Vrai/Faux : Divisibilité dans Z
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la divisibilité dans $\mathbb{Z}$, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Tout entier relatif est divisible par $1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour tout $a \in \mathbb{Z}$, $a = 1 \times a$ : $1$ divise $a$. C'est vrai sans exception, y compris pour $a = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Par définition, $1$ divise $a$ s'il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $a = 1 \times k$ : il suffit de prendre $k = a$. Donc $1$ divise n'importe quel entier relatif.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$1$ est un diviseur universel : pour tout $a \in \mathbb{Z}$, $a = 1 \times a$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Si $a$ divise $b$, alors $a \leqslant b$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Contre-exemple : $5$ divise $-5$ (car $-5 = 5 \times (-1)$), mais $5 \not\leqslant -5$. La divisibilité ne donne en général une comparaison qu'entre les valeurs absolues.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention aux entiers négatifs : $5$ divise $-5$ mais $5$ n'est pas inférieur à $-5$. La règle « le diviseur est plus petit » ne porte que sur les valeurs absolues, à condition que $b \neq 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
La comparaison $a \leqslant b$ ne se déduit pas de la divisibilité en général. Seule l'inégalité $|a| \leqslant |b|$ est valable, et seulement si $b \neq 0$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Si $a$ divise $b$ et $a$ divise $c$, alors $a$ divise $b - c$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La différence $b - c$ est une combinaison linéaire à coefficients entiers de $b$ et $c$ ($u = 1$, $v = -1$). Le cours assure alors que $a$ divise cette combinaison.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Si $b = ak$ et $c = ak'$, alors $b - c = a(k - k')$ : $a$ divise bien $b - c$. C'est l'application du lemme des combinaisons linéaires aux coefficients $u = 1$ et $v = -1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Si $a \mid b$ et $a \mid c$, alors $a$ divise toute combinaison linéaire $bu + cv$. En particulier, $a$ divise $b - c$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'opposé d'un diviseur de $n$ est encore un diviseur de $n$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est cela !
Si $d$ divise $n$, on a $n = dk$ pour un certain $k$. Alors $n = (-d) \times (-k)$, donc $-d$ divise aussi $n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Les diviseurs d'un entier vont par paires d'opposés : si $d \mid n$, on peut écrire $n = (-d)(-k)$ et donc $-d \mid n$. Par exemple, les diviseurs de $6$ sont $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Si $d$ divise $n$, alors $-d$ divise aussi $n$ : il suffit de changer le signe du quotient.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Si $a$ divise le produit $b \times c$, alors $a$ divise $b$ ou $a$ divise $c$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Contre-exemple : $a = 6$ divise $2 \times 3 = 6$, mais $6$ ne divise ni $2$ ni $3$. Cette propriété est réservée au cas où $a$ est un nombre premier (lemme d'Euclide).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La propriété « $a \mid bc \Rightarrow a \mid b$ ou $a \mid c$ » n'est vraie que pour $a$ premier. Avec $a = 6$, $b = 2$, $c = 3$ : $6 \mid 6$ mais $6 \nmid 2$ et $6 \nmid 3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Avec $a = 6$, $b = 2$, $c = 3$, on a $a \mid bc$ mais $a$ ne divise ni $b$ ni $c$. Cette propriété est valide uniquement si $a$ est premier.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Si un entier $n$ est divisible par $2$ et par $3$, alors il est divisible par $6$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$2$ et $3$ étant premiers entre eux, leur produit $6$ divise tout entier divisible par les deux. C'est une conséquence du théorème de Gauss.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Lorsque deux diviseurs sont premiers entre eux (ici $2$ et $3$), leur produit divise aussi le nombre. Par exemple, $24$ est divisible par $2$ et $3$, donc bien divisible par $6$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$2$ et $3$ sont premiers entre eux, donc tout entier divisible par les deux est divisible par leur produit $6$.
