Probabilités – Roulette de casino – Brevet Métropole 2024

Au casino, la roulette est un jeu de hasard pour lequel chaque joueur mise au choix sur un ou plusieurs numéros.

On lance une bille sur une roue qui tourne, numérotée de 0 à 36.

La bille a la même probabilité de s'arrêter sur chaque numéro.

Roue de la roulette européenne avec 37 cases numérotées de 0 à 36 ; le 0 est vert, les autres cases alternent rouge et noir suivant la disposition standard

Expliquer pourquoi la probabilité que la bille s'arrête sur le numéro 7 est $ \dfrac{1}{37} $.
Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur une case à la fois noire et paire.
1. Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro inférieur ou égal à 6.
2. En déduire la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro supérieur ou égal à 7.
3. Un joueur affirme qu'on a plus de 3 chances sur 4 d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7. A-t-il raison ?

Corrigé

La roue comporte les numéros entiers de 0 à 36, soit $ 37 - 0 + 1 = 37 $ numéros.

L'énoncé précise que la bille a la même probabilité de s'arrêter sur chacun des numéros : il y a donc équiprobabilité entre les 37 issues.

La probabilité d'obtenir le numéro 7 est :

$ P(7) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}} = \dfrac{1}{37} $
D'après la disposition de la roulette européenne, les cases noires portent les numéros : 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33 et 35.

Parmi celles-ci, les numéros pairs sont : 2, 4, 6, 8, 10, 20, 22, 24, 26 et 28, soit 10 cases noires et paires.

$ P(\text{noire et paire}) = \dfrac{10}{37} $
1. Les numéros inférieurs ou égaux à 6 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6, soit 7 issues favorables sur 37.
  
  $ P(\text{numéro} \leqslant 6) = \dfrac{7}{37} $
2. Les événements « obtenir un numéro $ \leqslant 6 $ » et « obtenir un numéro $ \geqslant 7 $ » sont contraires (puisque les numéros sont des entiers de 0 à 36).
  
  $ P(\text{numéro} \geqslant 7) = 1 - P(\text{numéro} \leqslant 6) = 1 - \dfrac{7}{37} = \dfrac{37 - 7}{37} = \dfrac{30}{37} $
3. On compare $ \dfrac{30}{37} $ à $ \dfrac{3}{4} $ en les ramenant au même dénominateur 148 :
  
  $ \dfrac{30}{37} = \dfrac{30 \times 4}{37 \times 4} = \dfrac{120}{148} $ et $ \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 37}{4 \times 37} = \dfrac{111}{148} $.
  
  Comme $ \dfrac{120}{148} > \dfrac{111}{148} $, on a $ \dfrac{30}{37} > \dfrac{3}{4} $.
  
  Le joueur a donc raison : la probabilité d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7 dépasse bien $ \dfrac{3}{4} $.

Probabilités – Billes et dés colorés – Brevet Nouvelle-Calédonie 2025

Dans un jeu, les candidats doivent tirer une bille dans une boite et noter sa couleur, puis ils doivent ensuite lancer un dé de la couleur de la bille tirée et noter le résultat obtenu.

Les issues de cette expérience sont donc des couples du type (couleur ; nombre).

Le matériel est le suivant :

La boite contient des billes indiscernables au toucher : 15 rouges, 10 vertes et 5 bleues.
Le dé rouge a 10 faces numérotées de 0 à 9. Le dé vert a 6 faces numérotées de 1 à 6.
Le dé bleu a 4 faces numérotées de 1 à 4.

Pour gagner au jeu il faut obtenir 1 au lancé de dé.

Quelle est la probabilité de tirer une bille bleue dans la boîte ?
Amandine a tiré une bille verte et Alexis a tiré une bille rouge. Qui a le plus de chance de gagner à ce jeu ? Justifier.
Donner l'ensemble des issues possibles de ce jeu. On notera « R » pour rouge, « V » pour vert et « B » pour bleu. Par exemple : l'issue (R ; 3) correspond à : « la bille tirée est rouge et le résultat du lancer de dé est 3 ».

Corrigé

La boîte contient $ 15 + 10 + 5 = 30 $ billes indiscernables au toucher : il y a donc équiprobabilité entre les 30 tirages possibles.

