Vrai/Faux : Calcul d’intégrales, aire et valeur moyenne
[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse. Pose chaque calcul avant de te prononcer.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 + 2)\,\mathrm{d}x = 12$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une primitive de $3x^2 + 2$ est $x^3 + 2x$.
Donc $\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 + 2)\,\mathrm{d}x = \left[x^3 + 2x\right]_0^2 = (8 + 4) - 0 = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le réflexe : trouver une primitive (ici $x^3 + 2x$), puis appliquer la formule $F(b) - F(a)$.
$F(2) - F(0) = (8 + 4) - 0 = 12$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left[x^3 + 2x\right]_0^2 = 12$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = 1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $]0~;~+\infty[$ est $\ln x$.
Donc $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln(\mathrm{e}) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$, et $\ln(\mathrm{e}) = 1$, $\ln(1) = 0$.
La différence vaut donc $1 - 0 = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left[\ln x\right]_1^{\mathrm{e}} = 1 - 0 = 1$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos x\,\mathrm{d}x = 2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une primitive de $\cos x$ est $\sin x$.
Donc $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos x\,\mathrm{d}x = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : on confond souvent ce calcul avec $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x = 2$. Ici c'est $\cos$, dont la primitive est $\sin$, et $\sin(\pi) = \sin(0) = 0$.
Le résultat correct est $0$, pas $2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\left[\sin x\right]_0^{\pi} = 0 - 0 = 0$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle contenant les réels $a$ et $b$.
Affirmation : $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = -\displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est la propriété d'inversion des bornes : permuter $a$ et $b$ change le signe de l'intégrale.
Si $F$ est une primitive de $f$ : $F(b) - F(a) = -(F(a) - F(b))$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Cette propriété découle directement de la définition $\displaystyle\int_a^b f = F(b) - F(a)$.
En échangeant $a$ et $b$, le signe change : $F(a) - F(b) = -(F(b) - F(a))$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la propriété d'inversion des bornes : $\displaystyle\int_a^b f = -\displaystyle\int_b^a f$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : La valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[0~;~3]$ vaut $9$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Valeur moyenne $= \dfrac{1}{3 - 0}\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3$.
La valeur correcte est $3$, pas $9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas oublier de diviser par la longueur de l'intervalle : $\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.
Ici $\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = 9$, mais la valeur moyenne s'obtient en divisant par $3$, donc $\mu = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La valeur moyenne vaut $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = 3$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4$.
Affirmation : L'aire (en unité d'aire) du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = -2$ et $x = 2$ est égale à $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^2 - 4)\,\mathrm{d}x$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
Sur $[-2~;~2]$, $f(x) = x^2 - 4 \leqslant 0$ (la parabole est sous l'axe). L'intégrale donne donc un nombre négatif ($-\dfrac{32}{3}$), alors qu'une aire est positive.
L'aire vaut $\displaystyle\int_{-2}^{2} -(x^2 - 4)\,\mathrm{d}x = \dfrac{32}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une intégrale n'est égale à l'aire que si la fonction est positive sur l'intervalle. Ici $x^2 - 4 \leqslant 0$ sur $[-2~;~2]$, donc l'intégrale est négative.
Pour une aire, il faut prendre l'intégrale de l'opposée (ou de la valeur absolue) de $f$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme $f \leqslant 0$ sur $[-2~;~2]$, l'aire vaut $\displaystyle\int_{-2}^{2} -(x^2 - 4)\,\mathrm{d}x = \dfrac{32}{3}$, alors que $\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^2 - 4)\,\mathrm{d}x = -\dfrac{32}{3}$.
[/solution]
[/etape]