Vrai/Faux : Règles de l’arbre pondéré

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les règles de l'arbre pondéré, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère l'arbre pondéré incomplet ci-dessous :

Arbre pondere avec p(A)=0,4 et branche A-barre manquante

Affirmation : La probabilité manquante sur la branche menant à $\overline{A}$ est $0{,}6$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$.
Donc $p(\overline{A}) = 1 - p(A) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : les probabilités portées par les branches issues d'un même nœud doivent sommer à $1$.
Ici, du nœud racine partent les deux branches $A$ et $\overline{A}$ : leurs poids doivent donc se compléter à $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud étant égale à $1$, on a $p(\overline{A}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'arbre pondéré ci-dessous :

Arbre pondere avec p(A)=0,3 et p_A(B)=0,5

Affirmation : $p(A \cap B) = 0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La probabilité d'un chemin se calcule en multipliant les poids des branches successives, pas en les additionnant.
On a donc $p(A \cap B) = 0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}15$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à la règle qui s'applique le long d'un chemin : ce n'est pas une addition.
Pour passer de la racine au nœud final $B$ via $A$, il faut combiner les deux poids successifs.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : $p(A \cap B) = 0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}15$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On reprend l'arbre pondéré précédent :

Arbre pondere avec p(A)=0,3 et p_A(B)=0,5 - lecture directe

Affirmation : $p_A(B) = 0{,}5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Sur un arbre pondéré, le poids d'une branche du second niveau est directement la probabilité conditionnelle.
La branche $A \to B$ porte $0{,}5$, donc $p_A(B) = 0{,}5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de chercher à recalculer ce qui est déjà écrit sur l'arbre.
Sur les branches du second niveau d'un arbre pondéré, on lit directement les probabilités conditionnelles, pas l'inverse.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Sur un arbre pondéré, $p_A(B)$ se lit directement sur la branche conditionnelle issue de $A$ menant à $B$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère toujours le même arbre :

Arbre pondere - somme des chemins menant a B

Affirmation : $p(B) = (0{,}3 \times 0{,}5) \times (0{,}7 \times 0{,}6) = 0{,}063$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La probabilité d'un événement final s'obtient en additionnant les probabilités des chemins qui y mènent, pas en les multipliant.
Ici $p(B) = 0{,}3 \times 0{,}5 + 0{,}7 \times 0{,}6 = 0{,}15 + 0{,}42 = 0{,}57$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre les deux règles de l'arbre : l'une vaut le long d'un chemin, l'autre entre les chemins.
Multiplier deux probabilités déjà petites donne forcément un résultat encore plus petit, ce qui est suspect ici.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent : $p(B) = 0{,}3 \times 0{,}5 + 0{,}7 \times 0{,}6 = 0{,}57$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'arbre pondéré suivant :

Arbre pondere avec p(A)=0,2 et p_A(B)=0,4

Affirmation : La somme $0{,}2 + 0{,}4$ vaut $0{,}6$, donc la règle des branches issues d'un même nœud n'est pas respectée sur cet arbre.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La règle ne concerne que les branches qui partent du même nœud.
Or $0{,}2$ est sur une branche du premier niveau (issue de la racine) et $0{,}4$ est sur une branche du second niveau (issue de $A$) : ces deux branches ne partent pas du même nœud, on ne doit pas les sommer.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à bien identifier les nœuds de départ avant d'appliquer la règle de la somme.
Deux branches qui se suivent le long d'un chemin ne partent pas du même nœud : seules les branches qui rayonnent depuis un même point peuvent être sommées.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La règle « somme égale à $1$ » ne concerne que les branches issues d'un même nœud. Les poids $0{,}2$ et $0{,}4$ sont portés par deux branches successives (différents nœuds de départ), il n'y a aucune raison qu'ils se complètent à $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'arbre pondéré incomplet ci-dessous, où certaines probabilités sont à compléter :

Arbre pondere incomplet avec p(A)=0,6 et p_A(B-barre)=0,7

Affirmation : La probabilité du chemin $A \to B$ vaut $p(A \cap B) = 0{,}18$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On complète d'abord la branche manquante issue de $A$ : $p_A(B) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$.
Puis on multiplie le long du chemin : $p(A \cap B) = 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}18$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de croire qu'il manque trop d'informations pour conclure.
En réalité, la règle de la somme des branches issues d'un même nœud permet de retrouver la probabilité conditionnelle absente, et la règle du produit le long d'un chemin termine le calcul.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On complète la branche issue de $A$ : $p_A(B) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$, puis on multiplie le long du chemin : $p(A \cap B) = 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}18$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Arbre pondéré et calcul d’intersections

[enonce]
Ce QCM porte sur la lecture d'un arbre pondéré et sur le calcul d'une intersection $p(A\cap B)$ comme produit des probabilités le long d'un chemin. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On considère l'arbre pondéré ci-dessous, associé à un tirage de deux boules.

