[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les propriétés des congruences modulo $n$, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tout entier $a$ et tout entier $n \geqslant 1$, on a $a \equiv a \ [n]$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$a - a = 0$ et $n$ divise $0$ pour tout $n$ : la congruence est donc toujours vérifiée. C'est la réflexivité de la relation de congruence.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$a - a = 0$, et tout entier divise $0$. Donc $n \mid a - a$, c'est-à-dire $a \equiv a \ [n]$ : c'est la réflexivité.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$a - a = 0$, divisible par tout $n$ : la relation de congruence est réflexive.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $a \equiv b \ [n]$ et $a \equiv b \ [m]$, alors $a \equiv b \ [n+m]$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Contre-exemple : $14 \equiv 2 \ [4]$ et $14 \equiv 2 \ [6]$, mais modulo $n+m = 10$ on a $14 \equiv 4$ et $2 \equiv 2$, donc $14 \not\equiv 2 \ [10]$. On ne peut pas additionner les modules.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une congruence simultanée modulo $n$ et modulo $m$ se transmet au plus petit commun multiple de $n$ et $m$, pas à leur somme. Avec $14 \equiv 2 \ [4]$ et $14 \equiv 2 \ [6]$, on obtient $14 \equiv 2 \ [12]$, mais $14 \not\equiv 2 \ [10]$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Le module commun obtenu n'est pas $n+m$ : il s'agit du plus petit commun multiple de $n$ et $m$. Contre-exemple : $14 \equiv 2 \ [4]$ et $14 \equiv 2 \ [6]$, mais $14 \not\equiv 2 \ [10]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $a \equiv b \ [n]$ et $c \equiv d \ [n]$, alors $a \times c \equiv b \times d \ [n]$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La compatibilité avec la multiplication est une propriété fondamentale des congruences : on peut multiplier deux congruences modulo le même module.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est une des propriétés clés du cours : les congruences sont compatibles avec le produit. Si $a \equiv b$ et $c \equiv d$ modulo $n$, alors $ac \equiv bd \ [n]$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
La congruence est compatible avec la multiplication modulo $n$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $2a \equiv 2b \ [6]$, alors $a \equiv b \ [6]$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Contre-exemple : prenons $a = 4$ et $b = 1$. Alors $2a = 8 \equiv 2 \ [6]$ et $2b = 2 \equiv 2 \ [6]$, donc $2a \equiv 2b \ [6]$. Pourtant $a - b = 3$, qui n'est pas divisible par $6$, donc $a \not\equiv b \ [6]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : on ne peut pas simplifier les deux membres d'une congruence par un facteur commun en général. Cela n'est possible que si ce facteur est premier avec le module. Ici, $\gcd(2, 6) = 2 \neq 1$, donc la simplification est invalide.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$2 \times 4 \equiv 2 \times 1 \ [6]$ (les deux valent $2$ modulo $6$), mais $4 \not\equiv 1 \ [6]$. La simplification par $2$ n'est valide que si $\gcd(2, n) = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $a^2 \equiv b^2 \ [n]$, alors $a \equiv b \ [n]$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Contre-exemple : modulo $5$, on a $3^2 = 9 \equiv 4$ et $2^2 = 4 \equiv 4$, donc $3^2 \equiv 2^2 \ [5]$. Pourtant $3 \not\equiv 2 \ [5]$. L'égalité des carrés modulo $n$ n'entraîne pas l'égalité des bases.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
On ne peut pas « prendre la racine » d'une congruence. Contre-exemple modulo $5$ : $3^2 \equiv 4$ et $2^2 \equiv 4$, donc $3^2 \equiv 2^2 \ [5]$, mais $3 \not\equiv 2 \ [5]$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
La compatibilité des congruences fonctionne « vers le haut » (élever à une puissance), mais pas en sens inverse. Contre-exemple : $3^2 \equiv 2^2 \ [5]$ (les deux valent $4$), alors que $3 \not\equiv 2 \ [5]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout entier relatif $a$, $a^2 \equiv 0 \ [4]$ ou $a^2 \equiv 1 \ [4]$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Distinguer selon la parité de $a$ :
si $a = 2k$, alors $a^2 = 4k^2 \equiv 0 \ [4]$ ;
si $a = 2k+1$, alors $a^2 = 4k^2 + 4k + 1 \equiv 1 \ [4]$.