[/solution]
[/etape]
QCM Bilan : Divisibilité et congruences
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : divisibilité, division euclidienne et congruences, avec des questions mêlant plusieurs notions. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Si un entier $n$ s'écrit $n = 6k + 3$ pour un certain $k \in \mathbb{Z}$, alors :
[qcm]
[option]$n$ est divisible par $6$[/option]
[option correct="true"]$n$ est divisible par $3$[/option]
[option]$n$ est pair[/option]
[option]$n$ est divisible par $9$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$n = 6k + 3 = 3(2k + 1)$ : factorisation par $3$, donc $3$ divise $n$. Le facteur $2k + 1$ est impair, donc $n$ n'est en général ni pair ni multiple de $6$ ou de $9$.[/reponse]
[reponse motif="$n$ est divisible par $6$"]Non.
$6k + 3$ donne un reste de $3$ dans la division par $6$, pas un reste de $0$. Donc $n$ n'est pas multiple de $6$.[/reponse]
[reponse motif="$n$ est pair"]Non.
$6k$ est pair et $3$ impair, donc $6k + 3$ est impair. Pour $k = 0$, $n = 3$, qui est impair.[/reponse]
[reponse motif="$n$ est divisible par $9$"]Non.
Pour $k = 0$, $n = 3$ qui n'est pas divisible par $9$. La factorisation $n = 3(2k+1)$ donne seulement la divisibilité par $3$, pas par $9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Factoriser l'expression $6k + 3$ pour faire apparaître un diviseur commun. Tester aussi avec une valeur particulière de $k$ pour vérifier les autres options.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Le reste de la division euclidienne de $1\,000$ par $13$ vaut :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$13$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$12$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$13 \times 76 = 988$ et $1\,000 - 988 = 12$. On a donc $1\,000 = 13 \times 76 + 12$ avec $0 \leqslant 12 < 13$. Le reste est $12$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$1\,000 / 13 \approx 76{,}92$ : la division ne tombe pas juste, donc le reste n'est pas nul.[/reponse]
[reponse motif="$13$"]Non.
$13$ ne peut pas être un reste modulo $13$ : la condition $r < 13$ est stricte.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Confusion possible avec $1\,000 = 999 + 1$ et $999 = 13 \times 76 + 11$. Reprendre la division de $1\,000$ par $13$ : $13 \times 76 = 988$, donc $1\,000 - 988 = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver le plus grand multiple de $13$ inférieur ou égal à $1\,000$ ($13 \times 76 = 988$), puis soustraire pour obtenir le reste.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Si $a \equiv 3 \ [7]$, alors $5a$ est congru modulo $7$ à :
[qcm]
[option]$15$[/option]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$5$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La compatibilité avec la multiplication par un entier donne $5a \equiv 5 \times 3 \ [7]$, soit $5a \equiv 15 \ [7]$. Or $15 = 7 \times 2 + 1$, donc $5a \equiv 1 \ [7]$.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15$ est correct comme étape intermédiaire, mais $15 > 7$ : il faut le réduire dans $[0, 7[$. $15 = 7 + 7 + 1$, donc $15 \equiv 1 \ [7]$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5$ est le coefficient multiplicateur, pas le résultat de la congruence. La règle est $5a \equiv 5 \times 3 \ [7]$, et il faut ensuite réduire.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3$ est la valeur de $a$ modulo $7$, pas celle de $5a$. La multiplication par $5$ change la classe modulo $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier le représentant ($3$) par le coefficient ($5$), puis réduire le résultat modulo $7$ pour obtenir un nombre de $[0, 7[$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Le reste de la division euclidienne de $7^{100}$ par $5$ vaut :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$7 \equiv 2 \ [5]$, donc $7^{100} \equiv 2^{100} \ [5]$. Or $2^4 = 16 \equiv 1 \ [5]$, et $100 = 4 \times 25$, donc $2^{100} = (2^4)^{25} \equiv 1^{25} \equiv 1 \ [5]$. Le reste est $1$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$7^{100}$ n'est pas divisible par $5$ : ses facteurs premiers sont uniquement $7$. La congruence n'est jamais $0 \ [5]$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ correspondrait à $7^1 \equiv 2 \ [5]$, mais l'exposant $100$ change la classe : élever $2$ à la puissance $100$ ne donne pas $2$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4$ correspondrait à un exposant impair (par exemple $2^3 = 8 \equiv 3$, ou $2^2 = 4$). L'exposant $100$ étant divisible par $4$, le résultat est différent : chercher un cycle dans les puissances de $2$ modulo $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $7$ par un représentant simple modulo $5$ ($7 \equiv 2 \ [5]$), puis chercher un cycle parmi les puissances de $2$ modulo $5$. L'exposant $100$ permet ensuite de conclure.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $d$ un entier strictement positif qui divise à la fois $24$ et $36$. Parmi les propositions suivantes, laquelle est nécessairement vraie ?
