QCM Bilan : Dénombrement

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : p-listes, permutations, arrangements et combinaisons. À chaque question, choisir la bonne formule en se demandant si l'ordre compte et si les répétitions sont autorisées. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Une urne contient $10$ boules numérotées de $1$ à $10$. On tire successivement et sans remise $3$ boules. Combien de tirages différents (les ordres de tirage différents donnent des tirages différents) ?
[qcm]
[option correct="true"]$720$[/option]
[option]$120$[/option]
[option]$1\,000$[/option]
[option]$30$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Tirage successif sans remise : pas de répétition et l'ordre compte. C'est un arrangement : $A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$.[/reponse]
[reponse motif="$120$"]Non.
$120 = \binom{10}{3}$ correspond à un tirage simultané (sans ordre). L'énoncé précise « successivement » : on distingue le premier, le deuxième et le troisième tirage.[/reponse]
[reponse motif="$1\,000$"]Non.
$1\,000 = 10^3$ correspond à un tirage avec remise (la même boule pourrait sortir plusieurs fois). Or l'énoncé impose « sans remise ».[/reponse]
[reponse motif="$30$"]Non.
$30 = 10 \times 3$ correspond à une simple multiplication. Trois choix successifs et décroissants donnent $10 \times 9 \times 8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Successivement (avec ordre) + sans remise (sans répétition) : c'est un arrangement $A_{10}^3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On reprend l'urne précédente ($10$ boules). On tire cette fois simultanément $3$ boules. Combien de tirages possibles ?
[qcm]
[option]$720$[/option]
[option]$1\,000$[/option]
[option correct="true"]$120$[/option]
[option]$30$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Tirage simultané : pas de répétition et pas d'ordre. C'est une combinaison : $\binom{10}{3} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3!} = \dfrac{720}{6} = 120$.[/reponse]
[reponse motif="$720$"]Non.
$720 = A_{10}^3$ : c'est le nombre de tirages ordonnés. Un tirage simultané ne distingue pas l'ordre, donc il faut diviser par $3! = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$1\,000$"]Non.
$1\,000 = 10^3$ correspondrait à un tirage avec remise et avec ordre. Or simultanément, on prend $3$ boules en même temps, donc sans répétition possible.[/reponse]
[reponse motif="$30$"]Non.
$30 = 10 \times 3$ correspond à une simple multiplication. Pour un choix sans ordre, il faut un coefficient binomial.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tirage simultané : sans ordre ni répétition. C'est $\binom{10}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien d'anagrammes (mots, ayant un sens ou non) peut-on former avec les lettres du mot MATHS ?
[qcm]
[option]$25$[/option]
[option]$5$[/option]
[option correct="true"]$120$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le mot MATHS comporte $5$ lettres toutes distinctes. On les permute : $5! = 120$ anagrammes.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
$25 = 5^2$ correspondrait à une $2$-liste avec répétition possible. Ici, on utilise toutes les lettres une seule fois et il y en a $5$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5$ est le nombre de lettres, pas le nombre d'anagrammes. Pour ranger $5$ lettres distinctes, il y a $5!$ façons.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Il y a une seule façon de ranger les lettres dans l'ordre du mot original, mais on cherche toutes les anagrammes (y compris MATHS lui-même).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Anagrammes d'un mot à $n$ lettres distinctes : $n!$. MATHS a $5$ lettres distinctes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On distribue une main de $5$ cartes à un joueur à partir d'un jeu de $32$ cartes (qui contient $4$ rois). Combien de mains contiennent exactement $2$ rois ?
[qcm]
[option]$201\,376$[/option]
[option]$29\,760$[/option]
[option correct="true"]$19\,656$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On choisit $2$ rois parmi les $4$ rois disponibles : $\binom{4}{2} = 6$ choix. On choisit ensuite $3$ cartes parmi les $28$ cartes non-rois : $\binom{28}{3} = \dfrac{28 \times 27 \times 26}{6} = 3\,276$. Par le principe multiplicatif : $6 \times 3\,276 = 19\,656$ mains.[/reponse]
[reponse motif="$201\,376$"]Non.
$201\,376 = \binom{32}{5}$ correspond au nombre total de mains de $5$ cartes, sans condition sur les rois. La contrainte « exactement $2$ rois » est ignorée.[/reponse]
[reponse motif="$29\,760$"]Non.
$29\,760 = \binom{4}{2} \times \binom{32}{3}$ : on a choisi les $3$ autres cartes parmi les $32$ cartes du jeu. Or il faut éviter de re-tirer un roi : choisir parmi les $28$ non-rois.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6 = \binom{4}{2}$ ne compte que le choix des $2$ rois. Il manque le choix des $3$ autres cartes parmi les $28$ non-rois.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposer en deux choix indépendants : $2$ rois parmi $4$, puis $3$ non-rois parmi $28$. Multiplier les deux résultats.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un comité de $5$ personnes est formé dans un groupe de $8$ hommes et $6$ femmes. Combien de comités composés de $3$ hommes et $2$ femmes peut-on constituer ?
[qcm]
[option]$2\,002$[/option]
[option]$71$[/option]
[option correct="true"]$840$[/option]
[option]$10\,080$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On choisit $3$ hommes parmi $8$ : $\binom{8}{3} = 56$. On choisit $2$ femmes parmi $6$ : $\binom{6}{2} = 15$. Comme les deux choix sont indépendants : $56 \times 15 = 840$ comités.[/reponse]
[reponse motif="$2\,002$"]Non.
$2\,002 = \binom{14}{5}$ correspond au nombre total de comités de $5$ personnes sans contrainte sur la répartition hommes/femmes. La condition « $3$ hommes et $2$ femmes » est perdue.[/reponse]
[reponse motif="$71$"]Non.
$71 = \binom{8}{3} + \binom{6}{2}$ : on a additionné les deux choix au lieu de les multiplier. Quand deux choix s'enchaînent, on multiplie.[/reponse]
[reponse motif="$10\,080$"]Non.
$10\,080 = A_8^3 \times A_6^2$ tient compte de l'ordre dans chaque sous-choix. Or les membres du comité ont des rôles identiques : on utilise des combinaisons, pas des arrangements.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Choix indépendants sans ordre : $\binom{8}{3} \times \binom{6}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un groupe de $12$ personnes, on choisit un président, un vice-président et un trésorier ($3$ postes distincts, une même personne ne peut occuper deux postes). Combien de bureaux différents peut-on former ?
[qcm]
[option]$220$[/option]
[option]$1\,728$[/option]
[option correct="true"]$1\,320$[/option]
[option]$36$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Trois postes distincts (l'ordre des choix compte) et une personne ne peut occuper qu'un seul poste (sans répétition). C'est un arrangement : $A_{12}^3 = 12 \times 11 \times 10 = 1\,320$.[/reponse]
[reponse motif="$220$"]Non.
$220 = \binom{12}{3}$ correspond à un choix de $3$ personnes sans rôle distinct. Or les postes (président, vice-président, trésorier) sont différenciés : permuter trois personnes change le bureau.[/reponse]
[reponse motif="$1\,728$"]Non.
$1\,728 = 12^3$ correspond à un tirage avec répétition : la même personne pourrait occuper plusieurs postes. Or l'énoncé interdit qu'une personne en occupe deux.[/reponse]
[reponse motif="$36$"]Non.
$36 = 12 \times 3$ correspond à une simple multiplication. Trois choix successifs avec des nombres décroissants donnent $12 \times 11 \times 10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Postes distincts + sans répétition : c'est un arrangement $A_{12}^3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]