[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la moyenne et la moyenne pondérée, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La moyenne d'une série est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La moyenne tire la valeur de toutes les données : elle ne peut pas être inférieure au minimum, ni supérieure au maximum.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La moyenne est obtenue à partir de toutes les valeurs de la série. Elle est forcément encadrée par le minimum et le maximum de la série.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour calculer la moyenne d'une série donnée par un tableau d'effectifs, on additionne les valeurs et on divise par le nombre de valeurs distinctes.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Cette méthode oublie les effectifs. Il faut multiplier chaque valeur par son effectif, puis diviser par l'effectif total, pas par le nombre de valeurs distinctes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La moyenne pondérée prend en compte le nombre d'apparitions de chaque valeur.
Formule : $\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_p x_p}{N}$, où $N$ est l'effectif total.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Il faut diviser par l'effectif total ($N$), pas par le nombre de valeurs distinctes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Trois sauts en longueur sont mesurés : $5{,}80$ m ; $6{,}20$ m ; $6{,}00$ m.

Affirmation : La moyenne de ces sauts est $6{,}00$ m.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule : $\dfrac{5{,}80 + 6{,}20 + 6{,}00}{3} = \dfrac{18}{3} = 6{,}00$ m.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On additionne les trois mesures : $5{,}80 + 6{,}20 + 6{,}00 = 18$, puis on divise par $3$ :
$18 \div 3 = 6{,}00$ m.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La somme des trois sauts est $18$ m, et $18 \div 3 = 6{,}00$ m.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Voici un tableau d'effectifs :

Affirmation : La moyenne de cette série est $12{,}33$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$12{,}33 = \dfrac{10 + 12 + 15}{3}$ est la moyenne des trois valeurs sans tenir compte des effectifs. La moyenne pondérée vaut :
$\dfrac{10 \times 3 + 12 \times 2 + 15 \times 5}{10} = \dfrac{30 + 24 + 75}{10} = \dfrac{129}{10} = 12{,}9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de calculer la moyenne des trois valeurs sans tenir compte des effectifs.
Il faut pondérer : $(10 \times 3 + 12 \times 2 + 15 \times 5) \div 10 = 129 \div 10 = 12{,}9$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La moyenne pondérée est $\dfrac{129}{10} = 12{,}9$, et non $12{,}33$ qui ignore les effectifs.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si on multiplie toutes les valeurs d'une série par $2$, alors la moyenne est aussi multipliée par $2$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Si chaque valeur est multipliée par $2$, la somme est aussi multipliée par $2$. L'effectif total ne change pas, donc la moyenne (somme divisée par effectif) est multipliée par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
En multipliant chaque valeur par $2$, on multiplie la somme totale par $2$. Comme l'effectif est inchangé, la moyenne est elle aussi multipliée par $2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Multiplier toutes les valeurs par $2$ multiplie la somme par $2$, donc la moyenne aussi.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La moyenne d'une série statistique est toujours une valeur figurant dans la série.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La moyenne peut très bien ne pas appartenir à la série. Par exemple, la moyenne de $1$ et $2$ est $1{,}5$, qui n'apparaît pas dans la série.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : la moyenne est un résultat calculé, indépendamment des valeurs présentes dans la série.
Exemple : la moyenne de $7$ et $8$ vaut $7{,}5$, qui n'est pas dans la série.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La moyenne peut être une valeur n'appartenant pas à la série (par exemple $7{,}5$ pour la série $7$ ; $8$).
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul de la moyenne et de la moyenne pondérée d'une série statistique. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quatre élèves ont obtenu les notes suivantes à un contrôle : $8$ ; $14$ ; $11$ ; $15$.
Quelle est la moyenne de cette série ?
[qcm]
[option]$11{,}5$[/option]
[option]$12{,}5$[/option]
[option correct="true"]$12$[/option]
[option]$13$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On additionne toutes les notes puis on divise par l'effectif total :
$\dfrac{8 + 14 + 11 + 15}{4} = \dfrac{48}{4} = 12$[/reponse]
[reponse motif="$11{,}5$"]Non.
$11{,}5$ correspond au milieu de l'étendue : $\dfrac{8 + 15}{2}$. La moyenne se calcule en additionnant toutes les valeurs, pas seulement la plus petite et la plus grande.[/reponse]
[reponse motif="$12{,}5$"]Non.
$12{,}5$ est la médiane de cette série (moyenne des deux valeurs centrales après tri : $11$ et $14$). Médiane et moyenne sont deux indicateurs distincts.[/reponse]
[reponse motif="$13$"]Non.
Refaire la somme : $8 + 14 + 11 + 15 = 48$, puis diviser par $4$. Vérifier le calcul de la somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On calcule : $8 + 14 + 11 + 15 = 48$, puis $48 \div 4 = 12$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Voici le tableau des notes obtenues par les $20$ élèves d'une classe :

