L’ombre du lampadaire
[enonce]
Un lampadaire de $5$ m de haut éclaire une personne mesurant $1{,}5$ m. La personne se tient à $7$ m du pied du lampadaire.
On note $L$ le sommet du lampadaire, $B$ son pied, $H$ la tête de la personne, $F$ ses pieds et $S$ le bout de son ombre sur le sol.
Partie 1 : Calculer la longueur de l'ombre $FS$.
Partie 2 : Déterminer à quelle distance du lampadaire la personne doit se placer pour que son ombre mesure exactement $4{,}5$ m.
[/enonce]
[etape]
Les segments $[BL]$ (lampadaire) et $[FH]$ (personne) sont tous les deux perpendiculaires au sol.
Pourquoi les droites $(BL)$ et $(FH)$ sont-elles parallèles ?
[qcm]
[option]Elles ont la même longueur[/option]
[option correct="true"]Elles sont toutes les deux perpendiculaires à une même droite (le sol)[/option]
[option]Le rayon lumineux les relie[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Ici, $(BL)$ et $(FH)$ sont toutes les deux perpendiculaires au sol.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$(BL) /\!/ (FH)$ car elles sont toutes les deux perpendiculaires au sol.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Les droites $(BL)$ et $(FH)$ sont parallèles, coupées par deux sécantes : le sol $(BS)$ et le rayon lumineux $(LS)$.
Quelle est l'égalité de rapports donnée par le théorème de Thalès ?
[qcm]
[option]$\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{BL}{FH}$[/option]
[option]$\dfrac{BF}{SB} = \dfrac{FH}{BL}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{FH}{BL}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. Le sommet de la configuration est $S$ (point d'intersection des sécantes). Les rapports partent du sommet $S$ : $\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{FH}{BL}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{BL}{FH}$"]L'ordre des rapports doit être cohérent. Si au numérateur on a $SF$ (le plus petit côté depuis $S$), alors au numérateur du second rapport on doit avoir $FH$ (la plus petite hauteur), pas $BL$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le sommet de la configuration est $S$. Les rapports partent de $S$ : le segment du petit triangle au numérateur, celui du grand triangle au dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Le théorème de Thalès donne : $\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{FH}{BL}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Calculer la longueur de l'ombre $SF$.
$SF = $ [[sf]] m
[math id="sf" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]Exact.
$\dfrac{SF}{SF + 7} = \dfrac{1{,}5}{5} = \dfrac{3}{10}$
$10 \times SF = 3 \times (SF + 7)$
$10 \, SF = 3 \, SF + 21$
$7 \, SF = 21$
$SF = 3$ m.[/reponse]
[reponse motif="7"]Tu as peut-être confondu $SF$ et $BF$. La longueur $BF = 7$ m est la distance entre le lampadaire et la personne, pas la longueur de l'ombre.[/reponse]
[reponse motif="10"]Tu as peut-être calculé $SB$ (la distance totale du bout de l'ombre au lampadaire) au lieu de $SF$ (la longueur de l'ombre seule).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Écris l'égalité de Thalès avec les valeurs numériques, puis résous par produit en croix.[/reponse]
[aide essai="2"]Les points sont dans l'ordre $B$, $F$, $S$ sur le sol, donc $SB = SF + 7$.
L'équation devient $\dfrac{SF}{SF + 7} = \dfrac{1{,}5}{5}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{SF}{SF + 7} = \dfrac{3}{10}$, donc $10 \, SF = 3 \, SF + 21$, d'où $SF = 3$.[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{SF}{SF + 7} = \dfrac{3}{10}$, donc $10 \, SF = 3 \, SF + 21$, d'où $SF = 3$ m.
[/solution]
[/etape]
[etape]
La personne veut maintenant que son ombre mesure exactement $4{,}5$ m. On note $d$ la nouvelle distance entre la personne et le pied du lampadaire.
Quelle équation permet de trouver $d$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{d}{4{,}5 + d} = \dfrac{1{,}5}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{4{,}5}{d} = \dfrac{1{,}5}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{4{,}5}{4{,}5 + d} = \dfrac{1{,}5}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. On remplace $SF$ par $4{,}5$ et $BF$ par $d$ dans l'égalité de Thalès : $\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{FH}{BL}$, soit $\dfrac{4{,}5}{4{,}5 + d} = \dfrac{1{,}5}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{d}{4{,}5 + d} = \dfrac{1{,}5}{5}$"]Le numérateur du premier rapport est $SF$ (la longueur de l'ombre), pas $d$ (la distance au lampadaire). Le rapport de Thalès est $\dfrac{SF}{SB}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]On réutilise la même égalité de Thalès $\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{FH}{BL}$ avec $SF = 4{,}5$ et $SB = SF + d = 4{,}5 + d$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
L'équation est $\dfrac{4{,}5}{4{,}5 + d} = \dfrac{1{,}5}{5}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Résoudre l'équation $\dfrac{4{,}5}{4{,}5 + d} = \dfrac{1{,}5}{5}$ pour trouver $d$.
$d = $ [[dist]] m
[math id="dist" attendu="10.5"]
[reponse statut="correct"]Exact.
$\dfrac{4{,}5}{4{,}5 + d} = \dfrac{3}{10}$
$10 \times 4{,}5 = 3 \times (4{,}5 + d)$
$45 = 13{,}5 + 3d$
$3d = 31{,}5$
$d = 10{,}5$ m.[/reponse]
[reponse motif="15"]Tu as peut-être calculé $SB = 4{,}5 + d$ au lieu de $d$ seul. La question demande la distance au lampadaire, pas la distance totale $SB$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utilise le produit en croix, puis isole $d$.[/reponse]
[aide essai="2"]Simplifie d'abord : $\dfrac{1{,}5}{5} = \dfrac{3}{10}$.
Puis produit en croix : $10 \times 4{,}5 = 3 \times (4{,}5 + d)$, soit $45 = 13{,}5 + 3d$.[/aide]
[aide essai="3"]$3d = 45 - 13{,}5 = 31{,}5$, donc $d = \dfrac{31{,}5}{3} = 10{,}5$.[/aide]
[/math]
[solution]
$45 = 13{,}5 + 3d$, donc $3d = 31{,}5$, d'où $d = 10{,}5$ m.
La personne doit se placer à $10{,}5$ m du lampadaire.
[/solution]
[/etape]
