[enonce]
Ce QCM porte sur la fonction cube. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est l'image de $-3$ par la fonction cube ?
[qcm]
[option]$27$[/option]
[option correct="true"]$-27$[/option]
[option]$-9$[/option]
[option]$9$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction cube associe à $x$ le nombre $x^3$. On calcule :
$(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = 9 \times (-3) = -27$[/reponse]
[reponse motif="$27$"]Non.
Le cube d'un nombre négatif est négatif. Calculer étape par étape : $(-3) \times (-3) = 9$, puis $9 \times (-3) = -27$.[/reponse]
[reponse motif="$-9$"]Non.
La fonction cube élève au cube (puissance 3), pas au carré (puissance 2). Calculer $(-3) \times (-3) \times (-3)$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
Deux erreurs ici : la fonction cube élève au cube, pas au carré, et le résultat doit être négatif. Calculer $(-3) \times (-3) \times (-3)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction cube associe à $x$ le nombre $x^3 = x \times x \times x$. Calculer $(-3) \times (-3) \times (-3)$ étape par étape.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction cube est :
[qcm]
[option]strictement décroissante sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$[/option]
[option correct="true"]strictement croissante sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et croissante sur $]-\infty\,;\,0]$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier. Contrairement à la fonction carré, elle ne change pas de sens de variation.[/reponse]
[reponse motif="strictement décroissante sur $\mathbb{R}$"]Non.
Vérifier avec un exemple : $(-2)^3 = -8$ et $3^3 = 27$. Comme $-2 < 3$ et $-8 < 27$, la fonction cube conserve l'ordre.[/reponse]
[reponse motif="croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$"]Non.
Ne pas confondre avec la fonction carré. La fonction cube est monotone sur $\mathbb{R}$ tout entier : elle ne change pas de sens de variation.[/reponse]
[reponse motif="décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et croissante sur $]-\infty\,;\,0]$"]Non.
Vérifier avec un exemple : $1^3 = 1$ et $2^3 = 8$. Comme $1 < 2$ et $1 < 8$, la fonction cube conserve l'ordre sur les positifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester avec des exemples numériques pour identifier le sens de variation de la fonction cube sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction cube est impaire. Cela signifie que :
[qcm]
[option]sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées[/option]
[option]pour tout réel $x$, $(-x)^3 = x^3$[/option]
[option correct="true"]pour tout réel $x$, $(-x)^3 = -x^3$[/option]
[option]elle ne prend que des valeurs négatives[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Une fonction impaire vérifie $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$. Ici : $(-x)^3 = -x^3$.
Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.[/reponse]
[reponse motif="sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées"]Non.
La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées caractérise les fonctions paires (comme la fonction carré). Une fonction impaire a une symétrie par rapport à l'origine.[/reponse]
[reponse motif="pour tout réel $x$, $(-x)^3 = x^3$"]Non.
Cette propriété, $f(-x) = f(x)$, caractérise les fonctions paires, pas les fonctions impaires. Pour une fonction impaire, $f(-x) = -f(x)$.[/reponse]
[reponse motif="elle ne prend que des valeurs négatives"]Non.
La fonction cube prend des valeurs positives et négatives. Par exemple $2^3 = 8 > 0$. Revoir la définition d'une fonction impaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revoir la définition : une fonction $f$ est impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ de son domaine.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le signe de $(-5)^3$ ?
[qcm]
[option]Positif[/option]
[option correct="true"]Négatif[/option]
[option]Nul[/option]
[option]On ne peut pas savoir sans calculer[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le cube d'un nombre négatif est négatif. En effet, $(-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times (-5) = -125$.
De manière générale, $x^3$ est du même signe que $x$.[/reponse]
[reponse motif="Positif"]Non.
Ne pas confondre avec le carré. Le carré d'un nombre est toujours positif, mais le cube conserve le signe : le cube d'un nombre négatif est négatif.[/reponse]
[reponse motif="Nul"]Non.
$(-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5)$, ce produit ne peut pas être nul puisque aucun facteur n'est nul.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas savoir sans calculer"]Non.
On n'a pas besoin de calculer la valeur exacte pour connaître le signe. Le cube conserve le signe : si $x < 0$, alors $x^3 < 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Retenir la règle : $x^3$ est toujours du même signe que $x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Comparer $(-4)^3$ et $(-2)^3$.
[qcm]
[option correct="true"]$(-4)^3 < (-2)^3$[/option]
[option]$(-4)^3 > (-2)^3$[/option]
[option]$(-4)^3 = (-2)^3$[/option]
[option]On ne peut pas comparer sans connaître le signe[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comme $-4 < -2$, on en déduit $(-4)^3 < (-2)^3$.
Vérification : $(-4)^3 = -64$ et $(-2)^3 = -8$, et bien $-64 < -8$.[/reponse]
[reponse motif="$(-4)^3 > (-2)^3$"]Non.
Attention, ne pas confondre avec la fonction carré. La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier, y compris pour les négatifs : elle conserve toujours l'ordre.[/reponse]
[reponse motif="$(-4)^3 = (-2)^3$"]Non.
$(-4)^3$ et $(-2)^3$ sont deux cubes de nombres distincts. La fonction cube étant strictement croissante, deux nombres distincts ont des cubes distincts.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer sans connaître le signe"]Non.
On connaît le signe : les deux nombres sont négatifs. De plus, la fonction cube étant croissante sur $\mathbb{R}$, on peut toujours comparer les cubes à partir de la comparaison des nombres.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la croissance de la fonction cube : si $a < b$, alors $a^3 < b^3$. Comparer $-4$ et $-2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sachant que $a < 0 < b$, que peut-on dire de $a^3$ et $b^3$ ?
[qcm]
[option]$a^3 > b^3$[/option]
[option]On ne peut pas comparer sans connaître les valeurs[/option]
[option]$a^3 > 0$[/option]
[option correct="true"]$a^3 < b^3$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comme $a < b$, on en déduit directement $a^3 < b^3$.
De plus, $a^3 < 0$ et $b^3 > 0$ puisque le cube conserve le signe.[/reponse]
[reponse motif="$a^3 > b^3$"]Non.
La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ : elle conserve l'ordre. Si $a < b$, alors $a^3 < b^3$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer sans connaître les valeurs"]Non.
La croissance de la fonction cube sur $\mathbb{R}$ permet de comparer sans calculer. Si $a < b$, alors $a^3 < b^3$, quelles que soient les valeurs.[/reponse]
[reponse motif="$a^3 > 0$"]Non.
Le cube conserve le signe. Comme $a < 0$, on a $a^3 < 0$, pas $a^3 > 0$. Ne pas confondre avec le carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la croissance de la fonction cube sur $\mathbb{R}$ et la règle des signes du cube.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]