QCM : Sommes de termes consécutifs

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul des sommes de termes consécutifs d'une suite arithmétique ou géométrique. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Combien vaut la somme $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 50$ ?
[qcm]
[option]$S = 2550$[/option]
[option]$S = 1326$[/option]
[option correct="true"]$S = 1275$[/option]
[option]$S = 1250$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On utilise la formule $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ avec $n = 50$ : $S = \dfrac{50 \times 51}{2} = \dfrac{2550}{2} = 1275$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 2550$"]Non.
La division par $2$ a été oubliée. La formule complète est $\dfrac{n(n+1)}{2}$, et non $n(n+1)$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 1326$"]Non.
Cela correspond à $\dfrac{51 \times 52}{2}$, donc à la somme jusqu'à $51$. Vérifier l'indice du dernier terme : ici la somme s'arrête à $50$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 1250$"]Non.
La formule à utiliser est $\dfrac{n(n+1)}{2}$, pas $\dfrac{n^2}{2}$. Bien penser à multiplier $n$ par $n+1$ (et non par $n$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ avec $n = 50$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien vaut la somme $S = 5 + 7 + 9 + \dots + 25$ ?
[qcm]
[option]$S = 150$[/option]
[option correct="true"]$S = 165$[/option]
[option]$S = 330$[/option]
[option]$S = 75$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La somme est arithmétique de raison $2$. Nombre de termes : $\dfrac{25 - 5}{2} + 1 = 11$.
On applique la formule : $S = \text{(nombre de termes)} \times \dfrac{\text{(premier} + \text{dernier)}}{2} = 11 \times \dfrac{5 + 25}{2} = 11 \times 15 = 165$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 150$"]Non.
Le nombre de termes a été calculé à $10$ au lieu de $11$. Lorsque l'on compte les termes d'une progression arithmétique, on utilise $\dfrac{\text{dernier} - \text{premier}}{r} + 1$ : ne pas oublier le « $+1$ ».[/reponse]
[reponse motif="$S = 330$"]Non.
La division par $2$ a été oubliée dans la formule. La somme se calcule en multipliant le nombre de termes par la demi-somme des extrêmes.[/reponse]
[reponse motif="$S = 75$"]Non.
Cela correspond à $5 \times 15$, comme si l'on n'avait que $5$ termes. Recalculer le nombre de termes : il y en a $11$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter d'abord le nombre de termes, puis appliquer : somme $= \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = 2$. Combien vaut $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$ ?
[qcm]
[option]$S = 130$[/option]
[option]$S = 13$[/option]
[option]$S = 286$[/option]
[option correct="true"]$S = 143$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La somme $u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$ contient $11$ termes (de l'indice $0$ à l'indice $10$).
Le dernier vaut $u_{10} = 3 + 10 \times 2 = 23$.
Donc $S = 11 \times \dfrac{3 + 23}{2} = 11 \times 13 = 143$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 130$"]Non.
Le nombre de termes a été pris égal à $10$, mais en partant de l'indice $0$ jusqu'à $10$ il y en a $11$. Toujours faire attention à l'indice de départ.[/reponse]
[reponse motif="$S = 13$"]Non.
La valeur $13$ est seulement la demi-somme $\dfrac{u_0 + u_{10}}{2}$. Il manque le facteur « nombre de termes » dans la formule.[/reponse]
[reponse motif="$S = 286$"]Non.
La division par $2$ a été oubliée. La formule complète est : nombre de termes $\times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter le nombre de termes en partant de l'indice $0$, puis calculer $u_{10}$ et appliquer la formule de la somme arithmétique.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien vaut la somme $S = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 256$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$S = 511$[/option]
[option]$S = 512$[/option]
[option]$S = 255$[/option]
[option]$S = 1023$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La somme est géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $1$. Comme $256 = 2^8$, la somme s'écrit $1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^8$, soit $9$ termes.