Quelle probabilité se lit directement sur la branche allant de $V_1$ à $V_2$ ?
[qcm]
[option]$p(V_1\cap V_2)$[/option]
[option correct="true"]$p_{V_1}(V_2)$[/option]
[option]$p(V_2)$[/option]
[option]$p_{V_2}(V_1)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Sur un arbre pondéré, une branche secondaire partant d'un nœud $V_1$ porte la probabilité conditionnelle de l'événement d'arrivée sachant le nœud parent. La valeur $\dfrac{2}{5}$ représente donc $p_{V_1}(V_2)$.[/reponse]
[reponse motif="$p(V_1\cap V_2)$"]Non.
Cette confusion est très fréquente : la valeur portée par une branche n'est pas une probabilité d'intersection. Une intersection s'obtient en multipliant plusieurs probabilités le long d'un chemin, pas par une simple lecture.[/reponse]
[reponse motif="$p(V_2)$"]Non.
$p(V_2)$ ne se lit pas sur une seule branche : pour l'obtenir, il faudrait sommer les probabilités de tous les chemins menant à $V_2$. Une branche secondaire ne donne qu'une probabilité conditionnelle.[/reponse]
[reponse motif="$p_{V_2}(V_1)$"]Non.
Attention au sens du conditionnement : sur l'arbre, on lit la probabilité de l'événement d'arrivée sachant l'événement de départ, pas l'inverse. Ici la branche part de $V_1$ et arrive en $V_2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Sur un arbre pondéré, une branche secondaire porte une probabilité conditionnelle : $p_{\text{nœud parent}}(\text{nœud d'arrivée})$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On reprend l'arbre pondéré précédent. Quelle est la valeur de $p(V_1\cap V_2)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{20}$[/option]
[option]$\dfrac{5}{8}\times\dfrac{4}{7}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On multiplie les probabilités le long du chemin menant à $V_1\cap V_2$ :
$p(V_1\cap V_2)=p(V_1)\times p_{V_1}(V_2)=\dfrac{3}{8}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{40}=\dfrac{3}{20}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{5}$"]Non.
$\dfrac{2}{5}$ est uniquement la valeur portée par la dernière branche du chemin, c'est-à-dire $p_{V_1}(V_2)$. Pour une intersection, il faut tenir compte de toutes les probabilités du chemin depuis la racine.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{5}$"]Non.
Le long d'un chemin, on multiplie les probabilités, on ne les additionne pas. La somme servirait uniquement pour combiner plusieurs chemins distincts.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{8}\times\dfrac{4}{7}$"]Non.
Ce produit suit un chemin différent de celui demandé. Repérer attentivement le chemin qui passe par $V_1$ puis par $V_2$, et non par un autre nœud parent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer $p(V_1\cap V_2)$, identifier le chemin partant de la racine, passant par $V_1$ puis par $V_2$, et multiplier les probabilités le long de ce chemin.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère l'arbre pondéré incomplet ci-dessous. Quelle valeur faut-il inscrire sur la branche manquante (notée $?$) ?

[qcm]
[option]$0{,}6$[/option]
[option correct="true"]$0{,}7$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option]$0{,}1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit valoir $1$. Issues du nœud $A$, on a $p_A(B)=0{,}3$ et $p_A(\overline{B})=?$. Donc $?=1-0{,}3=0{,}7$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}6$"]Non.
$0{,}6$ correspond à $1-0{,}4$, c'est-à-dire la probabilité de l'autre branche de premier niveau. La branche manquante est secondaire : elle se complète à partir des autres branches issues du même nœud parent.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5=1-0{,}3-0{,}2$. Mais les branches partant de $A$ et celles partant de $\overline{A}$ ne se complètent pas entre elles : chaque nœud a sa propre somme égale à $1$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}1$"]Non.
$0{,}1=0{,}4-0{,}3$. La règle de complétion d'un arbre n'est pas une soustraction entre une branche du premier niveau et une branche du second niveau : c'est une somme égale à $1$ par nœud.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Sur un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours $1$. Identifier les branches concernées avant de calculer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On reprend l'arbre complété de la question précédente (avec $p_A(\overline{B})=0{,}7$). Quelle est la valeur de $p(\overline{A}\cap B)$ ?
[qcm]
[option]$0{,}8$[/option]
[option]$1{,}4$[/option]
[option correct="true"]$0{,}48$[/option]
[option]$0{,}12$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On suit le chemin partant de la racine, passant par $\overline{A}$ puis par $B$, et on multiplie :
$p(\overline{A}\cap B)=p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(B)=0{,}6\times 0{,}8=0{,}48$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}8$"]Non.
$0{,}8$ est la valeur lue sur la branche secondaire $\overline{A}\to B$, c'est-à-dire $p_{\overline{A}}(B)$. Une intersection ne se lit pas : elle se calcule en multipliant le long du chemin.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}4$"]Non.
Une probabilité ne peut jamais dépasser $1$. Le long d'un chemin, on multiplie les probabilités, on ne les additionne pas.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}12$"]Non.
$0{,}12=0{,}4\times 0{,}3$ correspond au chemin $A\to B$, et non à $\overline{A}\to B$. Vérifier que le chemin choisi part bien du bon nœud du premier niveau.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer $p(\overline{A}\cap B)$, multiplier les probabilités du chemin qui part de $\overline{A}$ puis arrive à $B$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une usine produit des pièces dans deux ateliers. $40\,\%$ des pièces sortent de l'atelier $A$, le reste de l'atelier $B$. Parmi les pièces de l'atelier $A$, $5\,\%$ sont défectueuses ; parmi celles de l'atelier $B$, $2\,\%$ le sont. On note $A$ : « la pièce vient de l'atelier $A$ », $B$ : « la pièce vient de l'atelier $B$ » et $D$ : « la pièce est défectueuse ». Quelle est la probabilité qu'une pièce vienne de l'atelier $B$ et soit défectueuse ?
[qcm]
[option]$0{,}02$[/option]
[option]$0{,}07$[/option]
[option]$0{,}03$[/option]
[option correct="true"]$0{,}012$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On cherche $p(B\cap D)$. On suit le chemin $B\to D$ et on multiplie :
$p(B\cap D)=p(B)\times p_B(D)=0{,}6\times 0{,}02=0{,}012$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}02$"]Non.
$0{,}02$ est la probabilité conditionnelle $p_B(D)$, lue directement dans l'énoncé. Une intersection se calcule en tenant aussi compte de la probabilité du nœud parent.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}07$"]Non.
$0{,}07=0{,}05+0{,}02$ : il s'agit d'une somme des deux probabilités conditionnelles, qui n'a pas de sens ici. Pour une intersection, on multiplie le long d'un chemin.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}03$"]Non.
$0{,}03=0{,}05-0{,}02$ ne correspond à aucune règle de l'arbre pondéré. Identifier le chemin allant de la racine à $B$ puis à $D$, et appliquer la règle du produit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Construire mentalement l'arbre pondéré : la première étape est l'atelier ($A$ ou $B$), la seconde est l'état (défectueuse ou non). Multiplier les probabilités le long du chemin demandé.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On reprend la situation précédente. Quelle est la probabilité qu'une pièce vienne de l'atelier $A$ et ne soit pas défectueuse ?
[qcm]
[option]$0{,}95$[/option]
[option correct="true"]$0{,}38$[/option]
[option]$0{,}05$[/option]
[option]$0{,}45$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
La probabilité d'être non défectueuse sachant l'atelier $A$ vaut $p_A(\overline{D})=1-0{,}05=0{,}95$. Donc :
$p(A\cap\overline{D})=p(A)\times p_A(\overline{D})=0{,}4\times 0{,}95=0{,}38$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}95$"]Non.
$0{,}95=1-0{,}05$ est une probabilité conditionnelle (sachant l'atelier $A$). Pour une intersection, il reste à multiplier par la probabilité du nœud parent.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}05$"]Non.
$0{,}05$ est la probabilité d'être défectueuse sachant l'atelier $A$. Or l'événement cherché est « ne pas être défectueuse » : commencer par compléter la branche secondaire à $1$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}45$"]Non.
$0{,}45=0{,}4+0{,}05$ est une somme : elle ne correspond à aucune règle de l'arbre pondéré. Le long d'un chemin, on multiplie les probabilités.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $p_A(\overline{D})$ par complémentarité (somme à $1$ des branches issues de $A$), puis multiplier par $p(A)$ pour obtenir l'intersection.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Probabilités – Bac blanc ES/L Sujet 2 – Maths-cours 2018

