Vrai/Faux : Probabilités conditionnelles

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
$A$ et $B$ sont deux événements dont les probabilités sont données par le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & A & \overline{A} & \textbf{Total} \\ \hline B & 0{,}6 & 0{,}2 & 0{,}8 \\ \hline \overline{B} & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ \hline \textbf{Total} & 0{,}7 & 0{,}3 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Affirmation : $p_B(A) = \dfrac{3}{4}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
D'après le tableau : $p(A \cap B) = 0{,}6$ et $p(B) = 0{,}8$, donc :

$p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{0{,}6}{0{,}8} = \dfrac{3}{4}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre $p_B(A)$ et $p_A(B)$, ou de diviser par $p(A)$ au lieu de $p(B)$.
$p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{0{,}6}{0{,}8} = \dfrac{3}{4}$.
C'est bien $\dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. D'après le tableau, $p(A \cap B) = 0{,}6$ et $p(B) = 0{,}8$, donc $p_B(A) = \dfrac{0{,}6}{0{,}8} = \dfrac{3}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux événements suivant l'arbre de probabilités ci-dessous :

Arbre de probabilités avec P(A) = 0,7 et P_A(B) = 0,8

Affirmation : $p_A(B) = 0{,}56$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par lecture directe sur l'arbre, $p_A(B) = 0{,}8$.
C'est $p(A \cap B)$ qui vaut $0{,}7 \times 0{,}8 = 0{,}56$, pas $p_A(B)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre la probabilité conditionnelle $p_A(B)$ (qui se lit directement sur l'arbre) avec la probabilité de l'intersection $p(A \cap B)$ (qui se calcule en multipliant les probabilités le long d'un chemin).
La probabilité $p_A(B)$ se lit directement sur la branche $B$ issue de $A$ : $p_A(B) = 0{,}8$.
$0{,}56 = p(A) \times p_A(B) = 0{,}7 \times 0{,}8$ est la probabilité de $A \cap B$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La probabilité conditionnelle $p_A(B)$ se lit directement sur la branche : $p_A(B) = 0{,}8$. La valeur $0{,}56$ correspond à $p(A \cap B) = 0{,}7 \times 0{,}8$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$A$ et $B$ sont deux événements tels que :

$p(A) = 0{,}4 \qquad p(B) = 0{,}6 \qquad p(A \cap B) = 0{,}2$

Affirmation : $p_B(A) = \dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

$p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}6} = \dfrac{1}{3}$

La probabilité est $\dfrac{1}{3}$, et non $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de diviser $p(A \cap B) = 0{,}2$ par $p(A) = 0{,}4$ au lieu de $p(B) = 0{,}6$.
$p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}6} = \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On calcule $p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}6} = \dfrac{1}{3}$, et non $\dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'arbre de probabilités incomplet ci-dessous :

Arbre de probabilités incomplet : depuis A, la branche B-barre vaut 0,3 et la branche B est notée ?

Affirmation : La probabilité manquante est $p_A(B) = 0{,}7$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à $1$ :

$p_A(B) = 1 - p_A(\overline{B}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier que les probabilités conditionnelles sur les branches issues d'un même nœud doivent sommer à $1$.
Les probabilités sur les branches issues d'un même nœud somment à $1$ :
$p_A(B) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La somme des probabilités issues d'un même nœud vaut $1$ : $p_A(B) = 1 - p_A(\overline{B}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé équilibré à six faces et on note :
$A$ : « le résultat est un nombre pair »
$B$ : « le résultat est supérieur ou égal à $3$ »

Affirmation : $p_B(A) = \dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$A = \{2~; 4~; 6\}$, $B = \{3~; 4~; 5~; 6\}$, $A \cap B = \{4~; 6\}$

$p(B) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \qquad p(A \cap B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

$p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{1/3}{2/3} = \dfrac{1}{2}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de prendre $p(A) = \dfrac{1}{2}$ directement sans tenir compte du conditionnement par $B$.
$A \cap B = \{4~; 6\}$, $p(A \cap B) = \dfrac{1}{3}$ et $p(B) = \dfrac{2}{3}$.
Donc $p_B(A) = \dfrac{1/3}{2/3} = \dfrac{1}{2}$.
C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $A \cap B = \{4~; 6\}$, $p(A \cap B) = \dfrac{1}{3}$, $p(B) = \dfrac{2}{3}$, donc $p_B(A) = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$A$ et $B$ sont deux événements dont les probabilités sont données par le tableau incomplet ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & A & \overline{A} & \textbf{Total} \\ \hline B & \ldots & \ldots & 0{,}7 \\ \hline \overline{B} & 0{,}2 & \ldots & \ldots \\ \hline \textbf{Total} & \ldots & 0{,}6 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Affirmation : $p_A(B) = \dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On complète le tableau : $p(\overline{A}) = 0{,}6$, donc $p(A) = 0{,}4$.
Comme $p(A \cap \overline{B}) = 0{,}2$, on a $p(A \cap B) = p(A) - p(A \cap \overline{B}) = 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}2$.