On applique la formule : $S = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = \dfrac{1 - 2^9}{1 - 2} = \dfrac{1 - 512}{-1} = 511$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 512$"]Non.
La valeur $512 = 2^9$ correspond au numérateur $|1 - 2^9|$ pris seul, sans application de la formule de somme. Ne pas oublier le « $-1$ » au numérateur ni la division par $1 - q$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 255$"]Non.
Cela correspond à $\dfrac{1 - 2^8}{1 - 2}$, comme si la somme s'arrêtait à $128$. L'exposant doit être $n + 1 = 9$ (puisque le dernier terme est $2^8$), pas $8$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 1023$"]Non.
Cela correspond à $\dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2}$, donc à une somme jusqu'à $2^9 = 512$. Reprendre le nombre de termes : le dernier vaut ici $256 = 2^8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer la raison ($q = 2$) et l'exposant du dernier terme ($256 = 2^8$), puis appliquer $1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ avec $n = 8$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien vaut la somme $S = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{32}$ ?
[qcm]
[option]$S = \dfrac{1}{64}$[/option]
[option correct="true"]$S = \dfrac{63}{32}$[/option]
[option]$S = \dfrac{31}{32}$[/option]
[option]$S = \dfrac{127}{64}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme est géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$. Comme $\dfrac{1}{32} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^5$, la somme s'écrit $1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \left(\dfrac{1}{2}\right)^5$, soit $6$ termes.
On applique : $S = \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^6}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{1 - \dfrac{1}{64}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{63}{64}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{63}{64} \times 2 = \dfrac{63}{32}$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \dfrac{1}{64}$"]Non.
La valeur $\dfrac{1}{64}$ est seulement $\left(\dfrac{1}{2}\right)^6$, le terme apparaissant dans la formule. La somme totale est largement supérieure (les premiers termes valent déjà plus de $1$).[/reponse]
[reponse motif="$S = \dfrac{31}{32}$"]Non.
Cela correspond à $\dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^5}{1 - \dfrac{1}{2}}$ : un terme a été oublié dans la somme. Compter à nouveau les termes en partant de $1 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^0$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \dfrac{127}{64}$"]Non.
Cela correspond à une somme jusqu'à $\left(\dfrac{1}{2}\right)^6$, soit $7$ termes. Le dernier terme de l'énoncé est $\dfrac{1}{32} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^5$, pas $\left(\dfrac{1}{2}\right)^6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer la raison ($q = \dfrac{1}{2}$), exprimer le dernier terme comme une puissance de $\dfrac{1}{2}$, puis appliquer la formule $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = 4$. Combien vaut $S = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4$ ?
[qcm]
[option]$S = 341$[/option]
[option]$S = 4095$[/option]
[option correct="true"]$S = 1023$[/option]
[option]$S = 1024$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La somme contient $5$ termes (du rang $0$ au rang $4$). On factorise $u_0$ et on applique :
$S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{5}}{1 - q} = 3 \times \dfrac{1 - 4^5}{1 - 4} = 3 \times \dfrac{1 - 1024}{-3} = 3 \times \dfrac{-1023}{-3} = 1023$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 341$"]Non.
La multiplication par $u_0 = 3$ a été oubliée. La formule complète pour une somme géométrique avec premier terme $u_0$ s'écrit $u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 4095$"]Non.
Cela correspond à $3 \times \dfrac{1 - 4^6}{1 - 4}$, donc à $6$ termes. Compter le nombre de termes : du rang $0$ au rang $4$, il y a $5$ termes.[/reponse]
[reponse motif="$S = 1024$"]Non.
La valeur $1024 = 4^5$ correspond à $u_5 / u_0$ ou à $q^{n+1}$, pas à la somme. La formule à utiliser fait apparaître $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$, et non $q^{n+1}$ seul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter le nombre de termes ($n + 1 = 5$), puis appliquer la formule $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Suites géométriques — approfondissement