Les deux seules valeurs possibles modulo $4$ sont donc $0$ et $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Raisonner par disjonction de cas selon la parité de $a$ :
- $a$ pair $\Rightarrow a = 2k \Rightarrow a^2 = 4k^2 \equiv 0 \ [4]$
- $a$ impair $\Rightarrow a = 2k+1 \Rightarrow a^2 = 4k(k+1) + 1 \equiv 1 \ [4]$
Aucun carré n'est congru à $2$ ou à $3$ modulo $4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Les seuls carrés possibles modulo $4$ sont $0$ (pour $a$ pair) et $1$ (pour $a$ impair). Cette propriété est très utile pour démontrer qu'une équation diophantienne n'a pas de solution.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les critères de divisibilité et leurs applications, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si la somme des chiffres d'un entier est divisible par $3$, alors cet entier est divisible par $3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$10 \equiv 1 \ [3]$, donc $10^k \equiv 1 \ [3]$ pour tout $k$. Un nombre est ainsi congru à la somme de ses chiffres modulo $3$, ce qui justifie le critère.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Comme $10 \equiv 1 \ [3]$, toutes les puissances de $10$ sont congrues à $1$ modulo $3$. Donc $\overline{a_n \dots a_0} \equiv a_n + \dots + a_0 \ [3]$ : le nombre et la somme de ses chiffres ont même reste modulo $3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Le critère de divisibilité par $3$ découle de $10 \equiv 1 \ [3]$ : un nombre est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si la somme des chiffres d'un entier est paire, alors cet entier est pair.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Contre-exemple : $13$ a pour somme des chiffres $1 + 3 = 4$ (paire), mais $13$ est impair. La parité d'un entier dépend uniquement de son chiffre des unités, pas de la somme des chiffres.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La parité se lit sur le dernier chiffre, pas sur la somme des chiffres. Tester avec $13$ : somme paire ($4$), mais le nombre est impair.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Le critère de parité concerne le chiffre des unités : un entier est pair si et seulement si son dernier chiffre est pair. La somme des chiffres n'intervient pas.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Tout entier divisible par $9$ est aussi divisible par $3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$9 = 3 \times 3$ : si $9 \mid n$, alors $n = 9k = 3 \times 3k$, donc $3 \mid n$. C'est la transitivité de la divisibilité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Comme $3$ divise $9$, par transitivité, tout multiple de $9$ est aussi multiple de $3$. La réciproque est fausse en revanche : $6$ est multiple de $3$ mais pas de $9$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$3 \mid 9$ et la divisibilité est transitive : tout multiple de $9$ est multiple de $3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le nombre $987\,654\,321$ est divisible par $9$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme des chiffres vaut $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 = 9 \times 5$. Comme $9 \mid 45$, le critère donne $9 \mid 987\,654\,321$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Appliquer le critère de divisibilité par $9$ : calculer la somme des chiffres. Ici $1 + 2 + \dots + 9 = 45$, divisible par $9$, donc le nombre l'est aussi.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
La somme des chiffres vaut $45$, divisible par $9$. Donc $9 \mid 987\,654\,321$ (en effet, $987\,654\,321 = 9 \times 109\,739\,369$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un entier est divisible par $4$ si et seulement si son chiffre des unités est pair.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est cela !
