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Conversion entre degrés et radians

  1. Convertir les angles suivants des degrés vers les radians.

    1. $ 60^{\circ} $
    2. $ 135^{\circ} $
    3. $ 210^{\circ} $
    4. $ 300^{\circ} $

    Convertir les angles suivants des radians vers les degrés.

    1. $ \dfrac{\pi}{9} $
    2. $ \dfrac{5\pi}{6} $
    3. $ \dfrac{4\pi}{3} $
    4. $ \dfrac{11\pi}{12} $

Corrigé

Les mesures en degrés et en radians d'un même angle sont proportionnelles : $ 180^{\circ} $ correspond à $ \pi $ radians. On applique donc un produit en croix à partir de la relation $ \dfrac{\alpha_{\text{rad}}}{\pi}=\dfrac{\alpha_{\text{deg}}}{180} $.

  1. Pour passer des degrés aux radians, on utilise $ \alpha_{\text{rad}}=\dfrac{\alpha_{\text{deg}}\times\pi}{180} $.

    1. $ \alpha_{\text{rad}}=\dfrac{60\times\pi}{180}=\dfrac{60\pi}{180} $. En simplifiant par $ 60 $, on obtient $\mathbf{\dfrac{\pi}{3}}$.
    2. $ \alpha_{\text{rad}}=\dfrac{135\times\pi}{180}=\dfrac{135\pi}{180} $. En simplifiant par $ 45 $, on obtient $\mathbf{\dfrac{3\pi}{4}}$.
    3. $ \alpha_{\text{rad}}=\dfrac{210\times\pi}{180}=\dfrac{210\pi}{180} $. En simplifiant par $ 30 $, on obtient $\mathbf{\dfrac{7\pi}{6}}$.
    4. $ \alpha_{\text{rad}}=\dfrac{300\times\pi}{180}=\dfrac{300\pi}{180} $. En simplifiant par $ 60 $, on obtient $\mathbf{\dfrac{5\pi}{3}}$.

    Pour passer des radians aux degrés, on utilise $ \alpha_{\text{deg}}=\dfrac{\alpha_{\text{rad}}\times 180}{\pi} $.

    1. $ \alpha_{\text{deg}}=\dfrac{\dfrac{\pi}{9}\times 180}{\pi}=\dfrac{180}{9} $. La division donne $\mathbf{20^{\circ}}$.
    2. $ \alpha_{\text{deg}}=\dfrac{\dfrac{5\pi}{6}\times 180}{\pi}=\dfrac{5\times 180}{6}=\dfrac{900}{6} $. La division donne $\mathbf{150^{\circ}}$.
    3. $ \alpha_{\text{deg}}=\dfrac{\dfrac{4\pi}{3}\times 180}{\pi}=\dfrac{4\times 180}{3}=\dfrac{720}{3} $. La division donne $\mathbf{240^{\circ}}$.
    4. $ \alpha_{\text{deg}}=\dfrac{\dfrac{11\pi}{12}\times 180}{\pi}=\dfrac{11\times 180}{12}=\dfrac{1980}{12} $. La division donne $\mathbf{165^{\circ}}$.

