Statistiques : bilan d’un club de musique
Le club de musique d'un collège compte 30 adhérents. Une enquête a été menée auprès de chacun.
Partie A — Instruments pratiqués
L'instrument principal pratiqué par chacun a été relevé.
| Instrument |
Piano |
Guitare |
Violon |
Batterie |
Flûte |
| Effectif |
9 |
12 |
3 |
4 |
2 |
- Calculer la fréquence (en pourcentage) correspondant à chaque instrument. Arrondir au dixième de pourcent si nécessaire.
- Calculer l'angle (en degrés) que devra avoir chaque secteur dans un diagramme circulaire représentant cette série.
- Construire le diagramme circulaire de cette série.
Partie B — Années de pratique
Chaque adhérent a indiqué le nombre d'années depuis lesquelles il pratique la musique. Les 30 réponses ont été regroupées dans le tableau ci-dessous :
| Années |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| Effectif |
4 |
4 |
4 |
5 |
4 |
3 |
3 |
2 |
1 |
- Calculer le nombre moyen d'années de pratique. Arrondir au dixième.
- Déterminer la médiane et l'étendue de cette série.
- La présidente du club affirme : « Plus de la moitié des adhérents pratiquent la musique depuis au moins 4 ans. » A-t-elle raison ? Justifier.
Partie A — Instruments pratiqués
La fréquence d'un instrument est obtenue en divisant son effectif par l'effectif total (30), puis en exprimant le résultat en pourcentage.
Piano : $ \dfrac{9}{30} = 0{,}30 = $ $\mathbf{30\%}$
Guitare : $ \dfrac{12}{30} = 0{,}40 = $ $\mathbf{40\%}$
Violon : $ \dfrac{3}{30} = 0{,}10 = $ $\mathbf{10\%}$
Batterie : $ \dfrac{4}{30} \approx 0{,}133 \approx $ $\mathbf{13{,}3\%}$
Flûte : $ \dfrac{2}{30} \approx 0{,}067 \approx $ $\mathbf{6{,}7\%}$
Vérification : $ 30 + 40 + 10 + 13{,}3 + 6{,}7 = 100 $ ; la somme des fréquences est bien de $ 100\% $.
L'angle d'un secteur se calcule par :
$ \text{angle} = \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360^{\circ} $
Piano : $ \dfrac{9}{30} \times 360 = 108^{\circ} $
Guitare : $ \dfrac{12}{30} \times 360 = 144^{\circ} $
Violon : $ \dfrac{3}{30} \times 360 = 36^{\circ} $
Batterie : $ \dfrac{4}{30} \times 360 = 48^{\circ} $
Flûte : $ \dfrac{2}{30} \times 360 = 24^{\circ} $
Vérification : $ 108 + 144 + 36 + 48 + 24 = 360 $ ; la somme des angles est bien de $ 360^{\circ} $.
On obtient le diagramme circulaire suivant :
Partie B — Années de pratique
On calcule la moyenne pondérée :
$ \bar{x} = \dfrac{1 \times 4 + 2 \times 4 + 3 \times 4 + 4 \times 5 + 5 \times 4 + 6 \times 3 + 7 \times 3 + 8 \times 2 + 9 \times 1}{30} $
$ \bar{x} = \dfrac{4 + 8 + 12 + 20 + 20 + 18 + 21 + 16 + 9}{30} = \dfrac{128}{30} \approx 4{,}3 $
Le nombre moyen d'années de pratique est d'environ 4,3 ans.
L'effectif total est $ N = 30 $ (pair). La médiane est la moyenne des valeurs en positions $ \dfrac{30}{2} = 15 $ et $ \dfrac{30}{2} + 1 = 16 $.
On calcule les effectifs cumulés croissants :
| Années |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| Effectif |
4 |
4 |
4 |
5 |
4 |
3 |
3 |
2 |
1 |
| Eff. cumulé |
4 |
8 |
12 |
17 |
21 |
24 |
27 |
29 |
30 |
L'effectif cumulé atteint 12 à la valeur 3 et passe à 17 à la valeur 4. Les 15e et 16e valeurs valent donc toutes les deux 4.
$ M_e = \dfrac{4 + 4}{2} = 4 $
La médiane est de 4 ans.
L'étendue vaut $ 9 - 1 = 8 $. Elle est de 8 ans.
