[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul de la moyenne et des fréquences d'une série statistique. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Un élève a obtenu les notes suivantes : 7 ; 14 ; 11 ; 9 ; 19.
Quelle est la moyenne de cette série ?
[qcm]
[option]$11$[/option]
[option correct="true"]$12$[/option]
[option]$13$[/option]
[option]$15$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On additionne toutes les notes puis on divise par l'effectif total :
$\dfrac{7 + 14 + 11 + 9 + 19}{5} = \dfrac{60}{5} = 12$[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
$11$ est la médiane de cette série (valeur centrale une fois les notes triées), pas la moyenne. La moyenne se calcule en divisant la somme de toutes les valeurs par l'effectif total.[/reponse]
[reponse motif="$13$"]Non.
$13$ correspond au milieu de l'étendue : $\dfrac{7 + 19}{2} = 13$. La moyenne se calcule en additionnant toutes les valeurs, pas seulement la plus petite et la plus grande.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
Attention au dénominateur : il y a 5 notes au total. La somme des notes est $60$, il faut diviser par $5$ et non par $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On calcule : $7 + 14 + 11 + 9 + 19 = 60$, puis $60 \div 5 = 12$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Voici le tableau des notes obtenues par les 20 élèves d'une classe :

Quelle est la moyenne de cette série ?
[qcm]
[option correct="true"]$13{,}8$[/option]
[option]$13{,}75$[/option]
[option]$12$[/option]
[option]$14$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On multiplie chaque valeur par son effectif, puis on divise par l'effectif total :
$\dfrac{10 \times 3 + 12 \times 7 + 15 \times 6 + 18 \times 4}{20} = \dfrac{30 + 84 + 90 + 72}{20} = \dfrac{276}{20} = 13{,}8$[/reponse]
[reponse motif="$13{,}75$"]Pas tout à fait.
$13{,}75$ est la moyenne des quatre valeurs sans tenir compte des effectifs : $(10 + 12 + 15 + 18) \div 4 = 13{,}75$. Or chaque note apparaît plusieurs fois : il faut calculer la moyenne pondérée.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12$ est la valeur qui a le plus grand effectif (le mode), pas la moyenne. La moyenne se calcule en tenant compte de toutes les notes et de leurs effectifs.[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
Attention à ne pas arrondir le résultat à l'entier. Le calcul exact donne $276 \div 20$, qui ne tombe pas sur un nombre entier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut calculer la moyenne pondérée : $(10 \times 3 + 12 \times 7 + 15 \times 6 + 18 \times 4) \div 20 = 276 \div 20$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une classe de 40 élèves, 12 pratiquent le tennis.
Quelle est la fréquence des élèves qui pratiquent le tennis ?
[qcm]
[option]$12\%$[/option]
[option]$70\%$[/option]
[option correct="true"]$30\%$[/option]
[option]$3\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fréquence est le quotient de l'effectif par l'effectif total :
$f = \dfrac{12}{40} = 0{,}30 = 30\%$[/reponse]
[reponse motif="$12\%$"]Non.
L'effectif est 12, mais la fréquence en pourcentage ne s'obtient pas en ajoutant simplement le symbole $\%$. Il faut diviser l'effectif par l'effectif total puis multiplier par 100.[/reponse]
[reponse motif="$70\%$"]Non.
$70\%$ correspond à la fréquence des élèves qui ne pratiquent pas le tennis : $\dfrac{28}{40} = 70\%$. La question porte sur ceux qui le pratiquent.[/reponse]
[reponse motif="$3\%$"]Non.
Attention à la conversion. Pour passer d'un nombre décimal à un pourcentage, on multiplie par $100$. Recalculer $\dfrac{12}{40}$ puis convertir correctement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fréquence se calcule par $\dfrac{12}{40}$, puis on convertit en pourcentage en multipliant par 100.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un tableau de fréquences comportant quatre catégories, les trois premières ont les fréquences suivantes : $15\%$, $30\%$ et $20\%$.