Un cinéma de trois salles propose le choix entre les films A, B ou C. Suivant leur âge, les spectateurs payent leur place plein tarif ou bénéficient d'un tarif réduit.

Le directeur de la salle a constaté que :

30% des spectateurs bénéficient du tarif réduit (les 70% restant payant plein tarif) ;
45% des spectateurs payant plein tarif et 40% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film A ;
30% des spectateurs payant plein tarif et 37% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film B ;
25% des spectateurs payant plein tarif et 23% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film C.

On choisit au hasard un spectateur à la sortie du cinéma. On note :

$ R $ : l'événement « le spectateur bénéficie du tarif réduit » ;
$ A $ : l'événement « le spectateur a été voir le film A » ;
$ B $ : l'événement « le spectateur a été voir le film B » ;
$ C $ : l'événement « le spectateur a été voir le film C ».

Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
Montrer que la probabilité que le spectateur choisi vienne d'aller voir le film A est égale à $ 0{,}435 $.
On sait que le spectateur vient de voir le film A. Quelle est la probabilité qu'il bénéficie du tarif réduit ?
On choisit maintenant au hasard et de façon indépendante, trois spectateurs. On suppose que ces choix peuvent être assimilés à des tirages successifs avec remise.

On note $ X $ la variable aléatoire correspondant au nombre de ces spectateurs qui viennent de voir le film A.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par $ X $ ? Préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité $ p(X \geqslant 1) $. Interpréter cette probabilité dans le cadre de l'énoncé.

Corrigé

La situation peut être modélisée par l'arbre pondéré ci-après :

À retenir

Le total des probabilités figurant sur l'ensemble des branches partant d'un même nœud est toujours égal à 1.
La probabilité que le spectateur ait été voir le film A est $ p(A) $.

D'après la formule des probabilités totales :

$ p(A)=p(A\cap R)+p(A\cap \overline{R}) $
$ \phantom{p(A)}=p(R) \times p_R(A)+ p({\overline{R}}) \times p_{\overline{R}}(A) $
$ \phantom{p(A)}=0{,}3 \times 0{,}4 + 0{,}7 \times 0{,}45 = 0{,}435. $

Théorème

À retenir

Formule des probabilités totales :

Si les événements $ B_1, B_2, \cdots , B_n $ forment une partition de l'univers (c'est à dire regroupent toutes les éventualités) alors, pour tout événement $ A $ :

$ p(A)= p(A\cap B_1)+p(A\cap B_2) $

$ +\cdots+p(A\cap B_n). $

Un cas particulier très fréquent, dû au fait que $ B $ et $ \overline{B} $ forment une partition de l'univers, donne :

$ p(A)= p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B}). $
La probabilité demandée est $ p_A(R) $.

Propriété

En pratique

Très souvent, en probabilités, la première étape consiste à traduire la probabilité cherchée en utilisant les notations de l'énoncé.

Dans le cas présent, on sait que l'événement $ A $ est vérifié et on souhaite déterminer la probabilité de l'événement $ R $. On recherche donc $ p_A(R) $.
Théorème
Attention

Ne pas confondre :
- $ p(A\cap R) $ : probabilité que $ A $ et $ R $ se réalisent (alors que l'on n'a, a priori, aucune information concernant la réalisation de $ A $ ou de $ R $) ;
- $ p_A(R) $ : probabilité que $ R $ se réalise alors que l'on sait que $ A $ est réalisé.
D'après la formule des probabilités conditionnelles :

$ p_A(R)=\dfrac{p(A\cap R)}{p(A)}=\dfrac{0{,}3 \times 0{,}4}{0{,}435} =\dfrac{0{,}12}{0{,}435} \approx 0{,}276\ $ (à $ 10^{ - 3} $ près).
1. La variable aléatoire $ X $ suit une loi binomiale de paramètres $ {n=3} $ et $ {p=0{,}435} $.
  
