QCM : ln — Limites et croissances comparées

[enonce]
Ce QCM porte sur les limites de la fonction $\ln$ aux bornes de son domaine et sur les croissances comparées entre $\ln$ et les fonctions puissances. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La limite $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x)$ vaut :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$+\infty$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$-\infty$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction $\ln$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$. C'est une limite de référence à connaître.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$\ln$ ne tend pas vers une limite finie en $+\infty$. Penser à la croissance illimitée (mais lente) de la courbe.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$\ln$ n'a pas d'asymptote horizontale. La fonction prend des valeurs arbitrairement grandes lorsque $x$ devient grand.[/reponse]
[reponse motif="$-\infty$"]Non.
$\ln$ est strictement croissante et $\ln(1) = 0$, donc $\ln(x)$ devient positif et grand quand $x$ grandit. Erreur de signe sur la limite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Cette limite est une limite de référence à mémoriser. La courbe de $\ln$ croît sans borne supérieure.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La limite $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x)$ vaut :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$-\infty$[/option]
[option]non définie[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs strictement positives, $\ln(x)$ tend vers $-\infty$. La droite d'équation $x = 0$ est asymptote verticale à la courbe de $\ln$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Confusion possible avec $\ln(1) = 0$. Ici on s'approche de $0$, pas de $1$ : la limite n'est pas la valeur de $\ln(1)$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
La courbe de $\ln$ « plonge » verticalement le long de l'axe des ordonnées quand $x$ s'approche de $0$ par la droite. Le résultat n'est pas une valeur finie.[/reponse]
[reponse motif="non définie"]Non.
Bien que $\ln(0)$ n'existe pas, la limite quand $x \to 0^+$ existe et est infinie. La fonction a un comportement clair au voisinage de $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Cette limite est une limite de référence : la courbe de $\ln$ admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La limite $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}$ vaut :
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$+\infty$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$-\infty$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
C'est le théorème des croissances comparées : à l'infini, $x$ « l'emporte » sur $\ln(x)$, donc le quotient $\dfrac{\ln(x)}{x}$ tend vers $0$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$\ln(x)$ et $x$ tendent tous deux vers $+\infty$, mais pas à la même vitesse. Le rapport ne se stabilise pas à $1$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
Forme indéterminée $\dfrac{+\infty}{+\infty}$ qu'on ne peut pas conclure naïvement. C'est précisément le rôle des croissances comparées de la lever.[/reponse]
[reponse motif="$-\infty$"]Non.
À partir d'un certain rang, $\ln(x)$ et $x$ sont positifs, donc le quotient est positif. La limite ne peut pas être négative.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser le théorème des croissances comparées : $x$ croît plus vite que $\ln(x)$ à l'infini.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La limite $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\ln(x)}$ vaut :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$+\infty$[/option]
[option]non définie[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On peut écrire $\dfrac{x}{\ln(x)} = \dfrac{1}{\dfrac{\ln(x)}{x}}$. Comme $\dfrac{\ln(x)}{x} \to 0^+$, l'inverse tend vers $+\infty$. C'est cohérent avec le fait que $x$ croît plus vite que $\ln(x)$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
La position de $x$ et $\ln(x)$ a été inversée par rapport à la croissance comparée classique. Ici $x$ est au numérateur, $\ln(x)$ au dénominateur : cela inverse le résultat.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$x$ et $\ln(x)$ tendent tous deux vers $+\infty$, mais à des vitesses très différentes. Le rapport ne se stabilise pas à une valeur finie.[/reponse]
[reponse motif="non définie"]Non.
Le quotient est bien défini pour $x > 1$ (où $\ln(x) > 0$) et a un comportement clair à l'infini. Penser à utiliser l'inverse du quotient connu.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Réécrire le quotient comme l'inverse de $\dfrac{\ln(x)}{x}$ et utiliser les croissances comparées.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La limite $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln(x)$ vaut :
[qcm]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$-\infty$[/option]
[option]$+\infty$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est une limite de référence issue des croissances comparées : $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$. Le facteur $x$ « domine » $\ln(x)$ au voisinage de $0$, malgré la divergence de $\ln$ vers $-\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
On ne peut pas déterminer cette limite par simple substitution. Forme indéterminée $0 \times (-\infty)$ qui demande une analyse plus fine via les croissances comparées.[/reponse]
[reponse motif="$-\infty$"]Non.
On a appliqué naïvement la limite de $\ln(x)$ sans tenir compte du facteur $x$ qui tend vers $0$. C'est précisément la situation indéterminée où les croissances comparées s'appliquent.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
Le produit d'un nombre positif tendant vers $0$ et d'un nombre tendant vers $-\infty$ ne peut pas tendre vers $+\infty$. Le signe est incompatible.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Forme indéterminée $0 \times \infty$ : utiliser la limite de référence des croissances comparées en $0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La limite $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \big(\ln(x) - x\big)$ vaut :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$+\infty$[/option]
[option correct="true"]$-\infty$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On factorise : $\ln(x) - x = x\!\left(\dfrac{\ln(x)}{x} - 1\right)$. Comme $\dfrac{\ln(x)}{x} \to 0$, la parenthèse tend vers $-1$, et le produit par $x \to +\infty$ donne $-\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Forme indéterminée $\infty - \infty$ : on ne peut pas conclure que les deux infinis « s'annulent ». Il faut comparer leurs vitesses de croissance via une factorisation.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
$\ln(x)$ croît bien plus lentement que $x$. La différence ne tend donc pas vers $+\infty$ : c'est le terme négatif $-x$ qui domine.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
La différence ne tend pas vers une valeur finie : les deux termes divergent, et l'un l'emporte sur l'autre. Factoriser pour identifier le terme dominant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Forme indéterminée $\infty - \infty$ : factoriser par $x$ et utiliser les croissances comparées pour conclure.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Étude de fonction et équations – Bac S Amérique du Nord 2008

