Construire l’image d’un point par une homothétie

[enonce]
Dans le repère ci-dessous, on a tracé le triangle $ABC$ et le point $O$, origine du repère.
Les sommets ont pour coordonnées $A(1\,;1)$, $B(3\,;1)$ et $C(1\,;2)$.

Repère quadrillé avec l'origine O et le triangle ABC de sommets A(1;1), B(3;1), C(1;2)

On souhaite construire l'image du triangle $ABC$ par deux homothéties de centre $O$ : d'abord une homothétie de rapport $k = 2$, puis une homothétie de rapport $k = -1$.
[/enonce]

[etape]
On note $A'B'C'$ l'image de $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$.
Donner les coordonnées du point $A'$, image de $A$ : $A'$ [[ap]]
[math id="ap" attendu="(2;2)" compare="tuple"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le centre $O$ est l'origine du repère, donc on multiplie chaque coordonnée de $A$ par $k = 2$ : $A'(2 \times 1\,;2 \times 1) = A'(2\,;2)$.[/reponse]
[reponse motif="(3;3)"]On n'ajoute pas $2$ aux coordonnées : avec une homothétie de centre $O$, chaque coordonnée est multipliée par $k$.[/reponse]
[reponse motif="(2;1)"]Les deux coordonnées sont concernées par le rapport, pas seulement l'abscisse. Reprendre le calcul pour l'ordonnée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le centre étant l'origine, chaque coordonnée du point se transforme à l'aide du rapport $k$.[/reponse]
[aide essai="2"]Quand le centre d'une homothétie est l'origine $O$, on multiplie les deux coordonnées du point par le rapport $k$.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $2 \times 1$ pour l'abscisse, puis $2 \times 1$ pour l'ordonnée.[/aide]
[/math]
[solution]
Comme $O$ est l'origine, $A'(2 \times 1\,;2 \times 1) = A'(2\,;2)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Donner les coordonnées du point $B'$, image de $B$ : $B'$ [[bp]]
[math id="bp" attendu="(6;2)" compare="tuple"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On applique la même règle : $B'(2 \times 3\,;2 \times 1) = B'(6\,;2)$.[/reponse]
[reponse motif="(5;3)"]On ne décale pas $B$ de $2$ carreaux : il faut multiplier chacune de ses coordonnées par le rapport.[/reponse]
[reponse motif="(2;6)"]Attention à l'ordre : la première coordonnée est l'abscisse de $B$, la seconde son ordonnée. Ne pas les intervertir.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Même méthode qu'au point $A$ : multiplier chaque coordonnée de $B$ par $k$.[/reponse]
[aide essai="2"]Reprendre la méthode utilisée pour $A'$, en partant des coordonnées de $B$.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $2 \times 3$ pour l'abscisse, puis $2 \times 1$ pour l'ordonnée.[/aide]
[/math]
[solution]
$B'(2 \times 3\,;2 \times 1) = B'(6\,;2)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour ce rapport $k = 2$, comment qualifier la transformation du triangle ?
[qcm]
[option correct="true"]Un agrandissement[/option]
[option]Une réduction[/option]
[option]Ni l'un ni l'autre : la taille est conservée[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Comme $|k| = 2 > 1$, l'image est plus grande que la figure de départ : c'est un agrandissement.[/reponse]
[reponse motif="Une réduction"]Une réduction correspond à $|k| < 1$. Ici comparer $|k|$ à $1$ pour conclure.[/reponse]
[reponse motif="Ni l'un ni l'autre : la taille est conservée"]La taille n'est conservée que lorsque $|k| = 1$. Regarder si $|k|$ est supérieur ou inférieur à $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On note maintenant $A''B''C''$ l'image de $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = -1$.
Donner les coordonnées du point $A''$, image de $A$ : $A''$ [[as]]
[math id="as" attendu="(-1;-1)" compare="tuple"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On multiplie chaque coordonnée de $A$ par $-1$ : $A''(-1 \times 1\,;-1 \times 1) = A''(-1\,;-1)$.[/reponse]
[reponse motif="(1;1)"]Le rapport est négatif : le signe de chaque coordonnée doit changer. $A''$ ne peut pas être confondu avec $A$.[/reponse]
[reponse motif="(-1;1)"]Les deux coordonnées sont multipliées par le rapport, donc toutes les deux changent de signe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Avec un centre à l'origine, on multiplie encore chaque coordonnée par $k$, mais ici $k$ est négatif.[/reponse]
[aide essai="2"]La méthode reste la même : multiplier chaque coordonnée par $k$. Penser à l'effet du signe « moins ».[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $-1 \times 1$ pour l'abscisse, puis $-1 \times 1$ pour l'ordonnée.[/aide]
[/math]
[solution]
$A''(-1 \times 1\,;-1 \times 1) = A''(-1\,;-1)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Par rapport à la figure de départ, où se trouve le triangle image $A''B''C''$ ?
[qcm]
[option]Du même côté de $O$, mais plus loin[/option]
[option correct="true"]De l'autre côté de $O$, comme retourné par un demi-tour[/option]
[option]Confondu avec le triangle $ABC$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour $k = -1$, l'homothétie est la symétrie de centre $O$ : chaque point image est le symétrique du point de départ par rapport à $O$, qui passe donc de l'autre côté du centre.[/reponse]
[reponse motif="Du même côté de O, mais plus loin"]Un point image du même côté que le point de départ correspondrait à un rapport positif. Observer le signe de $k$.[/reponse]
[reponse motif="Confondu avec le triangle ABC"]Le triangle ne reste à sa place que si $k = 1$. Ici comparer la valeur de $k$ à $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour finir la construction, donner les coordonnées du point $C''$, image de $C$ : $C''$ [[cs]]
[math id="cs" attendu="(-1;-2)" compare="tuple"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$C''(-1 \times 1\,;-1 \times 2) = C''(-1\,;-2)$. Le triangle $A''B''C''$ est bien le symétrique de $ABC$ par rapport à $O$.[/reponse]
[reponse motif="(1;2)"]Le rapport négatif change le signe des deux coordonnées : le point image ne peut pas avoir les mêmes coordonnées que $C$.[/reponse]
[reponse motif="(-2;-1)"]Attention à l'ordre des coordonnées : l'abscisse de $C$ vaut $1$ et son ordonnée vaut $2$. Les multiplier dans cet ordre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Reprendre la méthode du point $A''$ en partant cette fois des coordonnées de $C$.[/reponse]
[aide essai="2"]Multiplier chaque coordonnée de $C$ par $k = -1$.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $-1 \times 1$ pour l'abscisse, puis $-1 \times 2$ pour l'ordonnée.[/aide]
[/math]
[solution]
$C''(-1 \times 1\,;-1 \times 2) = C''(-1\,;-2)$.
[/solution]
[/etape]

