La lumière dans l’univers : durées et ordres de grandeur

Dans le vide, la lumière se déplace à une vitesse $ c = 3{,}00 \times 10^{5} $ km/s. Le temps $ t $ mis par un rayon lumineux pour parcourir une distance $ d $ s'obtient par la formule $ t = \dfrac{d}{c} $.

On donne les distances suivantes :

distance Terre-Soleil : $ D_{S} = 1{,}50 \times 10^{8} $ km ;
distance Terre-Lune : $ D_{L} = 3{,}84 \times 10^{5} $ km ;
distance Terre-Proxima du Centaure (étoile la plus proche après le Soleil) : $ D_{P} = 4{,}02 \times 10^{13} $ km.

Calculer le temps $ t_{S} $ mis par la lumière du Soleil pour atteindre la Terre. Donner le résultat en secondes, en écriture scientifique, puis le convertir en minutes et secondes.
Calculer le temps $ t_{L} $ mis par la lumière réfléchie par la Lune pour atteindre la Terre. Donner son écriture scientifique et son ordre de grandeur.
Combien de fois la distance Terre-Proxima est-elle plus grande que la distance Terre-Soleil ? Donner la valeur sous la forme $ a \times 10^{n} $ (avec $ 1 \leqslant a < 10 $), puis l'ordre de grandeur de ce rapport.
Calculer le temps $ t_{P} $ mis par la lumière de Proxima du Centaure pour atteindre la Terre. En utilisant le fait qu'une année correspond à environ $ 3{,}15 \times 10^{7} $ secondes, exprimer $ t_{P} $ en années (à $ 0{,}1 $ année près).

Corrigé

On applique la formule $ t_{S} = \dfrac{D_{S}}{c} $.

$ t_{S} = \dfrac{1{,}50 \times 10^{8}}{3{,}00 \times 10^{5}} = \dfrac{1{,}50}{3{,}00} \times \dfrac{10^{8}}{10^{5}} = 0{,}5 \times 10^{8-5} = 0{,}5 \times 10^{3} $.

En écriture scientifique : $ t_{S} = 5 \times 10^{2} $ s, soit $ 500 $ s.

Pour convertir en minutes : $ 500 = 8 \times 60 + 20 $.

Donc la lumière du Soleil met environ $ 8 $ min $ 20 $ s pour atteindre la Terre.
On calcule de même $ t_{L} = \dfrac{D_{L}}{c} $.

$ t_{L} = \dfrac{3{,}84 \times 10^{5}}{3{,}00 \times 10^{5}} = \dfrac{3{,}84}{3{,}00} \times \dfrac{10^{5}}{10^{5}} = 1{,}28 \times 10^{0} $.

En écriture scientifique, $ t_{L} $ = $ 1{,}28 \times 10^{0} $ s (soit environ $ 1{,}28 $ s).

Comme $ 1{,}28 < 5 $, l'ordre de grandeur est $ 10^{0} = 1 $ s.
On calcule le rapport $ \dfrac{D_{P}}{D_{S}} $.

$ \dfrac{D_{P}}{D_{S}} = \dfrac{4{,}02 \times 10^{13}}{1{,}50 \times 10^{8}} = \dfrac{4{,}02}{1{,}50} \times 10^{13-8} = 2{,}68 \times 10^{5} $.

La distance Terre-Proxima est donc environ $ 2{,}68 \times 10^{5} $ fois plus grande que la distance Terre-Soleil (soit $ 268\,000 $ fois).

Comme $ 2{,}68 < 5 $, l'ordre de grandeur de ce rapport est $\mathbf{10^{5}}$, soit cent mille.
On calcule $ t_{P} = \dfrac{D_{P}}{c} $.

$ t_{P} = \dfrac{4{,}02 \times 10^{13}}{3{,}00 \times 10^{5}} = \dfrac{4{,}02}{3{,}00} \times 10^{13-5} = 1{,}34 \times 10^{8} $ s.

On divise par la durée d'une année :

$ \dfrac{t_{P}}{1 \text{ an}} = \dfrac{1{,}34 \times 10^{8}}{3{,}15 \times 10^{7}} = \dfrac{1{,}34}{3{,}15} \times 10^{8-7} \approx 0{,}425 \times 10^{1} \approx 4{,}25 $.

La lumière de Proxima du Centaure met donc environ $ 4{,}3 $ années pour atteindre la Terre.

Simplifier des expressions avec les règles de calcul

Écrire chaque expression sous la forme $ a^{n} $, avec $ n $ entier relatif.
1. $ A = 7^{6} \times 7^{-2} $
2. $ B = \dfrac{5^{3}}{5^{8}} $
3. $ C = \left(2^{-3}\right)^{4} $
4. $ D = \dfrac{10^{-2} \times 10^{7}}{10^{4}} $
Simplifier les expressions suivantes en écrivant les étapes.
1. $ E = \dfrac{3^{5} \times 3^{-2}}{3^{6} \times 3^{-3}} $
2. $ F = (2 \times 5)^{4} \times 10^{-3} $
3. $ G = \left(\dfrac{6^{4}}{6^{2}}\right)^{-3} $
Calculer la valeur exacte de $ H = \dfrac{4^{3} \times 4^{-5}}{4^{-4}} $.

