QCM Bilan : Divisibilité et nombres premiers
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : critères de divisibilité, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers et fractions irréductibles. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]
[etape]
Quelle est la forme irréductible de $\dfrac{72}{108}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{8}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{6}{9}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$72 = 2^3 \times 3^2$ et $108 = 2^2 \times 3^3$. On simplifie : $\dfrac{72}{108} = \dfrac{2^3 \times 3^2}{2^2 \times 3^3} = \dfrac{2}{3}$. La fraction $\dfrac{2}{3}$ est irréductible ($2$ et $3$ premiers entre eux).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{8}{12}$"]Non.
Tu as simplifié par $9$ ($72 \div 9 = 8$, $108 \div 9 = 12$), mais $\dfrac{8}{12}$ n'est pas encore irréductible : $8$ et $12$ ont $4$ comme diviseur commun.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6}{9}$"]Non.
Tu as divisé par $12$, mais $\dfrac{6}{9}$ n'est pas encore irréductible : $6$ et $9$ ont $3$ comme diviseur commun. Continuer.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{6}$"]Non.
Tu as divisé par $18$, mais $\dfrac{4}{6}$ n'est pas encore irréductible : $4$ et $6$ ont $2$ comme diviseur commun.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposer en facteurs premiers : $72 = 2^3 \times 3^2$, $108 = 2^2 \times 3^3$. La forme irréductible est $\dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Parmi ces fractions, laquelle est égale à $\dfrac{18}{30}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{6}{12}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{15}{25}$[/option]
[option]$\dfrac{9}{20}$[/option]
[option]$\dfrac{12}{18}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$ après simplification par $6$. Et $\dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}$ après simplification par $5$. Les deux fractions ont la même forme irréductible.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6}{12}$"]Non.
$\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$, ce qui est différent de $\dfrac{3}{5}$. Vérifier en simplifiant la proposition : $6$ et $12$ ont $6$ comme diviseur commun.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{9}{20}$"]Non.
$\dfrac{9}{20}$ est déjà irréductible et différente de $\dfrac{3}{5}$. Vérifier avec les produits en croix : $18 \times 20 = 360$ mais $30 \times 9 = 270$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{18}$"]Non.
$\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$, ce qui est différent de $\dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$. Vérifier avec les produits en croix.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$ après simplification. Chercher la fraction qui se simplifie aussi en $\dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Une grille rectangulaire contient $84$ cases en tout, alignées en lignes complètes et identiques. Combien de configurations différentes (en lignes et colonnes) sont possibles, en comptant les configurations symétriques comme distinctes ?
[qcm]
[option]$6$[/option]
[option]$8$[/option]
[option correct="true"]$12$[/option]
[option]$84$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Chaque configuration correspond à un diviseur de $84$. Avec $84 = 2^2 \times 3 \times 7$, le nombre de diviseurs est $(2+1)(1+1)(1+1) = 12$. On obtient les couples $(1, 84)$, $(2, 42)$, $(3, 28)$, $(4, 21)$, $(6, 14)$, $(7, 12)$ et leurs symétriques.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
Tu as compté $6$ couples, mais en comptant les configurations symétriques comme distinctes ($1 \times 84$ et $84 \times 1$), il faut doubler.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
Tu as oublié des diviseurs. Lister tous les diviseurs de $84$ à partir de la décomposition $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.[/reponse]
[reponse motif="$84$"]Non.
$84$ est le nombre de cases, pas le nombre de configurations possibles. Chaque configuration correspond à un diviseur de $84$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le nombre de configurations est égal au nombre de diviseurs de $84$. Avec $84 = 2^2 \times 3 \times 7$, on obtient $3 \times 2 \times 2 = 12$ diviseurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Sachant que $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$, quelle est la forme irréductible de $\dfrac{360}{84}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{10}{2{,}33}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{30}{7}$[/option]
[option]$\dfrac{60}{14}$[/option]
[option]$\dfrac{90}{21}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On simplifie les facteurs communs : $\dfrac{2^3 \times 3^2 \times 5}{2^2 \times 3 \times 7} = \dfrac{2 \times 3 \times 5}{7} = \dfrac{30}{7}$. $30$ et $7$ sont premiers entre eux : la fraction est irréductible.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{10}{2{,}33}$"]Non.
Une fraction irréductible doit avoir un numérateur et un dénominateur entiers. $2{,}33$ n'est pas entier : ce n'est pas une fraction au sens du chapitre.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{60}{14}$"]Non.
$\dfrac{60}{14}$ n'est pas encore irréductible : $60$ et $14$ ont $2$ comme diviseur commun. Continuer la simplification.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{90}{21}$"]Non.
$\dfrac{90}{21}$ n'est pas encore irréductible : $90$ et $21$ ont $3$ comme diviseur commun ($90 = 3 \times 30$, $21 = 3 \times 7$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Simplifier en gardant les facteurs non communs : $\dfrac{2^3 \times 3^2 \times 5}{2^2 \times 3 \times 7} = \dfrac{2 \times 3 \times 5}{7} = \dfrac{30}{7}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Camille pense à un nombre $n$ tel que $n = 2 \times p \times q$, où $p$ et $q$ sont deux nombres premiers distincts différents de $2$. Combien $n$ admet-il de diviseurs ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option]$6$[/option]
[option correct="true"]$8$[/option]
[option]$2 \times p \times q$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La décomposition de $n$ comporte trois facteurs premiers distincts ($2$, $p$, $q$), chacun avec exposant $1$. Le nombre de diviseurs est $(1+1)(1+1)(1+1) = 8$. Diviseurs : $1$, $2$, $p$, $q$, $2p$, $2q$, $pq$, $2pq$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Tu as compté seulement $2$, $p$, $q$. Il faut compter aussi $1$, leurs produits ($2p$, $2q$, $pq$) et $n$ lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
Il manque $1$ et $n$ ($= 2pq$). Penser à inclure les deux extrêmes : tout entier admet $1$ et lui-même comme diviseurs.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times p \times q$"]Non.
Tu as donné le nombre $n$ lui-même, pas son nombre de diviseurs. Le nombre de diviseurs est un entier, pas une expression littérale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Avec trois facteurs premiers distincts d'exposant $1$, on a $(1+1)^3 = 8$ diviseurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On veut partager $84$ bonbons et $126$ chocolats en sachets identiques (chaque sachet contient le même nombre de bonbons, et le même nombre de chocolats). Quel est le plus grand nombre de sachets possible ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$14$[/option]
[option correct="true"]$42$[/option]
[option]$210$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On cherche le plus grand diviseur commun à $84$ et $126$. Avec $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^2 \times 7$, les facteurs communs sont $2 \times 3 \times 7 = 42$. Donc $42$ sachets, contenant chacun $2$ bonbons et $3$ chocolats.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ est un diviseur commun à $84$ et $126$, mais pas le plus grand. On peut faire plus de sachets avec une décomposition complète des facteurs communs.[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
$14 = 2 \times 7$ divise bien $84$ et $126$, mais on peut faire encore mieux. Tu as oublié le facteur $3$ commun aux deux décompositions.[/reponse]
[reponse motif="$210$"]Non.
$210$ ne divise pas $84$ ($210 > 84$). Le nombre de sachets ne peut pas dépasser le plus petit des deux nombres ($84$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le plus grand nombre de sachets est le plus grand diviseur commun à $84$ et $126$. Décomposer pour le trouver : $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^2 \times 7$, donc le plus grand commun vaut $2 \times 3 \times 7 = 42$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
QCM : Décomposition en facteurs premiers
[enonce]
Ce QCM porte sur la décomposition en produit de facteurs premiers. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]
[etape]
Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de $84$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$2^2 \times 3 \times 7$[/option]
[option]$4 \times 21$[/option]
[option]$2 \times 3 \times 14$[/option]
[option]$2^3 \times 3 \times 7$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On divise par les premiers successifs : $84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7$.[/reponse]
[reponse motif="$4 \times 21$"]Non.
Les facteurs $4$ et $21$ ne sont pas premiers ($4 = 2^2$ et $21 = 3 \times 7$). Une décomposition en produit de facteurs premiers ne contient que des nombres premiers.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 3 \times 14$"]Non.
Le facteur $14$ n'est pas premier ($14 = 2 \times 7$). Continuer la division jusqu'à n'obtenir que des nombres premiers.[/reponse]
[reponse motif="$2^3 \times 3 \times 7$"]Non.
Tu as mis un exposant trop grand pour $2$. $2^3 = 8$ et $8 \times 3 \times 7 = 168$, pas $84$. Vérifier en recomptant les facteurs $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 7$, soit $2^2 \times 3 \times 7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de $200$ ?
[qcm]
[option]$2 \times 100$[/option]
[option correct="true"]$2^3 \times 5^2$[/option]
[option]$2^2 \times 5^3$[/option]
[option]$4 \times 50$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$200 = 2 \times 100 = 2 \times 2 \times 50 = 2 \times 2 \times 2 \times 25 = 2^3 \times 5^2$. Trois facteurs $2$ et deux facteurs $5$.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 100$"]Non.
