L’ombre du lampadaire

[enonce]
Un lampadaire de $5$ m de haut éclaire une personne mesurant $1{,}5$ m. La personne se tient à $7$ m du pied du lampadaire.

On note $L$ le sommet du lampadaire, $B$ son pied, $H$ la tête de la personne, $F$ ses pieds et $S$ le bout de son ombre sur le sol.

Schéma d'un lampadaire éclairant une personne, avec l'ombre projetée au sol. Le rayon lumineux va de L à S en passant par H

Partie 1 : Calculer la longueur de l'ombre $FS$.
Partie 2 : Déterminer à quelle distance du lampadaire la personne doit se placer pour que son ombre mesure exactement $4{,}5$ m.
[/enonce]

[etape]
Les segments $[BL]$ (lampadaire) et $[FH]$ (personne) sont tous les deux perpendiculaires au sol.

Pourquoi les droites $(BL)$ et $(FH)$ sont-elles parallèles ?

[qcm]
[option]Elles ont la même longueur[/option]
[option correct="true"]Elles sont toutes les deux perpendiculaires à une même droite (le sol)[/option]
[option]Le rayon lumineux les relie[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Ici, $(BL)$ et $(FH)$ sont toutes les deux perpendiculaires au sol.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$(BL) /\!/ (FH)$ car elles sont toutes les deux perpendiculaires au sol.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Les droites $(BL)$ et $(FH)$ sont parallèles, coupées par deux sécantes : le sol $(BS)$ et le rayon lumineux $(LS)$.

Quelle est l'égalité de rapports donnée par le théorème de Thalès ?

[qcm]
[option]$\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{BL}{FH}$[/option]
[option]$\dfrac{BF}{SB} = \dfrac{FH}{BL}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{FH}{BL}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. Le sommet de la configuration est $S$ (point d'intersection des sécantes). Les rapports partent du sommet $S$ : $\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{FH}{BL}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{BL}{FH}$"]L'ordre des rapports doit être cohérent. Si au numérateur on a $SF$ (le plus petit côté depuis $S$), alors au numérateur du second rapport on doit avoir $FH$ (la plus petite hauteur), pas $BL$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le sommet de la configuration est $S$. Les rapports partent de $S$ : le segment du petit triangle au numérateur, celui du grand triangle au dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Le théorème de Thalès donne : $\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{FH}{BL}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur de l'ombre $SF$.

$SF = $ [[sf]] m

[math id="sf" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]Exact.
$\dfrac{SF}{SF + 7} = \dfrac{1{,}5}{5} = \dfrac{3}{10}$
$10 \times SF = 3 \times (SF + 7)$
$10 \, SF = 3 \, SF + 21$
$7 \, SF = 21$
$SF = 3$ m.[/reponse]
[reponse motif="7"]Tu as peut-être confondu $SF$ et $BF$. La longueur $BF = 7$ m est la distance entre le lampadaire et la personne, pas la longueur de l'ombre.[/reponse]
[reponse motif="10"]Tu as peut-être calculé $SB$ (la distance totale du bout de l'ombre au lampadaire) au lieu de $SF$ (la longueur de l'ombre seule).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Écris l'égalité de Thalès avec les valeurs numériques, puis résous par produit en croix.[/reponse]
[aide essai="2"]Les points sont dans l'ordre $B$, $F$, $S$ sur le sol, donc $SB = SF + 7$.
L'équation devient $\dfrac{SF}{SF + 7} = \dfrac{1{,}5}{5}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{SF}{SF + 7} = \dfrac{3}{10}$, donc $10 \, SF = 3 \, SF + 21$, d'où $SF = 3$.[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{SF}{SF + 7} = \dfrac{3}{10}$, donc $10 \, SF = 3 \, SF + 21$, d'où $SF = 3$ m.
[/solution]
[/etape]

[etape]
La personne veut maintenant que son ombre mesure exactement $4{,}5$ m. On note $d$ la nouvelle distance entre la personne et le pied du lampadaire.

Quelle équation permet de trouver $d$ ?

