[enonce]
Deux classes de 3e passent le même contrôle de mathématiques noté sur $20$. Les résultats sont regroupés dans les tableaux suivants :
Classe A ($20$ élèves) :

Classe B ($20$ élèves) :

Comparer les performances des deux classes en calculant les indicateurs statistiques.
[/enonce]

[etape]
Calculer la moyenne de la classe A.
Moyenne A = [[moyA]]
[math id="moyA" attendu="11.8"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\bar{x}_A = \dfrac{3 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 6 + 14 \times 5 + 19 \times 4}{20} = \dfrac{236}{20} = 11{,}8$[/reponse]
[reponse motif="10.8"]Vérifier le calcul de la somme des produits. Attention au produit $19 \times 4$.[/reponse]
[reponse motif="236"]Il reste à diviser par l'effectif total ($20$).[/reponse]
[reponse motif="47.2"]Non. On divise par l'effectif total ($20$ élèves), pas par le nombre de valeurs distinctes ($5$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer la somme $3 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 6 + 14 \times 5 + 19 \times 4$, puis diviser par $20$.[/reponse]
[aide essai="2"]Calculer chaque produit : $6$, $24$, $60$, $70$, $76$. Additionner puis diviser par $20$.[/aide]
[aide essai="3"]La somme vaut $6 + 24 + 60 + 70 + 76 = 236$. Calculer $\dfrac{236}{20}$.[/aide]
[/math]
[solution]$\bar{x}_A = \dfrac{6 + 24 + 60 + 70 + 76}{20} = \dfrac{236}{20} = 11{,}8$[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la moyenne de la classe B.
Moyenne B = [[moyB]]
[math id="moyB" attendu="11.1"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\bar{x}_B = \dfrac{8 \times 2 + 10 \times 5 + 11 \times 6 + 12 \times 4 + 14 \times 3}{20} = \dfrac{222}{20} = 11{,}1$[/reponse]
[reponse motif="222"]Il reste à diviser par l'effectif total ($20$).[/reponse]
[reponse motif="11"]Valeur proche mais inexacte. Vérifier le calcul de la somme des produits.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Même méthode que pour la classe A : somme des produits note $\times$ effectif, puis division par $20$.[/reponse]
[aide essai="2"]Calculer chaque produit : $16$, $50$, $66$, $48$, $42$. Additionner puis diviser par $20$.[/aide]
[aide essai="3"]La somme vaut $16 + 50 + 66 + 48 + 42 = 222$. Calculer $\dfrac{222}{20}$.[/aide]
[/math]
[solution]$\bar{x}_B = \dfrac{16 + 50 + 66 + 48 + 42}{20} = \dfrac{222}{20} = 11{,}1$[/solution]
[/etape]