Corrigé

Pour chaque calcul, on identifie la règle applicable.
1. Produit de puissances de même base, on additionne les exposants :
  $ A = 7^{6+(-2)} = 7^{4} $ donc $ A $ = $\mathbf{7^{4}}$.
2. Quotient de puissances de même base, on soustrait les exposants :
  $ B = 5^{3-8} = 5^{-5} $ donc $ B $ = $\mathbf{5^{-5}}$.
3. Puissance de puissance, on multiplie les exposants :
  $ C = 2^{-3 \times 4} = 2^{-12} $ donc $ C $ = $\mathbf{2^{-12}}$.
4. On commence par le numérateur : $ 10^{-2} \times 10^{7} = 10^{-2+7} = 10^{5} $.
  Puis le quotient : $ D = \dfrac{10^{5}}{10^{4}} = 10^{5-4} = 10^{1} $ donc $ D $ = $\mathbf{10}$.
1. On simplifie le numérateur et le dénominateur.
  Numérateur : $ 3^{5} \times 3^{-2} = 3^{5+(-2)} = 3^{3} $.
  Dénominateur : $ 3^{6} \times 3^{-3} = 3^{6+(-3)} = 3^{3} $.
  $ E = \dfrac{3^{3}}{3^{3}} = 3^{3-3} = 3^{0} $ donc $ E $ = $\mathbf{1}$.
2. On utilise la propriété sur le produit : $ (2 \times 5)^{4} = 10^{4} $.
  $ F = 10^{4} \times 10^{-3} = 10^{4+(-3)} = 10^{1} $ donc $ F $ = $\mathbf{10}$.
3. On simplifie d'abord le quotient à l'intérieur des parenthèses : $ \dfrac{6^{4}}{6^{2}} = 6^{4-2} = 6^{2} $.
  Puis on applique la puissance : $ G = \left(6^{2}\right)^{-3} = 6^{2 \times (-3)} = 6^{-6} $ donc $ G $ = $\mathbf{6^{-6}}$.
On simplifie le numérateur : $ 4^{3} \times 4^{-5} = 4^{3+(-5)} = 4^{-2} $.
Puis le quotient : $ H = \dfrac{4^{-2}}{4^{-4}} = 4^{-2-(-4)} = 4^{2} = 16 $.
Donc $ H $ = $\mathbf{16}$.

Écriture scientifique et préfixes (du nano au giga)

Donner l'écriture scientifique des nombres suivants.
1. $ 47\,500 $
2. $ 0{,}000\,062 $
3. $ 836 \times 10^{4} $
4. $ 0{,}054 \times 10^{-3} $
Convertir chaque grandeur dans l'unité indiquée, puis donner son écriture scientifique.
1. La fréquence d'horloge d'un processeur est de $ 3{,}5 $ GHz. L'exprimer en hertz (Hz).
2. Le diamètre d'un cheveu humain est d'environ $ 80 $ μm. L'exprimer en mètres (m).
3. La longueur d'onde d'un rayon X est de $ 0{,}5 $ nm. L'exprimer en mètres.
4. La masse d'une fourmi est environ $ 4{,}5 $ mg. L'exprimer en kilogrammes (kg).
Une mémoire flash contient $ 256 $ Go (gigaoctets). Sachant qu'un fichier audio occupe en moyenne $ 8 $ Mo (mégaoctets), combien de fichiers peut-on stocker au maximum ?
On donnera le résultat sous forme d'un nombre entier.

Corrigé

On place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis on compte les rangs déplacés.
1. La virgule est déplacée de $ 4 $ rangs vers la gauche : $ 47\,500 $ = $\mathbf{4{,}75 \times 10^{4}}$.
2. La virgule est déplacée de $ 5 $ rangs vers la droite : $ 0{,}000\,062 $ = $\mathbf{6{,}2 \times 10^{-5}}$.
3. On part de $ 836 \times 10^{4} $. On écrit $ 836 = 8{,}36 \times 10^{2} $, puis :
  $ 836 \times 10^{4} = 8{,}36 \times 10^{2} \times 10^{4} = 8{,}36 \times 10^{6} $.
  Donc $ 836 \times 10^{4} $ = $\mathbf{8{,}36 \times 10^{6}}$.
4. On écrit $ 0{,}054 = 5{,}4 \times 10^{-2} $, puis :
  $ 0{,}054 \times 10^{-3} = 5{,}4 \times 10^{-2} \times 10^{-3} = 5{,}4 \times 10^{-5} $.
  Donc $ 0{,}054 \times 10^{-3} $ = $\mathbf{5{,}4 \times 10^{-5}}$.
On utilise les correspondances du tableau de préfixes : G $ = 10^{9} $, M $ = 10^{6} $, k $ = 10^{3} $, m $ = 10^{-3} $, μ $ = 10^{-6} $, n $ = 10^{-9} $.
1. $ 3{,}5 $ GHz $ = 3{,}5 \times 10^{9} $ Hz, ce qui est déjà en écriture scientifique : $ 3{,}5 \times 10^{9} $ Hz.
2. $ 80 $ μm $ = 80 \times 10^{-6} $ m. Or $ 80 = 8 \times 10^{1} $, donc :
  $ 80 \times 10^{-6} = 8 \times 10^{1} \times 10^{-6} = 8 \times 10^{-5} $ m.
  Le diamètre vaut $ 8 \times 10^{-5} $ m.
3. $ 0{,}5 $ nm $ = 0{,}5 \times 10^{-9} $ m. Or $ 0{,}5 = 5 \times 10^{-1} $, donc :
  $ 0{,}5 \times 10^{-9} = 5 \times 10^{-1} \times 10^{-9} = 5 \times 10^{-10} $ m.
  La longueur d'onde vaut $ 5 \times 10^{-10} $ m.
4. $ 4{,}5 $ mg $ = 4{,}5 \times 10^{-3} $ g. Pour passer aux kilogrammes, on divise par $ 1\,000 $ :
  $ 4{,}5 \times 10^{-3} $ g $ = 4{,}5 \times 10^{-3} \times 10^{-3} $ kg $ = 4{,}5 \times 10^{-6} $ kg.
  La masse vaut $ 4{,}5 \times 10^{-6} $ kg.
On exprime les deux capacités dans la même unité, par exemple en octets.