(6 points) Commun à tous les candidats Soit $ f $ la fonction définie sur l'intervalle $ \left]1; +\infty \right[ $ par $ f\left(x\right)=\ln x - \dfrac{1}{\ln x} $.

On nomme $ \left(C\right) $ la courbe représentative de $ f $ et $ \Gamma $ la courbe d'équation $ y=\ln x $ dans un repère orthogonal $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $.

Étudier les variations de la fonction $ f $ et préciser les limites en $ 1 $ et en $ +\infty $.
1. Déterminer $ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty }\left[f\left(x\right) - \ln x\right] $. Interpréter graphiquement cette limite.
2. Préciser les positions relatives de $ \left(C\right) $ et de $ \Gamma $.
On se propose de chercher les tangentes à la courbes $ \left(C\right) $ passant par le point $ O $.
1. Soit $ a $ un réel appartenant à l'intervalle $ \left]1; +\infty \right[ $.
  
  Démontrer que la tangente $ T_{a} $ à $ \left(C\right) $ au point d'abscisse a passe par l'origine du repère si et seulement si $ f\left(a\right) - a f^{\prime}\left(a\right)=0 $.
  
  Soit $ g $ la fonction définie sur l'intervalle $ \left]1; +\infty \right[ $ par $ g\left(x\right)=f\left(x\right) - x f^{\prime} \left(x\right) $.
2. Montrer que sur $ \left]1; +\infty \right[ $, les équations $ g\left(x\right)=0 $ et $ \left(\ln x\right)^{3} - \left(\ln x\right)^{2} - \ln x - 1=0 $ ont les mêmes solutions.
3. Après avoir étudié les variations de la fonction $ u $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ u\left(t\right)=t^{3} - t^{2} - t - 1 $, montrer que la fonction $ u $ s'annule une fois et une seule sur $ \mathbb{R} $.
4. En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe $ \left(C\right) $ passant par le point $ O $.
  
  La courbe $ \left(C\right) $ et la courbe $ \Gamma $ sont données en annexe ci-dessous.
  