  En effet :
  - on assimile l'expérience aux tirages successifs et avec remise de 3 spectateurs ;
  - pour chaque spectateur, deux issues sont possibles :
  - succès : le spectateur vient d'aller voir le film A (probabilité $ p=0{,}435 $) ;
  - échec : le spectateur ne vient pas d'aller voir le film A.
  - la variable aléatoire $ X $ comptabilise le nombre de succès.
2. L'événement contraire de $ (X \geqslant 1) $ est $ (X<1) $ c'est-à-dire $ (X=0) $.
  
  Théorème
  
  Attention
  
  L'événement contraire de ($ X \geqslant a $) est ($ X < a $) et non ($ X \leqslant a $).
  
  Comme $ X $ suit une loi binomiale :
  
  $ p(X=0)=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times 0{,}435^0 \times 0{,}565^{3} = 0{,}565^{3} $.
  
  Par conséquent :
  
  $ p(X \geqslant 1)=1 - p(X=0) =1 - 0{,}565^{3} \approx 0{,}820\ $ (à $ 10^{ - 3} $ près).

Probabilités Variables aléatoires – Bac S Liban 2008

Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.

On sait que :

15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.
Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.
Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes

On désigne par E l'évènement « les sacs de pommes sont vendus sur l'exploitation » et par V l'évènement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes ».

L'évènement contraire de l'évènement A sera noté $ \overline{A} $.

On achète de façon aléatoire un sac de pommes.

Traduire les trois données de l'énoncé en termes de probabilités.
Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
Définir par une phrase l'évènement $ E \cap V $ puis calculer sa probabilité.
Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à $ 0,205 $.
Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété.
Calculer la probabilité qu'il ait été acheté directement sur l'exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près.
Des producteurs, interrogés lors de l'enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs. Chaque sac, qu'il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l'exploitation agricole et 3,40 euros dans des supermarchés.
Calculer le montant total des ventes qu'ils peuvent prévoir.

Corrigé

Traduisons les données de l'énoncé en termes de probabilités :
- « 15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole » : $ p(E) = 0,15 $.
- « Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes » : $ p_E(V) = 0,8 $.
- « Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes » : $ p_{\overline{E}}(V) = 0,1 $.
Arbre pondéré traduisant la situation :
L'évènement $ E \cap V $ est : « le sac est vendu sur l'exploitation et contient des variétés différentes ».

Sa probabilité est :

$ p(E \cap V) = p(E) \times p_E(V) = 0,15 \times 0,8 = 0,12 $.
D'après la formule des probabilités totales :

$ p(V) = p(E \cap V) + p(\overline{E} \cap V) $

$ p(V) = p(E) \times p_E(V) + p(\overline{E}) \times p_{\overline{E}}(V) $

$ p(V) = 0,12 + 0,85 \times 0,1 = 0,12 + 0,085 = 0,205 $.

La probabilité que le sac contienne des pommes de variétés différentes est bien $ 0,205 $.
On cherche la probabilité conditionnelle $ p_{\overline{V}}(E) $.

$ p_{\overline{V}}(E) = \dfrac{p(E \cap \overline{V})}{p(\overline{V})} $

Or $ p(\overline{V}) = 1 - p(V) = 1 - 0,205 = 0,795 $.

Et $ p(E \cap \overline{V}) = p(E) \times p_E(\overline{V}) = 0,15 \times 0,2 = 0,03 $.

Donc :

$ p_{\overline{V}}(E) = \dfrac{0,03}{0,795} \approx 0,038 $.

La probabilité que le sac provienne de l'exploitation sachant qu'il ne contient qu'une variété est environ $ 0,038 $.
Calculons d'abord le nombre de sacs vendus sur l'exploitation et en supermarché :
- Nombre de sacs sur l'exploitation : $ 45\,000 \times 0,15 = 6\,750 $ sacs.
- Nombre de sacs en supermarché : $ 45\,000 \times 0,85 = 38\,250 $ sacs.
Le montant total des ventes est :

$ M = 6\,750 \times 0,80 + 38\,250 \times 3,40 $

$ M = 5\,400 + 130\,050 = 135\,450 $ euros.

Le montant total des ventes prévisible est de $ 135\,450 $ euros.

Probabilités – Bac ES/L Centres étrangers 2013

Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.

On sait que :

15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.
Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.
Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes

On désigne par E l'évènement « les sacs de pommes sont vendus sur l'exploitation » et par V l'évènement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes ».

L'évènement contraire de l'évènement A sera noté $ \overline{A} $.

On achète de façon aléatoire un sac de pommes.

Traduire les trois données de l'énoncé en termes de probabilités.
Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
Définir par une phrase l'évènement $ E \cap V $ puis calculer sa probabilité.
Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à $ 0{,}205 $.
Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété.

Calculer la probabilité qu'il ait été acheté directement sur l'exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près.
Des producteurs, interrogés lors de l'enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs. Chaque sac, qu'il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l'exploitation agricole et 3,40 euros dans des supermarchés.

Calculer le montant total des ventes qu'ils peuvent prévoir.