On compte les adhérents qui pratiquent depuis au moins 4 ans, c'est-à-dire dont la valeur est supérieure ou égale à 4 :
$ 5 + 4 + 3 + 3 + 2 + 1 = 18 $
La fréquence correspondante est :
$ \dfrac{18}{30} = 0{,}6 = 60\% $
Comme $ 60\% > 50\% $, la présidente a raison : 18 adhérents sur 30, soit $ 60\% $, pratiquent la musique depuis au moins 4 ans, ce qui représente bien plus de la moitié.
Statistiques : lecture d’un diagramme circulaire
Un sondage a été réalisé auprès de 240 personnes sur leur sport préféré. Les résultats sont représentés par le diagramme circulaire ci-dessous, sur lequel les angles de chaque secteur sont indiqués.
- Vérifier que la somme des angles est bien égale à $ 360^{\circ} $.
- Déterminer le nombre de personnes correspondant à chaque sport.
- Quel pourcentage des personnes interrogées préfèrent le foot ? Donner le résultat sous forme d'une fraction simplifiée puis sous forme décimale arrondie au dixième de pourcent.
- Vérifier que la somme des effectifs trouvés à la question 2 vaut bien 240.
On additionne les angles :
$ 120 + 60 + 90 + 90 = 360 $
La somme vaut bien $ 360^{\circ} $.
L'effectif d'une catégorie se déduit de l'angle en utilisant la proportionnalité entre angle et effectif :
$ \text{effectif} = \dfrac{\text{angle}}{360} \times \text{effectif total} $
Foot : $ \dfrac{120}{360} \times 240 = \dfrac{1}{3} \times 240 = $ $ 80 $ personnes
Tennis : $ \dfrac{60}{360} \times 240 = \dfrac{1}{6} \times 240 = $ $ 40 $ personnes
Basket : $ \dfrac{90}{360} \times 240 = \dfrac{1}{4} \times 240 = $ $ 60 $ personnes
Autre : $ \dfrac{90}{360} \times 240 = \dfrac{1}{4} \times 240 = $ $ 60 $ personnes
La fréquence des personnes préférant le foot est :
$ f = \dfrac{120}{360} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333 $
Soit environ $\mathbf{33{,}3\%}$ des personnes interrogées.
On vérifie que la somme des effectifs vaut bien le total annoncé :
$ 80 + 40 + 60 + 60 = 240 $
Les effectifs trouvés totalisent bien les 240 personnes interrogées.
Vrai/Faux : Diagrammes et raisonnements
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les diagrammes statistiques et les raisonnements associés, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Dans un diagramme circulaire, la somme des angles de tous les secteurs est égale à $360°$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Un diagramme circulaire représente un disque complet, dont la mesure totale est $360°$. La somme des angles des secteurs vaut donc $360°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Un cercle complet mesure $360°$. Comme les secteurs partitionnent le disque, leurs angles s'additionnent pour redonner $360°$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La somme des angles des secteurs d'un diagramme circulaire vaut toujours $360°$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Sur un diagramme circulaire, un secteur dont la fréquence est $50\%$ a un angle de $50°$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une fréquence de $50\%$ correspond à la moitié du disque, soit un angle de $\dfrac{50}{100} \times 360 = 180°$, et non $50°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre pourcentage et angle.
Pour passer du pourcentage à l'angle, on multiplie par $360°$ et on divise par $100$ : $\dfrac{50}{100} \times 360 = 180°$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Une fréquence de $50\%$ correspond à un angle de $180°$ (la moitié du disque), pas $50°$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Sur un diagramme circulaire, un secteur a un angle de $60°$.
Affirmation : La fréquence correspondante est $\dfrac{1}{6}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On retrouve la fréquence en divisant l'angle par $360°$ :
$\dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour passer de l'angle à la fréquence, on divise l'angle par $360°$ :
$\dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{6}$, ce qui correspond à environ $16{,}7\%$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Dans un diagramme en bâtons, la largeur d'un bâton est proportionnelle à l'effectif de la valeur.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Dans un diagramme en bâtons, c'est la hauteur qui est proportionnelle à l'effectif. Tous les bâtons ont la même largeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre hauteur et largeur.
