[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : lecture d'une loi de probabilité, espérance, variance et écart-type, transformations affines et jeu équitable. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau ci-dessous, où une valeur est manquante.

Que vaut $p(X = 3)$ ?
[qcm]
[option]$0{,}8$[/option]
[option correct="true"]$0{,}2$[/option]
[option]$0{,}25$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La somme de toutes les probabilités d'une loi vaut $1$ :
$0{,}15 + 0{,}25 + p(X=3) + 0{,}4 = 1$
$p(X=3) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}8$"]Non.
$0{,}8$ correspond à la somme des trois probabilités déjà connues, pas à celle qui manque.
Cherche plutôt ce qu'il faut ajouter à $0{,}8$ pour atteindre $1$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25$"]Non.
Tu as recopié une probabilité déjà présente dans le tableau.
Utilise la contrainte sur la somme totale des probabilités.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
Vérifie ton total : la somme de toutes les probabilités d'une loi doit valoir exactement $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La somme des probabilités d'une loi vaut toujours $1$ : ajoute les valeurs connues et complète jusqu'à $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère une variable aléatoire $X$ dont la loi est :

Quelle est l'espérance $E(X)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}3$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$1{,}1$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$E(X) = (-2) \times 0{,}2 + 0 \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}4 + 3 \times 0{,}1$
$E(X) = -0{,}4 + 0 + 0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}3$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
Tu as fait la moyenne des quatre valeurs sans tenir compte de leurs probabilités : $\dfrac{-2 + 0 + 1 + 3}{4}$.
Chaque valeur doit être pondérée par sa probabilité $p(X = x_i)$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Tu as seulement additionné les valeurs $x_i$ : $-2 + 0 + 1 + 3$.
Il faut multiplier chaque valeur par sa probabilité avant d'additionner.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}1$"]Non.
Le terme correspondant à $x_i = -2$ a été compté positif : $(+2) \times 0{,}2$ au lieu de $(-2) \times 0{,}2$.
Attention au signe de cette valeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'espérance est la somme des produits $x_i \times p(X = x_i)$ : vérifie le signe de chaque terme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La variable aléatoire $X$ de la question précédente a pour espérance $E(X) = 0{,}3$. Sa loi reste :

Quelle est la variance $V(X)$ ?
[qcm]
[option]$2{,}1$[/option]
[option]$0{,}09$[/option]
[option correct="true"]$2{,}01$[/option]
[option]$1{,}79$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule d'abord $E(X^2)$ :
$E(X^2) = (-2)^2 \times 0{,}2 + 0^2 \times 0{,}3 + 1^2 \times 0{,}4 + 3^2 \times 0{,}1$
$E(X^2) = 0{,}8 + 0 + 0{,}4 + 0{,}9 = 2{,}1$
Puis $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2{,}1 - 0{,}3^2 = 2{,}1 - 0{,}09 = 2{,}01$.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}1$"]Non.
Tu t'es arrêté à $E(X^2)$.
Il reste à retrancher le carré de l'espérance.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}09$"]Non.
$0{,}09$ est seulement le carré de l'espérance.
Ce n'est qu'un des deux termes de la formule de la variance.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}79$"]Non.
Tu as sans doute retranché $0{,}3$ au lieu de son carré.
Dans la formule de la variance, c'est $[E(X)]^2$ que l'on soustrait.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La variance vaut $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ : calcule séparément $E(X^2)$ puis soustrais le carré de l'espérance.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une variable aléatoire $Y$ a pour variance $V(Y) = 1{,}69$.

Quel est son écart-type $\sigma(Y)$ ?
[qcm]
[option]$2{,}86$[/option]
[option]$0{,}845$[/option]
[option correct="true"]$1{,}3$[/option]
[option]$1{,}69$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'écart-type est la racine carrée de la variance :
$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{1{,}69} = 1{,}3$.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}86$"]Non.
Tu as élevé la variance au carré au lieu d'en prendre la racine.
L'écart-type s'obtient par l'opération inverse.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}845$"]Non.
Diviser la variance par $2$ ne donne pas l'écart-type.
Quelle opération relie l'écart-type à la variance ?[/reponse]
[reponse motif="$1{,}69$"]Non.
Tu as recopié la variance.
L'écart-type est une autre quantité, obtenue à partir de la variance par une opération précise.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'écart-type est la racine carrée de la variance : $\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X) = 4$. On pose $Y = 3X - 2$.

Quelle est l'espérance $E(Y)$ ?
[qcm]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]$10$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'espérance d'une transformation affine vérifie $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ :
$E(Y) = 3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
Tu as appliqué le coefficient multiplicateur mais oublié la constante.
Reprends le terme $-2$ de la transformation.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Tu as oublié de multiplier l'espérance par le coefficient $3$.
La transformation comporte aussi une dilatation.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4$ est l'espérance de $X$, pas celle de $Y$.
La transformation affine modifie l'espérance.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une transformation affine, $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ : applique le coefficient puis ajoute la constante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un jeu propose le gain aléatoire $X$ suivant : on gagne $a$ euros avec une probabilité de $0{,}25$, et on perd $2$ euros avec une probabilité de $0{,}75$.