[qcm]
[option]$\dfrac{d}{4{,}5 + d} = \dfrac{1{,}5}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{4{,}5}{d} = \dfrac{1{,}5}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{4{,}5}{4{,}5 + d} = \dfrac{1{,}5}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. On remplace $SF$ par $4{,}5$ et $BF$ par $d$ dans l'égalité de Thalès : $\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{FH}{BL}$, soit $\dfrac{4{,}5}{4{,}5 + d} = \dfrac{1{,}5}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{d}{4{,}5 + d} = \dfrac{1{,}5}{5}$"]Le numérateur du premier rapport est $SF$ (la longueur de l'ombre), pas $d$ (la distance au lampadaire). Le rapport de Thalès est $\dfrac{SF}{SB}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]On réutilise la même égalité de Thalès $\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{FH}{BL}$ avec $SF = 4{,}5$ et $SB = SF + d = 4{,}5 + d$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
L'équation est $\dfrac{4{,}5}{4{,}5 + d} = \dfrac{1{,}5}{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Résoudre l'équation $\dfrac{4{,}5}{4{,}5 + d} = \dfrac{1{,}5}{5}$ pour trouver $d$.

$d = $ [[dist]] m

[math id="dist" attendu="10.5"]
[reponse statut="correct"]Exact.
$\dfrac{4{,}5}{4{,}5 + d} = \dfrac{3}{10}$
$10 \times 4{,}5 = 3 \times (4{,}5 + d)$
$45 = 13{,}5 + 3d$
$3d = 31{,}5$
$d = 10{,}5$ m.[/reponse]
[reponse motif="15"]Tu as peut-être calculé $SB = 4{,}5 + d$ au lieu de $d$ seul. La question demande la distance au lampadaire, pas la distance totale $SB$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utilise le produit en croix, puis isole $d$.[/reponse]
[aide essai="2"]Simplifie d'abord : $\dfrac{1{,}5}{5} = \dfrac{3}{10}$.
Puis produit en croix : $10 \times 4{,}5 = 3 \times (4{,}5 + d)$, soit $45 = 13{,}5 + 3d$.[/aide]
[aide essai="3"]$3d = 45 - 13{,}5 = 31{,}5$, donc $d = \dfrac{31{,}5}{3} = 10{,}5$.[/aide]
[/math]
[solution]
$45 = 13{,}5 + 3d$, donc $3d = 31{,}5$, d'où $d = 10{,}5$ m.
La personne doit se placer à $10{,}5$ m du lampadaire.
[/solution]
[/etape]

QCM : Longueurs intermédiaires avec Thalès

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul de longueurs intermédiaires et les applications concrètes du théorème de Thalès. Pour chaque question, choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans cet ordre. Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 3$ cm, $BD = 2$ cm et $AC = 4{,}5$ cm.

Que vaut $CE$ ?

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C sur les côtés, D et E en bas, (BC) parallèle à (DE). AB = 3, BD = 2, AC = 4,5, CE = ?

[qcm]
[option]$7{,}5$ cm[/option]
[option]$1{,}5$ cm[/option]
[option]$5$ cm[/option]
[option correct="true"]$3$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule d'abord $AD = AB + BD = 3 + 2 = 5$ cm.
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, soit $\dfrac{3}{5} = \dfrac{4{,}5}{AE}$.
Par produit en croix : $AE = \dfrac{4{,}5 \times 5}{3} = 7{,}5$ cm.
Puis $CE = AE - AC = 7{,}5 - 4{,}5 = 3$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}5$ cm"]Non.
Tu as trouvé $AE = 7{,}5$ cm, mais la question demande $CE$, pas $AE$.
$CE$ est un sous-segment de $[AE]$ : il faut soustraire $AC$.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}5$ cm"]Non.
Tu as probablement soustrait $AC - AB = 4{,}5 - 3 = 1{,}5$, mais ce calcul ne correspond pas à $CE$.
Il faut d'abord calculer $AE$ avec le théorème de Thalès, puis en déduire $CE = AE - AC$.[/reponse]
[reponse motif="$5$ cm"]Non.
Tu as trouvé $AD = AB + BD = 5$ cm, mais la question demande $CE$, pas $AD$.
Utilise le théorème de Thalès pour calculer $AE$, puis déduis $CE$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule d'abord $AD = AB + BD$, puis utilise $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$ pour trouver $AE$, et enfin $CE = AE - AC$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Que vaut $AB$ ?

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C sur les côtés, D et E en bas. BD = 8, AC = 4, AE = 9, AB = ?