Contre-exemple : $14$ a un chiffre des unités pair ($4$), mais $14 = 4 \times 3 + 2$ n'est pas divisible par $4$. Le bon critère utilise les deux derniers chiffres : un entier est divisible par $4$ si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres l'est.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le critère de divisibilité par $4$ s'appuie sur les deux derniers chiffres, pas sur le seul chiffre des unités. En effet, $100 \equiv 0 \ [4]$, donc seuls les deux derniers chiffres comptent.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Le bon critère : un entier est divisible par $4$ si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres l'est (par exemple $14$ ne l'est pas, mais $124 = 4 \times 31$ l'est).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un entier est divisible par $11$, alors la somme alternée de ses chiffres est divisible par $11$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$10 \equiv -1 \ [11]$, donc $10^k \equiv (-1)^k \ [11]$. Un nombre est ainsi congru à la somme alternée de ses chiffres modulo $11$ : si l'un est divisible par $11$, l'autre l'est aussi.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le critère par $11$ utilise $10 \equiv -1 \ [11]$, ce qui donne $10^k \equiv (-1)^k \ [11]$. La décomposition d'un nombre fait alors apparaître la somme alternée des chiffres, congrue au nombre lui-même modulo $11$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$10 \equiv -1 \ [11]$ entraîne que tout entier est congru à la somme alternée de ses chiffres modulo $11$. Donc l'un est divisible par $11$ si et seulement si l'autre l'est.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les critères de divisibilité (par $3$, $9$, $11$) et leur justification par les congruences modulo $n$. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Le critère de divisibilité par $9$ s'appuie sur la congruence :
[qcm]
[option correct="true"]$10 \equiv 1 \ [9]$[/option]
[option]$10 \equiv 0 \ [9]$[/option]
[option]$10 \equiv -1 \ [9]$[/option]
[option]$10 \equiv 9 \ [9]$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$10 - 1 = 9$, donc $10 \equiv 1 \ [9]$. Par puissance, toutes les puissances de $10$ vérifient $10^k \equiv 1 \ [9]$, ce qui justifie : $\overline{a_n \dots a_0} \equiv a_n + \dots + a_0 \ [9]$.[/reponse]
[reponse motif="$10 \equiv 0 \ [9]$"]Non.
$10 - 0 = 10$ n'est pas divisible par $9$, donc $10 \not\equiv 0 \ [9]$.[/reponse]
[reponse motif="$10 \equiv -1 \ [9]$"]Non.
$10 - (-1) = 11$ n'est pas divisible par $9$. La congruence $10 \equiv -1 \ [n]$ est typique du critère par $11$, pas par $9$.[/reponse]
[reponse motif="$10 \equiv 9 \ [9]$"]Non.
Cela donnerait $10 - 9 = 1$ divisible par $9$, ce qui est faux. De plus $9 \equiv 0 \ [9]$, donc cela reviendrait à dire $10 \equiv 0 \ [9]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $10 - r$ pour chaque proposition et vérifier laquelle est divisible par $9$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le critère de divisibilité par $11$ utilise la congruence :
[qcm]
[option]$10 \equiv 1 \ [11]$[/option]
[option correct="true"]$10 \equiv -1 \ [11]$[/option]
[option]$10 \equiv 0 \ [11]$[/option]
[option]$10 \equiv 11 \ [11]$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$10 - (-1) = 11$, divisible par $11$, donc $10 \equiv -1 \ [11]$. Par puissance, $10^k \equiv (-1)^k \ [11]$, ce qui produit la somme alternée des chiffres : $\overline{a_n \dots a_0} \equiv a_0 - a_1 + a_2 - \dots \ [11]$.[/reponse]
[reponse motif="$10 \equiv 1 \ [11]$"]Non.
$10 - 1 = 9$ n'est pas divisible par $11$. La congruence à $1$ correspond au critère par $9$ (car $10 \equiv 1 \ [9]$).[/reponse]
[reponse motif="$10 \equiv 0 \ [11]$"]Non.
$10$ n'est pas un multiple de $11$, donc $10 \not\equiv 0 \ [11]$.[/reponse]
[reponse motif="$10 \equiv 11 \ [11]$"]Non.
$11 \equiv 0 \ [11]$, donc cela reviendrait à dire $10 \equiv 0 \ [11]$, ce qui est faux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le critère par $11$ utilise la somme alternée des chiffres. Il faut donc trouver $r$ tel que $10 - r$ soit divisible par $11$, en pensant aux représentants négatifs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour quelle valeur du chiffre $n \in \{0,1,\dots,9\}$ le nombre à trois chiffres $\overline{27n}$ est-il divisible par $3$ ?
[qcm]
[option]$n = 1$[/option]
[option]$n = 4$[/option]
[option correct="true"]$n = 6$[/option]
[option]$n = 7$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La somme des chiffres vaut $2 + 7 + n = 9 + n$. Or $9 \equiv 0 \ [3]$, donc $\overline{27n} \equiv n \ [3]$. Pour que le nombre soit divisible par $3$, il faut $n \equiv 0 \ [3]$ : parmi les options, seul $n = 6$ convient.[/reponse]
[reponse motif="$n = 1$"]Non.