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les suites géométriques, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q = 1$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est une suite constante.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si $q = 1$, alors $u_{n+1} = 1 \times u_n = u_n$ : tous les termes sont égaux à $u_0$. La suite est constante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $u_{n+1} = q \times u_n$. Lorsque $q = 1$, cette relation donne $u_{n+1} = u_n$ : la suite ne varie pas.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $q = 1$, on a $u_{n+1} = u_n$ : la suite est constante, égale à $u_0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite géométrique à termes strictement positifs.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est toujours croissante.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le sens de variation dépend de la raison $q$ :
- si $q > 1$, la suite est croissante ;
- si $0 < q < 1$, la suite est décroissante.

Contre-exemple : avec $u_0 = 8$ et $q = \dfrac{1}{2}$, on obtient $8; 4; 2; 1; \dots$ — tous positifs mais décroissants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « termes positifs » et « suite croissante ». Une suite géométrique positive décroît dès que $0 < q < 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Une suite géométrique positive peut décroître lorsque $0 < q < 1$ (exemple : $u_0 = 8$, $q = \dfrac{1}{2}$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
$(u_n)$ est une suite géométrique telle que $u_2 = 18$ et $u_4 = 162$.

Affirmation : La raison de la suite peut valoir $q = -3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On a $u_4 = u_2 \times q^2$, donc :

$q^2 = \dfrac{u_4}{u_2} = \dfrac{162}{18} = 9$

Donc $q = 3$ ou $q = -3$ : la raison peut effectivement valoir $-3$.
Vérification avec $q = -3$ : $u_3 = u_2 \times q = -54$ puis $u_4 = u_3 \times q = 162$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand on déduit la raison d'un carré ($q^2 = 9$), il ne faut pas oublier la racine négative. $q = -3$ convient aussi : $u_4 = 18 \times (-3)^2 = 18 \times 9 = 162$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. De $u_4 = u_2 q^2$, on tire $q^2 = 9$, donc $q = 3$ ou $q = -3$. Les deux valeurs sont possibles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = 2^n + 1$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est une suite géométrique.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule les premiers termes : $u_0 = 2$, $u_1 = 3$, $u_2 = 5$, $u_3 = 9$.
Les rapports successifs $\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{5}{3}$ ne sont pas égaux : le rapport n'est pas constant, la suite n'est pas géométrique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : la présence de $2^n$ fait penser à une suite géométrique. Mais l'ajout de $+1$ casse la proportionnalité entre termes consécutifs.
Rapports : $\dfrac{3}{2} \neq \dfrac{5}{3}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les rapports $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ ne sont pas constants (exemple : $\dfrac{3}{2} \neq \dfrac{5}{3}$). La suite n'est pas géométrique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $q = -2$.

Affirmation : Les termes d'indice pair de la suite sont tous strictement positifs.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On a $u_n = 1 \times (-2)^n = (-2)^n$.
Si $n$ est pair, $(-2)^n = 2^n > 0$. Les termes d'indice pair sont donc positifs.
Vérification : $u_0 = 1$, $u_2 = 4$, $u_4 = 16$, etc.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $(-2)^n$ est positif si $n$ est pair, négatif si $n$ est impair.
$u_0 = 1$, $u_2 = 4$, $u_4 = 16$...[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $u_n = (-2)^n$ et $n$ pair, on a $(-2)^n = 2^n > 0$ : tous les termes d'indice pair sont strictement positifs.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
C'est une somme géométrique de raison $q = 2$, comportant $6$ termes (de $2^0$ à $2^5$) :

$\sum_{k=0}^{5} 2^k = \dfrac{1 - 2^6}{1 - 2} = \dfrac{1 - 64}{-1} = 63$

La somme vaut $63$, pas $62$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une erreur fréquente est de calculer trop vite sans vérifier. On peut additionner à la main : $1+2+4+8+16+32 = 63$.
La formule géométrique confirme : $\dfrac{1-2^6}{1-2} = 63$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La somme $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63$, et non $62$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Suites géométriques

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
$(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $q = -1$.

Affirmation : $u_5 = -1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

$u_5 = u_0 \times q^5 = 1 \times (-1)^5 = -1$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de penser que $(-1)^5 = 1$ en oubliant que la puissance d'un nombre négatif avec un exposant impair reste négative.
$u_5 = u_0 \times q^5 = 1 \times (-1)^5 = -1$. C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $u_5 = 1 \times (-1)^5 = -1$, car $5$ est impair.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 4$ et de raison $q = \dfrac{1}{2}$.

Affirmation : $u_3 = \dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

$u_3 = u_0 \times q^3 = 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de calculer $u_3 = u_0 \times q \times 3$ (multiplier par $3q$) au lieu d'appliquer la formule $u_n = u_0 \times q^n$.
$u_3 = 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$. C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En appliquant $u_n = u_0 \times q^n$ : $u_3 = 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$(u_n)$ est la suite géométrique telle que $u_0 = 3$ et $u_2 = 24$.

Affirmation : La raison de la suite $(u_n)$ est $2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si la raison était $2$, on aurait $u_2 = u_0 \times q^2 = 3 \times 4 = 12 \neq 24$.
La vraie raison est $q = \sqrt{\dfrac{u_2}{u_0}} = \sqrt{\dfrac{24}{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de calculer $q = \dfrac{u_2}{u_0} = \dfrac{24}{3} = 8$ puis de confondre ce quotient avec $q^2$, ou de prendre directement $q = 8$ sans extraire la racine carrée.
Si $q=2$ alors $u_2 = 3 \times 2^2 = 12 \neq 24$. La raison est $2\sqrt{2}$, pas $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On a $u_2 = u_0 q^2$, donc $q^2 = \dfrac{24}{3} = 8$, d'où $q = 2\sqrt{2} \neq 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $a$ un nombre réel et $(u_n)$ la suite définie par $u_n = 2a^n$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est une suite géométrique.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1} = 2a^{n+1} = 2a^n \times a = u_n \times a$