Parmi ces 30 billes, 5 sont bleues. La probabilité de tirer une bille bleue est donc :

$ P(\text{bille bleue}) = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6} $
Une fois la bille tirée, le dé associé à la couleur est lancé. Chaque face a la même probabilité d'apparaître.

Cas d'Amandine (bille verte) : elle lance le dé vert qui a 6 faces.

$ P(\text{obtenir 1 au dé vert}) = \dfrac{1}{6} $

Cas d'Alexis (bille rouge) : il lance le dé rouge qui a 10 faces.

$ P(\text{obtenir 1 au dé rouge}) = \dfrac{1}{10} $

On compare ces deux fractions au même dénominateur 30 :

$ \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{30} $ et $ \dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{30} $.

Comme $ \dfrac{5}{30} > \dfrac{3}{30} $, on a $ \dfrac{1}{6} > \dfrac{1}{10} $.

Amandine a donc plus de chances de gagner que Alexis.
On liste toutes les issues possibles selon la couleur de la bille tirée.

Bille rouge (dé à 10 faces, de 0 à 9) :

$ (R\,;\,0)\,;\,(R\,;\,1)\,;\,(R\,;\,2)\,;\,(R\,;\,3)\,;\,(R\,;\,4)\,;\,(R\,;\,5)\,;\,(R\,;\,6)\,;\,(R\,;\,7)\,;\,(R\,;\,8)\,;\,(R\,;\,9) $

Bille verte (dé à 6 faces, de 1 à 6) :

$ (V\,;\,1)\,;\,(V\,;\,2)\,;\,(V\,;\,3)\,;\,(V\,;\,4)\,;\,(V\,;\,5)\,;\,(V\,;\,6) $

Bille bleue (dé à 4 faces, de 1 à 4) :

$ (B\,;\,1)\,;\,(B\,;\,2)\,;\,(B\,;\,3)\,;\,(B\,;\,4) $

Au total, le jeu admet $ 10 + 6 + 4 = 20 $ issues possibles.

Remarque

Attention : ces 20 issues ne sont pas équiprobables. La probabilité d'obtenir, par exemple, l'issue $ (R\,;\,0) $ est $ \dfrac{15}{30} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{20} $, alors que celle d'obtenir $ (B\,;\,1) $ est $ \dfrac{5}{30} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{24} $.

Probabilités – Tableau à double entrée et produit de tirages – Brevet Polynésie 2024

On dispose de deux boîtes contenant des boules numérotées, indiscernables au toucher.

La première boîte contient trois boules numérotées 2, 3 et 5.

La deuxième boîte contient deux boules numérotées 3 et 5.

On tire au hasard une boule dans la première boîte puis une boule dans la deuxième boîte.

On s'intéresse au produit des nombres inscrits sur ces deux boules.

Par exemple, si on tire la boule numérotée 2 dans la première boîte puis la boule numérotée 5 dans la deuxième boîte, on obtient comme résultat : $ 2 \times 5 = 10 $.

Compléter le tableau à double entrée ci-dessous afin de faire apparaître tous les résultats possibles de cette expérience.

2ᵉ tirage : 3 2ᵉ tirage : 5

1ᵉʳ tirage : 2 $ 2 \times 5 = 10 $

1ᵉʳ tirage : 3

1ᵉʳ tirage : 5 15
Quelle est la probabilité d'obtenir 15 comme résultat ?
L'affirmation suivante est-elle vraie ?

Affirmation : Il y a 2 chances sur 3 d'obtenir un multiple de 3.
On ajoute une troisième boîte contenant deux boules numérotées avec des nombres entiers.

On tire au hasard une boule dans la première boîte, puis une boule dans la deuxième boîte, puis une boule dans la troisième boîte.

On multiplie les nombres inscrits sur ces boules et on s'intéresse au produit de ces trois nombres. Anissa a obtenu comme résultat 165 et Bilel a obtenu 78.

Quels sont les nombres inscrits sur les boules de la troisième boîte ?

