Partie A

1. Par définition, $ M $ a pour coordonnées $ \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\,;\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) $ et $ H $ a pour coordonnées $ \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\,;0\right) $.

   Comme $ \dfrac{\pi}{4} $ est la moitié de $ \dfrac{\pi}{2} $, le point $ M $ se trouve sur la bissectrice de l'angle $ \widehat{IOJ} $ où $ I(1\,;0) $ et $ J(0\,;1) $. La droite $ (OM) $ a donc pour équation $ y=x $ et l'abscisse de $ M $ est égale à son ordonnée.

   Par conséquent :

2. $ HM=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $ (distance verticale de $ H $ à $ M $),
3. $ OH=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $ (distance horizontale de $ O $ à $ H $),

4. $ OH=HM $.

   Le triangle $ OHM $ possède un angle droit en $ H $ (projeté orthogonal) et deux côtés $ OH $ et $ HM $ égaux : il est rectangle isocèle en $ H $.

5. Puisque $ OH=HM $, on a directement :

   $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=OH=HM=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $

6. On utilise le prérequis 1. avec $ x=\dfrac{\pi}{4} $ :

   $ \cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1 $

   Comme les deux termes sont égaux :

   $ 2\cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1 $

   $ \cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2} $

   Or $ M $ se trouve dans le premier quadrant, donc $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)>0 $. On en déduit :

   $ \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $

   Et donc : $\mathbf{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$.

Partie B

1. Par définition du cercle trigonométrique, $ OM=OI=1 $ (rayon du cercle). L'angle $ \widehat{MOI} $ est l'angle orienté associé au réel $ \dfrac{\pi}{3} $, il mesure donc $ \dfrac{\pi}{3} $ radians, ce qui correspond à $ 60° $ (puisque $ \pi $ radians $ =180° $).

2. Le triangle $ OIM $ est isocèle en $ O $ (car $ OM=OI $). Ses angles à la base $ \widehat{OIM} $ et $ \widehat{OMI} $ sont donc égaux. Comme la somme des trois angles d'un triangle vaut $ \pi $, chacun de ces angles vaut $ \dfrac{\pi-\pi/3}{2}=\dfrac{\pi}{3} $.

   Les trois angles du triangle $ OIM $ valent donc $ \dfrac{\pi}{3} $ : le triangle $ OIM $ est équilatéral.

3. $ H $ est le pied de la hauteur issue de $ M $ dans le triangle $ OIM $. Comme $ OIM $ est équilatéral, cette hauteur est aussi médiane relative au côté $ [OI] $ : $ H $ est le milieu de $ [OI] $.

   On en déduit : $ OH=\dfrac{OI}{2}=\dfrac{1}{2} $.

4. Par définition, l'abscisse de $ M $ est $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) $. Comme $ H $ est le projeté orthogonal de $ M $ sur l'axe des abscisses et que $ M $ est dans le premier quadrant, $ OH $ est égal à cette abscisse :

   $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=OH=\dfrac{1}{2} $

   Conclusion : $\mathbf{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}$.

Partie C

1. Avec le prérequis 1. appliqué à $ x=\dfrac{\pi}{3} $ :

   $ \cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1 $

   Or, d'après la partie B, $ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} $, donc $ \cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{4} $. Par conséquent :

   $ \sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} $

2. $ \dfrac{\pi}{3} $ appartient à l'intervalle $ ]0\,;\pi[ $, donc le point $ M $ image de $ \dfrac{\pi}{3} $ se trouve au-dessus de l'axe des abscisses : son ordonnée est strictement positive.

   Donc $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)>0 $.

3. On déduit des deux questions précédentes :

   $ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $

   Conclusion : $\mathbf{\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$.