Pour quelle valeur de $a$ ce jeu est-il équitable ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$1{,}5$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option correct="true"]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain est nulle :
$E(X) = a \times 0{,}25 + (-2) \times 0{,}75 = 0{,}25\,a - 1{,}5$
$E(X) = 0 \Leftrightarrow 0{,}25\,a = 1{,}5 \Leftrightarrow a = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Tu as sans doute simplement compensé la perte de $2$ euros par un gain de $2$ euros.
Mais les deux issues n'ont pas la même probabilité : il faut écrire que l'espérance est nulle.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}5$"]Non.
$1{,}5$ correspond à la perte moyenne $2 \times 0{,}75$, pas à la valeur du gain.
Pense à diviser par la probabilité du gain.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
Tu as confondu le gain avec sa probabilité.
La condition d'équité porte sur l'espérance, pas sur les probabilités.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un jeu est équitable quand $E(X) = 0$ : écris l'espérance en fonction de $a$ puis résous l'équation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soient $p \in \left]0~;~0{,}5\right[$ et $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\{-1~;~0~;~1\}$ telle que $p(X = -1) = p(X = 1) = p$.

Affirmation : La variance de $X$ vaut $V(X) = 2p$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'espérance de $X$ est :
$E(X) = (-1) \times p + 0 \times (1-2p) + 1 \times p = 0$
Comme $E(X) = 0$, la variance se simplifie en $V(X) = E(X^2)$ :
$E(X^2) = (-1)^2 \times p + 0^2 \times (1-2p) + 1^2 \times p = 2p$
Donc $V(X) = 2p$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $V(X) = E(X^2) - \left[E(X)\right]^2$.
Ici $E(X) = 0$ par symétrie de la loi, donc $V(X) = E(X^2)$ et il suffit de calculer $E(X^2)$ pour conclure.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $E(X) = 0$, on a $V(X) = E(X^2) = (-1)^2 \times p + 0 + 1^2 \times p = 2p$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

Affirmation : La variable aléatoire $-X$ a pour espérance $-\mu$ et pour écart-type $-\sigma$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'espérance de $-X$ est bien $-\mu$ : $E(-X) = -E(X) = -\mu$.
Mais un écart-type est toujours positif ou nul : il ne peut pas valoir $-\sigma$.
Quand on multiplie $X$ par $\lambda$, l'écart-type est multiplié par $|\lambda|$.
Donc l'écart-type de $-X$ est $|-1| \times \sigma = \sigma$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : un écart-type ne peut jamais être négatif.
La propriété à mobiliser est $\sigma(\lambda X) = |\lambda| \times \sigma(X)$ : la valeur absolue impose un résultat positif.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'espérance de $-X$ est bien $-\mu$, mais l'écart-type est toujours positif : l'écart-type de $-X$ vaut $|-1| \times \sigma = \sigma$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui ne prend que des valeurs négatives ou nulles.

Affirmation : L'espérance mathématique de $X$ est négative ou nulle.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La formule $E(X) = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \dots + p_n x_n$ montre que $E(X)$ est une somme de termes $p_i x_i$ où chaque $x_i \leqslant 0$ et chaque $p_i \geqslant 0$.
Donc $E(X) \leqslant 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'espérance est une moyenne pondérée des valeurs prises par $X$.
Si toutes les valeurs sont $\leqslant 0$ et que les coefficients (les probabilités) sont $\geqslant 0$, le résultat ne peut pas être strictement positif.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'espérance est une moyenne pondérée $E(X) = \sum p_i x_i$ avec tous les $x_i \leqslant 0$ et tous les $p_i \geqslant 0$, donc $E(X) \leqslant 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi est donnée par le tableau incomplet ci-dessous :

Affirmation : $p(X = 3) = 0{,}5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La somme de toutes les probabilités doit être égale à $1$ :
$0{,}1 + 0{,}3 + p(X=3) + 0{,}1 = 1$
$p(X = 3) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas oublier la propriété fondamentale d'une loi de probabilité : la somme des $p(X = x_i)$ vaut toujours $1$.
Cette contrainte permet de retrouver la probabilité manquante par soustraction.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La somme des probabilités doit valoir $1$ : $0{,}1 + 0{,}3 + p(X=3) + 0{,}1 = 1$, donc $p(X=3) = 0{,}5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé bien équilibré à six faces. Si le « 6 » sort, on gagne $x$ euros ; dans les autres cas, on perd $1$ euro.

Affirmation : Le jeu est équitable (d'espérance nulle) si et seulement si $x = 6$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'espérance du gain est :
$E(X) = 5 \times \dfrac{-1}{6} + 1 \times \dfrac{x}{6} = \dfrac{-5 + x}{6}$
$E(X) = 0 \Leftrightarrow x = 5$.
Le jeu est équitable pour $x = 5$, et non pour $x = 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de calquer le gain sur le nombre de faces du dé, sans tenir compte du fait que l'on perd sur $5$ faces et gagne sur une seule.
La condition à écrire est $E(X) = 0$ ; le résultat à trouver est plus petit que $6$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'espérance est $E(X) = \dfrac{-5 + x}{6}$. Pour un jeu équitable, $E(X) = 0$ donne $x = 5$, et non $x = 6$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$.

Affirmation : On a nécessairement $p(X < \mu) = p(X > \mu)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est faux en général. Voici un contre-exemple :

$\mu = -1 \times 0{,}9 + 9 \times 0{,}1 = 0$
$p(X < 0) = 0{,}9$ tandis que $p(X > 0) = 0{,}1$.
Les deux probabilités sont différentes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre l'espérance avec la médiane.
La médiane partage les probabilités en deux moitiés égales ; l'espérance, elle, est une moyenne pondérée et peut très bien se trouver loin du milieu de la distribution.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'espérance n'est pas la médiane. Par exemple, si $p(X=-1) = 0{,}9$ et $p(X=9) = 0{,}1$, alors $\mu = 0$ mais $p(X < 0) = 0{,}9 \neq p(X > 0) = 0{,}1$.
[/solution]
[/etape]