[qcm]
[option correct="true"]$d$ divise $12$[/option]
[option]$d = 12$[/option]
[option]$d$ divise $5$[/option]
[option]$d \geqslant 6$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est cela !
$12 = 36 - 24$ : comme $d$ divise les deux, $d$ divise leur différence par la propriété des combinaisons linéaires. Donc $d$ divise $12$.[/reponse]
[reponse motif="$d = 12$"]Non.
$d = 12$ est le plus grand diviseur commun, mais d'autres valeurs sont possibles : $d \in \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$. La question demande ce qui est nécessairement vrai pour tout $d$ convenable.[/reponse]
[reponse motif="$d$ divise $5$"]Non.
$5$ ne s'écrit pas comme combinaison linéaire entière de $24$ et $36$ (il faudrait $24u + 36v = 5$, impossible car le membre de gauche est multiple de $\gcd(24,36) = 12$). Cette proposition est fausse en général.[/reponse]
[reponse motif="$d \geqslant 6$"]Non.
$d = 1$, $d = 2$ et $d = 3$ sont aussi des diviseurs communs de $24$ et $36$, et tous strictement inférieurs à $6$. Cette proposition est fausse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la propriété : si $d$ divise $a$ et $b$, alors $d$ divise toute combinaison linéaire $au + bv$ avec $u, v \in \mathbb{Z}$. Calculer une combinaison simple de $24$ et $36$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Pour démontrer que $5^n - 1$ est divisible par $4$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, on remarque que :
[qcm]
[option]$5^n \equiv 0 \ [4]$[/option]
[option correct="true"]$5 \equiv 1 \ [4]$, donc $5^n \equiv 1 \ [4]$[/option]
[option]$5 \equiv -1 \ [4]$[/option]
[option]$5^n$ est toujours divisible par $4$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$5 - 1 = 4$, donc $5 \equiv 1 \ [4]$. Par compatibilité avec la puissance, $5^n \equiv 1^n \equiv 1 \ [4]$. Donc $5^n - 1 \equiv 0 \ [4]$, ce qui signifie que $4$ divise $5^n - 1$.[/reponse]
[reponse motif="$5^n \equiv 0 \ [4]$"]Non.
$5^n$ n'est jamais divisible par $4$ : ses facteurs premiers sont uniquement $5$. Cette congruence est fausse pour tout $n \geqslant 1$.[/reponse]
[reponse motif="$5 \equiv -1 \ [4]$"]Non.
$5 - (-1) = 6$, qui n'est pas divisible par $4$. Donc $5 \not\equiv -1 \ [4]$. La bonne congruence est $5 \equiv 1 \ [4]$.[/reponse]
[reponse motif="$5^n$ est toujours divisible par $4$"]Non.
$5^n$ n'est jamais divisible par $4$ (cf. la première option). C'est $5^n - 1$ qui l'est, et il faut le démontrer par les congruences.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Chercher un représentant simple de $5$ modulo $4$ ($5 = 4 + 1$), puis appliquer la compatibilité avec la puissance pour en déduire la classe de $5^n$ modulo $4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
QCM : Divisibilité dans Z
[enonce]
Ce QCM porte sur la divisibilité dans $\mathbb{Z}$ : reconnaître diviseurs et multiples, manipuler les propriétés de la divisibilité et des combinaisons linéaires. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
L'écriture $42 = 6 \times 7$ permet d'affirmer que :
[qcm]
[option]$42$ divise $7$[/option]
[option]$6$ est un multiple de $7$[/option]
[option correct="true"]$7$ est un diviseur de $42$[/option]
[option]$42$ est un diviseur de $6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Par définition, $b$ divise $a$ s'il existe un entier $k$ tel que $a = bk$. Ici, $42 = 7 \times 6$ : $7$ est bien un diviseur de $42$ (et $42$ un multiple de $7$).[/reponse]
[reponse motif="$42$ divise $7$"]Non.