[etape]
La classe A a une moyenne plus élevée ($11{,}8$) que la classe B ($11{,}1$). Peut-on conclure que la classe A a globalement mieux réussi ?
[qcm]
[option]Oui, la moyenne résume parfaitement les résultats[/option]
[option correct="true"]Non, car quelques notes extrêmes peuvent faire varier fortement la moyenne[/option]
[option]Non, car la moyenne est toujours un mauvais indicateur[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dans la classe A, les $4$ notes à $19$ tirent la moyenne vers le haut, tandis que les $2$ notes à $3$ la tirent vers le bas. La moyenne seule ne suffit pas : il faut aussi examiner la médiane et l'étendue.[/reponse]
[reponse motif="Oui, la moyenne résume parfaitement les résultats"]Non.
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes. Dans la classe A, les notes de $3$ et $19$ sont très éloignées du centre.[/reponse]
[reponse motif="Non, car la moyenne est toujours un mauvais indicateur"]Non.
La moyenne est un indicateur utile, mais pas suffisant à lui seul. Elle est sensible aux valeurs extrêmes, ce qui rend nécessaire l'examen d'autres indicateurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Réfléchir à l'influence des notes très hautes ($19$) et très basses ($3$) sur le calcul de la moyenne.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Déterminer la médiane de la classe A ($20$ élèves).
Médiane A = [[medA]]
[math id="medA" attendu="10"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$N = 20$ (pair). On cherche les valeurs en positions $10$ et $11$.
Effectifs cumulés : 2, 5, 11, 16, 20.
La 10e valeur est $10$ et la 11e valeur est $10$.
Médiane $= \dfrac{10 + 10}{2} = 10$.[/reponse]
[reponse motif="11"]Attention, vérifier les effectifs cumulés. La valeur $10$ occupe les rangs 6 à 11.[/reponse]
[reponse motif="11.8"]La médiane n'est pas la moyenne. Il faut trouver les valeurs centrales de la série ordonnée.[/reponse]
[reponse motif="12"]Non. Bien cumuler les effectifs : $3$ occupe les rangs 1-2, $8$ les rangs 3-5, $10$ les rangs 6-11.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$N = 20$ est pair : la médiane est la moyenne des 10e et 11e valeurs. Calculer les effectifs cumulés pour les repérer.[/reponse]
[aide essai="2"]Effectifs cumulés de la classe A : $2$, $5$, $11$, ... La 10e valeur se situe dans quel groupe ?[/aide]
[aide essai="3"]Effectifs cumulés : $2$, $5$, $11$, $16$, $20$. La 10e et la 11e valeur sont toutes les deux dans le groupe du rang 6 au rang 11.[/aide]
[/math]
[solution]Effectifs cumulés : 2, 5, 11, 16, 20.
10e et 11e valeurs $= 10$. Médiane A $= 10$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer la médiane de la classe B ($20$ élèves).
Médiane B = [[medB]]
[math id="medB" attendu="11"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Effectifs cumulés : 2, 7, 13, 17, 20.
La 10e valeur est $11$ et la 11e valeur est $11$.
Médiane $= 11$.
La médiane de B ($11$) est supérieure à celle de A ($10$), alors que la moyenne de A était plus élevée ![/reponse]
[reponse motif="10"]Non. Bien cumuler les effectifs de la classe B : $8$ occupe les rangs 1-2, $10$ les rangs 3-7, $11$ les rangs 8-13.[/reponse]
[reponse motif="11.1"]La médiane n'est pas la moyenne. Repérer les valeurs centrales dans la série ordonnée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les effectifs cumulés de la classe B et trouver les 10e et 11e valeurs.[/reponse]
[aide essai="2"]Effectifs cumulés de la classe B : $2$, $7$, $13$, ... La 10e valeur se situe dans quel groupe ?[/aide]
[aide essai="3"]Effectifs cumulés : $2$, $7$, $13$, $17$, $20$. La 10e valeur est dans le groupe du rang 8 au rang 13.[/aide]
[/math]
[solution]Effectifs cumulés : 2, 7, 13, 17, 20.
10e et 11e valeurs $= 11$. Médiane B $= 11$.[/solution]
[/etape]

[etape]
L'étendue de la classe A est $19 - 3 = 16$ et celle de la classe B est $14 - 8 = 6$. Quelle conclusion est la plus juste ?
[qcm]
[option]La classe A a de meilleurs résultats car sa moyenne est plus élevée[/option]
[option]Les deux classes ont des résultats équivalents[/option]
[option correct="true"]La classe B a des résultats plus homogènes et une médiane plus élevée, malgré une moyenne légèrement inférieure[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Récapitulatif :

La classe A a une moyenne un peu plus haute, tirée par les notes de $19$, mais sa médiane est plus basse et son étendue est très grande (notes très dispersées). La classe B est plus régulière : la moitié de ses élèves a au moins $11$, avec une étendue de seulement $6$.[/reponse]
[reponse motif="La classe A a de meilleurs résultats car sa moyenne est plus élevée"]Non.
La moyenne de A est gonflée par les $4$ notes à $19$. Mais la médiane de A ($10$) est inférieure à celle de B ($11$), et l'étendue de A ($16$) montre des résultats très dispersés.[/reponse]
[reponse motif="Les deux classes ont des résultats équivalents"]Non.
Les moyennes sont proches, mais les médianes et les étendues diffèrent nettement. Les deux classes n'ont pas le même profil de résultats.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer les trois indicateurs : moyenne, médiane et étendue. Quel profil se dégage pour chaque classe ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
On a interrogé les $25$ élèves d'une classe de 3e pour connaître le nombre d'animaux de compagnie qu'ils possèdent. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Calculer la moyenne et la médiane de cette série statistique.
[/enonce]

