[enonce]
Le loyer mensuel d'un studio est passé de $600$ € à $750$ € en un an.
Le propriétaire envisage de baisser le loyer pour revenir au montant initial.
On cherche à déterminer le taux de baisse nécessaire.
[/enonce]

[etape]
Un locataire pense qu'il suffit d'appliquer une baisse de $25\%$ sur $750$ € pour revenir à $600$ €. Que donne ce calcul ?
[qcm]
[option]$750 \times 0{,}75 = 600$ € : le raisonnement est correct[/option]
[option correct="true"]$750 \times 0{,}75 = 562{,}50$ € : on ne retrouve pas $600$ €[/option]
[option]$750 - 25 = 725$ € : on ne retrouve pas $600$ €[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$750 \times 0{,}75 = 562{,}50$ €, ce qui est inférieur à $600$ €.
La baisse de $25\%$ porte sur $750$ €, pas sur $600$ €. Elle « enlève trop ».
Il faut une baisse plus petite que $25\%$ pour retomber sur $600$ €.[/reponse]
[reponse motif="$750 \times 0{,}75 = 600$ € : le raisonnement est correct"]Non.
$750 \times 0{,}75 = 562{,}50$ €, pas $600$ €.
Vérifier le calcul : $750 \times 0{,}75 = 750 \times \dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$750 - 25 = 725$ € : on ne retrouve pas $600$ €"]Non.
$25\%$ n'est pas un montant en euros. Pour appliquer une baisse de $25\%$, on multiplie par $0{,}75$ (et non on soustrait $25$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer : $750 \times (1 - 0{,}25) = 750 \times 0{,}75$ et vérifier si le résultat est bien $600$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer le coefficient multiplicateur de la hausse (passage de $600$ € à $750$ €).
$CM = $ [[cm]]
[math id="cm" attendu="1.25"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$CM = \dfrac{V_1}{V_0} = \dfrac{750}{600} = 1{,}25$.
Le loyer a été multiplié par $1{,}25$, ce qui correspond à une hausse de $25\%$.[/reponse]
[reponse motif="0.8"]Non.
$0{,}8 = \dfrac{600}{750}$. Attention à l'ordre : le CM est $\dfrac{V_1}{V_0} = \dfrac{\text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}}$.
Ici, la valeur initiale est $600$ € et la valeur finale est $750$ €.[/reponse]
[reponse motif="150"]Non.
$150 = 750 - 600$ est la variation absolue en euros, pas le coefficient multiplicateur.
Le CM est un quotient : $\dfrac{V_1}{V_0}$.[/reponse]
[reponse motif="0.25"]Non.
$0{,}25$ est le taux d'évolution sous forme décimale, pas le CM.
$CM = 1 + 0{,}25 = 1{,}25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$CM = \dfrac{V_1}{V_0}$, où $V_0$ est le loyer initial et $V_1$ le loyer final.[/reponse]
[aide essai="2"]$CM = \dfrac{\text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}} = \dfrac{750}{600}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{750}{600} = \dfrac{75}{60} = \dfrac{5}{4}$. Convertir en nombre décimal.[/aide]
[/math]
[solution]$CM = \dfrac{750}{600} = \dfrac{5}{4} = 1{,}25$ (hausse de $25\%$).[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour revenir au loyer initial, il faut « annuler » la multiplication par $1{,}25$.
Le coefficient multiplicateur réciproque est l'inverse du CM.
$CM_r = $ [[cmr]]
[math id="cmr" attendu="0.8"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$CM_r = \dfrac{1}{CM} = \dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}80$.
Vérification : $1{,}25 \times 0{,}80 = 1$. Les deux CM s'annulent bien.[/reponse]
[reponse motif="0.75"]Non.
$0{,}75 = 1 - 0{,}25$. C'est le CM d'une baisse de $25\%$, mais ce n'est pas l'inverse de $1{,}25$.
Le CM réciproque est $\dfrac{1}{CM}$, pas $2 - CM$.[/reponse]
[reponse motif="-1.25"]Non.
Le CM réciproque n'est pas l'opposé du CM. C'est son inverse (au sens de la multiplication) : $\dfrac{1}{CM}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le CM réciproque est l'inverse du CM : $CM_r = \dfrac{1}{CM}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$CM_r = \dfrac{1}{CM}$. Calculer $\dfrac{1}{1{,}25}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{1}{1{,}25} = \dfrac{1}{\dfrac{5}{4}} = \dfrac{4}{5}$. Convertir en nombre décimal.[/aide]
[/math]
[solution]$CM_r = \dfrac{1}{1{,}25} = \dfrac{4}{5} = 0{,}80$.[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire le taux d'évolution réciproque, en pourcentage.
$t_r = $ [[tr]] %
[math id="tr" attendu="-20"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$t_r = (CM_r - 1) \times 100 = (0{,}80 - 1) \times 100 = -0{,}20 \times 100 = -20\%$.
Il faut une baisse de $20\%$ (et non $25\%$) pour revenir au loyer initial.[/reponse]
[reponse motif="-25"]Non.
$-25\%$ correspondrait à un CM de $0{,}75$, pas de $0{,}80$.
Utiliser le CM réciproque trouvé à l'étape précédente : $t_r = (CM_r - 1) \times 100$.[/reponse]
[reponse motif="20"]Presque, mais il manque le signe.
Il s'agit d'une baisse, donc le taux est négatif.[/reponse]
[reponse motif="-0.2"]C'est la bonne valeur décimale, mais il faut l'exprimer en pourcentage.
Multiplier par $100$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$t_r = (CM_r - 1) \times 100$, avec le CM réciproque trouvé à l'étape précédente.[/reponse]
[aide essai="2"]$t_r = (CM_r - 1) \times 100$, avec $CM_r = 0{,}80$.[/aide]
[aide essai="3"]$(0{,}80 - 1) \times 100 = -0{,}20 \times 100$.[/aide]
[/math]
[solution]$t_r = (0{,}80 - 1) \times 100 = -20\%$. Le loyer doit baisser de $20\%$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le montant de la baisse en euros pour vérifier.
Montant = [[mont]] €
[math id="mont" attendu="150"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$750 \times 0{,}20 = 150$ €.
Vérification : $750 - 150 = 600$ €, on retrouve bien le loyer initial.[/reponse]
[reponse motif="187.5"]Non.
$187{,}50 = 750 \times 0{,}25$. C'est le montant d'une baisse de $25\%$, qui donnerait $562{,}50$ € (trop bas).
La baisse est de $20\%$, pas $25\%$.[/reponse]
[reponse motif="120"]Non.
$120 = 600 \times 0{,}20$. Attention, la baisse porte sur le loyer actuel ($750$ €), pas sur le loyer initial.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le montant de la baisse est $750 \times \dfrac{20}{100}$.[/reponse]
[aide essai="2"]Montant de la baisse $= V_1 \times \dfrac{|t_r|}{100}$, avec $V_1 = 750$ € et $|t_r| = 20\%$.[/aide]
[aide essai="3"]$750 \times 0{,}20 = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$750 \times 0{,}20 = 150$ €, et $750 - 150 = 600$ € : le résultat est correct.[/solution]
[/etape]