Corrigé

Traduction des données de l'énoncé :
- « 15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole » se traduit par :
  
  $ P(E) = 0{,}15 $
- « Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes » se traduit par :
  
  $ P_E(V) = 0{,}8 $
- « Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes » se traduit par :
  
  $ P_{\overline{E}}(V) = 0{,}1 $
Arbre pondéré représentant la situation :
L'évènement $ E \cap V $ est défini par la phrase : « Le sac de pommes a été acheté directement sur l'exploitation agricole ET il contient des pommes de variétés différentes ».

Sa probabilité est :

$ P(E \cap V) = P(E) \times P_E(V) = 0{,}15 \times 0{,}8 = 0{,}12 $
D'après la formule des probabilités totales :

$ P(V) = P(E \cap V) + P(\overline{E} \cap V) $

On calcule $ P(\overline{E} \cap V) $ :

$ P(\overline{E} \cap V) = P(\overline{E}) \times P_{\overline{E}}(V) = 0{,}85 \times 0{,}1 = 0{,}085 $

Donc :

$ P(V) = 0{,}12 + 0{,}085 = 0{,}205 $
« Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété » est l'évènement $ \overline{V} $.

On cherche la probabilité conditionnelle $ P_{\overline{V}}(E) $ :

$ P_{\overline{V}}(E) = \dfrac{P(E \cap \overline{V})}{P(\overline{V})} $
- $ P(E \cap \overline{V}) = P(E) \times P_E(\overline{V}) = 0{,}15 \times 0{,}2 = 0{,}03 $
- $ P(\overline{V}) = 1 - P(V) = 1 - 0{,}205 = 0{,}795 $
D'où :

$ P_{\overline{V}}(E) = \dfrac{0{,}03}{0{,}795} \approx 0{,}038 $
Calcul des ventes prévues :
- Nombre de sacs vendus sur l'exploitation :
  $ 45\,000 \times 0{,}15 = 6\,750 $
- Montant des ventes sur l'exploitation :
  $ 6\,750 \times 0{,}80 = 5\,400 $ euros
- Nombre de sacs vendus en supermarchés :
  $ 45\,000 \times 0{,}85 = 38\,250 $
- Montant des ventes en supermarchés :
  $ 38\,250 \times 3{,}40 = 130\,050 $ euros
Montant total des ventes :

$ 5\,400 + 130\,050 = 135\,450 $ euros

Probabilités – Bac ES/L Polynésie 2013

Une agence de voyage propose des formules week-end à Londres au départ de Paris pour lesquelles le transport et l'hôtel sont compris. Les clients doivent choisir entre les deux formules : « avion+hôtel » ou « train+hôtel » et peuvent compléter ou non leur formule par une option « visites guidées ».

Une étude a produit les données suivantes :

40% des clients optent pour la formule « avion+hôtel » et les autres pour la formule « train+hôtel » ;
parmi les clients ayant choisi la formule « train+hôtel », 50% choisissent aussi l'option « visites guidées » ;
12% des clients ont choisi la formule « avion+hôtel » et l'option « visites guidées ».

On interroge au hasard un client de l'agence ayant souscrit à une formule week-end à Londres. On note :

$ A $ l'événement : le client interrogé a choisi la formule « avion+hôtel » ;
$ Z $ l'événement : le client interrogé a choisi la formule « train+hôtel » ;
$ V $ l'événement : le client interrogé a choisi l'option « visites guidées ».

1. Quelle est la probabilité de l'événement : le client interrogé a choisi la formule « avion+hôtel » et l'option « visites guidées » ?
2. Calculer la probabilité $ P_{A}\left(V\right) $.
3. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré
1. Montrer que la probabilité pour que le client interrogé ait choisi l'option « visites guidées » est égale à 0,42.
2. Calculer la probabilité pour que le client interrogé ait pris l'avion sachant qu'il n'a pas choisi l'option « visites guidées ». Arrondir le résultat au millième
L'agence pratique les prix (par personne) suivants :
- Formule « avion+hôtel » : 390 €
- Formule « train+hôtel » : 510 €
- Option « visites guidées » : 100 €
Quel montant du chiffre d'affaires l'agence de voyage peut-elle espérer obtenir avec 50 clients qui choisissent un week-end à Londres

Corrigé

1. D'après l'énoncé, 12% des clients ont choisi la formule « avion+hôtel » et l'option « visites guidées ».
  Cela correspond à l'événement $ A \cap V $.
  
  La probabilité de cet événement est donc :
  
  $ P(A \cap V) = 0{,}12 $
2. On cherche la probabilité $ P_{A}(V) $, c'est-à-dire la probabilité que le client ait choisi l'option « visites guidées » sachant qu'il a choisi la formule « avion+hôtel ».
  D'après la formule des probabilités conditionnelles :
  
  $ P_{A}(V) = \dfrac{P(A \cap V)}{P(A)} $
  
  On sait que $ P(A) = 0{,}40 $ (40% des clients) et $ P(A \cap V) = 0{,}12 $.
  
  $ P_{A}(V) = \dfrac{0{,}12}{0{,}40} = 0{,}3 $
3. Arbre pondéré représentant la situation :
  L'événement $ Z $ est le contraire de l'événement $ A $, donc $ P(Z) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6 $.
  On sait aussi que $ P_Z(V) = 0{,}5 $ (50% des clients « train+hôtel » choisissent l'option).
1. L'événement $ V $ est la réunion des événements disjoints $ A \cap V $ et $ Z \cap V $.
  D'après la formule des probabilités totales :
  
  $ P(V) = P(A \cap V) + P(Z \cap V) $
  
  On a déjà $ P(A \cap V) = 0{,}12 $.
  Calculons $ P(Z \cap V) $ :
  
  $ P(Z \cap V) = P(Z) \times P_Z(V) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}30 $
  
  On obtient donc :
  
  $ P(V) = 0{,}12 + 0{,}30 = 0{,}42 $
2. On cherche la probabilité que le client ait pris l'avion sachant qu'il n'a pas choisi l'option visites guidées, soit $ P_{\overline{V}}(A) $.
  
