Construire un parallélogramme

Construire un parallélogramme à partir de ses diagonales

On souhaite construire le parallélogramme $ RUBI $ dont les diagonales $ [RB] $ et $ [UI] $ se coupent en $ O $. On donne :
$ RB = 8 $ cm, $ UI = 6 $ cm et $ \widehat{BOI} = 110° $.

Faire une figure à main levée du parallélogramme $ RUBI $ et y placer le point $ O $ ainsi que les trois données de l'énoncé.
Construire le parallélogramme $ RUBI $ en vraie grandeur, en décrivant les étapes utilisées.
Mesurer les longueurs $ RU $ et $ UB $ sur la figure. Que peut-on conclure pour $ IB $ et $ RI $ ? Justifier sans mesurer.

Corrigé

Figure à main levée :

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Donc $ O $ est le milieu de $ [RB] $ et le milieu de $ [UI] $ : on a $ OR = OB = \dfrac{8}{2} = 4 $ cm et $ OU = OI = \dfrac{6}{2} = 3 $ cm.
Étape 1. Tracer le segment $ [RB] $ de longueur $ 8 $ cm. Placer $ O $, milieu de $ [RB] $, à $ 4 $ cm de $ R $.

Étape 2. Au point $ O $, tracer au rapporteur une demi-droite formant un angle de $ 110° $ avec la demi-droite $ [OB) $. Sur cette demi-droite, placer le point $ I $ à $ 3 $ cm de $ O $.

Étape 3. Tracer la demi-droite opposée à $ [OI) $ (en prolongeant la droite $ (OI) $ de l'autre côté de $ O $). Placer le point $ U $ sur cette demi-droite à $ 3 $ cm de $ O $ : ainsi $ O $ est bien le milieu de $ [UI] $.

Étape 4. Tracer les segments $ [RU] $, $ [UB] $, $ [BI] $ et $ [IR] $.
Sur la figure tracée précisément, on mesure $ RU \approx 5{,}8 $ cm et $ UB \approx 4{,}1 $ cm.

Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Or $ [RU] $ et $ [IB] $ sont des côtés opposés (de même que $ [UB] $ et $ [RI] $). On a donc, sans mesurer :
$ IB = RU \approx $ $ 5{,}8 $ cm et $ RI = UB \approx $ $ 4{,}1 $ cm.

Construire un parallélogramme avec deux côtés et un angle

On souhaite construire le parallélogramme $ PLAN $ tel que :
$ PL = 5{,}5 $ cm, $ LA = 4 $ cm et $ \widehat{PLA} = 70° $.

Faire une figure à main levée du parallélogramme $ PLAN $ et y reporter les trois données.
Construire le parallélogramme $ PLAN $ en vraie grandeur. Décrire les étapes utilisées.
Tracer les deux diagonales $ [PA] $ et $ [LN] $. Elles se coupent en un point que l'on note $ O $.
Mesurer la longueur $ PA $ sur la figure, puis donner sans la mesurer la longueur $ PO $. Justifier.

Corrigé

Figure à main levée :
Étape 1. Tracer le segment $ [PL] $ de longueur $ 5{,}5 $ cm.

Étape 2. Au point $ L $, à l'aide du rapporteur, tracer une demi-droite formant un angle de $ 70° $ avec $ [LP] $. Sur cette demi-droite, placer le point $ A $ à $ 4 $ cm de $ L $.

Étape 3. Pour placer $ N $, on utilise la propriété « les côtés opposés d'un parallélogramme sont de même longueur » : donc $ NA = PL = 5{,}5 $ cm et $ PN = LA = 4 $ cm.
Avec le compas, tracer un arc de cercle de centre $ A $ et de rayon $ 5{,}5 $ cm, puis un arc de cercle de centre $ P $ et de rayon $ 4 $ cm. Le point $ N $ est à l'intersection des deux arcs (du même côté que $ A $).

Étape 4. Tracer les segments $ [AN] $ et $ [NP] $.
Sur la figure tracée précisément, on mesure $ PA \approx 5{,}6 $ cm.

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu : $ O $ est donc le milieu de $ [PA] $. On en déduit :
$ PO = \dfrac{PA}{2} \approx \dfrac{5{,}6}{2} $ = $ 2{,}8 $ cm.