[etape]
Calculer la moyenne de cette série.
Moyenne = [[moy]]
[math id="moy" attendu="1.8"]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule la somme des produits valeur $\times$ effectif, puis on divise par l'effectif total :
$\bar{x} = \dfrac{0 \times 3 + 1 \times 8 + 2 \times 7 + 3 \times 5 + 4 \times 2}{25} = \dfrac{45}{25} = 1{,}8$[/reponse]
[reponse motif="9"]Attention, $9$ est la somme des produits divisée par le nombre de valeurs distinctes ($5$), pas par l'effectif total ($25$).[/reponse]
[reponse motif="2"]Ce n'est pas la bonne valeur. Il faut multiplier chaque nombre d'animaux par son effectif, additionner ces produits, puis diviser par $25$.[/reponse]
[reponse motif="45"]Il reste une étape : diviser la somme obtenue par l'effectif total.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il s'agit d'une moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par l'effectif total ($25$).[/reponse]
[aide essai="2"]Calculer : $0 \times 3 + 1 \times 8 + 2 \times 7 + 3 \times 5 + 4 \times 2$, puis diviser le résultat par $25$.[/aide]
[aide essai="3"]La somme des produits vaut $0 + 8 + 14 + 15 + 8 = 45$. Diviser $45$ par $25$.[/aide]
[/math]
[solution]$\bar{x} = \dfrac{0 \times 3 + 1 \times 8 + 2 \times 7 + 3 \times 5 + 4 \times 2}{25} = \dfrac{45}{25} = 1{,}8$[/solution]
[/etape]

[etape]
L'effectif total est $25$ (nombre impair). Quelle est la position de la médiane dans la série ordonnée ?
[qcm]
[option]La 12e valeur[/option]
[option correct="true"]La 13e valeur[/option]
[option]La 12e et la 13e valeur[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$N = 25$ est impair, donc la médiane est la valeur en position $\dfrac{25 + 1}{2} = 13$.[/reponse]
[reponse motif="La 12e valeur"]Non.
La position de la médiane quand $N$ est impair se calcule avec la formule $\dfrac{N + 1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="La 12e et la 13e valeur"]Non.
On utilise les deux valeurs centrales quand $N$ est pair. Ici $N = 25$ est impair.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand $N$ est impair, la médiane est la valeur en position $\dfrac{N + 1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Déterminer la médiane de cette série.
Médiane = [[med]]
[math id="med" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
En cumulant les effectifs : $0$ occupe les rangs 1 à 3, $1$ les rangs 4 à 11, $2$ les rangs 12 à 18.
La 13e valeur est donc $2$.[/reponse]
[reponse motif="1"]Attention, la valeur $1$ occupe les rangs 4 à 11.
La 13e valeur se situe au-delà du rang 11.[/reponse]
[reponse motif="3"]Non.
La valeur $3$ commence au rang 19. La 13e valeur est avant.[/reponse]
[reponse motif="1.8"]La médiane n'est pas la moyenne. C'est la valeur centrale de la série ordonnée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Cumuler les effectifs pour trouver dans quel groupe se situe la 13e valeur.[/reponse]
[aide essai="2"]Calculer les effectifs cumulés : $0$ va du rang 1 au rang 3, $1$ du rang 4 au rang $3 + 8 = 11$, $2$ du rang 12 au rang $11 + 7 = ?$[/aide]
[aide essai="3"]Effectifs cumulés : 3, 11, 18, 23, 25. La 13e valeur tombe dans le groupe qui va du rang 12 au rang 18.[/aide]
[/math]
[solution]Effectifs cumulés : 3, 11, 18, 23, 25.
La 13e valeur est $2$ (rangs 12 à 18). La médiane vaut $2$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Que signifie la valeur de la médiane trouvée ?
[qcm]
[option]Tous les élèves possèdent 2 animaux[/option]
[option correct="true"]Au moins la moitié des élèves possèdent 2 animaux ou moins[/option]
[option]La plupart des élèves possèdent exactement 2 animaux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La médiane sépare la série en deux groupes de même effectif : au moins 50% des élèves ont 2 animaux ou moins, et au moins 50% en ont 2 ou plus.[/reponse]
[reponse motif="Tous les élèves possèdent 2 animaux"]Non.
La médiane ne signifie pas que tout le monde a la même valeur. C'est la valeur qui partage la série en deux moitiés.[/reponse]
[reponse motif="La plupart des élèves possèdent exactement 2 animaux"]Non.
La médiane indique la position centrale, pas la valeur la plus fréquente (qui serait le mode).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