  $ P_{\overline{V}}(A) = \dfrac{P(A \cap \overline{V})}{P(\overline{V})} $
  
  Calculons $ P(A \cap \overline{V}) $ :
  
  $ P(A \cap \overline{V}) = P(A) \times P_A(\overline{V}) = 0{,}4 \times 0{,}7 = 0{,}28 $
  
  On sait que $ P(\overline{V}) = 1 - P(V) = 1 - 0{,}42 = 0{,}58 $.
  
  $ P_{\overline{V}}(A) = \dfrac{0{,}28}{0{,}58} \approx 0{,}483 $
Calculons d'abord l'espérance du prix payé par un client, notée $ E(X) $.
Les quatre combinaisons possibles et leurs probabilités sont :
- Avion + Hôtel + Visites : $ 390 + 100 = 490 $ € avec une probabilité $ P(A \cap V) = 0{,}12 $
- Avion + Hôtel seul : 390 € avec une probabilité $ P(A \cap \overline{V}) = 0{,}28 $
- Train + Hôtel + Visites : $ 510 + 100 = 610 $ € avec une probabilité $ P(Z \cap V) = 0{,}30 $
- Train + Hôtel seul : 510 € avec une probabilité $ P(Z \cap \overline{V}) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}30 $
L'espérance est :
$ E(X) = 490 \times 0{,}12 + 390 \times 0{,}28 + 610 \times 0{,}30 + 510 \times 0{,}30 $
$ E(X) = 58{,}8 + 109{,}2 + 183 + 153 $
$ E(X) = 504 $ €

Pour 50 clients, le chiffre d'affaires espéré est :

$ 50 \times 504 = 25\,200 $ €

Probabilités – Bac ES/L Liban 2013

Un propriétaire d'une salle louant des terrains de squash s'interroge sur le taux d'occupation de ses terrains.

Sachant que la location d'un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine).

Dans le cadre de cette répartition, 70% des heures sont creuses.

Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s'apercevoir que :

lorsque l'heure est creuse, 20% des terrains sont occupés ;
lorsque l'heure est pleine, 90% des terrains sont occupés.

On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les évènements :

$ C $ : « l'heure est creuse »
$ T $ : « le terrain est occupé »

Représenter cette situation par un arbre de probabilités.
Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé et que l'heure soit creuse.
Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé.
Montrer que la probabilité que l'heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à $ \dfrac{27}{41} $.
Dans le but d'inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d'un terrain, des tarifs différenciés :
- 10 € pour une heure pleine,
- 6 € pour une heure creuse.
On note $ X $ la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d'un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, $ X $ prend 3 valeurs :
- 10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine,
- 6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse,
- 0 lorsque le terrain n'est pas occupé.
Construire le tableau décrivant la loi de probabilité de $ X $.
Déterminer l'espérance de $ X $.
La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine.
Calculer la recette hebdomadaire moyenne de la salle.

Corrigé

Arbre de probabilités décrivant la situation :
$ p(C \cap T) = p(C) \times p_C(T) = 0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}14 $.
$ p(T) = p(C \cap T) + p(\overline{C} \cap T) = 0{,}14 + p(\overline{C}) \times p_{\overline{C}}(T) = 0{,}14 + 0{,}3 \times 0{,}9 = 0{,}14 + 0{,}27 = 0{,}41 $.
$ p_T(\overline{C}) = \dfrac{p(\overline{C} \cap T)}{p(T)} = \dfrac{0{,}27}{0{,}41} = \dfrac{27}{41} $.
$ X_1 = 10 $ avec $ p(X_1) = p(\overline{C} \cap T) = 0{,}27 $.
$ X_2 = 6 $ avec $ p(X_2) = p(C \cap T) = 0{,}14 $.
$ X_3 = 0 $ avec $ p(X_3) = p(\overline{T}) = 1 - p(T) = 1 - 0{,}41 = 0{,}59 $.

On obtient le tableau suivant :

$ X_i $ $ 10 $ $ 6 $ $ 0 $

$ p(X_i) $ $ 0{,}27 $ $ 0{,}14 $ $ 0{,}59 $
L'espérance de $ X $ est :

$ E(X) = \sum_{i=1}^{3} p(X_i) \times X_i = 0{,}27 \times 10 + 0{,}14 \times 6 + 0{,}59 \times 0 = 3{,}54 $.

Cette valeur représente ce que rapporte en moyenne, sur une longue période, la location d'un terrain de squash pendant une heure.
La recette moyenne hebdomadaire de la salle est égale à :

$ E(X) \times 10 \times 70 = 2478 $ €.

Probabilités – Bac ES/L Pondichéry 2013

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.

L'enquête révèle que 55% des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.

Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.

On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :

$ L $ : l'élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi ;
$ C $ : l'élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.

Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
Calculer $ P\left(L \cap C\right) $ la probabilité de l'évènement $ L \cap C $.
Montrer que $ P\left(C\right)=0{,}5675 $.
Calculer $ P_{C}\left(L\right) $, la probabilité de l'évènement $ L $ sachant l'évènement $ C $ réalisé. En donner une valeur arrondie à $ 10^{ - 4} $ près.
On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement. Soit $ X $ la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que $ X $ suit une loi binomiale.
1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
2. Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. En donner une valeur arrondie à $ 10^{ - 4} $ près.
3. Calculer la probabilité qu'exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.