[etape]
De manière générale, pour compenser une hausse de $t\%$, la baisse nécessaire est :
[qcm]
[option]Exactement égale à $t\%$[/option]
[option]Supérieure à $t\%$[/option]
[option correct="true"]Strictement inférieure à $t\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Ici, une baisse de $20\%$ suffit à compenser une hausse de $25\%$ ($20 < 25$).
C'est logique : la baisse s'applique sur un montant plus grand (le loyer augmenté), donc un taux plus faible suffit à retirer le même montant.[/reponse]
[reponse motif="Exactement égale à $t\%$"]Non.
On vient de voir qu'une baisse de $25\%$ après une hausse de $25\%$ ne ramène pas au prix initial ($562{,}50 \neq 600$).
Les taux ne se compensent pas symétriquement.[/reponse]
[reponse motif="Supérieure à $t\%$"]Non.
La baisse s'applique sur un montant plus grand que le montant initial (puisqu'il y a eu une hausse). Chaque pourcentage de baisse « retire » donc plus en valeur absolue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La baisse porte sur la valeur augmentée (plus grande que la valeur initiale). Un pourcentage de baisse plus faible suffit donc à retirer le même montant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Le prix d'un abonnement mensuel à une plateforme de streaming est de $50$ € en janvier 2024. Sur trois années successives, ce prix subit les évolutions suivantes :

• Année 1 : hausse de $20\%$
• Année 2 : baisse de $10\%$
• Année 3 : hausse de $5\%$