Dans un diagramme en bâtons, c'est la hauteur de chaque bâton qui est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence). La largeur reste constante.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. C'est la hauteur d'un bâton, et non sa largeur, qui est proportionnelle à l'effectif.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour calculer l'angle d'un secteur d'un diagramme circulaire, on multiplie la fréquence (en pourcentage) par $100$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La formule correcte est : angle $= \dfrac{\text{fréquence en \%}}{100} \times 360$. On multiplie par $360°$, pas par $100$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le facteur $100$ ne donne pas un angle (un cercle entier mesure $360°$).
La formule à utiliser est : angle $= \dfrac{\text{fréquence en \%}}{100} \times 360°$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour obtenir l'angle, on multiplie la fréquence (décimale) par $360°$, ou on utilise $\dfrac{\text{\%}}{100} \times 360°$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On observe la répartition des animaux d'un refuge sur un diagramme circulaire. Le secteur des chats a un angle de $108°$, sur un effectif total de $50$ animaux.
Affirmation : Il y a $15$ chats dans le refuge.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fréquence des chats vaut $\dfrac{108}{360} = 0{,}3$. L'effectif des chats est donc $0{,}3 \times 50 = 15$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On retrouve la fréquence à partir de l'angle : $\dfrac{108}{360} = 0{,}3$.
On retrouve ensuite l'effectif en multipliant la fréquence par l'effectif total : $0{,}3 \times 50 = 15$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. À partir de l'angle, $\dfrac{108}{360} = 0{,}3$, puis $0{,}3 \times 50 = 15$ chats.
[/solution]
[/etape]
QCM Bilan : Statistiques
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : moyenne, médiane, étendue, fréquences et diagrammes circulaires. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Dans un diagramme circulaire représentant les sports préférés d'un groupe d'élèves, une catégorie représente $25\%$ du total.
Quel est l'angle du secteur correspondant ?
[qcm]
[option]$25°$[/option]
[option correct="true"]$90°$[/option]
[option]$270°$[/option]
[option]$0{,}07°$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'angle se calcule en multipliant la fréquence par $360°$ :
$\dfrac{25}{100} \times 360 = 90°$[/reponse]
[reponse motif="$25°$"]Non.
L'angle d'un secteur n'est pas égal au pourcentage. Un cercle complet mesure $360°$, pas $100°$. Il faut convertir avec la formule angle $= \dfrac{\text{fréquence}}{100} \times 360$.[/reponse]
[reponse motif="$270°$"]Non.
$270°$ correspond à l'angle du complémentaire (la partie restante du disque) : $\dfrac{75}{100} \times 360 = 270°$. La question porte sur la catégorie représentant $25\%$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}07°$"]Non.
La formule à utiliser est angle $=$ fréquence $\times 360°$, et non l'inverse. Diviser $25$ par $360$ donne $0{,}07$, un nombre bien trop petit pour être l'angle d'un quart de disque.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule : angle $= \dfrac{\text{fréquence (en \%)}}{100} \times 360$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Sur un diagramme circulaire, un secteur a un angle de $144°$.
Quelle fréquence (en pourcentage) ce secteur représente-t-il ?
[qcm]
[option correct="true"]$40\%$[/option]
[option]$144\%$[/option]
[option]$60\%$[/option]
[option]$36\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On retrouve la fréquence en divisant l'angle par $360°$ :
$\dfrac{144}{360} = 0{,}4 = 40\%$[/reponse]
[reponse motif="$144\%$"]Non.
L'angle et la fréquence en pourcentage ne sont pas la même grandeur. Pour passer de l'angle à la fréquence, diviser par $360°$ puis multiplier par $100$.[/reponse]
[reponse motif="$60\%$"]Non.
$60\%$ correspondrait à l'angle complémentaire : $360 - 144 = 216°$, soit $\dfrac{216}{360} = 60\%$. La question porte sur le secteur de $144°$, pas sur le reste du disque.[/reponse]
[reponse motif="$36\%$"]Non.
Vérifier le calcul : $\dfrac{144}{360}$ ne donne pas $0{,}36$. Refaire la division proprement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fréquence se retrouve à partir de l'angle par : fréquence $= \dfrac{\text{angle}}{360}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Une série de $5$ nombres a une moyenne de $8$. On retire l'un des nombres et la moyenne des $4$ nombres restants devient $9$.
Quelle valeur a-t-on retirée ?