QCM Bilan : Trigonométrie

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : cercle trigonométrique, valeurs remarquables, conversions degrés-radians et mesure principale. Choisissez la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On considère le point image du réel $\dfrac{2\pi}{3}$ sur le cercle trigonométrique.
Quelles sont ses coordonnées ?
[qcm]
[option]$\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$[/option]
[option correct="true"]$\left(-\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$[/option]
[option]$\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$[/option]
[option]$\left(-\dfrac{1}{2}\,;-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le réel $\dfrac{2\pi}{3}$ a pour image un point du deuxième quadrant. Ses coordonnées sont $\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}\,;\sin\dfrac{2\pi}{3}\right) = \left(-\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.[/reponse]
[reponse motif="$\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$"]Non.
Le point image se trouve dans le deuxième quadrant : son abscisse ne peut pas être positive. Repérer le signe du cosinus selon le quadrant.[/reponse]
[reponse motif="$\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$"]Non.
Attention à ne pas intervertir abscisse et ordonnée : la première coordonnée est le cosinus, la seconde le sinus. Reprendre les valeurs de $\cos\dfrac{2\pi}{3}$ et $\sin\dfrac{2\pi}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\left(-\dfrac{1}{2}\,;-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$"]Non.
Le réel $\dfrac{2\pi}{3}$ correspond à un point situé au-dessus de l'axe des abscisses : son ordonnée doit être positive. Vérifier le signe du sinus dans ce quadrant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le point image de $\dfrac{2\pi}{3}$ appartient au deuxième quadrant : abscisse négative, ordonnée positive. Placer l'angle sur le cercle pour retrouver les bons signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}{6}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La valeur remarquable est $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, à associer à $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Cette valeur est celle du sinus de $\dfrac{\pi}{6}$, pas de son cosinus. Pour un angle proche de $0$, le cosinus est grand et le sinus petit : situer $\dfrac{\pi}{6}$ sur le cercle.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$"]Non.
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est le cosinus de $\dfrac{\pi}{4}$, un autre angle remarquable. Bien distinguer $\dfrac{\pi}{6}$ de $\dfrac{\pi}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$"]Non.
Cette valeur n'est ni un cosinus ni un sinus remarquable. Revoir le tableau des valeurs de cosinus pour $\dfrac{\pi}{6}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{\pi}{6}$ est un petit angle : son cosinus est la plus grande des valeurs remarquables. Consulter le tableau des cosinus de $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la mesure en radians d'un angle de $135^{\circ}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3\pi}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{2\pi}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3\pi}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{5\pi}{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On applique $\alpha_{\text{rad}} = \dfrac{\alpha_{\text{deg}} \times \pi}{180} = \dfrac{135\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}$ après simplification par $45$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3\pi}{2}$"]Non.
$\dfrac{3\pi}{2}$ correspond à $270^{\circ}$, soit un angle bien plus grand. Reprendre la fraction $\dfrac{135}{180}$ et la simplifier complètement.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2\pi}{3}$"]Non.
$\dfrac{2\pi}{3}$ est la mesure de $120^{\circ}$, pas de $135^{\circ}$. Appliquer la formule avec exactement $135$ au numérateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5\pi}{6}$"]Non.
$\dfrac{5\pi}{6}$ correspond à $150^{\circ}$. Vérifier la simplification de $\dfrac{135}{180}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la proportionnalité entre degrés et radians, puis simplifier la fraction $\dfrac{135}{180}$ par leur diviseur commun.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la mesure en degrés d'un angle de $\dfrac{5\pi}{6}$ radians ?
[qcm]
[option]$120^{\circ}$[/option]
[option correct="true"]$150^{\circ}$[/option]
[option]$75^{\circ}$[/option]
[option]$30^{\circ}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On applique $\alpha_{\text{deg}} = \dfrac{\alpha_{\text{rad}} \times 180}{\pi} = \dfrac{5\pi \times 180}{6 \times \pi} = \dfrac{5 \times 180}{6} = 150$.[/reponse]
[reponse motif="$120^{\circ}$"]Non.
$120^{\circ}$ correspond à $\dfrac{2\pi}{3}$, pas à $\dfrac{5\pi}{6}$. Reprendre le calcul en remplaçant $\alpha_{\text{rad}}$ par $\dfrac{5\pi}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$75^{\circ}$"]Non.
Ce résultat revient à diviser $150$ par $2$ : une étape de trop. Vérifier le calcul $\dfrac{5 \times 180}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$30^{\circ}$"]Non.
$30^{\circ}$ correspond à $\dfrac{\pi}{6}$ : le facteur $5$ du numérateur a été oublié. Bien conserver le coefficient devant $\pi$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier la mesure en radians par $\dfrac{180}{\pi}$, puis simplifier par $\pi$ avant d'effectuer la division.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un angle orienté admet pour mesure $\dfrac{29\pi}{6}$.
Quelle est sa mesure principale ?
[qcm]
[option]$\dfrac{29\pi}{6}$[/option]
[option]$\dfrac{17\pi}{6}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{5\pi}{6}$[/option]
[option]$-\dfrac{7\pi}{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On retranche des tours complets : $\dfrac{29\pi}{6} - 4\pi = \dfrac{29\pi}{6} - \dfrac{24\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$, qui appartient bien à $\left]-\pi\,;\pi\right]$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{29\pi}{6}$"]Non.
La mesure principale doit appartenir à $\left]-\pi\,;\pi\right]$, or $\dfrac{29\pi}{6}$ est très supérieure à $\pi$. Retrancher un ou plusieurs tours complets.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{17\pi}{6}$"]Non.
Un seul tour a été retiré ($\dfrac{29\pi}{6} - 2\pi$), mais $\dfrac{17\pi}{6}$ dépasse encore $\pi$. Poursuivre en retranchant un autre $2\pi$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{7\pi}{6}$"]Non.
Cette valeur sort de l'intervalle car $-\dfrac{7\pi}{6}$ est inférieur à $-\pi$ : un tour de trop a été retranché. Ajuster le nombre de tours pour rester dans $\left]-\pi\,;\pi\right]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Ajouter ou retrancher $2\pi = \dfrac{12\pi}{6}$ autant de fois que nécessaire pour que le résultat tombe dans $\left]-\pi\,;\pi\right]$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le point image du réel $\dfrac{4\pi}{3}$ se situe dans le troisième quadrant du cercle trigonométrique.
Que peut-on dire des signes de son cosinus et de son sinus ?
[qcm]
[option]$\cos\dfrac{4\pi}{3} > 0$ et $\sin\dfrac{4\pi}{3} > 0$[/option]
[option]$\cos\dfrac{4\pi}{3} > 0$ et $\sin\dfrac{4\pi}{3} < 0$[/option]
[option correct="true"]$\cos\dfrac{4\pi}{3} < 0$ et $\sin\dfrac{4\pi}{3} < 0$[/option]
[option]$\cos\dfrac{4\pi}{3} < 0$ et $\sin\dfrac{4\pi}{3} > 0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans le troisième quadrant, l'abscisse et l'ordonnée du point image sont toutes deux négatives : $\cos\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} < 0$ et $\sin\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} < 0$.[/reponse]
[reponse motif="$\cos\dfrac{4\pi}{3} > 0$ et $\sin\dfrac{4\pi}{3} > 0$"]Non.
Des signes tous deux positifs correspondent au premier quadrant. Repérer où se trouve le point image dans le troisième quadrant.[/reponse]
[reponse motif="$\cos\dfrac{4\pi}{3} > 0$ et $\sin\dfrac{4\pi}{3} < 0$"]Non.
Ces signes décrivent le quatrième quadrant. Observer la position de l'abscisse du point dans le troisième quadrant.[/reponse]
[reponse motif="$\cos\dfrac{4\pi}{3} < 0$ et $\sin\dfrac{4\pi}{3} > 0$"]Non.
Ces signes correspondent au deuxième quadrant. Vérifier le signe de l'ordonnée pour un point du troisième quadrant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans le troisième quadrant, le point image est à gauche de l'axe des ordonnées et en dessous de l'axe des abscisses. En déduire les signes de l'abscisse et de l'ordonnée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]