$ 256 $ Go $ = 256 \times 10^{9} $ octets et $ 8 $ Mo $ = 8 \times 10^{6} $ octets.

Le nombre maximal de fichiers est $ N = \dfrac{256 \times 10^{9}}{8 \times 10^{6}} $.

On simplifie : $ N = \dfrac{256}{8} \times \dfrac{10^{9}}{10^{6}} = 32 \times 10^{9-6} = 32 \times 10^{3} = 32\,000 $.

On peut donc stocker au maximum $ 32\,000 $ fichiers.

Vrai/Faux : Règles de calcul sur les puissances

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les règles de calcul avec les puissances, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $3^{4} \times 3^{5} = 9^{9}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La base ne change pas dans un produit de puissances de même base.
$3^{4} \times 3^{5} = 3^{4+5} = 3^{9}$, et non $9^{9}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de multiplier les bases au lieu de les conserver.
La règle $a^{n} \times a^{m} = a^{n+m}$ garde la base et additionne les exposants : $3^{4} \times 3^{5} = 3^{9}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La base reste $3$ : $3^{4} \times 3^{5} = 3^{9}$, pas $9^{9}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{8^{7}}{8^{3}} = 8^{4}$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour diviser des puissances de même base, on soustrait les exposants :
$\dfrac{8^{7}}{8^{3}} = 8^{7-3} = 8^{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour un quotient de puissances de même base, $\dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$.
Ici : $\dfrac{8^{7}}{8^{3}} = 8^{7-3} = 8^{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$, donc $\dfrac{8^{7}}{8^{3}} = 8^{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\left(4^{3}\right)^{2} = 4^{5}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour une puissance d'une puissance, on multiplie les exposants :
$\left(4^{3}\right)^{2} = 4^{3 \times 2} = 4^{6}$, et non $4^{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre avec le produit (où l'on additionne).
Pour une puissance d'une puissance : $\left(a^{n}\right)^{m} = a^{n \times m}$, donc $\left(4^{3}\right)^{2} = 4^{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\left(a^{n}\right)^{m} = a^{n \times m}$, donc $\left(4^{3}\right)^{2} = 4^{6}$, pas $4^{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous nombres $a$ et $b$ non nuls et tout entier $n$, $a^{n} \times b^{n} = (a \times b)^{n}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Quand deux puissances ont le même exposant, on peut regrouper les bases dans un seul produit.
Par exemple : $2^{3} \times 5^{3} = (2 \times 5)^{3} = 10^{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de croire que cette propriété ne fonctionne pas pour des bases différentes.
La règle $a^{n} \times b^{n} = (a \times b)^{n}$ s'applique justement quand l'exposant est le même.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la règle de la puissance d'un produit : $a^{n} \times b^{n} = (a \times b)^{n}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $2^{3} + 3^{2} = 5^{5}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les règles sur les exposants ne s'appliquent ni à l'addition ni à des bases différentes.
$2^{3} + 3^{2} = 8 + 9 = 17$, alors que $5^{5} = 3\,125$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il y a deux pièges dans cette affirmation : l'addition n'est pas concernée par les règles des puissances, et les bases sont différentes.
On calcule simplement chaque puissance : $2^{3} + 3^{2} = 8 + 9 = 17$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les règles des puissances ne s'appliquent pas à l'addition. $2^{3} + 3^{2} = 8 + 9 = 17$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{5^{-2}}{5^{-3}} = 5$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On applique la règle du quotient :
$\dfrac{5^{-2}}{5^{-3}} = 5^{-2-(-3)} = 5^{-2+3} = 5^{1} = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention au signe lors de la soustraction d'un nombre négatif : $-2 - (-3) = -2 + 3 = 1$.
Donc $\dfrac{5^{-2}}{5^{-3}} = 5^{1} = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{5^{-2}}{5^{-3}} = 5^{-2-(-3)} = 5^{1} = 5$.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Puissances et écriture scientifique