  Représentations graphiques obtenues à l'aide d'un tableur :
  
  Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.
On considère un réel $ m $ et l'équation $ f\left(x\right)=mx $ d'inconnue $ x $.

Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel $ m $, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle $ \left]1 ; 10\right] $.

Corrigé

[Bac] Étude d’une fonction avec logarithme (2)

Extrait d'un exercice du Bac S Métropole 2012.

Le sujet complet nécessite l'étude des chapitres Suites et Primitives/intégrales.

On désigne par $ f $ la fonction définie sur l'intervalle $ \left[1 ; +\infty \right[ $ par

$ f\left(x\right) = \dfrac{1}{x+1} + \ln\left(\dfrac{x}{x+1}\right). $

Déterminer la limite de la fonction $ f $ en $ + \infty $.
Démontrer que pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ \left[1 ; +\infty \right[ $, $ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{x\left(x+1\right)^{2}} $.

Dresser le tableau de variation de la fonction $ f $.
En déduire le signe de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ \left[1 ; +\infty \right[ $.

Corrigé

On remarque que $ \lim\limits_{x\to+\infty} \left(\dfrac{1}{x+1}\right) = 0 $ et $ \lim\limits_{x\to+\infty} \ln \left(\dfrac{x}{x+1}\right) = \ln(1) = 0 $.

On en déduit que :

$ \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 0 $
Pour tout réel de $ I $, on a :

$ f'(x) = \left(\dfrac{1}{u}\right)' + [\ln(v)]' = -\dfrac{u'}{u^2} + \dfrac{v'}{v} $

avec $ u = x+1 $ et $ u' = 1 $, d'où $-\dfrac{u'}{u^2} = -\dfrac{1}{(x+1)^2}$

et $ v = \dfrac{x}{x+1} $ et $ v' = \dfrac{1}{(x+1)^2} $, d'où $\dfrac{v'}{v} = \dfrac{1}{(x+1)^2} \times \dfrac{x+1}{x} = \dfrac{1}{x(x+1)}$.

Donc :

$ f'(x) = -\dfrac{1}{(x+1)^2} + \dfrac{1}{x(x+1)} = \dfrac{-x + x+1}{x(x+1)^2} = \dfrac{1}{x(x+1)^2} $

Ceci montre que $ f'(x) $ a le même signe que $ x $, c'est-à-dire que $ f' $ est strictement positive sur $ I $.

En remarquant que $ f(1) = \dfrac{1}{2} + \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2} - \ln(2) \approx -0{,}193 $ à $ 10^{-3} $ près, on peut dresser le tableau de variation de $ f $ :
On en déduit que $ f(x) < 0 $ sur $ I $.

[Bac] Étude d’une fonction avec logarithme (1)

Extrait d'un exercice du Bac S Amérique du Nord 2013.

Le sujet complet nécessite l'étude du chapitre Primitives/intégrales.

Soit $ f $ la fonction définie sur l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $ par

$ f\left(x\right)=\dfrac{1+\ln \left(x\right)}{x^{2}} $

et soit $ \mathscr C $ la courbe représentative de la fonction $ f $ dans un repère du plan. La courbe $ \mathscr C $ est donnée ci-dessous :

1. Étudier la limite de $ f $ en $ 0 $.
2. Que vaut $ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty } \dfrac{\ln \left(x\right)}{x} $ ?
  
  En déduire la limite de la fonction $ f $ en $ + \infty $.
3. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $ \mathscr C $.
1. On note $ f^{\prime} $ la fonction dérivée de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $.
  
  Démontrer que, pour tout réel $ x $ appartenant à l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $,
  
  $ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{ - 1 - 2\ln \left(x\right)}{x^{3}}. $
2. Résoudre sur l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $ l'inéquation $ - 1 - 2\ln\left(x\right) > 0 $.
  
  En déduire le signe de $ f^{\prime}\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $.
3. Dresser le tableau des variations de la fonction $ f $.
1. Démontrer que la courbe $ \mathscr C $ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
2. En déduire le signe de $ f\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $.