Calcul de tan(15°)
Sur la figure ci-dessous, $ ABCD $ est un rectangle de dimensions $ AB = 10 $cm et $ BC=5 $cm.
$ E $ est le point du segment $ [DC] $ tel que $ AE=10 $cm.
- Reproduire la figure en vraie grandeur.
- Donner la mesure en degrés de l'angle $ \widehat{DAE} $
- En déduire la mesure des angles $ \widehat{EAB} $, $ \widehat{ABE} $ puis $ \widehat{EBC} $.
- Calculer la mesure exacte de $ DE $.
- En déduire la mesure exacte de $ EC $.
- À l'aide des questions précédentes, montrer que $ \tan(15^{\circ})=2 - \sqrt{3} $
- (Image de la figure non reproduite ici)
Dans le triangle $ DAE $ rectangle en $ D $ :
$ \cos(\widehat{DAE}) = \dfrac{AD}{AE} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} $
On en déduit que $ \widehat{DAE} = 60^{\circ} $.
Comme $ \widehat{DAB} = 90^{\circ} = \widehat{DAE} + \widehat{EAB} $, on en déduit que :
$ \widehat{EAB} = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} $
De plus, comme $ AE = AB = 10 $ cm, le triangle $ EAB $ est isocèle en $ A $.
Il en résulte que :
$ \widehat{ABE} = \dfrac{1}{2} (180^{\circ} - \widehat{EAB}) = \dfrac{1}{2} (180^{\circ} - 30^{\circ}) = 75^{\circ} $
Enfin :
$ \widehat{EBC} = \widehat{ABC} - \widehat{ABE} = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ} $
Dans le triangle $ ADE $ rectangle en $ D $, on applique le théorème de Pythagore :
$ DE^2 = AE^2 - AD^2 = 10^2 - 5^2 = 75 $
Donc $ DE = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} $.
Comme les points $ D $, $ E $ et $ C $ sont alignés dans cet ordre :
$ EC = DC - DE = 10 - 5\sqrt{3} = 5(2 - \sqrt{3}) $
Il reste à se placer dans le triangle $ EBC $ rectangle en $ C $ :
$ \tan(\widehat{EBC}) = \tan(15^{\circ}) = \dfrac{EC}{BC} = \dfrac{5(2 - \sqrt{3})}{5} = 2 - \sqrt{3} $
Trigonométrie – Brevet Métropole 2014
(D'après Brevet Métropole Juin 2014)
Exercice 6 - 6 points
Pour savoir si les feux de croisement de sa voiture sont réglés correctement, Pauline éclaire un mur vertical comme l'illustre le dessin suivant :
Pauline réalise le schéma ci-dessous (qui n'est pas à l'échelle) et relève les mesures suivantes :
$ PA = 0{,}65 $m, $ AC = QP = 5 $m et $ CK = 0{,}58 $m
Pour que l'éclairage d'une voiture soit conforme, les constructeurs déterminent l'inclinaison du faisceau. Cette inclinaison correspond au rapport $ \dfrac{QK}{QP} $. Elle est correcte si ce rapport est compris entre 0,01 et 0,015.
- Vérifier que les feux de croisement de Pauline sont réglés avec une inclinaison de 0,014.
- Donner une mesure de l'angle $ \widehat{QPK} $ correspondant à l'inclinaison. On arrondira au dixième de degré.
- Quelle est la distance $ AS $ d'éclairage de ses feux ? Arrondir le résultat au mètre près.
On commence par calculer $ QK $.
Le point $ Q $ est sur le mur à la même hauteur que le phare $ P $, donc $ QC = PA = 0{,}65 $m.
Le point $ K $ est sur le mur à hauteur $ CK = 0{,}58 $m.
Comme $ K $ est en dessous de $ Q $ :
$ QK = QC - CK = 0{,}65 - 0{,}58 = 0{,}07 $m
On calcule l'inclinaison :
$ \dfrac{QK}{QP} = \dfrac{0{,}07}{5} = 0{,}014 $
L'inclinaison est bien de 0,014. Elle est comprise entre 0,01 et 0,015, donc les feux sont correctement réglés.
Dans le triangle $ QPK $ rectangle en $ Q $ :
Par rapport à l'angle $ \widehat{QPK} $ :
- $ [QK] $ est le côté opposé ($ QK = 0{,}07 $m)
- $ [QP] $ est le côté adjacent ($ QP = 5 $m)
On utilise la tangente :
$ \tan(\widehat{QPK}) = \dfrac{QK}{QP} = \dfrac{0{,}07}{5} = 0{,}014 $
A la calculatrice :
$ \widehat{QPK} = \tan^{-1}(0{,}014) \approx 0{,}8^{\circ} $
Le faisceau lumineux part du phare $ P $ et arrive au sol en $ S $, en passant par $ K $.
L'angle d'inclinaison du faisceau par rapport à l'horizontale est $ \widehat{QPK} $.
Dans le triangle $ PAS $ rectangle en $ A $, l'angle en $ P $ entre l'horizontale et le faisceau est le même angle.
On a :
$ \tan(\widehat{QPK}) = \dfrac{PA}{AS} $
On isole $ AS $ :
$ AS = \dfrac{PA}{\tan(\widehat{QPK})} = \dfrac{0{,}65}{0{,}014} $
$ AS \approx 46 $ m
La distance d'éclairage des feux de Pauline est d'environ 46 m.
