[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la loi faible des grands nombres, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ un échantillon d'une loi d'espérance $\mu$ et de moyenne empirique $M_n$.

Affirmation : Pour tout réel $\varepsilon > 0$, $\lim\limits_{n \to +\infty} p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon\right) = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est exactement l'énoncé de la loi faible des grands nombres. Elle traduit que la probabilité que la moyenne empirique s'éloigne de l'espérance d'au moins $\varepsilon$ devient négligeable pour les grands échantillons.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il s'agit de l'énoncé exact de la loi faible des grands nombres.
Le quantificateur « pour tout $\varepsilon > 0$ » est essentiel : aussi petit que soit l'écart toléré, sa probabilité tend vers $0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est l'énoncé exact de la loi faible des grands nombres.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La loi faible des grands nombres affirme que pour $n$ assez grand, on a $M_n = \mu$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La loi des grands nombres ne donne pas une égalité, mais une convergence en probabilité : $p(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon) \to 0$. La variable $M_n$ peut toujours s'écarter de $\mu$, mais cet écart devient improbable pour $n$ grand.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'interpréter la limite comme une égalité.
La conclusion est probabiliste : la probabilité d'écart tend vers $0$, mais $M_n$ reste une variable aléatoire qui peut prendre des valeurs différentes de $\mu$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La loi des grands nombres n'affirme pas une égalité $M_n = \mu$, mais que la probabilité d'un écart non nul tend vers $0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance $n$ fois un dé parfaitement équilibré à six faces et on note $M_n$ la moyenne des résultats obtenus.

Affirmation : D'après la loi faible des grands nombres, la probabilité que $M_n$ s'écarte de $3{,}5$ d'au moins $0{,}1$ tend vers $0$ quand $n \to +\infty$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'espérance d'un lancer de dé équilibré est $\mu = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3{,}5$. La loi faible donne, pour $\varepsilon = 0{,}1$ :
$\lim\limits_{n \to +\infty} p\!\left(|M_n - 3{,}5| \geqslant 0{,}1\right) = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une vérification utile : calculer d'abord l'espérance d'un lancer.
On trouve $\mu = 3{,}5$, et la loi faible appliquée avec $\varepsilon = 0{,}1$ donne directement la conclusion.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'espérance vaut $3{,}5$, donc la loi faible donne $\lim\limits_{n \to +\infty} p(|M_n - 3{,}5| \geqslant 0{,}1) = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance une pièce équilibrée et on observe que les $10$ premiers lancers donnent « Pile ».

Affirmation : D'après la loi des grands nombres, les prochains lancers ont alors une probabilité supérieure à $0{,}5$ de donner « Face », pour rééquilibrer la moyenne.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est la fameuse illusion du joueur. Les lancers d'une pièce équilibrée sont indépendants : chaque nouveau lancer reste de probabilité $0{,}5$, sans « mémoire » des précédents.
La loi des grands nombres décrit la moyenne sur un grand nombre de lancers, mais ne corrige pas les lancers individuels.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à l'illusion du joueur : penser que les pièces ont une mémoire.
Les lancers étant indépendants, la probabilité d'un nouveau « Face » reste $0{,}5$. La moyenne se rapproche de $0{,}5$ par accumulation, pas par compensation.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. C'est l'illusion du joueur : les lancers sont indépendants, chacun reste de probabilité $0{,}5$. La moyenne converge par accumulation, pas par compensation.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La loi faible des grands nombres se déduit de l'inégalité de concentration en faisant tendre $n$ vers $+\infty$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'inégalité de concentration donne $p(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$.
Pour $\varepsilon$ et $\sigma$ fixés, le membre de droite tend vers $0$ quand $n \to +\infty$, donc le membre de gauche aussi (par encadrement avec $0$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La démonstration est explicite dans le cours.
On part de $0 \leqslant p(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ et on passe à la limite : la majoration tend vers $0$, donc la probabilité aussi.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La majoration $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ tend vers $0$ quand $n \to +\infty$, ce qui force $p(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon)$ à tendre vers $0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ un échantillon d'une loi d'espérance $\mu$.