Les rôles de diviseur et de multiple sont inversés. C'est le plus petit qui divise le plus grand, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$6$ est un multiple de $7$"]Non.
Il n'y a aucun entier $k$ tel que $6 = 7k$. Reprendre la définition : $a$ multiple de $b$ signifie $a = bk$ pour un certain $k \in \mathbb{Z}$.[/reponse]
[reponse motif="$42$ est un diviseur de $6$"]Non.
$42$ ne peut pas diviser $6$ : un diviseur d'un entier non nul lui est inférieur ou égal en valeur absolue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repartir de la définition : $b$ divise $a$ lorsque $a = bk$. Identifier dans l'égalité $42 = 6 \times 7$ qui joue le rôle de $a$, $b$ et $k$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Parmi les nombres suivants, lequel est un multiple de $12$ ?
[qcm]
[option]$26$[/option]
[option]$30$[/option]
[option correct="true"]$36$[/option]
[option]$42$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$36 = 12 \times 3$ : $36$ est bien un multiple de $12$.[/reponse]
[reponse motif="$26$"]Non.
$26 = 12 \times 2 + 2$ : la division par $12$ ne tombe pas juste, donc $26$ n'est pas un multiple de $12$.[/reponse]
[reponse motif="$30$"]Non.
$30 = 12 \times 2{,}5$. Pour qu'un nombre soit multiple de $12$, le quotient doit être un entier.[/reponse]
[reponse motif="$42$"]Non.
$42 = 12 \times 3{,}5$. C'est un multiple de $6$ (et de $7$, et de $14$), mais pas de $12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester la division par $12$ pour chaque candidat : seul celui qui donne un quotient entier convient.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On sait que $a$ divise $24$ et que $a$ divise $30$. Parmi ces propositions, laquelle n'est pas nécessairement vraie ?
[qcm]
[option]$a$ divise $54$[/option]
[option]$a$ divise $6$[/option]
[option correct="true"]$a$ divise $11$[/option]
[option]$a$ divise $720$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$11$ ne s'écrit pas comme combinaison linéaire de $24$ et $30$ à coefficients entiers : par exemple $a = 2$ divise bien $24$ et $30$, mais ne divise pas $11$. La propriété ne s'applique donc pas.[/reponse]
[reponse motif="$a$ divise $54$"]Non.
$54 = 24 + 30$. Comme $a$ divise $24$ et $30$, $a$ divise leur somme. Cette propriété est donc bien vraie.[/reponse]
[reponse motif="$a$ divise $6$"]Non.
$6 = 30 - 24$. Comme $a$ divise les deux, $a$ divise leur différence. La propriété s'applique.[/reponse]
[reponse motif="$a$ divise $720$"]Non.
$720 = 24 \times 30$. Si $a$ divise $24$, alors $a$ divise tout multiple de $24$, donc $24 \times 30$. La propriété est vraie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser : si $a$ divise $b$ et $c$, alors $a$ divise toute combinaison $bu + cv$ avec $u, v \in \mathbb{Z}$. Vérifier laquelle des quatre quantités s'écrit ainsi.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Parmi les propositions suivantes, laquelle est fausse ?
[qcm]
[option]$0$ est un multiple de $7$[/option]
[option]$1$ divise $-15$[/option]
[option correct="true"]$0$ divise $5$[/option]
[option]$-3$ divise $12$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Aucun entier $k$ ne vérifie $5 = 0 \times k$ (car $0 \times k = 0 \neq 5$). Donc $0$ ne divise pas $5$. En revanche, $0$ est multiple de tout entier non nul.[/reponse]
[reponse motif="$0$ est un multiple de $7$"]Non.
$0 = 7 \times 0$ : $0$ est bien un multiple de $7$ (et de tout entier non nul).[/reponse]
[reponse motif="$1$ divise $-15$"]Non.
$-15 = 1 \times (-15)$ : $1$ divise tout entier relatif. Cette proposition est vraie.[/reponse]
[reponse motif="$-3$ divise $12$"]Non.
$12 = (-3) \times (-4)$ : $-3$ divise bien $12$. La divisibilité concerne aussi les entiers négatifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Distinguer le rôle de $0$ : il est multiple de tout entier non nul, mais ne peut diviser aucun entier non nul.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Pour quelle valeur de $n \in \mathbb{Z}$ a-t-on $n + 1$ qui divise $9$ ?