$p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = \dfrac{1}{2}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas compléter le tableau correctement avant de calculer la probabilité conditionnelle.
$p(A) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ et $p(A \cap B) = 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}2$.
Donc $p_A(B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = \dfrac{1}{2}$.
C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On complète : $p(A) = 0{,}4$, $p(A \cap B) = 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}2$, donc $p_A(B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

Suites et probabilités

Jean participe à un jeu de tir à la carabine lors d'une fête foraine.

Pour chaque partie, il dispose de deux essais. S'il touche la cible au premier essai, il remporte un lion en peluche (et le jeu s'arrête là). S'il atteint la cible au second essai, il remporte un ourson en peluche. S'il rate les deux tirs, il ne gagne rien mais peut rejouer une nouvelle partie.

Jean décide de jouer jusqu'à ce qu'il ait remporté un lot. Toutefois, il arrêtera de jouer après 5 parties même s'il n'a rien gagné. Lors de chaque partie, Jean a une probabilité de $ 0{,}4 $ de toucher la cible au premier essai. S'il a manqué son premier tir, il a une probabilité de $ 0{,}5 $ de toucher la cible au second essai.

On note :

$ A_n $ l' événement : « Jean a atteint la cible du premier coup lors de la n-ième partie »

$ B_n $ l' événement : « Jean a atteint la cible au deuxième coup lors de la n-ième partie »

$ P_n $ l' événement : « Jean a raté ses deux tirs lors de la n-ième partie »

On note également $ a_n=p(A_n) $, $ b_n=p(B_n) $ et $ p_n=p(P_n) $ les probabilités respectives de $ A_n, B_n $ et $ P_n $.

Calculer $ a_1 $, $ b_1 $ et $ p_1 $.
Montrer que la suite$ (p_n) $ est une suite géométrique de raison $ 0{,}3 $.
Quelle est la probabilité que Jean ne remporte aucun lot ? (On arrondira le résultat à $ 10^{ - 3} $ près).
Exprimer $ a_n $ et $ b_n $ en fonction de $ n $. En déduire la probabilité que Jean gagne un lion en peluche et la probabilité qu'il gagne un ourson. (On arrondira les résultats à $ 10^{ - 3} $ près).

Corrigé

La première partie peut être schématisée par l'arbre ci-dessous :

On a donc :

$ a_1=p(A_1)=0{,}4 $

$ p( \overline{A_1})=0{,}6 $

$ b_1=p(B_1)=p(\overline{A_1})\times p_{\overline{A_1}}(B_1) $
$ \phantom{b_1}=0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}3 $

$ p_1=p(P_1)=p(\overline{A_1}) \times p_{\overline{A_1}}(P_1) $
$ \phantom{p_1}=0{,}6 \times 0{,}5=0{,}3 $
Par un raisonnement analogue à celui de la question précédente, la probabilité que Jean perde une partie (c'est à dire manque les deux tirs) sachant qu'il a perdu la partie précédente est $ 0{,}3 $.

Par conséquent :
$ p_{n+1}=p(P_{n+1})=p(P_n)\times p_{P_n}\left(P_{n+1}\right) $
$ \phantom{p_{n+1}}=p_n\times 0{,}3 $

La suite $ \left(p_n\right) $ est donc une suite géométrique de raison $ 0{,}3 $ et de premier terme $ p_1=0{,}3 $.

D'après la formule donnant le $ n $-ième terme d'une suite géométrique en fonction de $ n $, on a alors :
$ p_n=0{,}3 \times 0{,}3^{n - 1}=0{,}3^n $
Jean ne remporte aucun lot s'il perd la cinquième partie.
La probabilité que cela se produise est : $ p_{5}=0{,}3^{5} \approx 0{,}002 $ (à $ 10^{ - 3} $ près)
Soit $ n $ un entier strictement supérieur à $ 1 $.

Puisque, lors de chaque partie, Jean a 40 % de chance d'atteindre la cible au premier essai, la probabilité qu'il remporte un lion à la $ n $-ième partie sachant qu'il a perdu la $ (n - 1) $-ième partie est $ 0{,}4 $.