On a interrogé les élèves d'une classe de 3e sur leur temps d'écran quotidien (hors travail scolaire). Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

1. Combien d'élèves ont été interrogés ?
2. Calculer l'étendue de cette série.
3. Calculer le temps d'écran moyen de cette classe. Arrondir au dixième.
4. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat.

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la moyenne et la médiane, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère la série : 8 ; 12 ; 10 ; 14 ; 6.

Affirmation : La moyenne de cette série est égale à 10.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La moyenne vaut $\dfrac{8 + 12 + 10 + 14 + 6}{5} = \dfrac{50}{5} = 10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La moyenne se calcule en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par l'effectif total :
$\dfrac{8 + 12 + 10 + 14 + 6}{5} = \dfrac{50}{5} = 10$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{50}{5} = 10$ : la moyenne est bien égale à 10.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la série : 3 ; 8 ; 5 ; 12 ; 7.

Affirmation : La médiane de cette série est 5.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour déterminer la médiane, il faut d'abord ranger les valeurs par ordre croissant : 3 ; 5 ; 7 ; 8 ; 12.
La médiane est la 3e valeur (position $\dfrac{5+1}{2} = 3$), soit 7.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, il faut trier les valeurs avant de chercher la médiane.
La série ordonnée est : 3 ; 5 ; 7 ; 8 ; 12. La médiane est la valeur centrale, ici la 3e : c'est 7, pas 5.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La série triée est 3 ; 5 ; 7 ; 8 ; 12. La médiane est 7, pas 5.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'étendue d'une série statistique mesure la dispersion des données.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'étendue (différence entre la plus grande et la plus petite valeur) indique si les données sont regroupées ou dispersées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'étendue mesure l'écart entre les valeurs extrêmes d'une série.
Plus l'étendue est grande, plus les données sont dispersées.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. L'étendue est un indicateur de dispersion : elle mesure l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la série : 4 ; 6 ; 9 ; 11 ; 15 ; 18.

Affirmation : La médiane de cette série est 11.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La série comporte 6 valeurs (nombre pair). La médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs :
$\dfrac{9 + 11}{2} = 10$, et non 11.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Quand l'effectif total est pair, la médiane n'est pas simplement l'une des deux valeurs centrales.
Ici, avec 6 valeurs, la médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs : $\dfrac{9 + 11}{2} = 10$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Avec un effectif pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales : $\dfrac{9 + 11}{2} = 10$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si une série comporte 9 valeurs rangées par ordre croissant, la médiane est la 5e valeur.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'effectif total est 9 (impair). La médiane est en position $\dfrac{9 + 1}{2} = 5$, c'est bien la 5e valeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand l'effectif total est impair, la médiane est la valeur en position $\dfrac{N+1}{2}$.
Ici : $\dfrac{9 + 1}{2} = 5$, la médiane est la 5e valeur.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec 9 valeurs, la médiane est en position $\dfrac{9+1}{2} = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La moyenne et la médiane d'une série statistique sont toujours égales.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Ce sont deux indicateurs différents qui peuvent donner des résultats distincts.
Par exemple, la série 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 16 a pour médiane 1 et pour moyenne $\dfrac{20}{5} = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La moyenne et la médiane sont deux indicateurs de position distincts.
Par exemple, dans la série 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 16, la médiane est 1 mais la moyenne vaut $\dfrac{20}{5} = 4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La moyenne et la médiane peuvent être différentes. Par exemple : série 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 16, médiane = 1, moyenne = 4.
[/solution]
[/etape]