Vrai/Faux : Définition et signe d’une puissance
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la définition d'une puissance et son signe, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : $(-3)^{4} = 81$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La base est $-3$ et l'exposant $4$ est pair, donc le résultat est positif.
$(-3)^{4} = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 9 \times 9 = 81$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention : avec les parenthèses, la base est bien $-3$, et l'exposant $4$ est pair, donc le résultat est positif.
$(-3)^{4} = 81$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La base $(-3)$ étant élevée à un exposant pair, le résultat est positif : $(-3)^{4} = 81$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $-3^{4} = 81$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Sans parenthèses autour du $-3$, seul $3$ est élevé à la puissance $4$, puis on applique le signe $-$.
$-3^{4} = -(3 \times 3 \times 3 \times 3) = -81$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de placer une parenthèse imaginaire autour du $-3$.
Sans parenthèses, l'écriture $-3^{4}$ signifie $-(3^{4}) = -81$, à ne pas confondre avec $(-3)^{4} = 81$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Sans parenthèses, $-3^{4} = -(3^{4}) = -81$ ; à distinguer de $(-3)^{4} = 81$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $5^{0} = 0$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Par convention, pour tout nombre $a$ non nul, $a^{0} = 1$.
Donc $5^{0} = 1$, et non $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre exposant $0$ et résultat $0$.
La règle est : pour tout $a$ non nul, $a^{0} = 1$. Donc $5^{0} = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour tout nombre $a$ non nul, $a^{0} = 1$, donc $5^{0} = 1$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $2^{-4} = -16$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il signifie « inverse ».
$2^{-4} = \dfrac{1}{2^{4}} = \dfrac{1}{16}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de confondre exposant négatif et nombre négatif.
$2^{-4}$ signifie l'inverse de $2^{4}$ : $2^{-4} = \dfrac{1}{2^{4}} = \dfrac{1}{16}$, un nombre positif.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Un exposant négatif désigne l'inverse : $2^{-4} = \dfrac{1}{16}$, qui est un nombre positif.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour tout entier $n$, $1^{n} = 1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$1$ multiplié par lui-même un nombre quelconque de fois reste égal à $1$.
$1^{n} = 1 \times 1 \times \ldots \times 1 = 1$ pour tout entier $n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de croire que l'exposant change la valeur.
Pour la base $1$, n'importe quelle puissance reste égale à $1$ : $1^{n} = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La base $1$ donne toujours $1$, quel que soit l'exposant : $1^{n} = 1$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $(-1)^{7} = 1$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La base est $-1$, l'exposant $7$ est impair, donc le résultat est négatif.
$(-1)^{7} = -1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : avec une base négative, le signe du résultat dépend de la parité de l'exposant.
Pour un exposant impair, le résultat est négatif : $(-1)^{7} = -1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'exposant $7$ est impair, donc $(-1)^{7} = -1$.
[/solution]
[/etape]
QCM : Puissances de 10
[enonce]
Ce QCM porte sur les puissances de $10$ : passage à l'écriture décimale, déplacement de la virgule et calculs simples. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]
[etape]
Quelle est l'écriture décimale de $10^{4}$ ?
[qcm]
[option]$1\,000$[/option]
[option correct="true"]$10\,000$[/option]
[option]$100\,000$[/option]
[option]$40$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$10^{4}$ s'écrit avec un $1$ suivi de $4$ zéros : $10^{4} = 10\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$1\,000$"]Non.
$1\,000$ correspond à $10^{3}$ (trois zéros).
Pour $10^{4}$, il faut quatre zéros après le $1$.[/reponse]
[reponse motif="$100\,000$"]Non.
$100\,000$ correspond à $10^{5}$ (cinq zéros).
Pour $10^{4}$, il faut quatre zéros après le $1$.[/reponse]
[reponse motif="$40$"]Non.
L'erreur fréquente est de multiplier la base par l'exposant.
$10^{4}$ est un produit de quatre facteurs égaux à $10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$10^{4} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000$ (un $1$ suivi de quatre zéros).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quelle est l'écriture décimale de $10^{-2}$ ?
[qcm]
[option]$-100$[/option]
[option]$0{,}001$[/option]
[option correct="true"]$0{,}01$[/option]
[option]$100$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un exposant négatif donne l'inverse :
$10^{-2} = \dfrac{1}{10^{2}} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$.[/reponse]
[reponse motif="$-100$"]Non.
L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.
Il signifie « inverse de » : $10^{-2} = \dfrac{1}{10^{2}}$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}001$"]Non.
$0{,}001$ correspond à $10^{-3}$ (trois zéros après la virgule).
Pour $10^{-2}$, il y a deux décimales, et seulement un zéro après la virgule.[/reponse]
[reponse motif="$100$"]Non.
$100$ correspond à $10^{2}$, pas à $10^{-2}$.