Par conséquent :
$ a_{n}=p(A_{n})=p(P_{n - 1})\times p_{P_{n - 1}}\left(A_{n}\right) $ $ \phantom{a_{n}}=p_{n - 1}\times 0{,}4 =0{,}4 \times 0{,}3^{n - 1} $

De même :
$ b_{n}=p(B_{n})=p(P_{n - 1})\times p_{P_{n - 1}}\left(B_{n}\right) $ $ \phantom{b_{n}}=p_{n - 1}\times 0{,}3 =0{,}3 \times 0{,}3^{n - 1}=0{,}3^n $

L'événement « Jean gagne un lion en peluche » est l'événement $ A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup A_5 $.
Les événements $ A_1, A_2, A_3, A_4, A_5 $ étant incompatibles, la probabilité que Jean gagne un lion est :

$ p(L)=p(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup A_5) $
$ \phantom{p(L)}=p(A_1)+p(A_2)+p(A_3)+p(A_4)+p(A_5) $
$ \phantom{p(L)}=0{,}4 + 0{,}4 \times 0{,}3 + 0{,}4 \times 0{,}3^2 + 0{,}4 \times 0{,}3^3 + 0{,}4 \times 0{,}3^4 $
$ \phantom{p(L)}=0{,}4 (1 + 0{,}3 + 0{,}3^2+ 0{,}3^3 + 0{,}3^4) $

On reconnait la somme des termes d'une suite géométrique. $ p(L)=0{,}4 \times \dfrac{1 - 0{,}3^5}{1 - 0{,}3} \approx 0{,}570 $ (à $ 10^{ - 3} $ près)

De même, la probabilité que Jean gagne un ourson est :

$ p(O)=p(B_1 \cup B_2 \cup B_3 \cup B_4 \cup B_5) $
$ \phantom{p(O)}=p(B_1)+p(B_2)+p(B_3)+p(B_4)+p(B_5) $
$ \phantom{p(O)} =0{,}3 + 0{,}3^2+ 0{,}3^3 + 0{,}3^4 +0{,}3^5 $
$ \phantom{p(O)}=0{,}3 \times \dfrac{1 - 0{,}3^5}{1 - 0{,}3} \approx 0{,}428 $ (à $ 10^{ - 3} $ près)

Probabilités Lancers successifs – Bac S Pondichéry 2009

On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à $ \dfrac{1}{3} $.

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.
1. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?
2. Quelle est son espérance ?
3. Calculer $ P\left(X=2\right) $.
On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.

On considère les événements D et A suivants :

•ﾠﾠ D : « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;

•ﾠﾠ A : « obtenir exactement deux 6 ».
1. Calculer la probabilité des événements suivants :
  
  •ﾠﾠ « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;
  
  •ﾠﾠ « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».
  
  (On pourra construire un arbre de probabilité).
2. En déduire que : $ p\left(A\right)=\dfrac{7}{48} $.
3. Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué ?
On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé $ n $ fois de suite ($ n $ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).

On note $ B_{n} $ l'événement « obtenir au moins un 6 parmi ces $ n $ lancers successifs ».
1. Déterminer, en fonction de $ n $, la probabilité $ p_{n} $ de l'événement $ B_{n} $.
2. Calculer la limite de la suite $ \left(p_{n}\right) $. Commenter ce résultat.

Corrigé

1. La variable aléatoire $ X $ suit une loi binômiale de paramètres $ n=3 $ et $ p=\dfrac{1}{6} $
2. $ E\left(X\right)=np=3\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2} $
3. $ P\left(X=2\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\times \left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}\times \dfrac{5}{6}=3\times \dfrac{5}{216}=\dfrac{5}{72} $.
1. L'évènement « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » est $ D \cap A $ :
  
  $ p\left(D \cap A\right)=p\left(D\right)\times p_{D}\left(A\right) $
  
  La probabilité $ p_{D}\left(A\right) $ est la probabilité d'obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé bien équilibré ; c'est à dire $ p_{D}(A)=p(X=2)=\dfrac{5}{72} $ d'après la première question donc :
  
  $ p\left(D \cap A\right)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{5}{72}=\dfrac{5}{144} $
  
  L'évènement « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 » est $ \overline{D} \cap A $
  
  $ p\left(\overline{D} \cap A\right)=p\left(\overline{D}\right)\times p_{\overline{D}}\left(A\right) $
  
  La probabilité $ p_{\overline{D}}\left(A\right) $ correspond à « la probabilité d'obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé truqué » :
  
  $ p_{\overline{D}}\left(A\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9} $
  
  Donc :
  
  $ p\left(\overline{D} \cap A\right)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{9} $
2. D'après le théorème des probabilités totales :
  