On cherche à déterminer le taux d'évolution global et le prix de l'abonnement en janvier 2027.
[/enonce]

[etape]
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de $10\%$ est [[cm2]].
[select id="cm2"]
[option]$1{,}10$[/option]
[option correct="true"]$0{,}90$[/option]
[option]$0{,}10$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour une baisse de $10\%$ : $CM = 1 - \dfrac{10}{100} = 1 - 0{,}10 = 0{,}90$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une baisse de $t\%$ : $CM = 1 - \dfrac{t}{100}$.
Le CM est inférieur à $1$ quand il s'agit d'une diminution.[/reponse]
[aide essai="2"]Pour une baisse, le CM est $1 - \dfrac{t}{100}$. Ici $t = 10$.[/aide]
[aide essai="3"]$CM = 1 - \dfrac{10}{100} = 1 - 0{,}10$.[/aide]
[/select]
[/etape]

[etape]
Calculer le CM global des trois années.
$CM_{global} = $ [[cmg]]
[math id="cmg" attendu="1.134"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$CM_{global} = 1{,}20 \times 0{,}90 \times 1{,}05 = 1{,}08 \times 1{,}05 = 1{,}134$.[/reponse]
[reponse motif="1.386"]Non.
Le CM de l'année 2 est $0{,}90$ (baisse), pas $1{,}10$ (hausse). Attention au signe de l'évolution.[/reponse]
[reponse motif="1.08"]Incomplet.
$1{,}08 = 1{,}20 \times 0{,}90$, c'est le CM des deux premières années seulement. Il reste à multiplier par le CM de l'année 3.[/reponse]
[reponse motif="3.15"]Non.
Les CM ne s'additionnent pas. Il faut les multiplier entre eux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times CM_3$, avec $CM_1 = 1{,}20$, $CM_2 = 0{,}90$ et $CM_3 = 1{,}05$.[/reponse]
[aide essai="2"]$CM_1 = 1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}20$, $CM_2 = 1 - \dfrac{10}{100} = 0{,}90$, $CM_3 = 1 + \dfrac{5}{100} = 1{,}05$.
Multiplier les trois.[/aide]
[aide essai="3"]Commencer par $1{,}20 \times 0{,}90 = 1{,}08$, puis multiplier le résultat par $1{,}05$.[/aide]
[/math]
[solution]$CM_{global} = 1{,}20 \times 0{,}90 \times 1{,}05 = 1{,}08 \times 1{,}05 = 1{,}134$.[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire le taux d'évolution global, en pourcentage.
$t = $ [[taux]] %
[math id="taux" attendu="13.4"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$t = (CM_{global} - 1) \times 100 = (1{,}134 - 1) \times 100 = 0{,}134 \times 100 = 13{,}4\%$.
Le prix a globalement augmenté de $13{,}4\%$ sur les trois années.[/reponse]
[reponse motif="15"]Attention, c'est l'erreur classique !
$20 - 10 + 5 = 15$, mais les pourcentages d'évolutions successives ne s'additionnent jamais.
Le taux global se déduit du CM global : $t = (CM_{global} - 1) \times 100$.[/reponse]
[reponse motif="0.134"]Presque ! C'est la bonne valeur, mais il faut l'exprimer en pourcentage.
Multiplier par $100$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le taux d'évolution global s'obtient par : $t = (CM_{global} - 1) \times 100$.[/reponse]
[aide essai="2"]$t = (CM_{global} - 1) \times 100$. Utiliser le CM global trouvé à l'étape précédente.[/aide]
[aide essai="3"]$t = (1{,}134 - 1) \times 100 = 0{,}134 \times 100$.[/aide]
[/math]
[solution]$t = (1{,}134 - 1) \times 100 = 13{,}4\%$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le prix de l'abonnement en janvier 2027.
Prix final = [[pf]] €
[math id="pf" attendu="56.7"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$V_1 = V_0 \times CM_{global} = 50 \times 1{,}134 = 56{,}70$ €.
L'abonnement coûte $56{,}70$ € par mois en janvier 2027.[/reponse]
[reponse motif="57.5"]Non.
$57{,}50 = 50 \times 1{,}15$. Le CM $1{,}15$ correspond à l'erreur d'addition des pourcentages ($+15\%$).
Le CM global correct est $1{,}134$.[/reponse]
[reponse motif="56"]Non.
Vérifier le calcul : $50 \times 1{,}134$. Décomposer : $50 \times 1 + 50 \times 0{,}134$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$V_1 = V_0 \times CM_{global} = 50 \times 1{,}134$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le prix final est $V_0 \times CM_{global}$, avec $V_0 = 50$ € et le CM global trouvé à l'étape 2.[/aide]
[aide essai="3"]$50 \times 1{,}134$. Décomposer : $50 \times 1 = 50$ et $50 \times 0{,}134 = 6{,}70$.[/aide]
[/math]
[solution]$50 \times 1{,}134 = 56{,}70$ €.[/solution]
[/etape]