L'exposant négatif inverse la valeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$10^{-2} = \dfrac{1}{10^{2}} = 0{,}01$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quel est le résultat de $5{,}3 \times 10^{3}$ ?
[qcm]
[option]$530$[/option]
[option correct="true"]$5\,300$[/option]
[option]$53\,000$[/option]
[option]$5{,}3000$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Multiplier par $10^{3}$ revient à décaler la virgule de $3$ rangs vers la droite :
$5{,}3 \times 10^{3} = 5\,300$.[/reponse]
[reponse motif="$530$"]Non.
La virgule a été déplacée de $2$ rangs au lieu de $3$.
Multiplier par $10^{3}$, c'est décaler la virgule de $3$ rangs vers la droite.[/reponse]
[reponse motif="$53\,000$"]Non.
La virgule a été déplacée de $4$ rangs au lieu de $3$.
$10^{3}$ correspond à un décalage de $3$ rangs vers la droite, pas $4$.[/reponse]
[reponse motif="$5{,}3000$"]Non.
Ajouter des zéros après la virgule ne change rien à la valeur.
Multiplier par $10^{3}$ déplace la virgule de $3$ rangs vers la droite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$5{,}3 \times 10^{3} = 5\,300$ (virgule décalée de $3$ rangs vers la droite).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quel est le résultat de $42 \times 10^{-4}$ ?
[qcm]
[option]$0{,}42$[/option]
[option correct="true"]$0{,}004\,2$[/option]
[option]$0{,}000\,42$[/option]
[option]$-420\,000$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Multiplier par $10^{-4}$ revient à décaler la virgule de $4$ rangs vers la gauche :
$42 \times 10^{-4} = 42{,}0 \to 0{,}0042$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}42$"]Non.
La virgule a été déplacée de $2$ rangs au lieu de $4$.
Multiplier par $10^{-4}$, c'est décaler de $4$ rangs vers la gauche.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}000\,42$"]Non.
La virgule a été déplacée de $5$ rangs au lieu de $4$.
$10^{-4}$ correspond à un décalage de $4$ rangs vers la gauche, pas $5$.[/reponse]
[reponse motif="$-420\,000$"]Non.
L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif et n'augmente pas sa valeur.
$10^{-n}$ rend le résultat plus petit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$42 \times 10^{-4} = 0{,}0042$ (virgule décalée de $4$ rangs vers la gauche).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $10^{7} \times 10^{-4}$ ?
[qcm]
[option]$10^{-28}$[/option]
[option]$10^{11}$[/option]
[option correct="true"]$10^{3}$[/option]
[option]$10^{-3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On additionne les exposants :
$10^{7} \times 10^{-4} = 10^{7+(-4)} = 10^{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-28}$"]Non.
L'erreur fréquente est de multiplier les exposants au lieu de les additionner.
Pour un produit de puissances de même base, on additionne les exposants.[/reponse]
[reponse motif="$10^{11}$"]Non.
On a oublié le signe négatif de $-4$ : $7 + 4 = 11$ au lieu de $7 + (-4) = 3$.
Attention au signe quand on additionne les exposants.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-3}$"]Non.
On a calculé $-7 + 4 = -3$ au lieu de $7 + (-4) = 3$.
Le signe de $7$ est positif, c'est seulement $-4$ qui est négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$10^{7} \times 10^{-4} = 10^{7-4} = 10^{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $\dfrac{10^{5}}{10^{-2}}$ ?
[qcm]
[option]$10^{3}$[/option]
[option correct="true"]$10^{7}$[/option]
[option]$10^{-7}$[/option]
[option]$10^{-3}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On soustrait les exposants :
$\dfrac{10^{5}}{10^{-2}} = 10^{5-(-2)} = 10^{5+2} = 10^{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{3}$"]Non.
On a oublié le signe négatif de $-2$ au dénominateur : $5 - 2 = 3$ au lieu de $5 - (-2) = 7$.
Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-7}$"]Non.
Le signe du résultat est incorrect.
$5 - (-2) = 5 + 2 = 7$, donc l'exposant final est positif.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-3}$"]Non.
On a inversé la soustraction : $-2 - 5 = -7$ ou $-5 + 2 = -3$ au lieu de $5 - (-2)$.
La règle du quotient est $\dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$ : on soustrait l'exposant du dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{10^{5}}{10^{-2}} = 10^{5-(-2)} = 10^{7}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
QCM : Définition et calcul d’une puissance
[enonce]
Ce QCM porte sur la définition d'une puissance : exposant, base, signe et place des parenthèses. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]
[etape]
Quelle est la valeur de $5^{3}$ ?
[qcm]
[option]$15$[/option]
[option]$25$[/option]
[option correct="true"]$125$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$5^{3}$ signifie le produit de trois facteurs égaux à $5$ :
$5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125$.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
L'erreur fréquente est de multiplier la base par l'exposant.