  $ p\left(A\right)=p\left(\overline{D} \cap A\right)+p\left(D \cap A\right)=\dfrac{1}{9}+\dfrac{5}{144}=\dfrac{16}{144}+\dfrac{5}{144}=\dfrac{21}{144}=\dfrac{7}{48} $
3. Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué est :
  
  $ p_{A}\left(\overline{D}\right)=\dfrac{p\left(\overline{D} \cap A\right)}{p\left(A\right)}=\dfrac{\dfrac{1}{9}}{\dfrac{7}{48}}=\dfrac{1}{9}\times \dfrac{48}{7}=\dfrac{16}{21} $
1. L'évènement $ \overline{B_{n}} $ contraire de $ B_{n} $ est l'événement « n'obtenir aucun 6 parmi ces $ n $ lancers successifs ».
  
  $ p\left(\overline{B_{n}}\right)=p\left(\overline{B_{n}} \cap D\right)+p\left(\overline{B_{n}} \cap \overline{D}\right)=p_{D}\left(\overline{B_{n}}\right)\times p\left(D\right)+p_{\overline{D}}\left(\overline{B_{n}}\right)\times p\left(\overline{D}\right) $
  
  $ p\left(\overline{B_{n}}\right)=\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n}+\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} $
  
  Donc
  
  $ p_{n}=1 - p\left(\overline{B_{n}}\right)=1 - \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n} - \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} $
2. Comme $ \dfrac{5}{6} < 1 $ et $ \dfrac{2}{3} < 1 $:
  
  $ \lim\limits_{n\rightarrow \infty } p_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1 - \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n} - \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}=1 $.
  
  Si on lance le dé « un très grand nombre de fois », on est « pratiquement assuré » d'obtenir au moins un 6 quel que soit le dé choisi.

Probabilités – Bac S Métropole 2013

Commun à tous les candidats Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35% des plants proviennent de l'horticulteur H$ _{1} $, 25% de l'horticulteur H$ _{2} $ et le reste de l'horticulteur H$ _{3} $. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles.

La livraison de l'horticulteur H$ _{1} $ comporte 80% de conifères alors que celle de l'horticulteur H$ _{2} $ n'en comporte que 50% et celle de l'horticulteur H$ _{3} $ seulement 30%.

Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.

On envisage les événements suivants :

♦ $ H_{1} $ : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$ _{1} $»,

♦ $ H_{2} $ : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$ _{2} $»,

♦ $ H_{3} $ : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$ _{3} $»,

♦ $ C $ : « l'arbre choisi est un conifère »,

♦ $ F $ : « l'arbre choisi est un arbre feuillu ».
1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
2. Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H$ _{3} $.
3. Justifier que la probabilité de l'évènement $ C $ est égale à $ 0{,}525 $.
4. L'arbre choisi est un conifère.
  
  Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H$ _{1} $ ? On arrondira à $ 10^{ - 3} $
On choisit au hasard un échantillon de $ 10 $ arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de $ 10 $ arbres dans le stock.

On appelle $ X $ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
1. Justifier que $ X $ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $ 5 $ conifères ?
  On arrondira à $ 10^{ - 3} $.
3. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
  On arrondira à $ 10^{ - 3} $

Corrigé

1. Arbre pondéré décrivant la situation :
2. La probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté à l'horticulteur $H_3$ est :
  
  $ p(H_3 \cap C) = p(H_3) \times p_{H_3}(C) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12 $
3. D'après la formule des probabilités totales, la probabilité de choisir un conifère est :
  $ p(C) = p(H_1 \cap C) + p(H_2 \cap C) + p(H_3 \cap C) $
  $ p(C) = p(H_1) \times p_{H_1}(C) + p(H_2) \times p_{H_2}(C) + p(H_3) \times p_{H_3}(C) $
  $ p(C) = 0{,}35 \times 0{,}8 + 0{,}25 \times 0{,}5 + 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}28 + 0{,}125 + 0{,}12 = 0{,}525 $
4. La probabilité que le conifère choisi ait été acheté chez $H_1$ est :
  
  $ p_C(H_1) = \dfrac{p(H_1 \cap C)}{p(C)} = \dfrac{0{,}35 \times 0{,}8}{0{,}525} = \dfrac{0{,}28}{0{,}525} \approx 0{,}533 $
1. Le choix d'un conifère ou d'un feuillu dans le stock d'arbres correspond à une épreuve de Bernoulli. Comme le stock est suffisamment important, on peut assimiler ce choix à $10$ tirages indépendants avec remise.
  La probabilité d'obtenir $X$ conifères après $10$ épreuves suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = p(C) = 0{,}525$.
  