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : puissances, écriture scientifique et ordres de grandeur. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $\dfrac{\left(10^{3}\right)^{2} \times 10^{-1}}{10^{4}}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$10^{1}$[/option]
[option]$10^{9}$[/option]
[option]$10^{-1}$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On simplifie étape par étape :
$\left(10^{3}\right)^{2} = 10^{6}$, puis $10^{6} \times 10^{-1} = 10^{5}$, puis $\dfrac{10^{5}}{10^{4}} = 10^{1}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{9}$"]Non.
On a additionné tous les exposants ($6 + (-1) + 4 = 9$) au lieu de soustraire l'exposant du dénominateur.
La règle du quotient utilise une soustraction.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-1}$"]Non.
Erreur de signe lors de la soustraction : $6 + (-1) - 4 = 1$, pas $-1$.
Vérifier le calcul d'exposant final.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1 = 10^{0}$ : il y a une erreur d'un rang dans le calcul de l'exposant.
$6 + (-1) - 4 = 1$, donc le résultat est $10^{1} = 10$, pas $10^{0} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{10^{6} \times 10^{-1}}{10^{4}} = 10^{6-1-4} = 10^{1}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est l'écriture scientifique du résultat de $(3 \times 10^{-2}) \times (4 \times 10^{7})$ ?
[qcm]
[option]$12 \times 10^{5}$[/option]
[option]$7 \times 10^{5}$[/option]
[option]$12 \times 10^{-14}$[/option]
[option correct="true"]$1{,}2 \times 10^{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On multiplie les mantisses : $3 \times 4 = 12$, et on additionne les exposants : $-2 + 7 = 5$.
Donc le produit vaut $12 \times 10^{5}$, mais $12 \geqslant 10$ : il faut convertir en écriture scientifique.
$12 = 1{,}2 \times 10^{1}$, donc $12 \times 10^{5} = 1{,}2 \times 10^{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$12 \times 10^{5}$"]Pas tout à fait.
La valeur est correcte, mais $12 \geqslant 10$, donc ce n'est pas une écriture scientifique valide.
Il faut ajuster la mantisse pour qu'elle soit entre $1$ et $10$.[/reponse]
[reponse motif="$7 \times 10^{5}$"]Non.
On a additionné les mantisses ($3 + 4 = 7$) au lieu de les multiplier.
La règle du produit demande $3 \times 4 = 12$ pour la mantisse.[/reponse]
[reponse motif="$12 \times 10^{-14}$"]Non.
On a multiplié les exposants ($-2 \times 7 = -14$) au lieu de les additionner.
Pour un produit de puissances de même base : $10^{-2} \times 10^{7} = 10^{-2+7} = 10^{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(3 \times 10^{-2}) \times (4 \times 10^{7}) = 12 \times 10^{5} = 1{,}2 \times 10^{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ordre de grandeur de $4{,}3 \times 10^{7}$ ?
[qcm]
[option]$10^{8}$[/option]
[option]$4 \times 10^{7}$[/option]
[option correct="true"]$10^{7}$[/option]
[option]$10^{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La mantisse $a = 4{,}3$ est strictement inférieure à $5$, donc l'ordre de grandeur est $10^{n} = 10^{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{8}$"]Non.
On a arrondi par excès, mais la mantisse $4{,}3$ est inférieure à $5$.
Quand $a < 5$, l'ordre de grandeur reste $10^{n}$, sans augmenter l'exposant.[/reponse]
[reponse motif="$4 \times 10^{7}$"]Non.
Un ordre de grandeur est une puissance de $10$, pas un nombre quelconque.
On garde uniquement $10^{n}$ ou $10^{n+1}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{6}$"]Non.
On a diminué l'exposant d'un rang.
La règle est : $a < 5 \Rightarrow 10^{n}$ ; $a \geqslant 5 \Rightarrow 10^{n+1}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comme $4{,}3 < 5$, l'ordre de grandeur est $10^{7}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ordre de grandeur de $6{,}9 \times 10^{-3}$ ?
[qcm]
[option]$10^{-3}$[/option]
[option correct="true"]$10^{-2}$[/option]
[option]$7 \times 10^{-3}$[/option]
[option]$10^{-1}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La mantisse $a = 6{,}9$ est supérieure ou égale à $5$, donc l'ordre de grandeur est $10^{n+1} = 10^{-3+1} = 10^{-2}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-3}$"]Non.
On a oublié d'augmenter l'exposant.
Quand $a \geqslant 5$, l'ordre de grandeur est $10^{n+1}$, donc l'exposant augmente d'un rang.[/reponse]
[reponse motif="$7 \times 10^{-3}$"]Non.
Un ordre de grandeur est une puissance de $10$, pas un nombre quelconque.
On garde uniquement $10^{n}$ ou $10^{n+1}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-1}$"]Non.
L'exposant a été augmenté de deux rangs au lieu d'un seul.
La règle ajoute $+1$ à l'exposant quand $a \geqslant 5$, pas $+2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comme $6{,}9 \geqslant 5$, l'ordre de grandeur est $10^{-3+1} = 10^{-2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La masse d'un atome de carbone est environ $2 \times 10^{-26}$ kg. Quelle est cette masse exprimée en grammes ?

Rappel : $1$ kg $= 10^{3}$ g.
[qcm]
[option]$2 \times 10^{-29}$ g[/option]
[option]$2 \times 10^{-26}$ g[/option]
[option]$20 \times 10^{-26}$ g[/option]
[option correct="true"]$2 \times 10^{-23}$ g[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On multiplie la masse en kg par $10^{3}$ :
$2 \times 10^{-26} \times 10^{3} = 2 \times 10^{-26+3} = 2 \times 10^{-23}$ g.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 10^{-29}$ g"]Non.
Le signe a été inversé : on a fait $-26 - 3 = -29$ au lieu de $-26 + 3 = -23$.
Pour passer des kg aux grammes, on multiplie par $10^{3}$, donc on ajoute $3$ à l'exposant.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 10^{-26}$ g"]Non.
On a oublié la conversion : $1$ kg ne fait pas $1$ g.
Il faut multiplier par $10^{3}$ pour passer des kg aux grammes.[/reponse]
[reponse motif="$20 \times 10^{-26}$ g"]Non.
On a multiplié la mantisse par $10$ au lieu de modifier l'exposant.
Multiplier par $10^{3}$ ajoute $3$ à l'exposant, et la mantisse reste à $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$2 \times 10^{-26}$ kg $\times 10^{3} = 2 \times 10^{-23}$ g.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une bactérie mesure environ $2 \times 10^{-6}$ m. Combien faut-il de bactéries alignées côte à côte pour atteindre une longueur de $1$ mm ?