La puissance, c'est un produit de facteurs identiques : $5^{3} = 5 \times 5 \times 5$.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
$25$ correspond à $5^{2}$, pas à $5^{3}$.
$5^{3}$ se calcule avec trois facteurs égaux à $5$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8$ correspond à $2^{3}$, on a confondu la base avec l'exposant.
Ici, la base est $5$ et l'exposant est $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quelle est la valeur de $(-2)^{4}$ ?
[qcm]
[option]$-16$[/option]
[option]$-8$[/option]
[option correct="true"]$16$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La base est $-2$, l'exposant $4$ est pair, le résultat est donc positif :
$(-2)^{4} = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times 4 = 16$.[/reponse]
[reponse motif="$-16$"]Non.
Attention à la place des parenthèses : ici la base est $(-2)$, pas $-2^{4}$.
Avec un exposant pair et une base négative, le résultat est positif.[/reponse]
[reponse motif="$-8$"]Non.
$-8$ vient d'une multiplication $-2 \times 4$, mais l'écriture $(-2)^{4}$ est un produit de quatre facteurs égaux à $(-2)$, pas une multiplication par $4$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8$ vient d'une multiplication $2 \times 4$ et oublie le signe.
$(-2)^{4}$ se calcule comme un produit de quatre facteurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(-2)^{4} = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16$ (exposant pair, résultat positif).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quelle est la valeur de $-3^{2}$ ?
[qcm]
[option]$9$[/option]
[option correct="true"]$-9$[/option]
[option]$6$[/option]
[option]$-6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Sans parenthèses autour du $-3$, seul $3$ est élevé au carré, puis on applique le signe $-$ :
$-3^{2} = -(3 \times 3) = -9$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
L'erreur fréquente est de placer une parenthèse imaginaire autour du $-3$.
Sans parenthèses, l'écriture $-3^{2}$ signifie $-(3^{2})$, pas $(-3)^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ correspond à $3 \times 2$, mais $3^{2}$ est un produit, pas une multiplication.
$3^{2} = 3 \times 3 = 9$.[/reponse]
[reponse motif="$-6$"]Non.
$-6$ vient d'une multiplication $-3 \times 2$.
$3^{2} = 9$, et le signe $-$ s'applique ensuite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$-3^{2}$ signifie $-(3^{2}) = -9$. À ne pas confondre avec $(-3)^{2} = 9$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quelle est la valeur de $7^{0}$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$7$[/option]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$70$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par convention, pour tout nombre $a$ non nul, $a^{0} = 1$.
Donc $7^{0} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
L'erreur fréquente est de confondre exposant $0$ et résultat $0$.
La règle est : pour tout $a$ non nul, $a^{0} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7$ correspond à $7^{1}$, pas à $7^{0}$.
Pour l'exposant $0$, le résultat est toujours $1$ (pour une base non nulle).[/reponse]
[reponse motif="$70$"]Non.
$70$ vient d'une multiplication $7 \times 10$ ou de la concaténation des chiffres.
La règle de l'exposant $0$ donne $7^{0} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour tout nombre $a$ non nul, $a^{0} = 1$. Donc $7^{0} = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quelle est la valeur de $2^{-3}$ ?
[qcm]
[option]$-8$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{8}$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Un exposant négatif désigne l'inverse :
$2^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}} = \dfrac{1}{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$-8$"]Non.
L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.
Il signifie « inverse de » : $2^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}}$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{8}$"]Non.
Le signe négatif de l'exposant ne se reporte pas sur le résultat.
$2^{-3}$ est un nombre positif, inverse de $2^{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{6}$"]Non.
$6$ vient d'une multiplication $2 \times 3$ au dénominateur.
La règle est $a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$, donc on calcule d'abord $2^{3} = 8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$2^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}} = \dfrac{1}{8}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Calculer $A = 1 + 3 \times 2^{4}$.
[qcm]
[option]$64$[/option]
[option]$25$[/option]
[option correct="true"]$49$[/option]
[option]$20$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On commence par la puissance, puis la multiplication, puis l'addition :
$2^{4} = 16$, puis $3 \times 16 = 48$, puis $A = 1 + 48 = 49$.[/reponse]
[reponse motif="$64$"]Non.
L'erreur fréquente est de calculer $1 + 3$ avant la puissance et la multiplication.
Les puissances se calculent avant les additions et les multiplications.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
$25 = 1 + 3 \times 8$ : on a confondu $2^{4}$ avec $2 \times 4 = 8$.
$2^{4}$ est un produit de quatre facteurs égaux à $2$.[/reponse]
[reponse motif="$20$"]Non.
$20 = 1 + 3 + 16$ : la multiplication par $3$ a été oubliée.
Il faut calculer $3 \times 2^{4}$, pas $3 + 2^{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On calcule d'abord $2^{4} = 16$, puis $3 \times 16 = 48$, puis $1 + 48 = 49$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