[qcm]
[option]$8$[/option]
[option]$9$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme initiale est $5 \times 8 = 40$. La somme des $4$ nombres restants est $4 \times 9 = 36$. La valeur retirée est donc $40 - 36 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8$ est la moyenne initiale. Si on retirait une valeur égale à la moyenne, la moyenne des autres ne changerait pas. Or ici elle a augmenté.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ est la nouvelle moyenne. Pour que la moyenne augmente après suppression, la valeur retirée doit être inférieure à la moyenne initiale.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Calculer les sommes initiale et finale, puis comparer. La somme initiale est $5 \times 8 = 40$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On calcule la somme initiale ($5 \times 8 = 40$) et la somme finale ($4 \times 9 = 36$). La différence donne la valeur retirée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
La classe des $4$e A compte $25$ élèves de moyenne $12$ au contrôle. La classe des $4$e B compte $30$ élèves de moyenne $10$.
Quelle est la moyenne des deux classes réunies ?
[qcm]
[option]$11$[/option]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]environ $10{,}91$[/option]
[option]$22$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule la somme totale des notes : $25 \times 12 + 30 \times 10 = 300 + 300 = 600$.
L'effectif total est $25 + 30 = 55$. La moyenne globale est :
$\dfrac{600}{55} \approx 10{,}91$[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
$11$ est la moyenne des deux moyennes : $\dfrac{12 + 10}{2}$. Cette méthode est fausse car les classes n'ont pas le même effectif. Il faut faire une moyenne pondérée par les effectifs.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12$ est uniquement la moyenne de la classe $4$e A. La moyenne globale tient compte de toutes les notes des deux classes.[/reponse]
[reponse motif="$22$"]Non.
On n'additionne pas les moyennes. Il faut additionner les sommes de notes ($300 + 300 = 600$) et diviser par l'effectif total ($55$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer la somme totale des notes des deux classes, puis diviser par l'effectif total ($25 + 30$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Une série statistique a une médiane de $15$ et une étendue de $8$. Sa plus petite valeur est $12$.
Quelle est la plus grande valeur de la série ?
[qcm]
[option]$23$[/option]
[option correct="true"]$20$[/option]
[option]$7$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :
plus grande valeur $=$ plus petite valeur $+$ étendue $= 12 + 8 = 20$.[/reponse]
[reponse motif="$23$"]Non.
$23 = 15 + 8$ utilise la médiane à la place de la plus petite valeur. Or l'étendue se calcule à partir des valeurs extrêmes, pas de la médiane.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7 = 15 - 8$ donne une valeur inférieure à la plus petite ($12$), ce qui est incohérent. La plus grande valeur doit être supérieure à la plus petite.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
On ne divise pas l'étendue par $2$. L'étendue est l'écart total entre les deux valeurs extrêmes, pas la moitié de cet écart.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
À partir de l'étendue $=$ max $-$ min, on obtient max $=$ min $+$ étendue.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Une série a $50$ valeurs. Sa médiane est $12$ et sa moyenne est $14$.
On apprend qu'une valeur de la série vaut $100$ (très élevée). Si on retire cette valeur, que se passe-t-il ?
[qcm]
[option correct="true"]La moyenne diminue, la médiane reste presque inchangée.[/option]
[option]La moyenne et la médiane diminuent autant.[/option]
[option]Seule la médiane diminue, la moyenne ne change pas.[/option]
[option]Aucun des deux indicateurs ne change.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : retirer $100$ va sensiblement la faire baisser. La médiane, elle, dépend du rang central : retirer une valeur extrême décale très peu la valeur médiane.[/reponse]
[reponse motif="La moyenne et la médiane diminuent autant."]Non.
Moyenne et médiane n'évoluent pas de la même façon face aux valeurs extrêmes. C'est même l'une des raisons pour lesquelles on utilise les deux indicateurs.[/reponse]
[reponse motif="Seule la médiane diminue, la moyenne ne change pas."]Non.
La moyenne tient compte de toutes les valeurs : retirer $100$ change forcément la somme et donc la moyenne. C'est elle qui est la plus impactée par les valeurs extrêmes.[/reponse]
[reponse motif="Aucun des deux indicateurs ne change."]Non.
La somme des valeurs change si on en retire une, donc la moyenne aussi. Comparer le rôle de chaque indicateur face aux valeurs extrêmes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser à la sensibilité de la moyenne aux valeurs extrêmes, et au fait que la médiane dépend du rang central, pas de la grandeur des extrêmes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