Rappel : $1$ mm $= 10^{-3}$ m.
[qcm]
[option correct="true"]$500$[/option]
[option]$2 \times 10^{9}$[/option]
[option]$200$[/option]
[option]$5 \times 10^{-9}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le nombre de bactéries vaut $\dfrac{1\text{ mm}}{2 \times 10^{-6}\text{ m}} = \dfrac{10^{-3}}{2 \times 10^{-6}} = \dfrac{1}{2} \times 10^{-3-(-6)} = 0{,}5 \times 10^{3} = 500$.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 10^{9}$"]Non.
On a multiplié les deux longueurs au lieu de diviser.
Pour savoir combien de fois une longueur entre dans une autre, on divise.[/reponse]
[reponse motif="$200$"]Non.
Le calcul d'exposant est incorrect : $-3 - (-6) = 3$, pas $2$.
Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé.[/reponse]
[reponse motif="$5 \times 10^{-9}$"]Non.
Le signe de l'exposant est incorrect.
Comme $1$ mm est plus grand qu'une bactérie, le nombre de bactéries est un grand nombre, donc l'exposant doit être positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{10^{-3}}{2 \times 10^{-6}} = 0{,}5 \times 10^{3} = 500$ bactéries.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Règles de calcul sur les puissances

[enonce]
Ce QCM porte sur les règles de calcul avec les puissances : produit, quotient, puissance d'une puissance et puissance d'un produit. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $4^{5} \times 4^{2}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$4^{7}$[/option]
[option]$4^{10}$[/option]
[option]$16^{7}$[/option]
[option]$8^{7}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants :
$4^{5} \times 4^{2} = 4^{5+2} = 4^{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$4^{10}$"]Non.
L'erreur fréquente est de multiplier les exposants au lieu de les additionner.
La règle est $a^{n} \times a^{m} = a^{n+m}$.[/reponse]
[reponse motif="$16^{7}$"]Non.
La base ne change pas dans un produit de puissances de même base.
$4 \times 4 = 16$, mais on garde la base $4$, pas $16$.[/reponse]
[reponse motif="$8^{7}$"]Non.
On a additionné les bases ($4 + 4 = 8$) au lieu de les conserver.
La règle conserve la base et additionne les exposants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$4^{5} \times 4^{2} = 4^{5+2} = 4^{7}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $\dfrac{6^{8}}{6^{3}}$ ?
[qcm]
[option]$6^{11}$[/option]
[option correct="true"]$6^{5}$[/option]
[option]$6^{24}$[/option]
[option]$2^{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour diviser des puissances de même base, on soustrait les exposants :
$\dfrac{6^{8}}{6^{3}} = 6^{8-3} = 6^{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$6^{11}$"]Non.
On a additionné les exposants au lieu de les soustraire.
Pour un quotient : $\dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$.[/reponse]
[reponse motif="$6^{24}$"]Non.
On a multiplié les exposants au lieu de les soustraire.
La règle du quotient utilise une soustraction.[/reponse]
[reponse motif="$2^{5}$"]Non.
La base ne se simplifie pas par division : on ne fait pas $6 \div 3 = 2$.
La base reste $6$, et on soustrait les exposants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{6^{8}}{6^{3}} = 6^{8-3} = 6^{5}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $\left(5^{4}\right)^{3}$ ?
[qcm]
[option]$5^{7}$[/option]
[option]$5$[/option]
[option correct="true"]$5^{12}$[/option]
[option]$25^{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour une puissance d'une puissance, on multiplie les exposants :
$\left(5^{4}\right)^{3} = 5^{4 \times 3} = 5^{12}$.[/reponse]
[reponse motif="$5^{7}$"]Non.
On a additionné les exposants au lieu de les multiplier.