Quelle est la fréquence de la quatrième catégorie ?
[qcm]
[option]$65\%$[/option]
[option]$25\%$[/option]
[option]$\dfrac{100}{4} = 25\%$[/option]
[option correct="true"]$35\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme de toutes les fréquences vaut $100\%$. On a $15 + 30 + 20 = 65\%$, donc la fréquence manquante est :
$100 - 65 = 35\%$[/reponse]
[reponse motif="$65\%$"]Non.
$65\%$ est la somme des trois fréquences connues, pas la fréquence manquante. Rappel : la somme de toutes les fréquences doit valoir $100\%$.[/reponse]
[reponse motif="$25\%$"]Non.
Les fréquences ne sont pas forcément réparties de manière égale. Il faut utiliser la propriété : la somme de toutes les fréquences vaut $100\%$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{100}{4} = 25\%$"]Non.
On ne divise pas $100\%$ par le nombre de catégories. Les fréquences ne sont pas forcément égales. Il faut calculer $100\% - (15\% + 30\% + 20\%)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La somme de toutes les fréquences vaut $100\%$. Les trois premières valent $15 + 30 + 20 = 65\%$. La quatrième vaut donc $100 - 65$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un diagramme circulaire, une catégorie a une fréquence de $30\%$.
Quel est l'angle du secteur correspondant ?
[qcm]
[option]$30°$[/option]
[option]$120°$[/option]
[option]$252°$[/option]
[option correct="true"]$108°$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'angle d'un secteur se calcule en multipliant la fréquence (en pourcentage) par $\dfrac{360}{100}$ :
$\dfrac{30}{100} \times 360 = 108°$[/reponse]
[reponse motif="$30°$"]Non.
L'angle n'est pas égal à la fréquence en pourcentage. Un cercle complet mesure $360°$ (pas $100°$), il faut donc convertir avec la formule : angle $= \dfrac{\text{fréquence}}{100} \times 360$.[/reponse]
[reponse motif="$120°$"]Non.
Attention, $120° = \dfrac{360}{3}$. Cela correspondrait à une fréquence de $\dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\%$, pas à $30\%$. Il ne faut pas confondre $30\%$ avec $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$252°$"]Non.
$252°$ correspond à l'angle du complémentaire (la partie restante du disque) : $\dfrac{70}{100} \times 360 = 252°$. La question porte sur la catégorie à $30\%$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule est : angle $= \dfrac{\text{fréquence (en \%)}}{100} \times 360°$. Ici : $\dfrac{30}{100} \times 360 = 108°$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fréquence d'une catégorie est $0{,}2$ et l'effectif total est $45$.
Quel est l'effectif de cette catégorie ?
[qcm]
[option]$0{,}2$[/option]
[option]$225$[/option]
[option correct="true"]$9$[/option]
[option]$20$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'effectif se retrouve en multipliant la fréquence par l'effectif total :
$0{,}2 \times 45 = 9$[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2$"]Non.
$0{,}2$ est la fréquence, pas l'effectif. Pour retrouver l'effectif, il faut multiplier la fréquence par l'effectif total.[/reponse]
[reponse motif="$225$"]Non.
Il ne faut pas diviser l'effectif total par la fréquence. La relation est : effectif $=$ fréquence $\times$ effectif total. Refaire le calcul avec les bonnes valeurs.[/reponse]
[reponse motif="$20$"]Non.
$0{,}2 = 20\%$, mais le pourcentage et l'effectif sont deux choses différentes. La fréquence $0{,}2$ signifie que cette catégorie représente $20\%$ du total, pas que l'effectif est $20$. Appliquer la formule : effectif $=$ fréquence $\times$ effectif total.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fréquence est le quotient de l'effectif par l'effectif total. Pour retrouver l'effectif, multiplier la fréquence par l'effectif total.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la moyenne pondérée et les représentations graphiques, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère le tableau d'effectifs suivant :

Affirmation : La moyenne de cette série est $\dfrac{5 + 10 + 15}{3} = 10$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Quand les valeurs ont des effectifs différents, il faut calculer la moyenne pondérée.
