[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les moyennes (simple ou pondérée), indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour calculer la moyenne d'une série, on additionne toutes les valeurs et on divise par le nombre de valeurs.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
C'est la définition de la moyenne d'une série : somme des données divisée par leur nombre (l'effectif total).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La moyenne se calcule bien en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par leur nombre. C'est cette définition qui justifie la formule générale.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La moyenne d'une série est égale au quotient de la somme des données par l'effectif total.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la série : $4 \quad ; \quad 8 \quad ; \quad 12$.

Affirmation : La moyenne de cette série est $8$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On vérifie : $\dfrac{4 + 8 + 12}{3} = \dfrac{24}{3} = 8$. La moyenne est bien $8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Refaire le calcul : la somme vaut $4 + 8 + 12 = 24$, et il y a $3$ valeurs. La moyenne est donc $\dfrac{24}{3} = 8$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{4 + 8 + 12}{3} = \dfrac{24}{3} = 8$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La moyenne de la série $1 \quad ; \quad 1 \quad ; \quad 1 \quad ; \quad 1 \quad ; \quad 9$ est $5$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le piège est de calculer $\dfrac{1 + 9}{2} = 5$, en ne gardant que les deux valeurs distinctes. Or il faut tenir compte de toutes les occurrences :
$\dfrac{1 + 1 + 1 + 1 + 9}{5} = \dfrac{13}{5} = 2{,}6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au piège : la moyenne n'est pas $\dfrac{1 + 9}{2}$ mais bien la somme des cinq valeurs divisée par $5$. Refaire le calcul $\dfrac{1 + 1 + 1 + 1 + 9}{5}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La moyenne vaut $\dfrac{1 + 1 + 1 + 1 + 9}{5} = \dfrac{13}{5} = 2{,}6$, pas $5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour une série dont les données sont regroupées dans un tableau d'effectifs, la moyenne s'obtient en faisant la moyenne des valeurs sans tenir compte des effectifs.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Quand les données sont regroupées, on doit utiliser la moyenne pondérée : chaque valeur est multipliée par son effectif. Sinon, une donnée rare aurait autant de poids qu'une donnée fréquente.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre la moyenne des valeurs (sans pondération) et la moyenne de la série (pondérée par les effectifs). Une valeur qui apparaît $10$ fois compte $10$ fois dans le calcul, pas $1$ fois.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Quand les données sont regroupées, on calcule la moyenne pondérée : chaque valeur est multipliée par son effectif avant la division par l'effectif total.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un élève a obtenu cinq notes sur $20$ : $9$, $11$, $13$, $14$ et $18$.

Affirmation : Sa moyenne est nécessairement comprise entre $9$ et $18$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La moyenne d'une série est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur. Ici, $9 \leqslant \text{moyenne} \leqslant 18$.
On vérifie : $\dfrac{9 + 11 + 13 + 14 + 18}{5} = \dfrac{65}{5} = 13$, qui est bien dans cet intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel de la propriété d'encadrement : la moyenne d'une série ne peut jamais être inférieure au minimum ni supérieure au maximum. Ici l'encadrement par $9$ et $18$ est donc toujours valable.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La moyenne d'une série est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si on multiplie toutes les valeurs d'une série par $2$, la moyenne reste inchangée.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Multiplier toutes les valeurs par $2$ multiplie la somme par $2$, alors que l'effectif total ne change pas. Le quotient (la moyenne) est donc lui aussi multiplié par $2$, il ne reste pas inchangé.
Exemple : la moyenne de $4 ; 6 ; 8$ vaut $6$, celle de $8 ; 12 ; 16$ vaut $12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Quand toutes les valeurs sont multipliées par $2$, la somme est elle aussi multipliée par $2$, et l'effectif total reste inchangé. Par conséquent, la moyenne change : elle est multipliée par $2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Multiplier toutes les valeurs par un même nombre multiplie la moyenne par ce même nombre : elle ne reste donc pas inchangée.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la moyenne d'une série statistique, simple et pondérée. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On considère la série de cinq nombres : $6 \quad ; \quad 8 \quad ; \quad 10 \quad ; \quad 11 \quad ; \quad 15$.

Quelle est la moyenne de cette série ?
[qcm]
[option]$9$[/option]
[option correct="true"]$10$[/option]
[option]$50$[/option]
[option]$10{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On additionne toutes les valeurs puis on divise par leur nombre :
$\dfrac{6 + 8 + 10 + 11 + 15}{5} = \dfrac{50}{5} = 10$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ ne correspond à aucune méthode correcte. La moyenne tient compte de toutes les valeurs, pas seulement de quelques-unes.[/reponse]
[reponse motif="$50$"]Non.
$50$ est la somme des valeurs. Il manque l'étape de division par le nombre de valeurs ($5$).[/reponse]
[reponse motif="$10{,}5$"]Non.
$10{,}5 = \dfrac{6 + 15}{2}$ est la demi-somme du minimum et du maximum. Cette méthode ne donne pas la moyenne d'une série.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Additionner toutes les valeurs, puis diviser par le nombre de valeurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Léo a obtenu trois notes : $12$, $14$ et $10$. Il prétend que sa moyenne est $\dfrac{12 + 14 + 10}{3 \times 20}$.