  $ p(X = k) = \binom{10}{k} \times 0{,}525^k \times (1-0{,}525)^{10-k} $
2. La probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $5$ conifères est :
  
  $ p(X = 5) = \binom{10}{5} \times 0{,}525^5 \times 0{,}475^5 = 252 \times 0{,}525^5 \times 0{,}475^5 \approx 0{,}243 $
3. L'échantillon comporte au moins deux arbres feuillus si il n'en comporte ni $0$ ni $1$. Cela revient à dire que l'on n'a pas $10$ conifères ou $9$ conifères. La probabilité est donc :
  $ p(\text{au moins 2 feuillus}) = 1 - p(X = 9) - p(X = 10) $
  $ = 1 - \binom{10}{9} \times 0{,}525^9 \times 0{,}475^1 - \binom{10}{10} \times 0{,}525^{10} \times 0{,}475^0 $
  $ \approx 1 - 0{,}0144 - 0{,}0016 \approx 0{,}984 $ à $10^{-3}$ près.

Probabilités – Contamination par un virus-Bac S Métropole-2011

Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $ 10^{ - 4} $.

Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus.

PARTIE A

On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :

La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test).
La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test).

On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.

On note $ V $ l'évènement « la personne est contaminée par le virus » et $ T $ l'évènement « le test est positif ».

$ \overline{V} $ et $ \overline{T} $ désignent respectivement les évènements contraires de $ V $ et $ T $.

1. Préciser les valeurs des probabilités $ P\left(V\right) $, $ P_{V}\left(T\right) $, $ P_{\overline{V}}\left(\overline{T}\right) $.
  
  Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
2. En déduire la probabilité de l'évènement $ V \cap T $.
Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.
1. Justifier par un calcul la phrase :
  
  « Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40% de « chances » que la personne soit contaminée ».
2. Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.

PARTIE B

On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.

On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.

Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.

Corrigé

PARTIE A

1. D'après l'énoncé :
2. $ P(V) = 0{,}02 $
3. $ P_V(T) = 0{,}99 $
4. $ P_{\overline{V}}(\overline{T}) = 0{,}97 $
  
  Arbre de probabilités :
5. $ P(V \cap T) = P(V) \times P_V(T) = 0{,}02 \times 0{,}99 = 0{,}0198 $.
D'après la formule des probabilités totales :
$ P(T) = P(V \cap T) + P(\overline{V} \cap T) $
$ P(T) = P(V) \times P_V(T) + P(\overline{V}) \times P_{\overline{V}}(T) $
$ P(T) = 0{,}0198 + 0{,}98 \times (1 - 0{,}97) $
$ P(T) = 0{,}0198 + 0{,}98 \times 0{,}03 = 0{,}0198 + 0{,}0294 = 0{,}0492 $.
1. Cela revient à calculer $ P_T(V) $ :
  
  $ P_T(V) = \dfrac{P(V \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}0198}{0{,}0492} \approx 0{,}4024 $
  
  Soit environ $ 40\% $.
2. On cherche à déterminer $ P_{\overline{T}}(\overline{V}) $ :
  
  $ P_{\overline{T}}(\overline{V}) = \dfrac{P(\overline{V} \cap \overline{T})}{P(\overline{T})} = \dfrac{P(\overline{V}) \times P_{\overline{V}}(\overline{T})}{1 - P(T)} = \dfrac{0{,}98 \times 0{,}97}{1 - 0{,}0492} = \dfrac{0{,}9506}{0{,}9508} \approx 0{,}9998 $

PARTIE B

Le tirage d'une personne dont on détermine si elle est ou non contaminée constitue une épreuve de Bernoulli de paramètre $ p = P(V) = 0{,}02 $.
Comme on choisit successivement 10 personnes de façon indépendante, la variable aléatoire $ X $ qui donne le nombre de personnes contaminées suit une loi binomiale de paramètres $ n = 10 $ et $ p = 0{,}02 $.
On note $ X \sim \mathcal{B}(10 \ ; \ 0{,}02) $.
On cherche à calculer $ P(X \geqslant 2) $ :
$ P(X \geqslant 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1)) $
$ P(X = 0) = \binom{10}{0} \times 0{,}02^0 \times 0{,}98^{10} = 0{,}98^{10} \approx 0{,}81707 $
$ P(X = 1) = \binom{10}{1} \times 0{,}02^1 \times 0{,}98^9 = 10 \times 0{,}02 \times 0{,}98^9 \approx 0{,}16675 $
$ P(X \geqslant 2) = 1 - (0{,}98^{10} + 0{,}2 \times 0{,}98^9) \approx 1 - 0{,}98382 \approx 0{,}0162 $.