[etape]
L'erreur classique consiste à additionner les taux : $+20\% - 10\% + 5\% = +15\%$. Le taux global réel est $13{,}4\%$. Pourquoi l'addition donne-t-elle un résultat supérieur au taux réel ?
[qcm]
[option]Parce qu'il faut faire la moyenne des trois taux[/option]
[option correct="true"]Parce que la baisse de $10\%$ porte sur un montant déjà augmenté : elle « enlève plus » que $10\%$ du prix initial[/option]
[option]Parce que les pourcentages négatifs comptent double[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Après la hausse de $20\%$, le prix est de $60$ €.
La baisse de $10\%$ s'applique sur $60$ € (et non sur $50$ €), donc elle retire $6$ € au lieu de $5$ €.
C'est ce « surplus de baisse » qui fait que le taux global ($13{,}4\%$) est inférieur à la somme ($15\%$).[/reponse]
[reponse motif="Parce qu'il faut faire la moyenne des trois taux"]Non.
La moyenne donnerait $(20 - 10 + 5) \div 3 = 5\%$, ce qui n'est pas non plus le taux global.
Le problème vient du fait que chaque évolution porte sur un montant différent.[/reponse]
[reponse motif="Parce que les pourcentages négatifs comptent double"]Non.
Les pourcentages négatifs ne comptent pas double. L'écart vient du fait que chaque pourcentage s'applique sur la valeur modifiée par les évolutions précédentes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'explication tient au fait que chaque évolution porte sur un montant différent : la baisse ne porte pas sur le prix initial mais sur le prix déjà augmenté.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les évolutions successives et le taux d'évolution réciproque. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Un prix augmente de $20\%$ puis diminue de $10\%$. Quel est le coefficient multiplicateur global ?
[qcm]
[option correct="true"]$1{,}08$[/option]
[option]$1{,}10$[/option]
[option]$1{,}30$[/option]
[option]$2{,}10$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
On multiplie les coefficients : $CM_{global} = 1{,}20 \times 0{,}90 = 1{,}08$.
Le prix a globalement augmenté de 8%.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}10$"]Non.
On a soustrait les pourcentages ($20 - 10 = 10\%$). Or les pourcentages d'évolutions successives ne s'additionnent ni ne se soustraient. Il faut multiplier les coefficients multiplicateurs.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}30$"]Non.
On a additionné les pourcentages ($20 + 10 = 30\%$). Mais les pourcentages ne s'additionnent pas : il faut multiplier les coefficients multiplicateurs entre eux.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}10$"]Non.
On a additionné les coefficients ($1{,}20 + 0{,}90$). Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients, on ne les additionne pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients multiplicateurs : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$CM_{global} = 1{,}20 \times 0{,}90 = 1{,}08$. Le prix a augmenté de 8%.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un article augmente de $30\%$ puis diminue de $30\%$. Quel est le taux d'évolution global ?
[qcm]
[option]$0\%$[/option]
[option correct="true"]$-9\%$[/option]
[option]$+9\%$[/option]
[option]$-30\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$CM_{global} = 1{,}30 \times 0{,}70 = 0{,}91$.
Le taux global est $(0{,}91 - 1) \times 100 = -9\%$.
Une hausse et une baisse du même pourcentage ne se compensent jamais : la baisse porte sur un montant plus élevé que le montant initial.[/reponse]
[reponse motif="$0\%$"]Non.
C'est le piège classique : on pense que $+30\%$ et $-30\%$ s'annulent. Mais la baisse de 30% s'applique au prix déjà augmenté, pas au prix initial. Calculer les coefficients multiplicateurs et les multiplier.[/reponse]
[reponse motif="$+9\%$"]Non.
Le signe est incorrect. Le coefficient global est inférieur à 1, ce qui indique une baisse. Recalculer $1{,}30 \times 0{,}70$ et soustraire 1.[/reponse]
[reponse motif="$-30\%$"]Non.
Le résultat global ne peut pas être de $-30\%$ : la hausse initiale atténue la baisse. Calculer les deux coefficients multiplicateurs et les multiplier entre eux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$CM_{global} = 1{,}30 \times 0{,}70$. Le taux global est $(CM_{global} - 1) \times 100$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$CM_{global} = 1{,}30 \times 0{,}70 = 0{,}91$. Taux global : $-9\%$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un produit subit trois hausses successives de $10\%$ chacune. Quel est le taux d'évolution global ?
[qcm]
[option]$+30\%$[/option]
[option]$+133{,}1\%$[/option]
[option correct="true"]$+33{,}1\%$[/option]
[option]$+21\%$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$CM_{global} = 1{,}10 \times 1{,}10 \times 1{,}10 = 1{,}10^3 = 1{,}331$.
Le taux global est $(1{,}331 - 1) \times 100 = +33{,}1\%$.[/reponse]
[reponse motif="$+30\%$"]Non.
On a additionné $10 + 10 + 10 = 30\%$. Les pourcentages d'évolutions successives ne s'additionnent pas. Il faut multiplier les coefficients entre eux : $1{,}10 \times 1{,}10 \times 1{,}10$.[/reponse]