Quelle est sa véritable moyenne sur $20$ ?
[qcm]
[option]$0{,}6$[/option]
[option]$36$[/option]
[option]$20$[/option]
[option correct="true"]$12$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour la moyenne, on divise par le nombre de notes, pas par le maximum possible :
$\dfrac{12 + 14 + 10}{3} = \dfrac{36}{3} = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}6$"]Non.
$0{,}6 = \dfrac{36}{60}$ correspond justement au calcul faux proposé par Léo. On divise par le nombre de notes, pas par $3 \times 20$.[/reponse]
[reponse motif="$36$"]Non.
$36$ est la somme des notes. Il faut encore diviser par le nombre de notes ($3$).[/reponse]
[reponse motif="$20$"]Non.
$20$ est le maximum possible d'une note, pas la moyenne. La moyenne s'obtient en divisant la somme des notes par leur nombre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La moyenne s'obtient en divisant la somme des notes par leur nombre (ici $3$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Voici les notes obtenues par les élèves d'une classe lors d'un contrôle :

Quelle est la moyenne de la classe ?
[qcm]
[option]$11{,}5$[/option]
[option]$46$[/option]
[option correct="true"]$12{,}1$[/option]
[option]$60{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On effectue la moyenne pondérée :
$\dfrac{8 \times 2 + 10 \times 5 + 12 \times 8 + 16 \times 5}{20} = \dfrac{16 + 50 + 96 + 80}{20} = \dfrac{242}{20} = 12{,}1$.[/reponse]
[reponse motif="$11{,}5$"]Non.
$11{,}5 = \dfrac{8 + 10 + 12 + 16}{4}$ est la moyenne des seules valeurs, sans tenir compte des effectifs. Or chaque note doit être pondérée par son effectif.[/reponse]
[reponse motif="$46$"]Non.
$46 = 8 + 10 + 12 + 16$ est la somme des valeurs, sans pondération et sans division par l'effectif total. Refaire le calcul complet.[/reponse]
[reponse motif="$60{,}5$"]Non.
$60{,}5 = \dfrac{242}{4}$ : la somme pondérée a été divisée par le nombre de valeurs ($4$) au lieu de l'effectif total ($20$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la moyenne pondérée, multiplier chaque valeur par son effectif, additionner ces produits, puis diviser par l'effectif total.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La moyenne d'une série de $7$ nombres vaut $9$.

Quelle est la somme de tous ces nombres ?
[qcm]
[option correct="true"]$63$[/option]
[option]$9$[/option]
[option]$\dfrac{9}{7}$[/option]
[option]$16$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme s'obtient en multipliant la moyenne par le nombre de valeurs :
$9 \times 7 = 63$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ est la moyenne, pas la somme. La somme est obtenue en multipliant la moyenne par le nombre de valeurs.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{9}{7}$"]Non.
Le quotient est inversé : la moyenne vaut somme divisée par effectif. Pour retrouver la somme, il faut multiplier la moyenne par l'effectif.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
$16 = 9 + 7$ ne correspond à aucune relation correcte. Repartir de la formule : moyenne $\times$ effectif $=$ somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la formule : somme $=$ moyenne $\times$ effectif total.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un tableau d'effectifs, on a relevé $3$ valeurs : la valeur $6$ avec un effectif $3$, la valeur $8$ avec un effectif $4$ et la valeur $10$ avec un effectif $3$.

Quelle est la moyenne de la série ?
[qcm]
[option correct="true"]$8$[/option]
[option]$24$[/option]
[option]$80$[/option]
[option]$10$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Effectif total : $3 + 4 + 3 = 10$. Somme pondérée : $6 \times 3 + 8 \times 4 + 10 \times 3 = 18 + 32 + 30 = 80$.
Moyenne : $\dfrac{80}{10} = 8$.[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
$24 = 6 + 8 + 10$ est la somme des trois valeurs sans tenir compte des effectifs. Il faut pondérer chaque valeur par son effectif.[/reponse]
[reponse motif="$80$"]Non.
$80$ est la somme pondérée. Il manque la division par l'effectif total ($10$) pour obtenir la moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10$ est l'effectif total, ou encore la plus grande valeur de la série. Ce n'est pas la moyenne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer la somme pondérée (chaque valeur multipliée par son effectif), puis diviser par l'effectif total.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une série a une moyenne de $14$. Toutes ses valeurs sont comprises entre $a$ et $b$.

Quelle inégalité est nécessairement vraie ?
[qcm]
[option]$a < 14$ et $b < 14$[/option]
[option correct="true"]$a \leqslant 14 \leqslant b$[/option]
[option]$a > 14 > b$[/option]
[option]$a + b = 14$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La moyenne d'une série est toujours comprise entre la plus petite valeur ($a$) et la plus grande ($b$). On a donc $a \leqslant 14 \leqslant b$.[/reponse]
[reponse motif="$a < 14$ et $b < 14$"]Non.
Si $b$ est la plus grande valeur, on ne peut pas avoir $b < 14$ et une moyenne égale à $14$. La moyenne ne peut pas dépasser le maximum.[/reponse]
[reponse motif="$a > 14 > b$"]Non.
Cette écriture imposerait $a > b$, ce qui contredit le fait que $a$ est le minimum et $b$ le maximum. Une telle inégalité est impossible.[/reponse]
[reponse motif="$a + b = 14$"]Non.
La moyenne n'est pas égale à la demi-somme du minimum et du maximum. Et même si c'était le cas, on aurait $a + b = 28$, pas $14$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser à la propriété d'encadrement : la moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]