	2ᵉ tirage : 3	2ᵉ tirage : 5
1ᵉʳ tirage : 2		$ 2 \times 5 = 10 $
1ᵉʳ tirage : 3
1ᵉʳ tirage : 5	15

Corrigé

On effectue tous les produits possibles entre une boule de la première boîte et une boule de la deuxième boîte.

	2ᵉ tirage : 3	2ᵉ tirage : 5
1ᵉʳ tirage : 2	$ 2 \times 3 = 6 $	$ 2 \times 5 = 10 $
1ᵉʳ tirage : 3	$ 3 \times 3 = 9 $	$ 3 \times 5 = 15 $
1ᵉʳ tirage : 5	$ 5 \times 3 = 15 $	$ 5 \times 5 = 25 $

L'expérience comporte $ 3 \times 2 = 6 $ issues équiprobables. D'après le tableau, le résultat 15 apparaît 2 fois (avec les tirages $ (3\,;\,5) $ et $ (5\,;\,3) $).

$ P(\text{obtenir 15}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} $
On dénombre dans le tableau les résultats qui sont des multiples de 3 : ce sont 6, 9, 15 et 15, soit 4 issues sur 6.

$ P(\text{multiple de 3}) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} $

L'affirmation « Il y a 2 chances sur 3 d'obtenir un multiple de 3 » est donc vraie.
On note $ a $ et $ b $ les deux nombres entiers inscrits sur les boules de la troisième boîte.

D'après le tableau, le produit des deux premières boules appartient à l'ensemble $ \{6\,;\,9\,;\,10\,;\,15\,;\,25\} $.

Cas d'Anissa. Le produit final est 165. On cherche un produit $ p $ de la liste qui divise 165 :

$ 165 = 3 \times 5 \times 11 $.

Le seul élément de la liste $ \{6\,;\,9\,;\,10\,;\,15\,;\,25\} $ qui divise 165 est 15. On a alors $ 165 = 15 \times 11 $, donc l'une des boules de la troisième boîte porte le nombre 11.

Cas de Bilel. Le produit final est 78. On cherche de même un diviseur de 78 dans la liste :

$ 78 = 2 \times 3 \times 13 $.

Le seul élément de la liste qui divise 78 est 6. On a alors $ 78 = 6 \times 13 $, donc l'autre boule de la troisième boîte porte le nombre 13.

La troisième boîte contient les deux boules numérotées 11 et 13.

Probabilités – Urnes A et B – Brevet Métropole 2025

On dispose d'une urne A contenant 6 boules numérotées : 7 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30
et d'une urne B contenant 9 boules numérotées : 2 ; 5 ; 6 ; 8 ; 17 ; 18 ; 21 ; 22 ; 25.

Les boules sont indiscernables au toucher.

On tire une boule dans l'urne A, quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
On tire une boule dans l'urne B, justifier que la probabilité d'obtenir un nombre premier est de $ \dfrac{1}{3} $.
Quelle urne contient le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6 ?
On tire une boule au hasard dans l'une des urnes. Démontrer que la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est la même quelle que soit l'urne choisie.
En repartant avec la composition initiale des urnes A et B on décide d'ajouter une boule numérotée 50 dans chacune d'entre elles. Dans ces conditions, la probabilité d'obtenir un résultat supérieur ou égal à 20 est-elle toujours égale quelle que soit l'urne choisie ?

Corrigé

L'urne A contient 6 boules au total. Les nombres pairs parmi $ \{7\,;\,10\,;\,12\,;\,15\,;\,24\,;\,30\} $ sont 10, 12, 24 et 30, soit 4 boules.

La probabilité d'obtenir un nombre pair est donc :

$ p_1 = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} $
L'urne B contient 9 boules au total. Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Parmi $ \{2\,;\,5\,;\,6\,;\,8\,;\,17\,;\,18\,;\,21\,;\,22\,;\,25\} $, les nombres premiers sont 2, 5 et 17, soit 3 boules.

La probabilité d'obtenir un nombre premier est donc :

$ p_2 = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} $
On dénombre les multiples de 6 dans chaque urne.

Dans l'urne A : 12, 24 et 30 sont des multiples de 6, soit 3 boules.

Dans l'urne B : 6 et 18 sont des multiples de 6, soit 2 boules.