[qcm]
[option]$n = 4$[/option]
[option]$n = 6$[/option]
[option]$n = 7$[/option]
[option correct="true"]$n = 8$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Avec $n = 8$, on a $n + 1 = 9$, et $9$ divise bien $9$ (puisque $9 = 9 \times 1$).[/reponse]
[reponse motif="$n = 4$"]Non.
Avec $n = 4$, $n + 1 = 5$ : or $5$ ne divise pas $9$ ($9 = 5 \times 1 + 4$). Chercher une valeur de $n$ telle que $n+1$ figure dans la liste des diviseurs de $9$.[/reponse]
[reponse motif="$n = 6$"]Non.
Avec $n = 6$, $n + 1 = 7$ : $7$ ne divise pas $9$. Lister d'abord tous les diviseurs (positifs) de $9$ : $1, 3, 9$.[/reponse]
[reponse motif="$n = 7$"]Non.
Avec $n = 7$, $n + 1 = 8$ : $8$ ne divise pas $9$. Penser à identifier d'abord les diviseurs possibles de $9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $n + 1$ pour chaque option et vérifier si ce nombre apparaît dans la liste des diviseurs de $9$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Pour tout entier relatif $n$, l'expression $n(n+1)$ est :
[qcm]
[option]toujours un multiple de $4$[/option]
[option correct="true"]toujours paire[/option]
[option]toujours impaire[/option]
[option]toujours un multiple de $3$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$n(n+1)$ est le produit de deux entiers consécutifs : l'un d'eux est forcément pair. Le produit est donc toujours divisible par $2$.[/reponse]
[reponse motif="toujours un multiple de $4$"]Non.
Pour $n = 1$, $n(n+1) = 1 \times 2 = 2$, qui n'est pas multiple de $4$. La propriété d'être pair ne suffit pas à garantir une divisibilité par $4$.[/reponse]
[reponse motif="toujours impaire"]Non.
C'est exactement le contraire : deux entiers consécutifs ne peuvent pas être tous les deux impairs.[/reponse]
[reponse motif="toujours un multiple de $3$"]Non.
Pour $n = 1$, $n(n+1) = 2$ qui n'est pas multiple de $3$. Penser à essayer plusieurs valeurs avant de généraliser.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester quelques valeurs ($n = 1, 2, 3$) avant de conclure : remarquer que parmi deux entiers consécutifs, l'un est toujours pair.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
Solutions entières d’équations
Trouver tous les entiers naturels $ m $ et $ n $ tels que $ m^{2} - n^{2}=24 $
L'équation $ m^{2} - n^{2}=24 $ peut s'écrire $ \left(m - n\right)\left(m+n\right)=24 $.
Cela entraîne que $ m - n $ et $ m+n $ divisent $ 24 $.
Or les diviseurs de $ 24 $ sont $ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 $.
- Si $ m - n=1 $ et $ m+n=24 $ alors, en additionnant membre à membre ces deux égalités, $ 2m=25 $. Cette équation n'a pas de solution dans $ \mathbb{N} $
- Si $ m - n=2 $ et $ m+n=12 $ alors $ 2m=14 $ donc $ m=7 $ et $ n=12 - m=5 $. Le couple $ \left(m ; n\right) = \left(7 ; 5\right) $ est donc une solution.
- Si $ m - n=3 $ et $ m+n=8 $ alors $ 2m=11 $ qui n'a pas de solution dans $ \mathbb{N} $
- Si $ m - n=4 $ et $ m+n=6 $ alors $ 2m=10 $ donc $ m=5 $ et $ n=6 - m=1 $. Le couple $ \left(m ; n\right) = \left(5 ; 1\right) $ est donc une solution.
- Les autres possibilités ne peuvent fournir de solutions puisque, $ m $ et $ n $ étant des entiers naturels, $ m+n $ doit être supérieur à $ m - n $.
Finalement, les couples d'entiers naturels $ \left(m ; n\right) $ tels que $ m^{2} - n^{2}=24 $ sont $ \left(7 ; 5\right) $ et $ \left(5 ; 1\right) $.