Corrigé

D'après la formule des probabilités conditionnelles :

$ p\left(L \cap C\right)=p\left(L\right)\times p_{L}\left(C\right)=0{,}55\times 0{,}95=0{,}5225 $
D'après la formule des probabilités totales :

$ p\left(C\right)=p\left(C \cap L\right)+p\left(C \cap \overline{L}\right)=p\left(L\right)\times p_{L}\left(C\right)+p\left(\overline{L}\right)\times p_{\overline{L}}\left(C\right) $

$ p\left(C\right)=0{,}5225+0{,}45\times 0{,}10=0{,}5675 $.
D'après la formule des probabilités conditionnelles :

$ P_{C}\left(L\right)=\dfrac{p\left(L \cap C\right)}{p\left(C\right)}=\dfrac{0{,}5225}{0{,}5675}\approx 0{,}9207 $ à $ 10^{ - 4} $ près.
1. $ n $ est le nombre d'élèves choisis : $ n=4 $
  
  $ p $ est la probabilité qu'un élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire : $ p=0{,}5675 $ (d'après 3.)
2. On recherche $ p\left(X=0\right) $
  
  $ p\left(X=0\right)=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\times p^{0}\times \left(1 - p\right)^{4}=0{,}4325^{4}\approx 0{,}0350 $ à $ 10^{ - 4} $ près.
3. On recherche $ p\left(X=2\right) $
  
  $ p\left(X=2\right)=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\times p^{2}\times \left(1 - p\right)^{2}=6\times 0{,}5675^{2}\times 0{,}4325^{2}\approx 0{,}3615 $ à $ 10^{ - 4} $ près.

Probabilités et pourcentages – Bac ES Métropole 2012

La Fédération e-commerce et Vente à Distance (FEVAD) a effectué en octobre 2010 une enquête auprès de 719 acheteurs à distance âgés de 18 ans et plus. Sur le questionnaire proposé, ces personnes ont été interrogées sur le nombre de familles de produits (vêtements, informatique, loisirs, ...) achetés à distance au cours des 12 derniers mois. L'étude statistique a permis d'obtenir les informations suivantes :

Parmi les acheteurs de 1 à 2 familles de produits, 45% sont retraités.
Parmi les acheteurs de 3 à 4 familles de produits, 25% sont retraités.

Le responsable des ventes tire un questionnaire au hasard, chacun ayant la même probabilité d'être tiré. On note :

$ A $ l'évènement : « Le questionnaire tiré est celui d'un acheteur de 1 à 2 familles de produits. »
$ B $ l'évènement : « Le questionnaire tiré est celui d'un acheteur de 3 à 4 familles de produits. »
$ C $ l'évènement : « Le questionnaire tiré est celui d'un acheteur de 5 familles de produits ou plus. »
$ R $ l'évènement : « Le questionnaire tiré est celui d'un retraité. »

Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre.
1. Calculer la probabilité $ p\left(\text{A} \cap \text{R}\right) $.
2. Déterminer la probabilité de l'évènement : « Le questionnaire tiré est celui d'un retraité acheteur de 3 à 4 familles de produits. »
3. On sait de plus que 21,7% des acheteurs interrogés sont des retraités.
  Vérifier que $ p\left(\text{C} \cap \text{R}\right) = 0{,}027 $.
Le responsable des ventes décide de lancer une campagne publicitaire dès lors que le pourcentage de retraités parmi les acheteurs de 5 familles de produits ou plus est inférieur à 8%.
Quelle décision prendra-t-il ?

Corrigé

L'énoncé nous donne les probabilités suivantes :
- $ p(A) = 0{,}25 $
- $ p(B) = 0{,}31 $
- $ p(C) = 0{,}44 $
- $ p_A(R) = 0{,}45 $
- $ p_B(R) = 0{,}25 $
On traduit ces données par l'arbre pondéré suivant :
1. La probabilité $ p(A \cap R) $ est donnée par :
  
  $ p(A \cap R) = p(A) \times p_A(R) $
  
  $ p(A \cap R) = 0{,}25 \times 0{,}45 $
  
  $ p(A \cap R) = 0{,}1125 $
2. L'évènement « Le questionnaire tiré est celui d'un retraité acheteur de 3 à 4 familles de produits » correspond à l'intersection $ B \cap R $.
  
  Sa probabilité est :
  
  $ p(B \cap R) = p(B) \times p_B(R) $
  
  $ p(B \cap R) = 0{,}31 \times 0{,}25 $
  
  $ p(B \cap R) = 0{,}0775 $
3. On sait que $ 21{,}7\% $ des acheteurs sont retraités, donc $ p(R) = 0{,}217 $.
  
  D'après la formule des probabilités totales :
  
  $ p(R) = p(A \cap R) + p(B \cap R) + p(C \cap R) $
  
  En remplaçant par les valeurs connues :
  
  $ 0{,}217 = 0{,}1125 + 0{,}0775 + p(C \cap R) $
  
  $ 0{,}217 = 0{,}19 + p(C \cap R) $
  
  $ p(C \cap R) = 0{,}217 - 0{,}19 $
  
  $ p(C \cap R) = 0{,}027 $
  
  La valeur est donc bien vérifiée.
Le pourcentage de retraités parmi les acheteurs de 5 familles de produits ou plus correspond à la probabilité conditionnelle $ p_C(R) $.

On utilise la formule :

$ p_C(R) = \dfrac{p(C \cap R)}{p(C)} $

$ p_C(R) = \dfrac{0{,}027}{0{,}44} $

$ p_C(R) \approx 0{,}0614 $ (soit environ $ 6{,}14\% $)

Comme $ 6{,}14\% < 8\% $, le responsable des ventes décide de lancer la campagne publicitaire.

