donc tous deux égaux à $\beta$.[/reponse]
[reponse motif="$\alpha$"]Non.
Trois angles ne peuvent pas valoir $\alpha$ : il y a exactement deux angles opposés par le sommet égaux à $\alpha$, les deux autres sont égaux entre eux mais différents (sauf droites perpendiculaires).[/reponse]
[reponse motif="$\alpha + \beta$"]Non.
La somme $\alpha + \beta$ vaut $180°$ (angles adjacents formés par les droites). Le quatrième angle, lui, mesure simplement $\beta$.[/reponse]
[reponse motif="$180° - \alpha - \beta$"]Non.
Comme $\alpha + \beta = 180°$, cette expression donne $0°$, ce qui n'a pas de sens pour un angle non nul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quatre angles formés par deux droites sécantes : deux paires d'angles opposés par le sommet (donc deux égaux deux à deux).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur la figure, $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, et $(EF)$ est sécante. L'angle $\widehat{AEF}$ mesure $112°$. Quelle est la mesure de $\widehat{EFD}$, sachant qu'il est alterne-interne avec $\widehat{AEF}$ ?
[qcm]
[option]$68°$[/option]
[option correct="true"]$112°$[/option]
[option]$22°$[/option]
[option]$248°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Comme $(AB) \parallel (CD)$, deux angles alternes-internes ont la même mesure.
Donc $\widehat{EFD} = \widehat{AEF} = 112°$.[/reponse]
[reponse motif="$68°$"]Non.
$68°$ est le supplémentaire de $112°$. C'est la mesure d'un angle adjacent à l'alterne-interne, pas de l'alterne-interne lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$22°$"]Non.
$22°$ est le complémentaire à $90°$ de $68°$. Cette relation n'intervient pas ici.[/reponse]
[reponse motif="$248°$"]Non.
Une mesure d'angle simple ne dépasse pas $180°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lorsque les droites sont parallèles, deux angles alternes-internes ont la même mesure : reporte la valeur connue.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle $ABC$, on sait que $\widehat{ABC} = 35°$. La hauteur issue de $A$ coupe $[BC]$ en $H$. Quelle est la mesure de $\widehat{BAH}$ ?
[qcm]
[option]$35°$[/option]
[option]$145°$[/option]
[option correct="true"]$55°$[/option]
[option]$70°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La hauteur issue de $A$ est perpendiculaire à $(BC)$ en $H$, donc $\widehat{AHB} = 90°$.
Dans le triangle $ABH$, la somme des angles vaut $180°$ :
$\widehat{BAH} = 180° - 90° - 35° = 55°$.[/reponse]
[reponse motif="$35°$"]Non.
Rien n'indique que $\widehat{BAH}$ et $\widehat{ABC}$ soient égaux. Calcule à partir du triangle rectangle $ABH$.[/reponse]
[reponse motif="$145°$"]Non.
$145°$ est le supplémentaire de $35°$. Mais ici il faut utiliser la somme des angles dans le triangle rectangle $ABH$, pas une simple supplémentarité.[/reponse]
[reponse motif="$70°$"]Non.
Tu as peut-être doublé $35°$. Le calcul attendu est $180 - 90 - 35$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une hauteur forme un angle droit avec le côté opposé. Travaille ensuite dans le triangle rectangle ainsi obtenu.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une sécante. Un angle correspondant sur $(d_1)$ mesure $74°$, et l'angle correspondant sur $(d_2)$ mesure aussi $74°$. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option]Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ se coupent à un angle de $74°$.[/option]
[option correct="true"]Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.[/option]
[option]Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont confondues.[/option]
[option]On ne peut rien dire sans connaître la sécante.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La réciproque de la propriété des angles correspondants assure que si deux angles correspondants formés par deux droites et une sécante ont la même mesure, alors les deux droites sont parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ se coupent à un angle de $74°$."]Non.
L'égalité des angles correspondants exclut justement que les deux droites se coupent : elles sont parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont confondues."]Non.
Si les droites étaient confondues, la sécante les couperait au même point. Ici, les angles sont sur des points différents : les droites sont distinctes mais parallèles.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien dire sans connaître la sécante."]Non.
La réciproque s'applique avec n'importe quelle sécante : elle suffit pour conclure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La réciproque de la propriété des angles correspondants donne directement la conclusion à partir de l'égalité des deux mesures.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle isocèle en $A$, l'angle au sommet $\widehat{BAC}$ vaut $80°$. La bissectrice de $\widehat{BAC}$ coupe $[BC]$ en $H$. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{AHB}$ ?
[qcm]
[option]$50°$[/option]
[option]$80°$[/option]
[option correct="true"]$90°$[/option]
[option]$130°$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Dans un triangle isocèle en $A$, la bissectrice de l'angle au sommet est aussi la médiatrice de la base et la hauteur issue de $A$.
Donc $(AH) \perp (BC)$, et $\widehat{AHB} = 90°$.

On peut aussi le vérifier par calcul : $\widehat{ABH} = \dfrac{180° - 80°}{2} = 50°$ et $\widehat{BAH} = \dfrac{80°}{2} = 40°$, donc $\widehat{AHB} = 180° - 50° - 40° = 90°$.[/reponse]
[reponse motif="$50°$"]Non.
$50°$ est la mesure de l'angle à la base $\widehat{ABC}$. L'angle $\widehat{AHB}$ est différent.
Calcule la somme des angles dans le triangle $ABH$.[/reponse]
[reponse motif="$80°$"]Non.
$80°$ est l'angle au sommet du triangle isocèle. La bissectrice le partage en deux, mais elle ne reproduit pas cet angle en $H$.[/reponse]
[reponse motif="$130°$"]Non.
$130°$ est le supplémentaire de $50°$. Mais $\widehat{AHB}$ se calcule avec la somme des angles dans le triangle $ABH$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule d'abord $\widehat{ABH}$ (angle à la base) et $\widehat{BAH}$ (la moitié de l'angle au sommet), puis utilise la somme des angles dans le triangle $ABH$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle $RST$, on sait que $\widehat{TRS} = 50°$ et $\widehat{RST} = 80°$. Une droite $(d)$ passe par $T$ et est parallèle à $(RS)$. Quelle est la mesure de l'angle entre $(d)$ et $(TR)$, du côté contenant $S$ ?
[qcm]
[option]$80°$[/option]
[option]$130°$[/option]
[option correct="true"]$50°$[/option]
[option]$30°$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(d) \parallel (RS)$, et $(TR)$ est une sécante.
L'angle entre $(d)$ et $(TR)$ du côté de $S$ et l'angle $\widehat{TRS}$ sont alternes-internes.
Comme les droites sont parallèles, ils ont la même mesure : $50°$.[/reponse]
[reponse motif="$80°$"]Non.
$80°$ est l'angle $\widehat{RST}$. La sécante considérée ici est $(TR)$, donc on transporte par parallélisme l'angle en $R$, pas en $S$.[/reponse]
[reponse motif="$130°$"]Non.
$130°$ est le supplémentaire de $50°$. Or l'angle alterne-interne est égal (et non supplémentaire) à $\widehat{TRS}$.[/reponse]
[reponse motif="$30°$"]Non.
$30°$ ne correspond à aucune relation directe : ni alterne-interne, ni somme/différence pertinente.
Repère bien la paire d'angles alternes-internes formée par les parallèles et la sécante $(TR)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Avec la sécante $(TR)$ et les parallèles $(RS)$ et $(d)$, l'angle cherché en $T$ et l'angle $\widehat{TRS}$ sont alternes-internes : ils sont égaux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]