[reponse motif="$+133{,}1\%$"]Non.
On a confondu le coefficient multiplicateur ($1{,}331$) avec le taux d'évolution. Le taux se déduit du CM en soustrayant 1 : $1{,}331 - 1 = 0{,}331$, soit $+33{,}1\%$.[/reponse]
[reponse motif="$+21\%$"]Non.
On a calculé $1{,}10^2 = 1{,}21$, soit $+21\%$. C'est le résultat pour deux hausses de 10%, pas trois. Il reste une multiplication par $1{,}10$ à effectuer.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$CM_{global} = 1{,}10^3 = 1{,}331$. Le taux global est $(CM_{global} - 1) \times 100$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$CM_{global} = 1{,}10^3 = 1{,}331$. Taux global : $(1{,}331 - 1) \times 100 = +33{,}1\%$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un prix a augmenté de $25\%$. De quel pourcentage doit-il baisser pour revenir au prix initial ?
[qcm]
[option]$-25\%$[/option]
[option]$-12{,}5\%$[/option]
[option]$-80\%$[/option]
[option correct="true"]$-20\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le CM de la hausse est $1{,}25$. Pour revenir au prix initial, le CM réciproque vaut $\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}80$.
Le taux réciproque est $(0{,}80 - 1) \times 100 = -20\%$.
Il faut donc une baisse de 20% pour compenser une hausse de 25%.[/reponse]
[reponse motif="$-25\%$"]Non.
C'est le piège le plus fréquent. Une hausse de 25% suivie d'une baisse de 25% ne ramène pas au prix initial ($1{,}25 \times 0{,}75 = 0{,}9375 \neq 1$). Il faut chercher le taux réciproque en divisant 1 par le CM de la hausse.[/reponse]
[reponse motif="$-12{,}5\%$"]Non.
Diviser 25 par 2 ne donne pas le taux réciproque. Pour trouver le taux réciproque, il faut résoudre $1{,}25 \times CM_{réciproque} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$-80\%$"]Non.
On a confondu le coefficient multiplicateur réciproque ($0{,}80$) avec le taux d'évolution ($-80\%$). Le taux se déduit du CM en soustrayant 1 : $0{,}80 - 1 = -0{,}20 = -20\%$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le taux réciproque d'une hausse de $t\%$ se calcule à partir de $\dfrac{1}{CM} - 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$CM_{réciproque} = \dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}80$. Taux : $(0{,}80 - 1) \times 100 = -20\%$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un produit subit une hausse de $50\%$ puis une hausse de $40\%$. Quel est le taux d'évolution global ?
[qcm]
[option]$+90\%$[/option]
[option correct="true"]$+110\%$[/option]
[option]$+210\%$[/option]
[option]$+45\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$CM_{global} = 1{,}50 \times 1{,}40 = 2{,}10$.
Le taux global est $(2{,}10 - 1) \times 100 = +110\%$.
Le prix a plus que doublé.[/reponse]
[reponse motif="$+90\%$"]Non.
On a additionné $50 + 40 = 90\%$. Les pourcentages d'évolutions successives ne s'additionnent pas. Multiplier les coefficients multiplicateurs entre eux.[/reponse]
[reponse motif="$+210\%$"]Non.
On a confondu le coefficient multiplicateur ($2{,}10$) avec le taux d'évolution. Le taux est $CM - 1 = 2{,}10 - 1 = 1{,}10$, soit $+110\%$.[/reponse]
[reponse motif="$+45\%$"]Non.
On a peut-être calculé une moyenne des deux taux. Pour des évolutions successives, il n'y a pas de moyenne : on multiplie les coefficients.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$CM_{global} = 1{,}50 \times 1{,}40$. Le taux global est $(CM_{global} - 1) \times 100$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$CM_{global} = 1{,}50 \times 1{,}40 = 2{,}10$. Taux global : $+110\%$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un vélo coûte $600$€. Son prix augmente de $15\%$ puis diminue de $20\%$. Quel est le prix final ?
[qcm]
[option correct="true"]$552$€[/option]
[option]$570$€[/option]
[option]$690$€[/option]
[option]$480$€[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$CM_{global} = 1{,}15 \times 0{,}80 = 0{,}92$.
Prix final : $600 \times 0{,}92 = 552$€.[/reponse]
[reponse motif="$570$€"]Non.
On a soustrait les pourcentages : $15\% - 20\% = -5\%$, puis $600 \times 0{,}95 = 570$€. Les pourcentages ne se soustraient pas. Calculer chaque coefficient multiplicateur et les multiplier.[/reponse]
[reponse motif="$690$€"]Non.
On n'a appliqué que la hausse de 15% ($600 \times 1{,}15 = 690$€) sans appliquer la baisse de 20%. Il y a deux évolutions successives à prendre en compte.[/reponse]
[reponse motif="$480$€"]Non.
On n'a appliqué que la baisse de 20% ($600 \times 0{,}80 = 480$€) sans tenir compte de la hausse de 15%. Il faut multiplier les deux coefficients avant d'appliquer au prix.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$CM_{global} = 1{,}15 \times 0{,}80$. Le prix final est $600 \times CM_{global}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$CM_{global} = 1{,}15 \times 0{,}80 = 0{,}92$. Prix final : $600 \times 0{,}92 = 552$€.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les évolutions successives et le coefficient multiplicateur global, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Le prix d'un article augmente de 20% puis diminue de 25%.