L'urne A contient donc le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6.
On compte dans chaque urne le nombre de boules portant un numéro supérieur ou égal à 20.

Dans l'urne A (6 boules) : 24 et 30 conviennent, soit 2 boules.

$ p_A = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} $

Dans l'urne B (9 boules) : 21, 22 et 25 conviennent, soit 3 boules.

$ p_B = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} $

On a $ p_A = p_B = \dfrac{1}{3} $ : la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est bien la même dans les deux urnes.
On ajoute la boule 50 dans chaque urne.

L'urne A contient maintenant 7 boules. Les boules de numéro $ \geqslant 20 $ sont 24, 30 et 50, soit 3 boules :

$ p'_A = \dfrac{3}{7} $

L'urne B contient maintenant 10 boules. Les boules de numéro $ \geqslant 20 $ sont 21, 22, 25 et 50, soit 4 boules :

$ p'_B = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} $

On compare ces deux fractions en les ramenant au même dénominateur 35 :

$ p'_A = \dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{35} $ et $ p'_B = \dfrac{2}{5} = \dfrac{14}{35} $.

Comme $ \dfrac{15}{35} \neq \dfrac{14}{35} $, on a $ p'_A \neq p'_B $.

Les probabilités ne sont donc plus égales : il vaut mieux choisir l'urne A pour avoir un nombre supérieur ou égal à 20.

Vrai/Faux : Formule d’équiprobabilité

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les probabilités et l'équiprobabilité, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Un sac contient 3 billes rouges et 5 billes bleues, indiscernables au toucher. On tire une bille au hasard.

Affirmation : La probabilité de tirer une bille rouge est $\dfrac{3}{5}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le dénominateur de la fraction doit être le nombre total de billes, pas le nombre de billes bleues.
Il y a $3 + 5 = 8$ billes au total et 3 sont rouges, donc $p(\text{rouge}) = \dfrac{3}{8}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au dénominateur : en situation d'équiprobabilité, on divise le nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues possibles.
Il y a $3 + 5 = 8$ billes au total, donc $p(\text{rouge}) = \dfrac{3}{8}$, pas $\dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il y a 8 billes au total (pas 5), donc $p(\text{rouge}) = \dfrac{3}{8}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé non truqué à six faces.

Affirmation : La probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 est $\dfrac{1}{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les nombres supérieurs ou égaux à 5 sur un dé sont 5 et 6, soit 2 issues favorables sur 6 :

$p(\geqslant 5) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut lister les issues favorables : les nombres supérieurs ou égaux à 5 sont 5 et 6, soit 2 issues sur 6.
On obtient bien $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les issues favorables sont 5 et 6, soit $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une roue de loterie est divisée en 10 secteurs identiques numérotés de 1 à 10. On fait tourner la roue.

Affirmation : La probabilité d'obtenir un multiple de 3 est $\dfrac{1}{3}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les multiples de 3 entre 1 et 10 sont : 3, 6 et 9, soit 3 issues favorables sur 10.
La probabilité est $\dfrac{3}{10}$, pas $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « 3 issues favorables » avec « une chance sur 3 ». Le dénominateur est le nombre total de secteurs, qui est 10.
Les multiples de 3 sont 3, 6 et 9, donc $p = \dfrac{3}{10}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il y a 3 multiples de 3 parmi 10 secteurs, donc $p = \dfrac{3}{10} \neq \dfrac{1}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Dans une classe de 30 élèves, il y a 18 filles. On choisit un élève au hasard.

Affirmation : La probabilité de choisir une fille est $\dfrac{3}{5}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Il y a 18 filles parmi 30 élèves :

$p(\text{fille}) = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On est en situation d'équiprobabilité (choix au hasard). Il y a 18 filles parmi 30 élèves, donc $p(\text{fille}) = \dfrac{18}{30}$.
En simplifiant par 6 : $\dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $\dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$ après simplification par 6.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé non truqué à six faces.