Le facteur $100$ n'est pas premier ($100 = 2^2 \times 5^2$). Une décomposition en produit de premiers ne contient que des nombres premiers.[/reponse]
[reponse motif="$2^2 \times 5^3$"]Non.
Tu as inversé les exposants. $2^2 \times 5^3 = 4 \times 125 = 500$, pas $200$. Recompter : combien de fois $2$ et combien de fois $5$ ?[/reponse]
[reponse motif="$4 \times 50$"]Non.
$4$ et $50$ ne sont pas premiers ($4 = 2^2$ et $50 = 2 \times 5^2$). Continuer la décomposition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$200 = 8 \times 25 = 2^3 \times 5^2$. Trois facteurs $2$ et deux facteurs $5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Si $n = 2^4 \times 3 \times 5$, combien vaut $n$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$240$[/option]
[option]$120$[/option]
[option]$60$[/option]
[option]$480$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$2^4 = 16$, donc $n = 16 \times 3 \times 5 = 16 \times 15 = 240$.[/reponse]
[reponse motif="$120$"]Non.
Tu as calculé $2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 15 = 120$. Or l'exposant est $4$, pas $3$ : $2^4 = 16$.[/reponse]
[reponse motif="$60$"]Non.
Tu as calculé $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 15 = 60$. L'exposant est $4$ : $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.[/reponse]
[reponse motif="$480$"]Non.
$480 = 2^5 \times 3 \times 5$. Tu as un facteur $2$ en trop. Recompter : $2^4 = 16$, et $16 \times 3 \times 5 = 240$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$2^4 = 16$, et $n = 16 \times 3 \times 5 = 240$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Combien de diviseurs (positifs) le nombre $98 = 2 \times 7^2$ admet-il au total ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$5$[/option]
[option correct="true"]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les diviseurs de $98$ sont : $1$, $2$, $7$, $14$, $49$, $98$. Cela fait $6$ diviseurs au total.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Tu as donné les facteurs premiers ($1$, $2$, $7$). Mais $1$ ne compte pas comme premier, et il y a aussi des produits de ces facteurs ($14$, $49$, $98$).[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Tu as oublié certains diviseurs comme $14$ ou $49$. Lister systématiquement : $1$, $2$, $7$, $2 \times 7 = 14$, $7^2 = 49$, $2 \times 7^2 = 98$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Il en manque un. Penser à $1$ et au nombre lui-même $98$, puis aux produits intermédiaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister tous les diviseurs en combinant les facteurs : $1$, $2$, $7$, $14$, $49$, $98$. Total : $6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Sachant que $a = 2^3 \times 3$ et $b = 2 \times 3^2 \times 5$, quel est un diviseur commun à $a$ et $b$ ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option]$8$[/option]
[option correct="true"]$6$[/option]
[option]$15$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$6 = 2 \times 3$ : ces deux facteurs apparaissent dans $a$ ($2^3 \times 3$) et dans $b$ ($2 \times 3^2 \times 5$). Donc $6$ divise à la fois $a$ et $b$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5$ apparaît dans $b$ mais pas dans $a$ ($a = 2^3 \times 3$ n'a pas de facteur $5$). Donc $5$ ne divise pas $a$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8 = 2^3$ apparaît dans $a$, mais $b = 2 \times 3^2 \times 5$ n'a qu'un seul facteur $2$. Donc $8$ ne divise pas $b$.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15 = 3 \times 5$ ne divise pas $a$ car $a$ n'a pas de facteur $5$. Pour qu'un diviseur soit commun, il doit utiliser uniquement des facteurs présents dans les deux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un diviseur commun n'utilise que les facteurs premiers qui apparaissent dans les deux décompositions. Ici, $2$ et $3$ sont communs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quel est le plus petit entier supérieur à $1$ par lequel diviser pour décomposer $1\,001$ ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[option]$5$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$1\,001$ est impair (non divisible par $2$), $1+0+0+1 = 2$ (non divisible par $3$), ne finit pas par $0$ ou $5$ (non divisible par $5$). On teste $7$ : $1\,001 = 7 \times 143$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$1\,001$ est impair, donc non divisible par $2$. Tester le premier suivant.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
La somme des chiffres vaut $1 + 0 + 0 + 1 = 2$, pas un multiple de $3$. Donc $1\,001$ n'est pas divisible par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$1\,001$ se termine par $1$, donc il n'est pas divisible par $5$. Tester le premier suivant après $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$1\,001$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$. Le premier diviseur premier est $7$ : $1\,001 = 7 \times 11 \times 13$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