Affirmation : L'article a retrouvé son prix initial.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le coefficient global est $1{,}2 \times 0{,}75 = 0{,}9$. Le prix final est inférieur de 10% au prix initial.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, une hausse de 20% suivie d'une baisse de 25% ne se compensent pas, car ces taux sont différents et ne portent pas sur le même montant.
$1{,}2 \times 0{,}75 = 0{,}9$, soit une baisse globale de 10%.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient global est $1{,}2 \times 0{,}75 = 0{,}9$, soit une baisse de $10\%$ par rapport au prix initial.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un prix subit trois baisses successives de 10%.

Affirmation : Le prix a diminué de plus de 27%.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le coefficient global est $0{,}9^3 = 0{,}729$, soit une baisse de $1 - 0{,}729 = 0{,}271 = 27{,}1\%$. C'est bien plus de 27%.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas additionner les taux ($3 \times 10\% = 30\%$). Les coefficients se multiplient.
$0{,}9^3 = 0{,}9 \times 0{,}9 \times 0{,}9 = 0{,}729$, soit une baisse de 27,1%.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $0{,}9^3 = 0{,}729$, soit une baisse globale de $27{,}1\%$, qui est bien supérieure à $27\%$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un prix augmente de 50% une première fois, puis de 50% une seconde fois.

Affirmation : Le taux global d'augmentation est 125%.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le coefficient global est $1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25$. Le taux d'évolution global est $2{,}25 - 1 = 1{,}25 = 125\%$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Deux hausses de 50% ne font pas une hausse de 100%. Les coefficients se multiplient.
$1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25$, d'où un taux global de $2{,}25 - 1 = 125\%$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25$, soit un taux d'augmentation global de $125\%$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un prix augmente de 10% par an pendant 5 ans.