Affirmation : Les événements « obtenir un chiffre pair » et « obtenir un multiple de 3 » sont incompatibles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le chiffre 6 est à la fois pair et multiple de 3 : les deux événements peuvent se réaliser en même temps.
Ils ne sont donc pas incompatibles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Or le chiffre 6 est pair et multiple de 3 : il réalise les deux événements simultanément.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le chiffre 6 est pair et multiple de 3, donc les deux événements ne sont pas incompatibles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.

Affirmation : La probabilité de ne pas tirer une boule blanche est $\dfrac{4}{5}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On utilise l'événement contraire. La probabilité de tirer une boule blanche est $\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$, donc :

$p(\text{pas blanche}) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il y a $2 + 8 = 10$ boules au total. La probabilité de tirer une boule blanche est $\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$.
Par la formule de l'événement contraire : $p(\text{pas blanche}) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $p(\text{blanche}) = \dfrac{1}{5}$, donc $p(\text{pas blanche}) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Formule d’équiprobabilité

[enonce]
Ce QCM porte sur la formule d'équiprobabilité, l'événement contraire et les événements incompatibles. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Une urne contient 3 boules rouges, 5 boules bleues et 4 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ?
[qcm]
[option]$\dfrac{5}{7}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{5}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Il y a $3 + 5 + 4 = 12$ boules au total et 5 sont bleues, donc :

$p(\text{bleue}) = \dfrac{5}{12}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{7}$"]Non.
Le dénominateur de la fraction doit être le nombre total de boules, pas le nombre de boules non bleues. Ici il y a $3 + 5 + 4 = 12$ boules au total.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
Il ne faut pas diviser par le nombre de couleurs. La probabilité se calcule en divisant le nombre de boules bleues par le nombre total de boules.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{12}$"]Non.
Attention, 7 est le nombre de boules qui ne sont pas bleues ($3 + 4 = 7$). Le numérateur doit être le nombre de boules bleues.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On est en situation d'équiprobabilité. Il y a 12 boules au total et 5 sont bleues. Il faut appliquer la formule $p = \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance un dé non truqué à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{6}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les multiples de 3 parmi $\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$ sont 3 et 6, soit 2 issues favorables sur 6 :

$p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{6}$"]Non.
Le chiffre 3 n'est pas le seul multiple de 3 sur un dé. Un multiple de 3 est un nombre qui apparaît dans la table de 3 : il faut aussi compter 6.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Il faut lister les multiples de 3 parmi $\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$. Un multiple de 3 est un nombre divisible par 3, donc qui figure dans la table de 3.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Attention, $\dfrac{2}{3}$ correspond à la probabilité de l'événement contraire, c'est-à-dire « ne pas obtenir un multiple de 3 ». Ici on cherche la probabilité d'obtenir un multiple de 3.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les multiples de 3 parmi les faces du dé sont 3 et 6, soit 2 issues favorables sur 6 au total.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une roue de loterie est divisée en 8 secteurs identiques numérotés de 1 à 8. On fait tourner la roue. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 5 ?
[qcm]
[option]$\dfrac{5}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{8}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les nombres strictement supérieurs à 5 sont 6, 7 et 8, soit 3 issues favorables sur 8 :

$p = \dfrac{3}{8}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{8}$"]Non.
$\dfrac{5}{8}$ correspond à la probabilité d'obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 (5 issues sur 8). C'est l'événement contraire de celui demandé.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Attention, « strictement supérieur à 5 » signifie « plus grand que 5 », donc le 5 n'est pas inclus. Les issues favorables sont uniquement 6, 7 et 8.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{5}$"]Non.
Le dénominateur doit être le nombre total de secteurs (8), pas la valeur du seuil (5). Il faut appliquer la formule d'équiprobabilité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
« Strictement supérieur à 5 » signifie 6, 7 ou 8, soit 3 issues favorables. Le nombre total de secteurs est 8.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une urne contient 7 boules rouges, 5 boules bleues et 3 boules jaunes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule jaune ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{4}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{15}$[/option]
[option]$\dfrac{13}{15}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'événement contraire de « ne pas tirer une jaune » est « tirer une jaune ». On a $p(\text{jaune}) = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$, donc :