La règle est $\left(a^{n}\right)^{m} = a^{n \times m}$, pas $a^{n+m}$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
On a soustrait les exposants : $4 - 3 = 1$.
Pour une puissance d'une puissance, c'est une multiplication des exposants.[/reponse]
[reponse motif="$25^{12}$"]Non.
La base a été élevée au carré ($5^{2} = 25$), mais elle ne change pas.
Seuls les exposants se multiplient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\left(5^{4}\right)^{3} = 5^{4 \times 3} = 5^{12}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $\dfrac{5^{-2}}{5^{-6}}$ ?
[qcm]
[option]$5^{-8}$[/option]
[option]$5^{-4}$[/option]
[option]$5^{12}$[/option]
[option correct="true"]$5^{4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On applique la règle du quotient :
$\dfrac{5^{-2}}{5^{-6}} = 5^{-2-(-6)} = 5^{-2+6} = 5^{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$5^{-8}$"]Non.
On a additionné les exposants au lieu de soustraire.
Pour un quotient : $\dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$, donc $-2 - (-6)$, pas $-2 + (-6)$.[/reponse]
[reponse motif="$5^{-4}$"]Non.
On a oublié le signe lors de la soustraction : $-2 - 6 = -8$ ou $-6 - 2 = -8$ au lieu de $-2 - (-6) = 4$.
Attention : soustraire $-6$ revient à ajouter $+6$.[/reponse]
[reponse motif="$5^{12}$"]Non.
On a multiplié les exposants au lieu de les soustraire.
La règle du quotient utilise une soustraction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{5^{-2}}{5^{-6}} = 5^{-2-(-6)} = 5^{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle écriture est égale à $(3 \times 2)^{4}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$3^{4} \times 2^{4}$[/option]
[option]$3 \times 2^{4}$[/option]
[option]$3^{4} \times 2$[/option]
[option]$24$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour une puissance d'un produit, l'exposant se distribue sur chaque facteur :
$(3 \times 2)^{4} = 3^{4} \times 2^{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$3 \times 2^{4}$"]Non.
L'exposant doit s'appliquer aux deux facteurs du produit, pas seulement à un seul.
La règle est $(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}$.[/reponse]
[reponse motif="$3^{4} \times 2$"]Non.
L'exposant doit s'appliquer aux deux facteurs du produit, pas seulement à un seul.
La règle est $(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}$.[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
$24$ correspond à $3 \times 2 \times 4$, où l'on a confondu l'exposant $4$ avec une multiplication par $4$.
$(3 \times 2)^{4} = 6^{4} = 1\,296$, pas $24$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(3 \times 2)^{4} = 3^{4} \times 2^{4}$ (l'exposant se distribue sur chaque facteur).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $\dfrac{2^{5} \times 2^{3}}{2^{4}}$ ?
[qcm]
[option]$2^{12}$[/option]
[option correct="true"]$2^{4}$[/option]
[option]$2^{15}$[/option]
[option]$2^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Au numérateur : $2^{5} \times 2^{3} = 2^{5+3} = 2^{8}$.
Puis : $\dfrac{2^{8}}{2^{4}} = 2^{8-4} = 2^{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$2^{12}$"]Non.
On a additionné tous les exposants : $5 + 3 + 4 = 12$.
L'exposant du dénominateur doit être soustrait, pas additionné.[/reponse]
[reponse motif="$2^{15}$"]Non.
On a multiplié $5$ et $3$ au numérateur au lieu d'additionner.
Pour un produit : $2^{5} \times 2^{3} = 2^{5+3} = 2^{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$2^{2}$"]Non.
Erreur de calcul d'exposant.
On obtient $2^{5+3-4} = 2^{4}$, pas $2^{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{2^{5} \times 2^{3}}{2^{4}} = \dfrac{2^{8}}{2^{4}} = 2^{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Écriture scientifique