[qcm]
[option correct="true"]$6{,}4$ cm[/option]
[option]$\dfrac{32}{9}$ cm[/option]
[option]$4{,}5$ cm[/option]
[option]$1{,}6$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On pose $AB = x$, d'où $AD = AB + BD = x + 8$.
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, soit $\dfrac{x}{x + 8} = \dfrac{4}{9}$.
Par produit en croix : $9x = 4(x + 8) = 4x + 32$.
On résout : $5x = 32$, donc $x = \dfrac{32}{5} = 6{,}4$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{32}{9}$ cm"]Non.
Tu as utilisé $BD = 8$ au lieu de $AD = AB + BD$ dans le rapport.
Attention : le théorème de Thalès utilise la longueur $AD$ (de $A$ à $D$), pas $BD$.
Comme on ne connaît pas $AD$, il faut poser $AB = x$ et écrire $AD = x + 8$.[/reponse]
[reponse motif="$4{,}5$ cm"]Non.
Tu as probablement calculé $\dfrac{AC \times AE}{BD}$, mais ce n'est pas le bon calcul.
Pose $AB = x$ et utilise $\dfrac{x}{x+8} = \dfrac{4}{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}6$ cm"]Non.
Tu as probablement développé $4(x + 8)$ en $4x + 8$ au lieu de $4x + 32$.
Attention au développement : $4 \times (x + 8) = 4x + 4 \times 8 = 4x + 32$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pose $AB = x$, écris $AD = x + 8$, puis résous l'équation $\dfrac{x}{x+8} = \dfrac{4}{9}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un bâton vertical de $1{,}2$ m planté dans le sol projette une ombre de $0{,}8$ m. Au même instant, un arbre projette une ombre de $6$ m.

Quelle est la hauteur de l'arbre ?

Schéma : un arbre et un bâton avec leurs ombres au sol, les rayons du soleil sont parallèles

[qcm]
[option]$4$ m[/option]
[option]$7{,}2$ m[/option]
[option]$5$ m[/option]
[option correct="true"]$9$ m[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les rayons du soleil sont parallèles, donc les triangles formés sont en situation de Thalès.
On a la proportionnalité : $\dfrac{\text{hauteur arbre}}{\text{hauteur bâton}} = \dfrac{\text{ombre arbre}}{\text{ombre bâton}}$, soit $\dfrac{H}{1{,}2} = \dfrac{6}{0{,}8}$.
Par produit en croix : $H = \dfrac{6 \times 1{,}2}{0{,}8} = \dfrac{7{,}2}{0{,}8} = 9$ m.[/reponse]
[reponse motif="$4$ m"]Non.
Tu as inversé le produit en croix : tu as calculé $\dfrac{0{,}8 \times 6}{1{,}2}$ au lieu de $\dfrac{6 \times 1{,}2}{0{,}8}$.
Reprends la proportionnalité et vérifie quel terme est au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}2$ m"]Non.
Tu as calculé $6 \times 1{,}2 = 7{,}2$ mais tu as oublié de diviser par $0{,}8$.
La proportionnalité donne $H = \dfrac{6 \times 1{,}2}{0{,}8}$.[/reponse]
[reponse motif="$5$ m"]Non.
Tu as calculé $\dfrac{6}{1{,}2} = 5$, mais tu n'as pas utilisé l'ombre du bâton.
La proportionnalité fait intervenir les deux ombres et la hauteur du bâton.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise la proportionnalité $\dfrac{H}{1{,}2} = \dfrac{6}{0{,}8}$ et isole $H$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Que vaut $BD$ ?

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C sur les côtés, D et E en bas. AB = 5, AC = 3, AE = 4,5, BD = ?