$p(\text{pas jaune}) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{5}$"]Non.
$\dfrac{1}{5}$ est la probabilité de tirer une boule jaune, pas de ne pas en tirer une. Pour obtenir la probabilité de l'événement contraire, il faut retrancher de 1.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{15}$"]Non.
Il ne faut pas compter uniquement les boules rouges. « Ne pas tirer une jaune » signifie tirer une boule rouge ou bleue, soit $7 + 5 = 12$ boules favorables sur 15.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{13}{15}$"]Non.
Attention au dénombrement. Il y a 3 boules jaunes parmi 15, donc 12 boules non jaunes : $\dfrac{12}{15}$. Ce résultat se simplifie, mais ne vaut pas $\dfrac{13}{15}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il y a $7 + 5 + 3 = 15$ boules. L'événement « ne pas tirer une jaune » est le contraire de « tirer une jaune ». On utilise la formule $p(\overline{A}) = 1 - p(A)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un sac contient 12 billes numérotées de 1 à 12. On tire une bille au hasard. On note $A$ l'événement « obtenir un multiple de 4 » et $B$ l'événement « obtenir un multiple de 6 ». Quelle est la probabilité de l'événement « $A$ ou $B$ » ?
[qcm]
[option]$\dfrac{5}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{24}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les multiples de 4 sont $\{4 ; 8 ; 12\}$ et les multiples de 6 sont $\{6 ; 12\}$. Le nombre 12 est commun aux deux : les événements ne sont pas incompatibles.
L'ensemble des issues réalisant « $A$ ou $B$ » est $\{4 ; 6 ; 8 ; 12\}$, soit 4 issues :

$p(A \text{ ou } B) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{12}$"]Non.
Attention, on ne peut pas simplement additionner $p(A) + p(B) = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12}$ car les événements $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles : le nombre 12 est à la fois multiple de 4 et de 6. En additionnant, on le compte deux fois.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]Non.
$\dfrac{1}{4}$ est la probabilité de $A$ seul (les multiples de 4). Mais l'événement « $A$ ou $B$ » inclut aussi les multiples de 6 qui ne sont pas multiples de 4.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{24}$"]Non.
Il ne faut pas multiplier les probabilités. La multiplication s'utilise pour des événements successifs (chemins dans un arbre), pas pour « $A$ ou $B$ ». Il faut compter les issues qui réalisent $A$ ou $B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut lister les issues de « $A$ ou $B$ » sans doublon. Les multiples de 4 sont $\{4 ; 8 ; 12\}$ et les multiples de 6 sont $\{6 ; 12\}$, ce qui donne $\{4 ; 6 ; 8 ; 12\}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un dé à six faces a été truqué. Les probabilités de chaque face sont données dans le tableau suivant :

Chiffre	1	2	3	4	5	6
Probabilité	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}5$

Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre pair ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}7$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option]$0{,}3$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
Les chiffres pairs sont 2, 4 et 6. On additionne leurs probabilités :

$p(\text{pair}) = 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}5 = 0{,}7$

[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ est la probabilité d'obtenir le chiffre 6 uniquement. Il y a d'autres chiffres pairs sur le dé : 2 et 4. Il faut additionner les probabilités de tous les chiffres pairs.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}3$"]Non.
$0{,}3$ est la probabilité d'obtenir un chiffre impair ($0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}1$). C'est l'événement contraire de celui demandé.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
On ne peut pas appliquer la formule $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ car le dé est truqué : les faces n'ont pas toutes la même probabilité. Il faut lire les probabilités dans le tableau et les additionner.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le dé étant truqué, il faut additionner les probabilités des faces paires données dans le tableau : $p(2) + p(4) + p(6)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Fréquence et probabilité avec un dé

Léa lance un dé non truqué à six faces un grand nombre de fois et note la fréquence d'apparition du chiffre 6 en fonction du nombre de lancers. Voici ses résultats :

Nombre de lancers	10	50	100	500	1 000	5 000
Nombre de 6 obtenus	3	7	19	88	163	841
Fréquence du 6

Recopier et compléter le tableau en calculant la fréquence d'apparition du chiffre 6 pour chaque nombre de lancers. Arrondir au centième.
Quelle est la probabilité théorique d'obtenir un 6 en lançant un dé non truqué ? Donner le résultat sous forme de fraction puis sous forme décimale arrondie au centième.
À partir de combien de lancers la fréquence observée semble-t-elle se rapprocher de la probabilité théorique ?
Après 10 lancers, Léa a obtenu 3 fois le chiffre 6. Peut-elle en conclure que son dé est truqué ? Justifier.

