Aire d’une pièce restante : développer, factoriser et calculer
$ ABCD $ est un rectangle de longueur $ AB = x $ cm (avec $ x > 4 $) et de largeur $ AD = 4 $ cm.
À l'intérieur de $ ABCD $, on découpe un carré $ AEFD $ de côté $ 4 $ cm, situé contre le côté $ AD $. La pièce restante est le rectangle $ EBCF $.
Exprimer en fonction de $ x $ :
- l'aire du rectangle $ ABCD $ ;
- l'aire du carré $ AEFD $ ;
- l'aire $ \mathcal{A} $ de la pièce restante $ EBCF $, sous la forme d'une expression réduite.
- Factoriser l'expression de $ \mathcal{A} $.
- À l'aide de l'expression factorisée, calculer $ \mathcal{A} $ pour $ x = 9 $ cm puis pour $ x = 14 $ cm.
- Léa affirme : « D'après la formule, quand $ x = 4 $, l'aire de la pièce restante est nulle. » Que penser de cette affirmation ?
L'aire du rectangle $ ABCD $ est égale à $ AB \times AD $ :
$ \text{Aire}(ABCD) = x \times 4 = 4x $ (en cm²).
- L'aire du carré $ AEFD $ est égale à $ 4 \times 4 = 16 $ cm².
La pièce restante est obtenue en retirant le carré au rectangle :
$ \mathcal{A} = 4x - 16 $ (en cm²).
Le facteur commun de $ 4x $ et de $ 16 $ est $ 4 $ : $ 4x = 4 \times x $ et $ 16 = 4 \times 4 $.
$ \mathcal{A} = 4 \times x - 4 \times 4 = 4(x - 4) $
D'où $ \mathcal{A} $ = $\mathbf{4(x - 4)}$ cm².
On utilise l'expression factorisée, plus rapide à calculer.
Pour $ x = 9 $ : $ \mathcal{A} = 4 \times (9 - 4) = 4 \times 5 = 20 $.
La pièce restante a une aire de $\mathbf{20}$ cm².
Pour $ x = 14 $ : $ \mathcal{A} = 4 \times (14 - 4) = 4 \times 10 = 40 $.
La pièce restante a une aire de $\mathbf{40}$ cm².
En remplaçant $ x $ par $ 4 $ dans l'expression factorisée, on obtient $ 4 \times (4 - 4) = 4 \times 0 = 0 $ : la formule donne bien une aire nulle.
Cependant, l'énoncé impose $ x > 4 $ : la valeur $ x = 4 $ est exclue car la longueur du rectangle serait alors égale au côté du carré, et la pièce restante n'existerait plus (elle serait réduite à un segment). L'affirmation de Léa est correcte du point de vue du calcul, mais elle correspond à un cas géométriquement impossible dans ce problème.
Aire d’un jardin agrandi : calcul littéral
Un jardin rectangulaire a pour longueur $ x $ mètres et pour largeur $ 8 $ mètres.
On agrandit le jardin en augmentant sa longueur de $ 5 $ mètres ; la largeur reste inchangée.
- Exprimer en fonction de $ x $, sous la forme d'un produit, l'aire $ \mathcal{A} $ du nouveau jardin (en m²).
- Développer cette expression pour l'écrire sous la forme d'une somme.
- Calculer l'aire du nouveau jardin pour $ x = 12 $ mètres.
- Sami affirme : « L'aire du nouveau jardin est égale à l'aire de l'ancien jardin augmentée de $ 40 $ m². » A-t-il raison ? Justifier.
Le nouveau jardin est un rectangle de longueur $ (x + 5) $ m et de largeur $ 8 $ m. Son aire est égale au produit longueur $\times$ largeur :
$ \mathcal{A} = 8 \times (x + 5) $
D'où $ \mathcal{A} $ = $\mathbf{8(x + 5)}$ m².
On développe en distribuant $ 8 $ :
$ \mathcal{A} = 8 \times x + 8 \times 5 = 8x + 40 $
D'où $ \mathcal{A} $ = $\mathbf{8x + 40}$ m².
