[enonce]
$ABCD$ est un rectangle de centre $I$ (intersection des diagonales).

On cherche à simplifier plusieurs sommes de vecteurs en utilisant les propriétés de ce rectangle.
[/enonce]

[etape]
Simplifier $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.
[qcm]
[option correct="true"]$\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$\overrightarrow{BD}$[/option]
[option]$2\overrightarrow{AI}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$ABCD$ est un rectangle donc c'est un parallélogramme. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ ont la même origine $A$ : par la règle du parallélogramme, leur somme est la diagonale $\overrightarrow{AC}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{BD}$"]Attention, la règle du parallélogramme donne la diagonale qui part de l'origine commune des deux vecteurs.
L'origine commune est $A$, pas $B$.[/reponse]
[reponse motif="$2\overrightarrow{AI}$"]C'est vrai que $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}$, mais ce n'est pas la forme la plus simple.
Quel vecteur obtient-on directement par la règle du parallélogramme ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Simplifier $\overrightarrow{DI} + \overrightarrow{IC}$.
$\overrightarrow{DI} + \overrightarrow{IC} =$ [[s1]]
[math id="s1" attendu="\overrightarrow{DC}"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'extrémité du premier vecteur ($I$) est l'origine du second ($I$) : on applique directement la relation de Chasles.
$\overrightarrow{DI} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{DC}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{CD}"]Attention à l'ordre des lettres. La relation de Chasles donne $\overrightarrow{D \ldots} + \overrightarrow{\ldots C} = \overrightarrow{DC}$, pas $\overrightarrow{CD}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Observer les lettres : l'extrémité du premier vecteur correspond-elle à l'origine du second ?[/reponse]
[aide essai="2"]La relation de Chasles : $\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} = \overrightarrow{XZ}$. Identifier $X$, $Y$ et $Z$.[/aide]
[aide essai="3"]Ici $X = D$, $Y = I$, $Z = C$. Appliquer la formule.[/aide]
[/math]
[solution]Par la relation de Chasles : $\overrightarrow{DI} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{DC}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Simplifier $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} =$ [[s2]]
[math id="s2" attendu="\overrightarrow{BD}"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ ont la même origine $B$. Par la règle du parallélogramme dans $ABCD$, leur somme est $\overrightarrow{BD}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{AC}"]La règle du parallélogramme donne la diagonale issue de l'origine commune, ici $B$.
Le résultat est un vecteur partant de $B$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{DB}"]Attention au sens. La diagonale part de l'origine commune $B$, elle ne va pas vers $B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les deux vecteurs ont la même origine $B$. Appliquer la règle du parallélogramme.[/reponse]
[aide essai="2"]$\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont deux côtés du rectangle partant de $B$. Quelle diagonale part aussi de $B$ ?[/aide]
[aide essai="3"]La règle du parallélogramme : la somme de deux vecteurs de même origine est le vecteur diagonale issu de cette origine.[/aide]
[/math]
[solution]$\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ ont la même origine $B$. Par la règle du parallélogramme : $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Simplifier $\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BC} =$ [[s3]]
[math id="s3" attendu="\overrightarrow{AC}"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On applique la relation de Chasles deux fois :
$\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AB}$, puis $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{AB}"]Ce n'est que la première simplification. Il reste à ajouter $\overrightarrow{BC}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Commencer par regrouper les deux premiers vecteurs en utilisant Chasles, puis continuer avec le troisième.[/reponse]
[aide essai="2"]$\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}$ se simplifie par Chasles. Ensuite, ajouter $\overrightarrow{BC}$ au résultat.[/aide]
[aide essai="3"]$\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AB}$. Il reste $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.[/aide]
[/math]
[solution]$\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ (deux applications de Chasles).[/solution]
[/etape]

[etape]
Simplifier $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}$.
$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} =$ [[s4]]
[math id="s4" attendu="\overrightarrow{0}"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$I$ est le centre du rectangle, donc le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$.
On a $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$, d'où $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$.[/reponse]
[reponse motif="0"]Attention à la notation : le vecteur nul s'écrit $\overrightarrow{0}$, pas $0$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{AC}"]Il ne faut pas additionner les vecteurs dans cet ordre. Regrouper les paires de vecteurs opposés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le centre d'un rectangle est le milieu des deux diagonales. Utiliser la propriété du milieu pour regrouper les vecteurs par paires.[/reponse]
[aide essai="2"]$I$ est le milieu de $[AC]$, donc $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$. $I$ est aussi le milieu de $[BD]$.[/aide]
[aide essai="3"]$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$. Additionner ces deux résultats.[/aide]
[/math]
[solution]$I$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$, donc :
$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$.
D'où : $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$.[/solution]
[/etape]