Vrai/Faux : Estimation d’une fréquence et fluctuation d’échantillonnage
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur l'estimation d'une fréquence et la fluctuation d'échantillonnage, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Soit $X_1, X_2, \dots, X_n$ un échantillon de $n$ variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$. On note $F_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$ la fréquence empirique.
Affirmation : $E(F_n) = p$ et $V(F_n) = \dfrac{p(1-p)}{n}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Chaque $X_i$ est une Bernoulli de paramètre $p$, donc $E(X_i) = p$ et $V(X_i) = p(1-p)$.
Par linéarité, $E(F_n) = p$. Par indépendance, $V(F_n) = \dfrac{V(X_i)}{n} = \dfrac{p(1-p)}{n}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour une Bernoulli de paramètre $p$, $E = p$ et $V = p(1-p)$.
Pour la moyenne empirique de $n$ variables iid, l'espérance est inchangée et la variance est divisée par $n$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour un échantillon de Bernoulli, $E(F_n) = p$ et $V(F_n) = \dfrac{p(1-p)}{n}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On souhaite estimer une proportion inconnue $p$ à $0{,}01$ près, avec une probabilité d'erreur inférieure à $5\,\%$, à l'aide de la fréquence empirique $F_n$ et de la majoration $p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}$.
Affirmation : D'après l'inégalité de concentration, un échantillon de taille $n = 5\,000$ suffit.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On veut $\dfrac{1}{4n\varepsilon^2} \leqslant 0{,}05$ avec $\varepsilon = 0{,}01$.
$\dfrac{1}{4 \times n \times 0{,}0001} \leqslant 0{,}05 \iff n \geqslant \dfrac{1}{4 \times 0{,}0001 \times 0{,}05} = 50\,000$.
La taille minimale est $50\,000$, pas $5\,000$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il faut résoudre l'inéquation $\dfrac{1}{4n\varepsilon^2} \leqslant 0{,}05$ avec $\varepsilon = 0{,}01$.
Le résultat correct est $n \geqslant 50\,000$, soit dix fois plus que la valeur annoncée.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La condition $\dfrac{1}{4n\varepsilon^2} \leqslant 0{,}05$ avec $\varepsilon = 0{,}01$ donne $n \geqslant 50\,000$, et non $5\,000$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Soit $F_n$ la fréquence empirique d'un échantillon de Bernoulli de paramètre $p$.
Affirmation : Pour tout $\varepsilon > 0$, $p\!\left(|F_n - p| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{1}{4n\varepsilon^2}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'inégalité de concentration donne $p(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \dfrac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$.
Or la fonction $p \mapsto p(1-p)$ admet pour maximum $\dfrac{1}{4}$ en $p = \dfrac{1}{2}$ sur $[0\,;\,1]$, donc $\dfrac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leqslant \dfrac{1}{4n\varepsilon^2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La clé est la majoration $p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}$, valable pour tout $p \in [0\,;\,1]$.
On obtient ainsi une majoration universelle, indépendante de $p$, particulièrement utile quand $p$ est inconnu.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On combine l'inégalité de concentration $\dfrac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$ avec la majoration $p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On lance $100$ fois une pièce et on obtient une fréquence de $0{,}6$ pour « Pile ».
Affirmation : On peut alors affirmer avec certitude que la pièce est biaisée.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Si la pièce était équilibrée ($p = 0{,}5$), l'inégalité de concentration donnerait :
$p(|F_{100} - 0{,}5| \geqslant 0{,}1) \leqslant \dfrac{0{,}25}{100 \times 0{,}01} = 0{,}25$.
Une fluctuation atteignant $0{,}1$ a donc une probabilité non négligeable : on ne peut pas conclure au biais.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La fluctuation d'échantillonnage est ici importante : sur seulement $100$ lancers, un écart de $0{,}1$ avec $p = 0{,}5$ reste plausible.
La majoration de Bienaymé-Tchebychev permet seulement de conclure à un biais si l'écart observé est très grand devant la fluctuation théorique.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour une pièce équilibrée, $p(|F_{100} - 0{,}5| \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}25$ : la fluctuation observée reste plausible.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour un échantillon de Bernoulli de paramètre $p$, la fréquence empirique $F_n$ vérifie $\lim\limits_{n \to +\infty} p\!\left(|F_n - p| \geqslant \varepsilon\right) = 0$ pour tout $\varepsilon > 0$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La fréquence $F_n$ est la moyenne empirique d'un échantillon de Bernoulli (d'espérance $p$). La loi faible des grands nombres s'applique donc à $F_n$ : la probabilité de s'écarter de $p$ d'au moins $\varepsilon$ tend vers $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La fréquence empirique est un cas particulier de moyenne empirique (moyenne d'indicatrices).
La loi faible des grands nombres s'applique donc directement à $F_n$, avec $\mu = p$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la loi faible des grands nombres appliquée à la fréquence empirique d'un échantillon de Bernoulli.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On souhaite estimer une proportion inconnue $p \in [0\,;\,1]$ avec une précision $\varepsilon$ et un seuil de confiance fixés, à l'aide de l'inégalité de concentration.
Affirmation : Plus la valeur réelle de $p$ est proche de $0{,}5$, plus la taille d'échantillon nécessaire est petite.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La majoration de l'inégalité de concentration s'écrit $\dfrac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$. Or $p(1-p)$ atteint son maximum $\dfrac{1}{4}$ en $p = 0{,}5$.
C'est donc autour de $p = 0{,}5$ que la fluctuation est la plus grande et que $n$ doit être le plus grand, pas le plus petit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Penser au sens de variation de $p \mapsto p(1-p)$ sur $[0\,;\,1]$.
Cette fonction est maximale en $p = 0{,}5$, donc la variance — et la taille requise — y est maximale aussi.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. C'est l'inverse : $p(1-p)$ est maximal en $p = 0{,}5$, donc la fluctuation et la taille requise y sont les plus grandes.
[/solution]
[/etape]