$2 + 7 + 1 = 10$, qui n'est pas divisible par $3$. Vérifier le critère : la somme des chiffres doit être divisible par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$n = 4$"]Non.
$2 + 7 + 4 = 13$, qui n'est pas divisible par $3$. Tester la divisibilité de la somme.[/reponse]
[reponse motif="$n = 7$"]Non.
$2 + 7 + 7 = 16$, qui n'est pas divisible par $3$. Bien appliquer le critère : la somme des chiffres doit être divisible par $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer la somme des chiffres pour chaque option et chercher celle qui donne un multiple de $3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère un nombre à quatre chiffres $\overline{abcd}$. Modulo $9$, il est congru à :
[qcm]
[option]$\overline{abcd} \equiv a - b + c - d \ [9]$[/option]
[option correct="true"]$\overline{abcd} \equiv a + b + c + d \ [9]$[/option]
[option]$\overline{abcd} \equiv abcd \ [9]$[/option]
[option]$\overline{abcd} \equiv a \times b \times c \times d \ [9]$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On a $\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$. Comme $10 \equiv 1 \ [9]$, toutes les puissances de $10$ sont congrues à $1$ modulo $9$, donc $\overline{abcd} \equiv a + b + c + d \ [9]$ : c'est la somme des chiffres.[/reponse]
[reponse motif="$\overline{abcd} \equiv a - b + c - d \ [9]$"]Non.
La somme alternée correspond au critère modulo $11$ (car $10 \equiv -1 \ [11]$), pas modulo $9$. Modulo $9$, on a $10 \equiv 1$, donc tous les chiffres s'additionnent.[/reponse]
[reponse motif="$\overline{abcd} \equiv abcd \ [9]$"]Non.
$abcd$ désigne ici un produit (concaténation impossible en mathématiques pures), pas le nombre lui-même. Il faut décomposer $\overline{abcd} = 1000a + \dots$ et appliquer la congruence.[/reponse]
[reponse motif="$\overline{abcd} \equiv a \times b \times c \times d \ [9]$"]Non.
Le produit n'apparaît pas dans la décomposition d'un nombre en base $10$. Il s'agit de la somme des chiffres (chaque puissance de $10$ étant congrue à $1$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposer $\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$ et utiliser $10^k \equiv 1 \ [9]$ pour tout $k$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le nombre $5\,786$ est-il divisible par $11$ ?
[qcm]
[option]Oui, car la somme de ses chiffres est divisible par $11$[/option]
[option correct="true"]Oui, car la somme alternée de ses chiffres vaut $0$[/option]
[option]Non, car son dernier chiffre n'est pas $0$[/option]
[option]Non, car il ne figure pas dans la table de $11$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme alternée des chiffres (de droite à gauche) vaut $6 - 8 + 7 - 5 = 0$. Comme $0$ est divisible par $11$, le nombre $5\,786$ est divisible par $11$ (en effet, $5\,786 = 11 \times 526$).[/reponse]
[reponse motif="Oui, car la somme de ses chiffres est divisible par $11$"]Non.
Le critère par $11$ utilise la somme alternée des chiffres, pas la somme classique. Et $5+7+8+6 = 26$ n'est de toute façon pas divisible par $11$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car son dernier chiffre n'est pas $0$"]Non.
Cette règle concerne la divisibilité par $10$ (et par $5$), pas par $11$. Pour $11$, on utilise la somme alternée des chiffres.[/reponse]
[reponse motif="Non, car il ne figure pas dans la table de $11$"]Non.
La table de $11$ apprise au primaire s'arrête à $11 \times 10 = 110$. Pour les grands nombres, il faut un critère systématique : la somme alternée des chiffres.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer le critère de divisibilité par $11$ : calculer $a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots$ (alternance signée des chiffres) et tester la divisibilité du résultat par $11$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi ces nombres, lequel est divisible par $9$ ?
[qcm]
[option]$1\,234$[/option]
[option]$1\,356$[/option]
[option correct="true"]$2\,718$[/option]
[option]$8\,000$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La somme des chiffres de $2\,718$ vaut $2 + 7 + 1 + 8 = 18$, qui est divisible par $9$. Donc $2\,718$ est divisible par $9$ (en effet, $2\,718 = 9 \times 302$).[/reponse]
[reponse motif="$1\,234$"]Non.