Affirmation : Le prix a augmenté globalement de 50% sur les 5 ans.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le coefficient global est $1{,}1^5 = 1{,}61051$, soit une hausse d'environ 61%, pas de 50%.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Additionner $5 \times 10\% = 50\%$ est une erreur classique. Les coefficients se multiplient, et l'effet cumulé dépasse toujours la simple somme.
$1{,}1^5 = 1{,}1 \times 1{,}1 \times 1{,}1 \times 1{,}1 \times 1{,}1 \approx 1{,}611$, soit environ $+61\%$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $1{,}1^5 \approx 1{,}611$, soit une hausse d'environ $61\%$, pas $50\%$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un capital de 1 000 € perd 50% de sa valeur, puis gagne 100%.

Affirmation : Le capital final est 1 500 €.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$1\,000 \times 0{,}5 = 500$ €, puis $500 \times 2 = 1\,000$ €. Le capital retrouve sa valeur initiale, il ne vaut pas 1 500 €.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il faut appliquer les évolutions l'une après l'autre. La hausse de 100% porte sur le montant déjà réduit, pas sur le montant initial.
$1\,000 \times 0{,}5 = 500$ €, puis $500 \times 2 = 1\,000$ €.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Après $-50\%$ puis $+100\%$ : $1\,000 \times 0{,}5 \times 2 = 1\,000$ €. Le capital revient à sa valeur initiale.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un article augmente de 10%, puis de 20%, puis de 50%.

Affirmation : Le coefficient multiplicateur global est 1,98.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$1{,}1 \times 1{,}2 \times 1{,}5 = 1{,}32 \times 1{,}5 = 1{,}98$. C'est bien 1,98.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le coefficient global est le produit des trois coefficients : $1{,}1 \times 1{,}2 = 1{,}32$, puis $1{,}32 \times 1{,}5 = 1{,}98$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $1{,}1 \times 1{,}2 \times 1{,}5 = 1{,}98$.
[/solution]
[/etape]

Un vélo électrique est vendu au prix de 1 200 € dans deux magasins différents.

Magasin A : propose une première remise de 15 %, puis une remise supplémentaire de 10 % sur le prix déjà réduit.
Magasin B : propose une remise unique de 25 %.

1. Magasin A

   1. Calculer le coefficient multiplicateur correspondant à chacune des deux remises successives.
   2. En déduire le coefficient multiplicateur global. Ce résultat était-il prévisible ? Justifier.
   3. Calculer le prix final du vélo au magasin A.

2. Magasin B

   1. Calculer le coefficient multiplicateur correspondant à la remise unique de 25 %.
   2. Calculer le prix final du vélo au magasin B.

3. Comparaison

   1. Quelle offre est la plus avantageuse pour le client ? Justifier.
   2. Calculer le taux de réduction global du magasin A. Arrondir au dixième de pourcentage.
4. Le magasin A souhaite augmenter ses prix après les promotions pour revenir au prix initial de 1 200 €. Déterminer le taux d'augmentation nécessaire. Arrondir au dixième de pourcentage.

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Le prix d'un article a augmenté de 10% en janvier puis de 10% en février.

Affirmation : Sur ces deux mois, l'augmentation globale a été de 21%.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le coefficient multiplicateur global est $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21 = 1 + \dfrac{21}{100}$. L'augmentation globale est bien 21%, et non 20%.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'additionner les taux ($10\% + 10\% = 20\%$) au lieu de multiplier les coefficients ($1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$).
On multiplie les coefficients : $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$, soit une hausse de 21%. On ne peut pas additionner les taux (10% + 10% $\neq$ 20%).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le coefficient global est $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$, soit une hausse de $21\%$ (et non $20\%$, car on multiplie les coefficients, on n'additionne pas les taux).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le prix d'un article a subi une hausse de 5% en avril puis une baisse de 5% en mai.

Affirmation : À la fin de ces deux mois, l'article a retrouvé son prix de départ.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le coefficient multiplicateur global est $1{,}05 \times 0{,}95 = 0{,}9975$. Il y a une légère baisse de 0,25% : le prix n'est pas revenu à son niveau initial.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de croire qu'une hausse et une baisse de même taux se compensent exactement — or le pourcentage de baisse s'applique à un montant déjà augmenté.
$1{,}05 \times 0{,}95 = 0{,}9975 \neq 1$. Une hausse de 5% suivie d'une baisse de 5% ne se compensent pas exactement : le prix final est légèrement inférieur au prix de départ (baisse de 0,25%).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient global est $1{,}05 \times 0{,}95 = 0{,}9975 \neq 1$ : le prix final est légèrement inférieur au prix initial (baisse de $0{,}25\%$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le prix d'un appartement a diminué de 10% en 2015 puis augmenté de 10% en 2016.