Le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = a$ est constant, donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $a$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de penser que le facteur $2$ devant $a^n$ empêche la suite d'être géométrique, alors qu'il s'annule dans le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2a^{n+1}}{2a^n} = a$.
$u_{n+1} = u_n \times a$, le rapport est constant. $(u_n)$ est bien géométrique de raison $a$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2a^{n+1}}{2a^n} = a$ est constant, donc la suite est géométrique de raison $a$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{256} = \dfrac{255}{128}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Il s'agit d'une somme géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$, avec $\dfrac{1}{256} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^8$ donc $n = 8$ :

$1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{256} = \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^9}{1 - \dfrac{1}{2}} = 2 \times \dfrac{511}{512} = \dfrac{511}{256}$

Le résultat est $\dfrac{511}{256}$, et non $\dfrac{255}{128}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de compter $8$ termes (de $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0$ à $\left(\dfrac{1}{2}\right)^7$) au lieu de $9$ termes (jusqu'à $\left(\dfrac{1}{2}\right)^8 = \dfrac{1}{256}$), ce qui donne $\dfrac{255}{128}$ — mais il y a bien $9$ termes ici.
La somme vaut $\dfrac{1 - (1/2)^9}{1 - 1/2} = 2 \times \dfrac{511}{512} = \dfrac{511}{256} \neq \dfrac{255}{128}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La somme comporte $9$ termes (de $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0$ à $\left(\dfrac{1}{2}\right)^8$), ce qui donne $\dfrac{1-(1/2)^9}{1-1/2} = \dfrac{511}{256}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $q = 3$.

Affirmation : $u_0 + u_1 + u_2 + u_3 = 40$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique la formule de la somme géométrique avec $q = 3$ et $n = 3$ :

$u_0 + u_1 + u_2 + u_3 = \dfrac{1 - 3^4}{1 - 3} = \dfrac{1 - 81}{-2} = \dfrac{-80}{-2} = 40$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'utiliser $n = 3$ dans la formule $\dfrac{1-q^n}{1-q}$ (ce qui donne $\dfrac{1-27}{-2} = 13$) en oubliant que la somme de $4$ termes ($u_0$ à $u_3$) requiert l'exposant $4$.
$\dfrac{1 - 3^4}{1 - 3} = \dfrac{-80}{-2} = 40$. C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La somme de $4$ termes vaut $\dfrac{1-3^4}{1-3} = \dfrac{-80}{-2} = 40$.
[/solution]
[/etape]

Suites arithmétiques et géométriques

Pour son appartement, Alexandre paye, tous les mois, un loyer brut et des charges locatives. On appelle loyer net, la somme du loyer brut et des charges locatives.

En 2016, le loyer brut était de 450 euros (mensuel) et les charges de 60 euros (mensuel).

Au premier janvier de chaque année, le loyer brut mensuel augmente de 1,5 % et les charges locatives mensuelles augmentent de 1€.

On note :

$ b_n $ : le total des loyers bruts (en euros) pour l'année 2016 + $ n $
$ c_n $ : le total des charges (en euros) pour l'année 2016 + $ n $
$ l_n $ : le total des loyers nets (en euros) pour l'année 2016 + $ n $.

Calculer $ b_0 $ et $ c_0 $.

En déduire que $ l_0=6120 $.
Calculer $ b_1, c_1 $ et $ l_1 $ puis $ b_2, c_2 $ et $ l_2 $.
Exprimer $ b_{n+1} $ en fonction de $ b_n $, puis $ c_{n+1} $ en fonction de $ c_n $.
Pour chacune des suites $ (b_n), (c_n) $ et $ (l_n) $ indiquer s'il s'agit d'une suite arithmétique, d'une suite géométrique ou d'une suite qui n'est ni arithmétique ni géométrique.
Exprimer $ b_n, c_n $ puis $ l_n $ en fonction de $ n $.
Quel sera le total des loyers nets payés par Alexandre au cours des dix premières années (de 2016 à 2025) ?

Corrigé

En 2016, Alexandre paiera 450 euros de loyer brut tous les mois donc le total en euros sera :

$ b_0=12 \times 450=5400 $

De même, le total en euros des charges locatives pour 2016 sera :

$ c_0=12 \times 60=720 $

Le total des loyers nets s'obtiendra en faisant la somme des loyers bruts et des charges locatives :

$ l_0=b_0+c_0=5400+720=6120 $
Augmenter un montant de $ 1{,}5 $ % revient à multiplier ce montant par $ 1{,}015 $.