On remplace $ x $ par $ 12 $ dans l'expression développée :
$ \mathcal{A} = 8 \times 12 + 40 = 96 + 40 = 136 $
L'aire du nouveau jardin est de $\mathbf{136}$ m².
L'aire de l'ancien jardin est $ x \times 8 = 8x $ m².
L'aire du nouveau jardin est $ 8x + 40 $ m².
La différence entre les deux aires est :
$ (8x + 40) - 8x = 40 $
L'aire du nouveau jardin est donc bien égale à l'aire de l'ancien jardin plus $ 40 $ m² : Sami a raison.
Vrai/Faux : Valeur numérique d’une expression
[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Pour $x = 3$, l'expression $2x + 5$ vaut $11$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$2 \times 3 + 5 = 6 + 5 = 11$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On remplace $x$ par $3$ : $2 \times 3 + 5 = 6 + 5 = 11$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $2 \times 3 + 5 = 11$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour $x = -2$, l'expression $x^{2}$ vaut $-4$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$(-2)^{2} = (-2) \times (-2) = +4$. Le carré d'un nombre négatif est positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
$(-2)^{2}$ est le produit de $-2$ par lui-même, donc le produit de deux nombres négatifs : son signe est positif. La valeur correcte est $4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $(-2)^{2} = (-2) \times (-2) = 4$ : un carré est toujours positif.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour $x = 4$, l'expression $3x^{2}$ vaut $48$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On élève d'abord au carré : $4^{2} = 16$. Puis on multiplie : $3 \times 16 = 48$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Les priorités donnent l'exposant avant la multiplication : $3 \times 4^{2} = 3 \times 16 = 48$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $3 \times 4^{2} = 3 \times 16 = 48$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour $x = 1$ et $y = 5$, l'expression $4x - y$ vaut $-1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$4 \times 1 - 5 = 4 - 5 = -1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On remplace $x$ par $1$ et $y$ par $5$ : $4 \times 1 - 5 = -1$. Le résultat est négatif.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $4 \times 1 - 5 = -1$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Si $A = 2x + 1$ et $B = x + x + 1$, alors $A$ et $B$ sont égales pour tout nombre $x$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$x + x = 2x$, donc $B = 2x + 1$. Les deux expressions sont identiques après réduction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$x + x = 2x$ par regroupement de termes semblables. On obtient $B = 2x + 1 = A$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $B = x + x + 1 = 2x + 1 = A$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour prouver que deux expressions sont égales pour tout nombre $x$, il suffit de vérifier qu'elles donnent la même valeur pour trois valeurs particulières.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Tester quelques valeurs ne suffit jamais : pour démontrer une égalité littérale, il faut le calcul littéral (développement, factorisation, réduction).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Un test sur quelques valeurs particulières ne prouve rien : deux expressions peuvent coïncider sur trois valeurs et différer ailleurs. Seul le calcul littéral permet de conclure pour tout $x$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Quelques tests numériques ne suffisent pas. Pour prouver une égalité littérale, il faut développer, factoriser ou réduire pour obtenir la même expression des deux côtés.
[/solution]
[/etape]
QCM : Valeur numérique d’une expression littérale
[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul de la valeur numérique d'une expression littérale. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]
[etape]
Calculer la valeur de $A = 3x + 5$ pour $x = 4$.
[qcm]
[option]$15$[/option]
[option]$12$[/option]
[option]$27$[/option]
[option correct="true"]$17$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$A = 3 \times 4 + 5 = 12 + 5 = 17$.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
Le terme $5$ doit aussi apparaître dans le calcul, pas être ignoré.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
On a oublié d'ajouter le terme $5$ au produit $3 \times 4$.[/reponse]
[reponse motif="$27$"]Non.
Les priorités opératoires donnent la multiplication avant l'addition : $3 \times 4 + 5$, pas $3 \times (4 + 5)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$A = 3 \times 4 + 5 = 12 + 5 = 17$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Calculer la valeur de $B = x^{2} - 2x$ pour $x = 5$.