Probabilités Arbre – Bac ES Pondichéry 2011

Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert :

un assortiment de macarons, choisi par 50% des clients
une part de tarte Tatin, choisie par 30% des clients

20% des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts.

Le restaurateur a remarqué que :

parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80% prennent un café
parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, 60% prennent un café
parmi les clients n'ayant pas pris de dessert, 90% prennent un café

On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note p la probabilité associée à cette expérience aléatoire.

On note :

M l'évènement : « Le client prend un assortiment de macarons »
T l'évènement : « Le client prend une part de tarte Tatin »
P l'évènement : « Le client ne prend pas de dessert »
C l'évènement : « Le client prend un café » et $ \overline{C} $ l'évènement contraire de C

En utilisant les données de l'énoncé, préciser la valeur de $ p(T) $ et celle de $ p_T(C) $, probabilité de l'évènement $ C $ sachant que $ T $ est réalisé.
Recopier et compléter l'arbre ci-dessous :
1. Exprimer par une phrase ce que représente l'évènement M $ \cap $C puis calculer p(M $ \cap $C).
2. Montrer que $ p(C)=0{,}76 $
Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu'il prend un café ? (On donnera le résultat arrondi au centième).
Un assortiment de macarons est vendu 6 €, une part de tarte Tatin est vendue 7 €, et un café est vendu 2 €.

Chaque client prend un plat (et un seul) au prix unique de 18 €, ne prend pas plus d'un dessert ni plus d'un café.
1. Quelles sont les six valeurs possibles pour la somme totale dépensée par un client ?
2. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme totale dépensée par un client :
  
  Somme $ s_{i} $ 18 20 24 ... ... ...
  
  $ p\left(s_{i}\right) $ $ 0{,}02 $ $ 0{,}18 $ ...
3. Calculer l'espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat.

Corrigé

T est l'évènement « le client choisit une part de tarte Tatin ».

D'après l'énoncé :

$ p\left(T\right)=\dfrac{30}{100}=0{,}3 $

$ p_{T}\left(C\right) $ est la probabilité que le client prenne un café sachant qu'il a pris une tarte Tatin.

D'après l'énoncé :

$ p_{T}\left(C\right)=\dfrac{60}{100}=0{,}6 $
1. $ M \cap C $ est l'évènement « le client prend un assortiment de macarons et un café ».
  
  D'après la formule des probabilités conditionnelles :
  
  $ p\left(M \cap C\right)=p\left(M\right)\times p_{M}\left(C\right)=0{,}5\times 0{,}8=0{,}4 $
2. D'après la formule des probabilités totales :
  
  $ p\left(C\right)=p\left(M \cap C\right)+p\left(T \cap C\right)+p\left(P \cap C\right) $
  
  $ p\left(C\right)=0{,}4+p\left(T\right)\times p_{T}\left(C\right)+p\left(P\right)\times p_{P}\left(C\right) $
  
  $ p\left(C\right)=0{,}4+0{,}3\times 0{,}6+0{,}2\times 0{,}9=0{,}76 $
On recherche $ p_{C}\left(M\right) $.

D'après la formule des probabilités conditionnelles :

$ p_{C}\left(M\right)=\dfrac{p\left(M \cap C\right)}{p\left(C\right)}=\dfrac{0{,}4}{0{,}76}\approx 0{,}53 $

Les six éventualités sont : $ P \cap \overline{C}, P \cap C, M \cap \overline{C}, M \cap C, T \cap \overline{C}, T \cap C $. Les prix correspondants sont donnés par le tableau ci-dessous :

évènement	$ P \cap \overline{C} $	$ P \cap C $	$ M \cap \overline{C} $	$ M \cap C $	$ T \cap \overline{C} $	$ T \cap C $
prix	18	20	24	26	25	27

Les six valeurs possibles sont donc 18, 20, 24, 25, 26 et 27 euros.

On a $ p\left(P \cap C\right)=p\left(P\right)\times p_{P}\left(C\right)=0{,}2\times 0{,}1=0{,}02 $

Les autres calculs sont analogues.

La loi de probabilité est donnée par le tableau :

sommes $ S_{i} $ 18 20 24 25 26 27

$ p\left(S_{i}\right) $ 0,02 0,18 0,1 0,12 0,4 0,18
L'espérance mathématique est :

$ E=0{,}02\times 18+0{,}18\times 20+0{,}1\times 24+0{,}12\times 25+0{,}4\times 26+0{,}18\times 27=24{,}62 $

La somme dépensée en moyenne par un client est donc 24,62 euros.

$ X_i $	$ 10 $	$ 6 $	$ 0 $
$ p(X_i) $	$ 0{,}27 $	$ 0{,}14 $	$ 0{,}59 $

Somme $ s_{i} $	18	20	24	...	...	...
$ p\left(s_{i}\right) $	$ 0{,}02 $	$ 0{,}18 $	...

sommes $ S_{i} $	18	20	24	25	26	27
$ p\left(S_{i}\right) $	0,02	0,18	0,1	0,12	0,4	0,18

Vrai/Faux : Règles de l’arbre pondéré

QCM : Arbre pondéré et calcul d’intersections

Probabilités – Bac blanc ES/L Sujet 2 – Maths-cours 2018

Théorème

Propriété

Théorème

Théorème

Probabilités Variables aléatoires – Bac S Liban 2008

Probabilités – Bac ES/L Centres étrangers 2013

Probabilités – Bac ES/L Polynésie 2013

Probabilités – Bac ES/L Liban 2013

Probabilités – Bac ES/L Pondichéry 2013

Probabilités et pourcentages – Bac ES Métropole 2012

Probabilités Arbre – Bac ES Pondichéry 2011