La vraie moyenne est $\dfrac{5 \times 4 + 10 \times 3 + 15 \times 3}{10} = \dfrac{20 + 30 + 45}{10} = 9{,}5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'oublier la pondération par les effectifs.
La moyenne pondérée se calcule ainsi :
$\dfrac{5 \times 4 + 10 \times 3 + 15 \times 3}{4 + 3 + 3} = \dfrac{95}{10} = 9{,}5$[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La moyenne pondérée vaut $\dfrac{5 \times 4 + 10 \times 3 + 15 \times 3}{10} = 9{,}5$, pas 10.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux séries statistiques peuvent avoir la même moyenne mais des étendues différentes.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Par exemple, les séries 5 ; 5 ; 5 et 0 ; 5 ; 10 ont toutes les deux une moyenne de 5, mais la première a une étendue de 0 et la seconde de 10.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La moyenne et l'étendue mesurent des aspects différents d'une série.
Par exemple : les séries 5 ; 5 ; 5 (étendue 0) et 0 ; 5 ; 10 (étendue 10) ont toutes les deux une moyenne de 5.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La moyenne et l'étendue sont indépendantes : deux séries de même moyenne peuvent avoir des dispersions très différentes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Dans un diagramme circulaire, une valeur a une fréquence de 30%.

Affirmation : L'angle du secteur correspondant est 120°.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'angle se calcule par $\dfrac{30}{100} \times 360 = 108°$, et non 120°.
La valeur 120° correspondrait à une fréquence de $\dfrac{1}{3}$, soit environ 33,3%.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre 30% avec $\dfrac{1}{3}$.
Le calcul correct est $\dfrac{30}{100} \times 360 = 108°$. La valeur 120° correspondrait à $\dfrac{120}{360} = \dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{30}{100} \times 360 = 108°$, pas 120°.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La moyenne d'une série statistique peut ne pas être une valeur de la série.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par exemple, la série 3 ; 4 a pour moyenne $\dfrac{3+4}{2} = 3{,}5$, qui n'est ni 3 ni 4.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La moyenne est le résultat d'un calcul qui n'a aucune raison de tomber sur l'une des valeurs de la série.
Par exemple, la série 3 ; 4 a pour moyenne $3{,}5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La moyenne peut ne pas appartenir à la série (exemple : série 3 ; 4, moyenne = $3{,}5$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère une série de moyenne 8. On ajoute une nouvelle valeur égale à 8 à cette série.

Affirmation : La nouvelle moyenne est différente de 8.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si la série de $n$ valeurs a pour moyenne 8, la somme des valeurs vaut $8n$.
En ajoutant 8, la nouvelle somme est $8n + 8 = 8(n+1)$, et la nouvelle moyenne est $\dfrac{8(n+1)}{n+1} = 8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Ajouter une valeur égale à la moyenne ne modifie pas la moyenne.
La somme passe de $8n$ à $8n + 8 = 8(n+1)$, et l'effectif de $n$ à $n+1$, donc la moyenne reste $\dfrac{8(n+1)}{n+1} = 8$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Ajouter une valeur égale à la moyenne ne change pas la moyenne : elle reste 8.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un diagramme en bâtons, la hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l'effectif de la valeur correspondante.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est le principe du diagramme en bâtons : chaque valeur est représentée par un bâton vertical dont la hauteur est proportionnelle à son effectif (ou à sa fréquence).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le diagramme en bâtons représente chaque valeur par un bâton vertical dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif.
C'est ce qui permet de comparer visuellement les effectifs des différentes valeurs.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l'effectif de la valeur correspondante.
[/solution]
[/etape]