[qcm]
[option]$7{,}5$ cm[/option]
[option correct="true"]$2{,}5$ cm[/option]
[option]$1{,}5$ cm[/option]
[option]$4{,}5$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, soit $\dfrac{5}{AD} = \dfrac{3}{4{,}5}$.
Par produit en croix : $AD = \dfrac{5 \times 4{,}5}{3} = \dfrac{22{,}5}{3} = 7{,}5$ cm.
Puis $BD = AD - AB = 7{,}5 - 5 = 2{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}5$ cm"]Non.
Tu as trouvé $AD = 7{,}5$ cm, mais la question demande $BD$, pas $AD$.
$BD$ est un sous-segment de $[AD]$ : il faut soustraire $AB$.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}5$ cm"]Non.
Tu as probablement calculé $AE - AC = 4{,}5 - 3 = 1{,}5$ cm, mais c'est la longueur $CE$, pas $BD$.
Il faut calculer $AD$ avec le théorème de Thalès, puis en déduire $BD = AD - AB$.[/reponse]
[reponse motif="$4{,}5$ cm"]Non.
Tu as donné la valeur de $AE$, pas celle de $BD$.
Calcule d'abord $AD$ avec le théorème de Thalès, puis déduis $BD = AD - AB$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise $\dfrac{5}{AD} = \dfrac{3}{4{,}5}$ pour calculer $AD$, puis calcule $BD = AD - AB$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$M$ est le point d'intersection des droites $(AC)$ et $(BD)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
On donne $MA = 3$ cm, $MC = 2$ cm et $MD = 5$ cm.

Que vaut $MB$ ?

[qcm]
[option]$\dfrac{10}{3}$ cm[/option]
[option]$\dfrac{6}{5}$ cm[/option]
[option correct="true"]$7{,}5$ cm[/option]
[option]$6$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MB}{MD}$, soit $\dfrac{3}{2} = \dfrac{MB}{5}$.
Par produit en croix : $MB = \dfrac{3 \times 5}{2} = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{10}{3}$ cm"]Non.
Tu as inversé les rôles de $MA$ et $MC$ dans le rapport.
Reprends l'égalité $\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MB}{MD}$ et vérifie quel terme est au numérateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6}{5}$ cm"]Non.
Tu as inversé le produit en croix.
L'égalité $\dfrac{3}{2} = \dfrac{MB}{5}$ donne $MB$ au numérateur, pas au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$6$ cm"]Non.
Tu as probablement combiné les longueurs ($5 + 3 - 2$), mais le théorème de Thalès donne une relation de proportionnalité.
Utilise $\dfrac{3}{2} = \dfrac{MB}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'égalité $\dfrac{3}{2} = \dfrac{MB}{5}$ et effectue un produit en croix.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les points $A$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans cet ordre. Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 2$ cm, $AD = 7$ cm et $BC = 3$ cm.

Que vaut $DE$ ?

[qcm]
[option]$7{,}5$ cm[/option]
[option]$\dfrac{6}{7}$ cm[/option]
[option]$21$ cm[/option]
[option correct="true"]$10{,}5$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{DE}$.
Par produit en croix : $DE = \dfrac{3 \times 7}{2} = \dfrac{21}{2} = 10{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}5$ cm"]Non.
Tu as utilisé $BD = AD - AB = 7 - 2 = 5$ au lieu de $AD = 7$ dans le rapport.
Attention : le théorème de Thalès utilise $AD$, pas $BD$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6}{7}$ cm"]Non.
Tu as inversé le produit en croix.
Reprends l'égalité $\dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{DE}$ et vérifie que $DE$ est au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$21$ cm"]Non.
Tu as calculé $3 \times 7 = 21$ mais tu as oublié de diviser par $2$.
Le produit en croix donne $DE = \dfrac{3 \times 7}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'égalité $\dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{DE}$ et effectue un produit en croix.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Thalès — longueurs intermédiaires

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm et $DE = 6$ cm.

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C sur les côtés, D et E en bas

Affirmation : $BD = 4{,}5$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{3}{AD} = \dfrac{4}{6}$.
On obtient $AD = \dfrac{3 \times 6}{4} = 4{,}5$ cm.
Puis $BD = AD - AB = 4{,}5 - 3 = 1{,}5$ cm, et non $4{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre $AD$ et $BD$.
Le calcul donne $AD = 4{,}5$ cm, mais $BD = AD - AB = 4{,}5 - 3 = 1{,}5$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $AD = 4{,}5$ cm, donc $BD = AD - AB = 1{,}5$ cm, pas $4{,}5$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $A$ est le point d'intersection des droites $(BD)$ et $(CE)$, et les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 2$ cm, $AD = 3$ cm et $DE = 9$ cm.

Configuration de Thalès en papillon : A au centre, B et C en haut, D et E en bas

Affirmation : $BC = 6$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{2}{3} = \dfrac{BC}{9}$.
Par produit en croix : $BC = \dfrac{2 \times 9}{3} = 6$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans la configuration en papillon, le théorème de Thalès s'applique de la même façon.
$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, donc $\dfrac{2}{3} = \dfrac{BC}{9}$, d'où $BC = 6$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{BC}{9}$ donne $BC = 6$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AD = 8$ cm, $BD = 3$ cm et $AE = 12$ cm.

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C sur les côtés, D et E en bas, avec BD donné

Affirmation : $CE = 3$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule d'abord $AB = AD - BD = 8 - 3 = 5$ cm.
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, soit $\dfrac{5}{8} = \dfrac{AC}{12}$.
On obtient $AC = \dfrac{5 \times 12}{8} = 7{,}5$ cm, puis $CE = AE - AC = 12 - 7{,}5 = 4{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de croire que $CE = BD = 3$, mais les segments intermédiaires ne sont pas forcément égaux.
En calculant : $AB = 8 - 3 = 5$ cm, $AC = \dfrac{5 \times 12}{8} = 7{,}5$ cm, donc $CE = 12 - 7{,}5 = 4{,}5$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $AB = 5$ cm, $AC = 7{,}5$ cm, donc $CE = 12 - 7{,}5 = 4{,}5$ cm, pas $3$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 4$ cm, $AD = 6$ cm, $AC = 6$ cm et $AE = 9$ cm.

Affirmation : $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CE}{AE}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$BD = AD - AB = 6 - 4 = 2$ et $CE = AE - AC = 9 - 6 = 3$.
$\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{CE}{AE} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
Les rapports sont bien égaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$. En soustrayant chaque côté de $1$, on obtient $1 - \dfrac{AB}{AD} = 1 - \dfrac{AC}{AE}$, soit $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CE}{AE}$.
Ici : $\dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{CE}{AE}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans une configuration de Thalès où $(BC) /\!/ (DE)$, on a toujours $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BC}{DE}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, pas $\dfrac{AB}{BD}$.
Par exemple, avec $AB = 4$, $AD = 6$ et $BC = 2$ : $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ et $DE = 3$, mais $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{4}{2} = 2 \neq \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre $AD$ (longueur totale) et $BD$ (longueur intermédiaire) dans la formule.
Le théorème de Thalès affirme $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, et non $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BC}{DE}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le théorème donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, pas $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BC}{DE}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires à la droite $(d)$.
Les points $E$, $A$, $C$ sont alignés sur $(d)$ et les points $E$, $B$, $D$ sont alignés.
On donne $EA = 4$ cm, $EC = 10$ cm et $AB = 3$ cm.

Deux segments perpendiculaires à une droite d formant une configuration de Thalès avec deux triangles rectangles

Affirmation : $CD = 7{,}5$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont toutes deux perpendiculaires à $(d)$, donc elles sont parallèles.
On reconnaît une configuration de Thalès de sommet $E$ : $\dfrac{EA}{EC} = \dfrac{AB}{CD}$, soit $\dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{CD}$.
Par produit en croix : $CD = \dfrac{3 \times 10}{4} = 7{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
On peut donc appliquer le théorème de Thalès : $\dfrac{EA}{EC} = \dfrac{AB}{CD}$, d'où $CD = \dfrac{3 \times 10}{4} = 7{,}5$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $(AB) \perp (d)$ et $(CD) \perp (d)$, donc $(AB) /\!/ (CD)$. Le théorème de Thalès donne $CD = 7{,}5$ cm.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Calculs de longueurs avec Thalès

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le théorème de Thalès, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 3$ cm, $AD = 5$ cm et $BC = 4$ cm.

Affirmation : $DE = \dfrac{20}{3}$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
D'après le théorème de Thalès : $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{DE}$.
Par produit en croix : $DE = \dfrac{4 \times 5}{3} = \dfrac{20}{3}$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut écrire l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès, puis isoler $DE$ par un produit en croix.
$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, donc $\dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{DE}$, d'où $DE = \dfrac{4 \times 5}{3} = \dfrac{20}{3}$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le théorème de Thalès donne $\dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{DE}$, soit $DE = \dfrac{20}{3}$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $A$ est le point d'intersection des droites $(BD)$ et $(CE)$, et les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 4$ cm, $AD = 6$ cm et $BC = 5$ cm.

Affirmation : $DE = \dfrac{10}{3}$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{DE}$.
Par produit en croix : $DE = \dfrac{5 \times 6}{4} = \dfrac{30}{4} = 7{,}5$ cm, et non $\dfrac{10}{3}$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas inverser le rapport dans le produit en croix.
La valeur $\dfrac{10}{3}$ correspond à $\dfrac{5 \times 4}{6}$, ce qui revient à inverser numérateur et dénominateur.
Le calcul correct est : $DE = \dfrac{5 \times 6}{4} = 7{,}5$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{DE}$ donne $DE = \dfrac{30}{4} = 7{,}5$ cm, pas $\dfrac{10}{3}$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(SU)$ et $(TV)$ sont parallèles.
On donne $RS = 2$ cm, $ST = 3$ cm et $RU = 3$ cm.

Configuration de Thalès en triangle : R en haut, S et U sur les côtés, T et V en bas

Affirmation : $UV = 4{,}5$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule d'abord $RT = RS + ST = 2 + 3 = 5$ cm.
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{RS}{RT} = \dfrac{RU}{RV}$, soit $\dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{RV}$.
On obtient $RV = \dfrac{3 \times 5}{2} = 7{,}5$ cm, puis $UV = RV - RU = 7{,}5 - 3 = 4{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut d'abord calculer $RT = RS + ST = 5$ cm, puis utiliser le théorème de Thalès pour trouver $RV$.
$\dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{RV}$ donne $RV = 7{,}5$ cm, d'où $UV = 7{,}5 - 3 = 4{,}5$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $RT = 5$ cm, $RV = 7{,}5$ cm, donc $UV = RV - RU = 4{,}5$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $B$, $D$ sont alignés et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés. Aucune autre information n'est donnée.

Cinq points alignés deux à deux sans information de parallélisme

Affirmation : On peut affirmer, d'après le théorème de Thalès, que $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On ne dispose d'aucune information sur le parallélisme des droites $(BC)$ et $(DE)$.
Le théorème de Thalès ne peut pas s'appliquer sans cette hypothèse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le théorème de Thalès nécessite que les droites $(BC)$ et $(DE)$ soient parallèles.
Ici, rien dans l'énoncé ne permet de l'affirmer : on ne peut donc pas écrire cette égalité de rapports.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le théorème de Thalès exige que $(BC) /\!/ (DE)$, ce qui n'est pas donné ici.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles dans une configuration de Thalès, alors $BC = DE$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Deux segments portés par des droites parallèles n'ont pas forcément la même longueur.
Le théorème de Thalès donne une proportionnalité entre les longueurs, pas une égalité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « parallèle » et « de même longueur ».
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AB}{AD}$, et ce rapport n'est en général pas égal à $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le parallélisme implique une proportionnalité des longueurs, pas une égalité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $A$ est le point d'intersection des droites $(BD)$ et $(CE)$, et les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 3$ cm, $AD = 9$ cm et $BC = 2$ cm.

Configuration de Thalès en papillon : A au centre, B et C en haut, D et E en bas avec rapport 1 sur 3

Affirmation : $DE = 6$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{3}{9} = \dfrac{2}{DE}$.
Par produit en croix : $DE = \dfrac{2 \times 9}{3} = 6$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le rapport vaut $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
Comme $\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{1}{3}$, on obtient $DE = 2 \times 3 = 6$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{3}{9} = \dfrac{2}{DE}$ donne $DE = 6$ cm.
[/solution]
[/etape]

Losange dans un triangle

$ ABC $ est un triangle quelconque tel que $ AB = 7 $cm, $ AC= 5 $cm et $ BC = 4 $cm.
$ M $ est un point du segment $ \left[ BC \right] . $
La parallèle à la droite $ \left( AB \right) $ passant par $ M $ coupe le côté $ [AC] $ en $ N. $
La parallèle à la droite $ \left( AC \right) $ passant par $ M $ coupe le côté $ [AB] $ en $ P. $

Triangle ABC avec le losange APMN formé par les parallèles issues de M

À quelle distance du point $ C $ faut-il placer le point $ M $ pour que le quadrilatère $ APMN $ soit un losange ?
Sans utiliser le résultat de la question précédente, construire le point $ M $ à l'aide d'une règle non graduée et d'un compas.

Corrigé

On sait déjà que $ APMN $ est un parallélogramme car les droites $ \left( MN \right) $ et $ \left( AP \right) $ sont parallèles ainsi que les droites $ \left( MP \right) et \left( AN \right). $

Pour que ce soit un losange il faut et il suffit que $ MN = MP. $

Calculons $ MP $ puis $ MN $ en utilisant le théorème de Thalès :
- Calcul de $ MP $
  
  Posons $ x = MC. $
  
  On a alors :
  $ BM = BC -MC = 4 -x $
  
  Les droites $ \left( MP \right) $ et $ \left( AC \right) $ sont parallèles ; les points $ B, M, C $ et les points $ B, P, A $ sont alignés.
  
  Donc, d'après le théorème de Thalès :
  
  $ \dfrac{ BM }{ BC } = \dfrac{ MP }{ AC } = \dfrac{ BP }{ AB } $
  
  La première égalité donne :
  
  $ \dfrac{ 4-x }{ 4 } = \dfrac{ MP }{ 5 } $
  
  donc, avec un produit en croix :
  
  $ 4 MP = 5 \left( 4-x \right) $
  
  $ MP = \dfrac{ 5 \left( 4-x \right) }{ 4 }. $
- Calcul de MN
  
  De même, les droites $ \left( MN \right) $ et $ \left( AB \right) $ sont parallèles et les points $ C, M, B $ et $ C, N, A $ sont alignés.
  
  Par conséquent :
  
  $ \dfrac{ CM }{ BC } = \dfrac{ MN }{ AB } = \dfrac{ CN }{ CA } $
  
  L'égalité des deux premiers quotients équivaut à :
  
  $ \dfrac{ x }{ 4 } = \dfrac{ MN }{ 7 } $
  
  soit : $ 4 MN = 7x $
  $ MN = \dfrac{ 7x }{ 4 }. $
- Conclusion
  
  $ APMN $ est donc un losange si et seulement si :
  
  $ MP = MN $
  
  $ \dfrac{ 5(4-x) }{ 4 } = \dfrac{ 7x }{ 4 } $
  
  $ 5 \left( 4 -x \right) = 7x $
  $ 20 -5x = 7x $
  $ 20 = 7x + 5x $
  $ 12x = 20 $
  
  $ x = \dfrac{ 5 }{ 3 } $
  
  Il faut placer le point $ M $ à $ \dfrac{ 5 }{ 3 } $cm ( $ \approx 1{,}67 $ cm) de $ C $ pour que le quadrilatère $ APMN $ soit un losange.
Les diagonales d'un losange sont des axes de symétrie de ce losange.

Donc, si $ APMN $ est un losange, la droite $ \left( AM \right) $ est un axe de symétrie donc une bissectrice de l'angle $ \widehat{ PAN } $ qui est aussi l'angle $ \widehat{ BAC }. $

Pour placer le point $ M $, il suffit donc de construire au compas la bissectrice de l'angle $ \widehat{ BAC }. $

$ M $ est alors le point d'intersection de cette bissectrice avec le côté $ \left[ BC \right] $ :

Théorème de Thalès et parallélogramme

Sur la figure ci-dessous, $ ABCD $ est un parallélogramme. $ N $ est un point du côté $ \left[ AD \right] . $

La parallèle à la droite $ \left( AB \right) $ passant par $ N $ coupe la diagonale $ \left[ AC \right] $ en $ M $.

Enfin, la droite $ \left( BM \right) $ coupe la droite $ \left( AD \right) $ en $ I $.

Parallélogramme ABCD avec point N sur AD, droite parallèle à AB par N coupant AC en M, droite BM coupant AD en I

Montrer que :

$ \dfrac{ NM }{ AB } = \dfrac{ NI }{ AI } $
Montrer que :

$ \dfrac{ NM }{ DC } = \dfrac{ AN }{ AD } $
En déduire que :

$ \dfrac{ NI }{ AI } = \dfrac{ AN }{ AD }. $
Application numérique :
Calculer la longueur $ NI $ sachant que $ AN = 2 $ cm et $ AD = 6 $ cm.
(Question subsidiaire) Que peut-on dire de la position du point $ I $ lorsque l'on modifie la position du point $ B $ ?