Affirmation : Sur ces deux années, le prix de l'appartement a diminué de 1%.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le coefficient multiplicateur global est $0{,}9 \times 1{,}1 = 0{,}99 = 1 - \dfrac{1}{100}$. Le prix a bien baissé de 1%.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de croire que la baisse et la hausse se compensent car elles ont le même taux — or $0{,}9 \times 1{,}1 = 0{,}99$, pas $1$.
$0{,}9 \times 1{,}1 = 0{,}99$. Le coefficient 0,99 correspond à une baisse de 1%. Une baisse puis une hausse de même taux ne se compensent jamais exactement.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $0{,}9 \times 1{,}1 = 0{,}99$, ce qui correspond à une baisse globale de $1\%$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le prix d'une œuvre d'art a augmenté de 50%.

Affirmation : Ce prix devra diminuer de 50% pour retrouver sa valeur initiale.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Après une hausse de 50%, le coefficient est 1,5. Pour revenir au prix initial, il faut multiplier par $\dfrac{1}{1{,}5} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667$, soit une baisse d'environ 33,3%, et non de 50%.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de croire qu'une hausse de $p\%$ se « défait » par une baisse de $p\%$ — or la baisse s'applique à un montant plus élevé.
Après une hausse de 50% (coefficient 1,5), il faut multiplier par $\dfrac{1}{1{,}5} \approx 0{,}667$ pour revenir au prix d'origine. Cela correspond à une baisse d'environ 33,3%, pas 50%.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Après une hausse de $50\%$, le coefficient est $1{,}5$. Pour revenir au prix initial, il faut diviser par $1{,}5$, soit une baisse d'environ $33{,}3\%$, pas $50\%$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le prix d'une tablette informatique a diminué de 20%.

Affirmation : Ce prix devra augmenter de 25% pour retrouver sa valeur d'origine.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Après une baisse de 20%, le coefficient est 0,8. Pour revenir au prix initial : $0{,}8 \times 1{,}25 = 1$. Une hausse de 25% ramène bien au prix d'origine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de penser qu'une baisse de 20% doit être compensée par une hausse de 20% — mais $0{,}8 \times 1{,}2 = 0{,}96 \neq 1$.
$0{,}8 \times 1{,}25 = 1$. Après une baisse de 20% (coefficient 0,8), il faut bien appliquer le coefficient 1,25 (hausse de 25%) pour retrouver le prix initial.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Après une baisse de $20\%$, le coefficient est $0{,}8$. Pour retrouver le prix initial : $0{,}8 \times 1{,}25 = 1$. Une hausse de $25\%$ est nécessaire.
[/solution]
[/etape]

[etape]
La population d'une ville augmente de 10% par an durant trois années consécutives.

Affirmation : Sur ces trois années, l'augmentation totale de la population dépasse 33%.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le coefficient multiplicateur global sur 3 ans est $1{,}1^3 = 1{,}331$, soit une hausse de 33,1%. C'est bien supérieur à 33%.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de calculer $3 \times 10\% = 30\%$ en additionnant les taux, ce qui sous-estime l'effet cumulé des intérêts composés.
$1{,}1^3 = 1{,}331$. L'augmentation globale est de 33,1%, ce qui dépasse bien 33%. L'effet cumulé des pourcentages donne toujours plus qu'une simple addition des taux.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le coefficient global est $1{,}1^3 = 1{,}331$, soit une hausse de $33{,}1\%$, qui dépasse bien $33\%$.
[/solution]
[/etape]

On place un capital de 10 000 euros sur un compte rémunéré à 1,5% d'intérêts par an (à intérêts composés).

1. Compléter le programme Python ci-dessous afin qu'il affiche le capital disponible au bout de 5 ans.

   C=10000
   for i in range (...) :
      C = ...
   print(C)

2. On souhaite savoir au bout de combien d'années le capital aura dépassé 12 000 euros.

   Compléter le programme Python ci-dessous afin qu'il affiche ce nombre d'années.

   C=10000
   n=0
   while ...:
      n = ...
      C = ...
   print(...)

   Répondre à la question posée en utilisant ce programme.