Corrigé

On calcule chaque fréquence en divisant le nombre de 6 obtenus par le nombre total de lancers :

Nombre de lancers	10	50	100	500	1 000	5 000
Nombre de 6 obtenus	3	7	19	88	163	841
Fréquence du 6	$ \textcolor{red}{0{,}30} $	$ \textcolor{red}{0{,}14} $	$ \textcolor{red}{0{,}19} $	$ \textcolor{red}{0{,}18} $	$ \textcolor{red}{0{,}16} $	$ \textcolor{red}{0{,}17} $

Détail des calculs :
$ \dfrac{3}{10} = 0{,}30 $ ; $ \dfrac{7}{50} = 0{,}14 $ ; $ \dfrac{19}{100} = 0{,}19 $ ; $ \dfrac{88}{500} = 0{,}176 \approx 0{,}18 $ ; $ \dfrac{163}{1\,000} = 0{,}163 \approx 0{,}16 $ ; $ \dfrac{841}{5\,000} = 0{,}1682 \approx 0{,}17 $

Le dé est non truqué, donc toutes les faces ont la même probabilité d'apparaître. Il y a 6 faces et une seule porte le chiffre 6 :

$ p(6) = \dfrac{1}{6} \approx $$\mathbf{0{,}17}$
On observe que les fréquences fluctuent beaucoup pour un petit nombre de lancers ($0{,}30$ pour 10 lancers, $0{,}14$ pour 50 lancers). À partir de 500 lancers environ, la fréquence se stabilise autour de $0{,}17$, ce qui est très proche de la probabilité théorique $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$.
Plus le nombre de lancers augmente, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique : on dit que la fréquence se stabilise vers la probabilité.
Non, Léa ne peut pas conclure que son dé est truqué. Avec seulement 10 lancers, les résultats peuvent fortement varier par rapport à la probabilité théorique. Obtenir 3 fois le chiffre 6 sur 10 lancers (fréquence de $0{,}30$) est tout à fait possible avec un dé non truqué.
C'est justement ce que montrent les résultats : au fur et à mesure que le nombre de lancers augmente, la fréquence se rapproche de $\dfrac{1}{6}$, confirmant que le dé n'est pas truqué. Il faut un grand nombre de lancers pour pouvoir tirer des conclusions fiables.

Événement contraire et urne

Une urne contient 15 boules indiscernables au toucher : 4 boules rouges, 6 boules bleues et 5 boules jaunes. On tire une boule au hasard.

Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
En déduire la probabilité de tirer une boule qui n'est pas rouge.
Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ou jaune ?
Que peut-on constater en comparant les résultats des questions 2 et 3 ? Expliquer.

Corrigé

Les boules sont indiscernables au toucher et le tirage est au hasard, on est donc en situation d'équiprobabilité.

Il y a 4 boules rouges sur un total de 15 boules, donc :

$ p(\text{rouge}) = \dfrac{4}{15} $
L'événement « tirer une boule qui n'est pas rouge » est l'événement contraire de « tirer une boule rouge ».

On utilise la formule de l'événement contraire :
$ p(\overline{\text{rouge}}) = 1 - p(\text{rouge}) $
$ p(\overline{\text{rouge}}) = 1 - \dfrac{4}{15} = \dfrac{15}{15} - \dfrac{4}{15} = $$\mathbf{\dfrac{11}{15}}$
L'événement « tirer une boule bleue ou jaune » est réalisé par $6 + 5 = 11$ boules sur 15, donc :

$ p(\text{bleue ou jaune}) = \dfrac{11}{15} $
On constate que $p(\overline{\text{rouge}}) = p(\text{bleue ou jaune}) = \dfrac{11}{15}$.

C'est logique : les seules couleurs possibles sont rouge, bleue et jaune. Donc « ne pas tirer une boule rouge » revient exactement à « tirer une boule bleue ou jaune ». L'événement contraire de « rouge » est « bleue ou jaune ».