[enonce]
Ce QCM porte sur l'écriture scientifique d'un nombre décimal : passage entre écriture décimale et écriture scientifique, identification d'une écriture correcte. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est l'écriture scientifique de $47\,800$ ?
[qcm]
[option]$47{,}8 \times 10^{3}$[/option]
[option correct="true"]$4{,}78 \times 10^{4}$[/option]
[option]$478 \times 10^{2}$[/option]
[option]$4{,}78 \times 10^{-4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On place la virgule juste après le premier chiffre non nul : $a = 4{,}78$.
La virgule a été déplacée de $4$ rangs vers la gauche, donc $n = 4$ :
$47\,800 = 4{,}78 \times 10^{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$47{,}8 \times 10^{3}$"]Non.
La mantisse $a = 47{,}8$ est trop grande : il faut $1 \leqslant a < 10$.
Il faut placer la virgule après le premier chiffre non nul.[/reponse]
[reponse motif="$478 \times 10^{2}$"]Non.
La mantisse $a = 478$ est trop grande : il faut $1 \leqslant a < 10$.
Il faut placer la virgule après le premier chiffre non nul.[/reponse]
[reponse motif="$4{,}78 \times 10^{-4}$"]Non.
Le signe de l'exposant est incorrect.
Pour un nombre $\geqslant 10$, l'exposant est positif. Pour un nombre $< 1$, il est négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$47\,800 = 4{,}78 \times 10^{4}$ (mantisse entre $1$ et $10$, exposant positif car nombre grand).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est l'écriture scientifique de $0{,}003\,5$ ?
[qcm]
[option]$3{,}5 \times 10^{3}$[/option]
[option]$35 \times 10^{-4}$[/option]
[option correct="true"]$3{,}5 \times 10^{-3}$[/option]
[option]$0{,}35 \times 10^{-2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On place la virgule juste après le premier chiffre non nul : $a = 3{,}5$.
La virgule a été déplacée de $3$ rangs vers la droite, donc $n = -3$ :
$0{,}0035 = 3{,}5 \times 10^{-3}$.[/reponse]
[reponse motif="$3{,}5 \times 10^{3}$"]Non.
Le signe de l'exposant est incorrect.
Pour un nombre $< 1$, l'exposant est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$35 \times 10^{-4}$"]Non.
La mantisse $a = 35$ est trop grande : il faut $1 \leqslant a < 10$.
Il faut placer la virgule après le premier chiffre non nul.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}35 \times 10^{-2}$"]Non.
La mantisse $a = 0{,}35$ est trop petite : il faut $1 \leqslant a < 10$.
Il faut placer la virgule après le premier chiffre non nul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$0{,}0035 = 3{,}5 \times 10^{-3}$ (mantisse entre $1$ et $10$, exposant négatif car nombre petit).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi ces écritures, laquelle est une écriture scientifique correcte ?
[qcm]
[option]$0{,}5 \times 10^{4}$[/option]
[option]$12 \times 10^{-2}$[/option]
[option correct="true"]$7{,}3 \times 10^{5}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2} \times 10^{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La mantisse $a = 7{,}3$ vérifie bien $1 \leqslant a < 10$, et l'exposant est un entier relatif.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5 \times 10^{4}$"]Non.
La mantisse $0{,}5$ est strictement inférieure à $1$.
En écriture scientifique, on doit avoir $1 \leqslant a < 10$.[/reponse]
[reponse motif="$12 \times 10^{-2}$"]Non.
La mantisse $12$ est supérieure ou égale à $10$.
En écriture scientifique, on doit avoir $1 \leqslant a < 10$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2} \times 10^{3}$"]Non.
La mantisse doit être un nombre décimal entre $1$ et $10$, pas une fraction inférieure à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une écriture scientifique a la forme $a \times 10^{n}$ avec $1 \leqslant a < 10$ et $n$ entier relatif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est l'écriture décimale de $6{,}02 \times 10^{-4}$ ?
[qcm]
[option]$60\,200$[/option]
[option]$0{,}006\,02$[/option]
[option correct="true"]$0{,}000\,602$[/option]
[option]$-60\,200$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'exposant est $-4$ : on déplace la virgule de $4$ rangs vers la gauche.
$6{,}02 \times 10^{-4} = 0{,}000\,602$.[/reponse]
[reponse motif="$60\,200$"]Non.
Le signe de l'exposant est négatif : la virgule se déplace vers la gauche, pas vers la droite.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}006\,02$"]Non.
La virgule a été déplacée de $3$ rangs au lieu de $4$.
$10^{-4}$ correspond à un décalage de $4$ rangs vers la gauche.[/reponse]
[reponse motif="$-60\,200$"]Non.
L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.
Il signifie un décalage de la virgule vers la gauche.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$6{,}02 \times 10^{-4} = 0{,}000602$ (virgule décalée de $4$ rangs vers la gauche).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est l'écriture scientifique de $32\,000\,000$ ?
[qcm]
[option]$32 \times 10^{6}$[/option]
[option]$3{,}2 \times 10^{6}$[/option]
[option correct="true"]$3{,}2 \times 10^{7}$[/option]
[option]$0{,}32 \times 10^{8}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On place la virgule après le premier chiffre non nul : $a = 3{,}2$.
La virgule a été déplacée de $7$ rangs vers la gauche : $32\,000\,000 = 3{,}2 \times 10^{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$32 \times 10^{6}$"]Non.
La mantisse $32$ est trop grande : il faut $1 \leqslant a < 10$.
Il faut décaler la virgule d'un rang supplémentaire.[/reponse]
[reponse motif="$3{,}2 \times 10^{6}$"]Non.
On a oublié un rang dans le décalage de la virgule.
Compter les chiffres après le premier : $32\,000\,000$ a $7$ rangs de décalage.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}32 \times 10^{8}$"]Non.
La mantisse $0{,}32$ est strictement inférieure à $1$.
En écriture scientifique, on doit avoir $1 \leqslant a < 10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$32\,000\,000 = 3{,}2 \times 10^{7}$ (la virgule se déplace de $7$ rangs vers la gauche).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est l'écriture scientifique du résultat de $(2 \times 10^{4}) \times (3 \times 10^{5})$ ?
[qcm]
[option]$5 \times 10^{9}$[/option]
[option correct="true"]$6 \times 10^{9}$[/option]
[option]$6 \times 10^{20}$[/option]
[option]$6 \times 10^{45}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On multiplie les mantisses entre elles et on additionne les exposants :
$(2 \times 10^{4}) \times (3 \times 10^{5}) = (2 \times 3) \times 10^{4+5} = 6 \times 10^{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$5 \times 10^{9}$"]Non.
On a additionné les mantisses au lieu de les multiplier : $2 + 3 = 5$.
La règle du produit demande $2 \times 3 = 6$ pour la mantisse.[/reponse]
[reponse motif="$6 \times 10^{20}$"]Non.
On a multiplié les exposants au lieu de les additionner : $4 \times 5 = 20$.
Pour un produit de puissances de même base : $10^{4} \times 10^{5} = 10^{4+5} = 10^{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$6 \times 10^{45}$"]Non.
On a concaténé les exposants $4$ et $5$ pour former $45$.
Pour un produit de puissances de même base, on additionne les exposants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(2 \times 10^{4}) \times (3 \times 10^{5}) = 6 \times 10^{9}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Puissances de 10