Corrigé

Les triangles $ IAB $ et $ INM $ sont en situation de Thalès ; en effet :
- les points $ I $, $ N $ et $ A $ sont alignés
- les points $ I $, $ M $ et $ B $ sont alignés
- les droites $ \left( MN \right) $ et $ \left( AB \right) $ sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a donc :

$ \dfrac{ NM }{ AB } = \dfrac{ NI }{ AI } = \dfrac{ MI }{ BI } . $

(Le troisième rapport $ \dfrac{ MI }{ BI } $ sera inutile pour cet exercice.)
De même, les triangles $ ANM $ et $ ACD $ sont en situation de Thalès car :
- les points $ D $, $ N $ et $ A $ sont alignés
- les points $ C $, $ M $ et $ A $ sont alignés
- les droites $ \left( MN \right) $ et $ \left( DC \right) $ sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès :

$ \dfrac{ NM }{ DC } = \dfrac{ AN }{ AD } = \dfrac{ AM }{ AC } $
Comme $ ABCD $ est un parallélogramme, $ AB=DC $ donc $ \dfrac{ NM }{ AB } = \dfrac{ NM }{ DC } $ et donc les rapports des questions 1. et 2. sont tous égaux.

En particulier :

$ \dfrac{ NI }{ AI } = \dfrac{ AN }{ AD }. $
Application numérique :
Posons $ NI = x. $

Alors :
$ AI=AN+NI=x+2 $

D'après la question précédente, on a donc :

$ \dfrac{ x }{ x+2 } = \dfrac{ 2 }{ 6 } $

En effectuant le produit en croix cette équation s'écrit :

$ 6x=2 \left( x+2 \right) $
$ 6x=2x+4 $
$ 6x - 2x=4 $
$ 4x=4 $
$ x=1 $

La longueur $ NI $ mesure donc 1 cm.
La position du point $ I $ reste inchangée lorsque l'on modifie la position du point $ B $ (à partir du moment où $ ABCD $ est un parallélogramme et où l'on suit les consignes de l'énoncé. ).
On peut d'ailleurs vérifier ce résultat à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique comme geogebra.

En effet, le résultat de la question 3. montre que la distance $ NI $ ne dépend que de la position de $ A $, $ N $ et $ D $ et ne dépend ni de la distance $ AB $ ni de la mesure de l'angle $ \widehat{ DAB } . $

Th. de Thalès (Brevet 2013)

(D'après Brevet Centres étrangers 2013)

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

On considère la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur.

Figure géométrique théorème de Thalès : carré BCDE avec droite AF coupant BE en M

$ BCDE $ est un carré de $ 6 $ cm de côté.

Les points $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés et $ AB=3 $cm.

$ F $ est un point du segment $ \left[CD\right] $.

La droite $ \left(AF\right) $ coupe le segment $ \left[BE\right] $ en $ M $.

Déterminer la longueur $ CF $ pour que les longueurs $ BM $ et $ FD $ soient égales.

Corrigé

Notons $ x=CF $.
Comme les points $ C, F $ et $ D $ sont alignés :

$ FD=CD-CF=6-x \qquad $(1)

Comme $ BCDE $ est un carré, les droites $ \left(BE\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès :

$ \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AM}{AF}=\dfrac{BM}{CF} $

$ \dfrac{3}{9}=\dfrac{AM}{AF}=\dfrac{BM}{x} $

De l'égalité $ \dfrac{3}{9}=\dfrac{BM}{x} $, on déduit :

$ BM=\dfrac{3x}{9}=\dfrac{x}{3} \qquad $(2)

En utilisant les égalités (1) et (2), on peut dire que les longueurs $ FD $ et $ BM $ sont donc égales lorsque :

$ 6-x=\dfrac{x}{3} $

$ 6=\dfrac{x}{3}+x $

$ 6=\dfrac{4}{3}x $

$ \dfrac{4}{3}x=6 $

$ x=6\times \dfrac{3}{4} $

$ x=4{,}5 $

Les longueurs $ BM $ et $ FD $ sont donc égales lorsque $ CF $ vaut $ 4{,}5 $cm.