Tableau à double entrée et probabilités

Dans une classe de 24 élèves, chaque élève doit choisir une et une seule langue vivante parmi : anglais, allemand et espagnol.
Le tableau incomplet ci-dessous présente la répartition des langues choisie en fonction du sexe de l'élève :

	Anglais	Allemand	Espagnol	Total
Garçons	10	2		15
Filles			1
Total	16			24

Recopier et compléter le tableau ci-dessus.
On choisit un élève au hasard.
Quelle est la probabilité :
1. que l'élève soit un garçon ayant choisi l'anglais ?
2. que l'élève soit une fille ?
On interroge une fille choisie au hasard.
Quelle est la probabilité qu'elle ait choisi l'allemand ?

Corrigé

	Anglais	Allemand	Espagnol	Total
Garçons	10	2	$ \textcolor{red}{3} $	15
Filles	$ \textcolor{red}{6} $	$ \textcolor{red}{2} $	1	$ \textcolor{red}{9} $
Total	16	$ \textcolor{red}{4} $	$ \textcolor{red}{4} $	24

L'expression « au hasard » indique que l'on est en situation d'équiprobabilité.
Dans chacune des questions suivantes, on calculera donc les probabilités en utilisant la formule :

$ p=\dfrac{\text{nombre d}^{\prime}\text{issues favorables à l}^{\prime}\text{événement}}{\text{nombre total d}^{\prime}\text{issues possibles}}. $
1. Il y a 10 garçons ayant choisi l'anglais sur un total de 24 élèves.
  La probabilité demandée est donc :
  $ p=\dfrac{10}{24}= $$\mathbf{\dfrac{5}{12}}$.
2. Il y a 9 filles sur un total de 24 élèves.
  La probabilité cherchée est alors :
  $ p=\dfrac{9}{24}= $$\mathbf{\dfrac{3}{8}}$.
2 filles ont choisi l'allemand sur un total de 9 filles.
La probabilité que la fille interrogée ait choisi l'allemand est donc :
$ p= $$\mathbf{\dfrac{2}{9}}$.

Arbre pondéré et probabilités

Dans un sachet opaque, on place 12 jetons indiscernables au toucher sur lesquels sont inscrites les 12 lettres du mot ANNIVERSAIRE :

On tire un jeton au hasard.

Déterminer la probabilité de l'événement : « la lettre tirée est un A ».
Compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
Kévin affirme qu'il y a 3 voyelles (A, E, I) et 7 lettres différentes au total (A, E, I, N, R, S, V) donc que la probabilité de tirer une voyelle est $ \dfrac{3}{7}. $
A-t-il raison ?
Après avoir tiré un jeton portant la lettre A, Kévin ne la remet pas dans le sac et tire ensuite un second jeton.
Quelle est la probabilité que ce second jeton porte également la lettre A ?

Corrigé

L'expression « au hasard » indique que chaque jeton a la même probabilité d'être tiré.
La probabilité de l'événement : « la lettre tirée est un A » est donc donné par la formule :

$ p = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à l'événement}}{\text{nombre total d'issues possibles}} $

Ici il y a 2 jetons portant la lettre A sur un total de 12 jetons donc :
$ p=\dfrac{2}{12}= $$\mathbf{\dfrac{1}{6}}$.
Le raisonnement précédent peut s'appliquer à chacune des lettres.
On obtient alors l'arbre suivant :
Le raisonnement de Kévin est faux.
En effet, comme le montre l'arbre ci-dessus, toutes les lettres n'ont pas la même probabilité d'être tirées.
Il faut donc raisonner en terme de jetons et non en terme de lettres :
6 jetons portent une voyelle sur un total de 12.
La probabilité de tirer une voyelle est donc :
$ p=\dfrac{6}{12}= $$\mathbf{\dfrac{1}{2}}$.
Après avoir tiré un jeton portant la lettre A, il reste 11 jetons dans le sachet dont un seul porte la lettre A.
La probabilité de tirer à nouveau la lettre A est alors : $ p= $$\mathbf{\dfrac{1}{11}}$.