Quelle est la moyenne de cette série ?
[qcm]
[option correct="true"]$8{,}4$[/option]
[option]$7{,}67$[/option]
[option]$10$[/option]
[option]$7{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On multiplie chaque valeur par son effectif, puis on divise par l'effectif total :
$\dfrac{5 \times 4 + 8 \times 6 + 10 \times 10}{20} = \dfrac{20 + 48 + 100}{20} = \dfrac{168}{20} = 8{,}4$[/reponse]
[reponse motif="$7{,}67$"]Pas tout à fait.
$7{,}67$ est la moyenne simple des trois valeurs $\dfrac{5 + 8 + 10}{3}$, sans tenir compte des effectifs. Or chaque valeur apparaît un nombre différent de fois : il faut calculer la moyenne pondérée.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10$ est la valeur ayant le plus grand effectif (le mode), pas la moyenne. La moyenne tient compte de toutes les valeurs et de leurs effectifs.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}5$"]Non.
Attention au calcul : il faut multiplier chaque valeur par son effectif avant de sommer. Reprendre la formule : $\dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3}{N}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut calculer la moyenne pondérée : $(5 \times 4 + 8 \times 6 + 10 \times 10) \div 20 = 168 \div 20$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un sac contenant $5$ oranges pèse $850$ g.
Quel est le poids moyen d'une orange ?
[qcm]
[option]$850$ g[/option]
[option]$4250$ g[/option]
[option]$845$ g[/option]
[option correct="true"]$170$ g[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La moyenne se calcule en divisant le poids total par le nombre d'oranges :
$\dfrac{850}{5} = 170$ g[/reponse]
[reponse motif="$850$ g"]Non.
$850$ g est le poids total des $5$ oranges, pas le poids moyen d'une seule. Pour obtenir la moyenne, il faut diviser par l'effectif ($5$).[/reponse]
[reponse motif="$4250$ g"]Non.
Attention, $4250 = 850 \times 5$. C'est l'opération inverse : pour calculer une moyenne, il faut diviser le total par l'effectif, pas multiplier.[/reponse]
[reponse motif="$845$ g"]Non.
On ne soustrait pas $5$ à $850$. La moyenne est obtenue par division : $850 \div 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La moyenne s'obtient en divisant le poids total ($850$ g) par le nombre d'oranges ($5$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La moyenne d'une série de $4$ nombres vaut $12$. On ajoute un cinquième nombre, $8$, à la série.
Quelle est la nouvelle moyenne ?
[qcm]
[option]$10$[/option]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]$11{,}2$[/option]
[option]$13{,}6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme des $4$ premiers nombres est $4 \times 12 = 48$. En ajoutant $8$, la nouvelle somme est $48 + 8 = 56$. La nouvelle moyenne est :
$\dfrac{56}{5} = 11{,}2$[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10$ correspond à la moyenne entre l'ancienne moyenne et la nouvelle valeur : $\dfrac{12 + 8}{2}$. Or il faut considérer la somme des $5$ valeurs, et non faire la moyenne de deux nombres.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
La moyenne ne reste pas inchangée si on ajoute une valeur différente d'elle-même. Comme $8 < 12$, la moyenne va diminuer.[/reponse]
[reponse motif="$13{,}6$"]Non.
Attention au dénominateur. Après ajout du $5$e nombre, l'effectif est $5$, pas $4$. Il faut diviser la nouvelle somme par $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On retrouve la somme initiale ($4 \times 12 = 48$), on ajoute $8$ pour obtenir la nouvelle somme ($56$), puis on divise par $5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La moyenne d'une série statistique est $7{,}5$ et l'effectif total est $20$.
Quelle est la somme de toutes les valeurs de la série ?
[qcm]
[option]$2{,}67$[/option]
[option correct="true"]$150$[/option]
[option]$27{,}5$[/option]
[option]$0{,}375$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On retrouve la somme des valeurs en multipliant la moyenne par l'effectif total :
$7{,}5 \times 20 = 150$[/reponse]
[reponse motif="$2{,}67$"]Non.
Il ne faut pas diviser l'effectif total par la moyenne. La relation est : moyenne $= \dfrac{\text{somme}}{\text{effectif}}$, donc somme $=$ moyenne $\times$ effectif.[/reponse]
[reponse motif="$27{,}5$"]Non.
On n'additionne pas la moyenne et l'effectif. La moyenne est un quotient, pas une partie de la somme.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}375$"]Non.
Il ne faut pas diviser la moyenne par l'effectif total. À partir de la formule de la moyenne, exprimer la somme en fonction de la moyenne et de l'effectif total.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
À partir de moyenne $= \dfrac{\text{somme}}{\text{effectif}}$, on obtient : somme $=$ moyenne $\times$ effectif total.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Léa a obtenu $12$, $14$, $13$ et $15$ lors de ses quatre premiers contrôles.
Quelle note doit-elle obtenir au cinquième contrôle pour avoir une moyenne de $14$ sur l'ensemble ?
[qcm]
[option]$14$[/option]
[option]$13{,}5$[/option]
[option correct="true"]$16$[/option]
[option]$18$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour une moyenne de $14$ sur $5$ contrôles, la somme des notes doit être $5 \times 14 = 70$. La somme actuelle est $12 + 14 + 13 + 15 = 54$. Il manque donc $70 - 54 = 16$.[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
Léa n'a pas une moyenne de $14$ avec ses quatre premières notes. Sa moyenne actuelle est $\dfrac{54}{4} = 13{,}5$, donc obtenir $14$ ne suffira pas pour atteindre $14$ de moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$13{,}5$"]Non.
$13{,}5$ est la moyenne actuelle de Léa après quatre contrôles. La cinquième note doit faire monter cette moyenne à $14$, donc être supérieure à $13{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$18$"]Non.
Recalculer la somme nécessaire : pour une moyenne de $14$ sur $5$ contrôles, la somme totale doit valoir $70$. Comparer cette valeur à la somme déjà obtenue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La somme des $5$ notes doit valoir $5 \times 14 = 70$. La somme des $4$ notes est $54$, il faut donc obtenir $70 - 54$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]