Le montant des loyers bruts mensuels en 2017 sera donc de $ 450 \times 1{,}015 = 456{,}75 $ euros et le total annuel des loyers bruts :

$ b_1=450 \times 1{,}015 \times 12 = 5481 $

On remarque que pour obtenir $ b_1 $ il suffit de multiplier $ b_0 $ par $ 1{,}015 $.

En 2017, Alexandre paiera $ 1 $ euro de charges supplémentaires tous les mois. Sur l'année, il paiera donc $ 12 $ euros de charges de plus qu'en 2016.

Le total des charges locatives en euros pour l'année 2017 sera donc :

$ c_1=c_0+12=720+12=732 $

Le total des loyers nets pour 2017 sera :

$ l_1=b_1+c_1=5481+732=6213 $

Un raisonnement analogue permet de calculer les montants des loyers et des charges en 2018 :

$ b_2=b_1 \times 1{,}015=5563{,}215 $ (ou $ 5563{,}22 $ arrondi au centime)

$ c_2=c_1+12=732+12=744 $

$ l_2=b_2+c_2=6307{,}215 $ (ou $ 6307{,}22 $ arrondi au centime)
Les loyers bruts de l'année de rang $ n+1 $ s'obtiennent en multipliant les loyers bruts de l'année de rang $ n $ par $ 1{,}015 $. On a donc :

$ b_{n+1}=1{,}015 \times b_n $

Les charges de l'année de rang $ n+1 $ s'obtiennent en ajoutant $ 12 $ aux charges de l'année de rang $ n $. Par conséquent :

$ c_{n+1}=c_n+12 $
D'après les questions précédentes :

$ (b_n) $ est une suite géométrique de premier terme $ b_0=5400 $ et de raison $ 1{,}015 $.

$ (c_n) $ est une suite arithmétique de premier terme $ c_0=720 $ et de raison $ 12 $.

Montrons que la suite $ (l_n) $ n'est ni arithmétique ni géométrique :

$ l_1 - l_0=6213 - 6120=93 $

$ l_2 - l_1=6307,215 - 6213=94{,}215 $

La différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante donc la suite $ (l_n) $ n'est pas arithmétique.

$ \dfrac{l_1}{l_0} = \dfrac{6213}{6120} \approx 1{,}01520 $ (à $ 10^{^ - 5} $ près)

$ \dfrac{l_2}{l_1} = \dfrac{6307{,}215}{6213} \approx 1{,}01516 $ (à $ 10^{^ - 5} $ près)

Le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant donc la suite $ (l_n) $ n'est pas géométrique.
La suite $ (b_n) $ est une suite géométrique de premier terme $ b_0=5400 $ et de raison $ q=1{,}015 $, par conséquent :

$ b_n=b_0 \times q^n=5400 \times 1{,}015^n $

La suite $ (c_n) $ est une suite arithmétique de premier terme $ c_0=720 $ et de raison $ r=12 $, donc :

$ c_n=c_0 + n r=720 + 12n $

$ l_n $ est la somme de $ b_n $ et $ c_n $ :

$ l_n=5400 \times 1{,}015^n+720+12n $
Le total des loyers bruts lors des 10 premières années est :

$ B=b_0+b_1+ \cdots +b_9 $

$ \phantom{B}=5400+5400 \times 1,015 + \cdots +5400 \times 1,015^9 $

$ \phantom{B}=5400(1+1,015 + \cdots +1,015^9) $

donc d'après la formule $ 1+q+q^2+\cdots+q^n= \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $ :

$ B=5400 \times \dfrac{1 - 1{,}015^{10}}{1 - 1{,}015} $

$ \phantom{B} \approx 57794{,}70 $ (au centime près)

Le total des charges locatives lors des 10 premières années est :

$ C=c_0+c_1+ \cdots +c_9 $

$ C=720+ 720+12 \times 1+ 720+12 \times 2 + \cdots +720+12 \times 9 $

On regroupe les termes égaux à $ 720 $ ; il y en a $ 10 $, donc :

$ C=720\times 10+12 \times 1+12 \times 2 + \cdots +12 \times 9 $

$ \phantom{C}=7200+12 (1+2+\cdots +9) $

On applique la formule $ 1+2+\cdots +n= \dfrac{n(n+1)}{2} $ :

$ C=7200+12\times \dfrac{9\times 10}{2} = 7740 $

Le total des loyers nets que paiera Alexandre au cours des 10 premières années est donc :

$ L=B+C=57794{,}70+7740=65534{,}70 $

Le total des loyers nets payés par Alexandre lors des 10 premières années sera donc de $ 65534{,}70 $ euros.