[qcm]
[option correct="true"]$15$[/option]
[option]$0$[/option]
[option]$-5$[/option]
[option]$35$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$B = 5^{2} - 2 \times 5 = 25 - 10 = 15$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$x^{2}$ ne vaut pas $2x$ : pour $x = 5$, $x^{2} = 25$ et $2x = 10$. Ils sont différents.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
$5^{2} = 25$ (et non $5$). Vérifier le calcul de l'exposant.[/reponse]
[reponse motif="$35$"]Non.
Le second terme est soustrait : $25 - 10 = 15$, pas $25 + 10 = 35$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$B = 5^{2} - 2 \times 5 = 25 - 10 = 15$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Calculer la valeur de $C = 2x + 3y$ pour $x = 4$ et $y = -1$.
[qcm]
[option]$11$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$-5$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$C = 2 \times 4 + 3 \times (-1) = 8 - 3 = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
Attention au signe de $y$ : $3 \times (-1) = -3$, pas $+3$.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Le premier terme reste positif : $2 \times 4 = 8$. Ne pas inverser le signe.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
On ne peut pas négliger le second terme : il faut bien calculer $3 \times (-1) = -3$ et l'ajouter à $8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$C = 2 \times 4 + 3 \times (-1) = 8 + (-3) = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Calculer la valeur de $D = (x - 3)^{2}$ pour $x = 5$.
[qcm]
[option]$22$[/option]
[option]$-4$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$16$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On effectue d'abord la parenthèse : $5 - 3 = 2$, puis le carré : $2^{2} = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$22$"]Non.
La parenthèse doit être effectuée avant l'exposant. Calculer d'abord $5 - 3$.[/reponse]
[reponse motif="$-4$"]Non.
Un nombre élevé au carré est toujours positif, même si la base est négative.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
Le carré porte sur la parenthèse $(x - 3)$, pas sur $x$ tout seul. $(5 - 3)^{2} \neq 5^{2} - 3^{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$D = (5 - 3)^{2} = 2^{2} = 4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Calculer la valeur de $E = 5(x + 2) - 3x$ pour $x = -4$.
[qcm]
[option]$22$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$-22$[/option]
[option]$-2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$E = 5 \times (-4 + 2) - 3 \times (-4) = 5 \times (-2) + 12 = -10 + 12 = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$22$"]Non.
Vérifier la parenthèse : $-4 + 2 = -2$, pas $+2$. Le résultat doit être négatif au début.[/reponse]
[reponse motif="$-22$"]Non.
Attention au signe : $-3 \times (-4) = +12$ (produit de deux nombres négatifs), pas $-12$.[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Non.
Erreur de signe lors de la soustraction : $5 \times (-2) - 3 \times (-4) = -10 + 12$, pas $-10 - 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$E = 5 \times (-4 + 2) - 3 \times (-4) = 5 \times (-2) + 12 = -10 + 12 = 2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $F = 4(x - 1)$ et $G = 4x - 4$. Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $F = G$ ?
[qcm]
[option]uniquement pour $x = 0$[/option]
[option]uniquement pour $x = 1$[/option]
[option correct="true"]pour tout nombre $x$[/option]
[option]pour aucune valeur de $x$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
En développant $F$ : $F = 4 \times x - 4 \times 1 = 4x - 4 = G$. Les deux expressions sont identiques pour tout nombre $x$.[/reponse]
[reponse motif="uniquement pour $x = 0$"]Non.
Tester avec une autre valeur : pour $x = 2$, $F = 4(2 - 1) = 4$ et $G = 4 \times 2 - 4 = 4$. Elles coïncident aussi.[/reponse]
[reponse motif="uniquement pour $x = 1$"]Non.
Tester avec une autre valeur : pour $x = 3$, $F$ et $G$ valent tous deux $8$. Ces expressions ne coïncident pas seulement en $x = 1$.[/reponse]
[reponse motif="pour aucune valeur de $x$"]Non.
Tester avec une valeur quelconque, par exemple $x = 5$ : on trouve $F = G = 16$. Donc elles coïncident bien.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
En développant $F = 4(x - 1) = 4x - 4 = G$. C'est vrai pour tout nombre $x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