[enonce]
Ce QCM porte sur les puissances de $10$ : passage à l'écriture décimale, déplacement de la virgule et calculs simples. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est l'écriture décimale de $10^{4}$ ?
[qcm]
[option]$1\,000$[/option]
[option correct="true"]$10\,000$[/option]
[option]$100\,000$[/option]
[option]$40$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$10^{4}$ s'écrit avec un $1$ suivi de $4$ zéros : $10^{4} = 10\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$1\,000$"]Non.
$1\,000$ correspond à $10^{3}$ (trois zéros).
Pour $10^{4}$, il faut quatre zéros après le $1$.[/reponse]
[reponse motif="$100\,000$"]Non.
$100\,000$ correspond à $10^{5}$ (cinq zéros).
Pour $10^{4}$, il faut quatre zéros après le $1$.[/reponse]
[reponse motif="$40$"]Non.
L'erreur fréquente est de multiplier la base par l'exposant.
$10^{4}$ est un produit de quatre facteurs égaux à $10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$10^{4} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000$ (un $1$ suivi de quatre zéros).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est l'écriture décimale de $10^{-2}$ ?
[qcm]
[option]$-100$[/option]
[option]$0{,}001$[/option]
[option correct="true"]$0{,}01$[/option]
[option]$100$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un exposant négatif donne l'inverse :
$10^{-2} = \dfrac{1}{10^{2}} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$.[/reponse]
[reponse motif="$-100$"]Non.
L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.
Il signifie « inverse de » : $10^{-2} = \dfrac{1}{10^{2}}$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}001$"]Non.
$0{,}001$ correspond à $10^{-3}$ (trois zéros après la virgule).
Pour $10^{-2}$, il y a deux décimales, et seulement un zéro après la virgule.[/reponse]
[reponse motif="$100$"]Non.
$100$ correspond à $10^{2}$, pas à $10^{-2}$.
L'exposant négatif inverse la valeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$10^{-2} = \dfrac{1}{10^{2}} = 0{,}01$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le résultat de $5{,}3 \times 10^{3}$ ?
[qcm]
[option]$530$[/option]
[option correct="true"]$5\,300$[/option]
[option]$53\,000$[/option]
[option]$5{,}3000$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Multiplier par $10^{3}$ revient à décaler la virgule de $3$ rangs vers la droite :
$5{,}3 \times 10^{3} = 5\,300$.[/reponse]
[reponse motif="$530$"]Non.
La virgule a été déplacée de $2$ rangs au lieu de $3$.
Multiplier par $10^{3}$, c'est décaler la virgule de $3$ rangs vers la droite.[/reponse]
[reponse motif="$53\,000$"]Non.
La virgule a été déplacée de $4$ rangs au lieu de $3$.
$10^{3}$ correspond à un décalage de $3$ rangs vers la droite, pas $4$.[/reponse]
[reponse motif="$5{,}3000$"]Non.
Ajouter des zéros après la virgule ne change rien à la valeur.
Multiplier par $10^{3}$ déplace la virgule de $3$ rangs vers la droite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$5{,}3 \times 10^{3} = 5\,300$ (virgule décalée de $3$ rangs vers la droite).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le résultat de $42 \times 10^{-4}$ ?
[qcm]
[option]$0{,}42$[/option]
[option correct="true"]$0{,}004\,2$[/option]
[option]$0{,}000\,42$[/option]
[option]$-420\,000$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Multiplier par $10^{-4}$ revient à décaler la virgule de $4$ rangs vers la gauche :
$42 \times 10^{-4} = 42{,}0 \to 0{,}0042$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}42$"]Non.
La virgule a été déplacée de $2$ rangs au lieu de $4$.
Multiplier par $10^{-4}$, c'est décaler de $4$ rangs vers la gauche.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}000\,42$"]Non.
La virgule a été déplacée de $5$ rangs au lieu de $4$.
$10^{-4}$ correspond à un décalage de $4$ rangs vers la gauche, pas $5$.[/reponse]
[reponse motif="$-420\,000$"]Non.
L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif et n'augmente pas sa valeur.
$10^{-n}$ rend le résultat plus petit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$42 \times 10^{-4} = 0{,}0042$ (virgule décalée de $4$ rangs vers la gauche).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $10^{7} \times 10^{-4}$ ?
[qcm]
[option]$10^{-28}$[/option]
[option]$10^{11}$[/option]
[option correct="true"]$10^{3}$[/option]
[option]$10^{-3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On additionne les exposants :
$10^{7} \times 10^{-4} = 10^{7+(-4)} = 10^{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-28}$"]Non.
L'erreur fréquente est de multiplier les exposants au lieu de les additionner.
Pour un produit de puissances de même base, on additionne les exposants.[/reponse]
[reponse motif="$10^{11}$"]Non.
On a oublié le signe négatif de $-4$ : $7 + 4 = 11$ au lieu de $7 + (-4) = 3$.
Attention au signe quand on additionne les exposants.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-3}$"]Non.
On a calculé $-7 + 4 = -3$ au lieu de $7 + (-4) = 3$.
Le signe de $7$ est positif, c'est seulement $-4$ qui est négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$10^{7} \times 10^{-4} = 10^{7-4} = 10^{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $\dfrac{10^{5}}{10^{-2}}$ ?
[qcm]
[option]$10^{3}$[/option]
[option correct="true"]$10^{7}$[/option]
[option]$10^{-7}$[/option]
[option]$10^{-3}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On soustrait les exposants :
$\dfrac{10^{5}}{10^{-2}} = 10^{5-(-2)} = 10^{5+2} = 10^{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{3}$"]Non.
On a oublié le signe négatif de $-2$ au dénominateur : $5 - 2 = 3$ au lieu de $5 - (-2) = 7$.
Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-7}$"]Non.
Le signe du résultat est incorrect.
$5 - (-2) = 5 + 2 = 7$, donc l'exposant final est positif.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-3}$"]Non.
On a inversé la soustraction : $-2 - 5 = -7$ ou $-5 + 2 = -3$ au lieu de $5 - (-2)$.
La règle du quotient est $\dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$ : on soustrait l'exposant du dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{10^{5}}{10^{-2}} = 10^{5-(-2)} = 10^{7}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]