$1 + 2 + 3 + 4 = 10$, qui n'est pas divisible par $9$.[/reponse]
[reponse motif="$1\,356$"]Non.
$1 + 3 + 5 + 6 = 15$, qui est divisible par $3$ mais pas par $9$. Attention à ne pas confondre les deux critères : pour $9$, la somme doit être un multiple de $9$.[/reponse]
[reponse motif="$8\,000$"]Non.
$8 + 0 + 0 + 0 = 8$, qui n'est pas divisible par $9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer la somme des chiffres pour chaque candidat et identifier celui qui donne un multiple de $9$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les congruences modulo $n$ : définition, caractérisation par la divisibilité et compatibilité avec les opérations (somme, produit, puissance). Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Lequel de ces énoncés est équivalent à « $23 \equiv 8 \ [5]$ » ?
[qcm]
[option correct="true"]$5$ divise $23 - 8$[/option]
[option]$5$ divise $23 + 8$[/option]
[option]$5$ divise $23 \times 8$[/option]
[option]$8$ divise $23 - 5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Par définition, $a \equiv b \ [n]$ équivaut à $n$ divise $a - b$. Ici, $23 - 8 = 15 = 5 \times 3$, donc $5$ divise bien $23 - 8$, ce qui justifie la congruence.[/reponse]
[reponse motif="$5$ divise $23 + 8$"]Non.
La caractérisation utilise la différence $a - b$, pas la somme. Pour vérifier $a \equiv b \ [n]$, on regarde si $n$ divise $a - b$.[/reponse]
[reponse motif="$5$ divise $23 \times 8$"]Non.
Le produit n'intervient pas dans la définition d'une congruence. Le critère est : $n \mid a - b$.[/reponse]
[reponse motif="$8$ divise $23 - 5$"]Non.
Les rôles des nombres sont mélangés. Dans $a \equiv b \ [n]$, c'est le module $n$ qui doit diviser $a - b$, et non $b$ qui doit diviser $a - n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Retenir la caractérisation par la divisibilité : $a \equiv b \ [n] \iff n \mid (a - b)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On note $r$ l'unique entier tel que $0 \leqslant r < 6$ et $47 \equiv r \ [6]$. Que vaut $r$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$7$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$11$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On effectue la division euclidienne : $47 = 6 \times 7 + 5$, donc $47 \equiv 5 \ [6]$ avec $0 \leqslant 5 < 6$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1$ n'est pas le reste de $47$ par $6$. Il s'agit peut-être d'une confusion avec $48 = 6 \times 8$ ou du reste modulo une autre valeur.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7$ correspond au quotient de la division euclidienne de $47$ par $6$, pas au reste. Et $7 > 6$, donc ce n'est pas un reste valide modulo $6$.[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
$11$ est plus grand que $6$ : un reste modulo $6$ doit être strictement inférieur à $6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Effectuer la division euclidienne de $47$ par $6$ : $47 = 6 \times q + r$ avec $0 \leqslant r < 6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si $a \equiv 4 \ [7]$ et $b \equiv 5 \ [7]$, alors $a + b$ est congru modulo $7$ à :
[qcm]
[option]$9$[/option]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$7$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les congruences sont compatibles avec l'addition : $a + b \equiv 4 + 5 \ [7]$, soit $a + b \equiv 9 \ [7]$. Or $9 = 7 + 2$, donc $a + b \equiv 2 \ [7]$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ est correct comme première étape ($a + b \equiv 9 \ [7]$), mais $9 \geqslant 7$. Il faut le réduire pour obtenir un représentant dans $[0, 7[$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$0$ correspondrait à $a + b$ divisible par $7$. Or $4 + 5 = 9 = 7 + 2$ : il reste $2$ après soustraction de $7$.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7 \equiv 0 \ [7]$, ce qui ramènerait à dire $a + b \equiv 0 \ [7]$. Reprendre l'addition $4 + 5 = 9$ et réduire correctement modulo $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Additionner les deux représentants ($4 + 5 = 9$), puis ramener le résultat dans l'intervalle $[0, 7[$ en soustrayant $7$ si besoin.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si $a \equiv 3 \ [10]$, alors $a^2$ est congru à :
[qcm]
[option correct="true"]$9 \ [10]$[/option]
[option]$6 \ [10]$[/option]
[option]$3 \ [10]$[/option]
[option]$0 \ [10]$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La compatibilité avec la puissance donne $a^2 \equiv 3^2 \ [10]$, soit $a^2 \equiv 9 \ [10]$.[/reponse]
[reponse motif="$6 \ [10]$"]Non.