Deux droites $(d)$ et $(d')$ se coupent en un point $O$ situé en dehors de la feuille. On place un point $M$ sur la feuille.

L'objectif est de tracer la droite $(OM)$ sans sortir de la feuille.

Deux droites d et d-prime convergentes vers un point O hors de la feuille, avec un point M sur la feuille

Placer deux points $A$ et $B$ sur la droite $(d)$. Construire le milieu $A'$ du segment $[MA]$ et le milieu $B'$ du segment $[MB]$. Tracer la droite $(A'B')$.
Quelle est la transformation du plan qui envoie $A$ sur $A'$ et $B$ sur $B'$ ? Préciser son centre et son rapport.
Justifier que la droite $(A'B')$ est parallèle à la droite $(d)$.
De la même façon, placer deux points $C$ et $D$ sur la droite $(d')$. Construire le milieu $C'$ du segment $[MC]$ et le milieu $D'$ du segment $[MD]$. Tracer la droite $(C'D')$.
On appelle $N$ le point d'intersection des droites $(A'B')$ et $(C'D')$.
1. Justifier que $N$ est l'image du point $O$ par la transformation identifiée à la question 2.
2. En déduire que les points $M$, $N$ et $O$ sont alignés.
Expliquer pourquoi la droite $(MN)$ est la droite cherchée.

Corrigé

On place $A$ et $B$ sur $(d)$, on construit les milieux $A'$ et $B'$ à la règle et au compas (ou en mesurant), puis on trace la droite $(A'B')$.
La transformation qui envoie chaque point $P$ sur le milieu du segment $[MP]$ est l'homothétie de centre $M$ et de rapport $k = \dfrac{1}{2}$.
En effet, si $A'$ est le milieu de $[MA]$, alors $MA' = \dfrac{1}{2} \times MA$, et $A'$ est sur le segment $[MA]$ (même côté que $A$ par rapport à $M$).
L'image d'une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.
La droite $(A'B')$ est l'image de la droite $(d)$ par l'homothétie de centre $M$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$, donc $(A'B')$ est parallèle à $(d)$.
On construit de la même façon les milieux $C'$ de $[MC]$ et $D'$ de $[MD]$, puis on trace $(C'D')$. Cette droite est l'image de $(d')$ par la même homothétie, donc $(C'D')$ est parallèle à $(d')$.
1. La droite $(A'B')$ est l'image de $(d)$ et la droite $(C'D')$ est l'image de $(d')$ par l'homothétie de centre $M$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$.
  Le point $O$ est l'intersection de $(d)$ et $(d')$. Son image par l'homothétie appartient à la fois à l'image de $(d)$ et à l'image de $(d')$, c'est-à-dire à $(A'B')$ et à $(C'D')$.
  Donc $N$ est l'image de $O$ par cette homothétie.
2. Par définition d'une homothétie de centre $M$, le centre $M$, tout point et son image sont alignés.
  Puisque $N$ est l'image de $O$ par l'homothétie de centre $M$, les points $M$, $N$ et $O$ sont alignés.
Puisque $M$, $N$ et $O$ sont alignés, la droite $(MN)$ passe par $O$ : c'est la droite $(OM)$ cherchée.

Construire l’image d’une figure par homothétie sur quadrillage

Point d’intersection inaccessible par homothétie

Corrigé