$6 = 2 \times 3$ : on a confondu « élever au carré » avec « multiplier par $2$ ». La compatibilité s'écrit $a^2 \equiv 3 \times 3 \ [10]$, pas $a^2 \equiv 2 \times 3 \ [10]$.[/reponse]
[reponse motif="$3 \ [10]$"]Non.
$a^2 \equiv 3 \ [10]$ correspondrait à $3^2 \equiv 3 \ [10]$, ce qui est faux. Bien appliquer la règle $a \equiv b \Rightarrow a^m \equiv b^m$.[/reponse]
[reponse motif="$0 \ [10]$"]Non.
$a \equiv 3 \ [10]$ donne $a^2 \equiv 9 \ [10]$, qui est différent de $0$. $a^2$ ne serait divisible par $10$ que si $a \equiv 0 \ [10]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La compatibilité avec la puissance s'écrit : si $a \equiv b \ [n]$, alors $a^m \equiv b^m \ [n]$ pour tout $m \in \mathbb{N}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi les congruences suivantes, laquelle est fausse ?
[qcm]
[option]$25 \equiv 1 \ [4]$[/option]
[option correct="true"]$13 \equiv 4 \ [5]$[/option]
[option]$-7 \equiv 1 \ [4]$[/option]
[option]$100 \equiv 0 \ [10]$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$13 - 4 = 9$, qui n'est pas divisible par $5$. Donc $13 \not\equiv 4 \ [5]$ (en réalité $13 \equiv 3 \ [5]$).[/reponse]
[reponse motif="$25 \equiv 1 \ [4]$"]Non, cette congruence est vraie.
$25 - 1 = 24 = 4 \times 6$ : $4$ divise bien $24$, donc $25 \equiv 1 \ [4]$.[/reponse]
[reponse motif="$-7 \equiv 1 \ [4]$"]Non, cette congruence est vraie.
$-7 - 1 = -8 = 4 \times (-2)$ : $4$ divise bien $-8$, donc $-7 \equiv 1 \ [4]$.[/reponse]
[reponse motif="$100 \equiv 0 \ [10]$"]Non, cette congruence est vraie.
$100 - 0 = 100 = 10 \times 10$ : $10$ divise $100$, donc $100 \equiv 0 \ [10]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour chaque proposition, calculer $a - b$ et tester la divisibilité par $n$. La congruence est vraie si et seulement si $n \mid a - b$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On suppose que $a \equiv 2 \ [9]$. Le reste de la division euclidienne de $a$ par $9$ est :
[qcm]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$0$[/option]
[option]$9$[/option]
[option]on ne peut pas le déterminer[/option]
[reponse statut="correct"]C'est cela !
D'après la caractérisation du reste par les congruences : $r$ est le reste de la division de $a$ par $n$ si et seulement si $a \equiv r \ [n]$ et $0 \leqslant r < n$. Ici $0 \leqslant 2 < 9$, donc le reste vaut $2$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$0$ correspondrait à $a$ divisible par $9$, c'est-à-dire $a \equiv 0 \ [9]$, ce qui n'est pas le cas ici.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ ne peut jamais être un reste modulo $9$ : la condition $r < n$ est stricte, donc $r < 9$.[/reponse]
[reponse motif="on ne peut pas le déterminer"]Non.
Bien que $a$ ne soit pas connu individuellement, sa congruence modulo $9$ détermine de manière unique le reste : c'est l'unique $r \in [0,9[$ tel que $a \equiv r \ [9]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la propriété : si $a \equiv r \ [n]$ avec $0 \leqslant r < n$, alors $r$ est exactement le reste de la division euclidienne de $a$ par $n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Montrer que pour tout entier naturel $ n $ : $ 2^{n +4}+3^{3n+2} $ est divisible par $ 25 $.