Affirmation : La loi faible des grands nombres affirme que pour chaque résultat $\omega$ de l'expérience, la suite numérique $(M_n(\omega))$ converge vers $\mu$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La loi faible énonce une convergence en probabilité, pas une convergence pour chaque résultat $\omega$. La convergence presque sûre (pour presque tout $\omega$) est l'objet de la loi forte des grands nombres, qui n'est pas au programme de Terminale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre les deux types de convergence.
La loi faible porte sur la probabilité de l'écart, pas sur le comportement de la suite pour chaque résultat $\omega$ pris individuellement.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La loi faible énonce une convergence en probabilité ($p(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon) \to 0$), pas une convergence valable pour chaque résultat $\omega$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur l'inégalité de concentration appliquée à la moyenne empirique d'un échantillon, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ un échantillon d'une loi de probabilité d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$. On note $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$.

Affirmation : Pour tout $\varepsilon > 0$, $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est l'énoncé exact de l'inégalité de concentration : elle se déduit de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_n$, en utilisant $E(M_n) = \mu$ et $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il s'agit de l'énoncé exact de l'inégalité.
On note bien la présence de $n$ au dénominateur, qui rend la majoration plus précise pour les grands échantillons.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est l'énoncé de l'inégalité de concentration, conséquence de Bienaymé-Tchebychev appliquée à la moyenne empirique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère un échantillon $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ d'une loi de variance $V$ et de moyenne empirique $M_n$.

Affirmation : Plus la taille $n$ de l'échantillon est grande, plus la majoration $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ donnée par l'inégalité de concentration est grande.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$n$ est au dénominateur, donc plus $n$ augmente, plus $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ diminue. C'est précisément ce qui exprime la concentration de $M_n$ autour de $\mu$ pour les grands échantillons.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au sens de variation : $n$ figure au dénominateur.
Plus $n$ est grand, plus la majoration est petite, donc plus la moyenne empirique se concentre autour de l'espérance.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $n$ est au dénominateur, donc la majoration diminue quand $n$ augmente : c'est l'idée de concentration.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ un échantillon d'une loi d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

Affirmation : La moyenne empirique $M_n$ vérifie $E(M_n) = \mu$ et $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par linéarité de l'espérance, $E(M_n) = \mu$. Pour la variance, comme les $X_i$ sont indépendants, $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$, d'où $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour $M_n = \dfrac{1}{n}(X_1 + \dots + X_n)$, l'espérance est inchangée, mais l'écart-type est divisé par $\sqrt{n}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $E(M_n) = \mu$, $V(M_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$ et donc $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On note $f(\varepsilon) = \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ la majoration donnée par l'inégalité de concentration.

Affirmation : Pour diviser la majoration $f(\varepsilon)$ par $4$ (à $n$ et $\sigma$ fixés), il suffit de tripler $\varepsilon$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\varepsilon$ apparaît au carré au dénominateur. Tripler $\varepsilon$ multiplie $\varepsilon^2$ par $9$, donc divise la majoration par $9$ et non par $4$. Pour la diviser par $4$, il faudrait doubler $\varepsilon$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'oublier que $\varepsilon$ est élevé au carré.
Tripler $\varepsilon$ multiplie $\varepsilon^2$ par $9$ : la majoration est divisée par $9$, pas par $4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme $\varepsilon$ est au carré, tripler $\varepsilon$ divise la majoration par $3^2 = 9$, et non par $4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère un échantillon de taille $n = 400$ d'une loi d'espérance $\mu = 5$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

Affirmation : D'après l'inégalité de concentration, $p\!\left(|M_{400} - 5| \geqslant 0{,}5\right) \leqslant 0{,}04$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On applique $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ avec $\sigma^2 = 4$, $n = 400$, $\varepsilon = 0{,}5$ :
$\dfrac{4}{400 \times 0{,}25} = \dfrac{4}{100} = 0{,}04$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour vérifier, calculer méthodiquement chaque terme.
Avec $\sigma^2 = 4$, $n = 400$ et $\varepsilon^2 = 0{,}25$, on obtient $\dfrac{4}{400 \times 0{,}25} = 0{,}04$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La majoration vaut $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} = \dfrac{4}{400 \times 0{,}25} = 0{,}04$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'inégalité de concentration ne s'applique qu'aux échantillons de variables aléatoires suivant une loi normale.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'inégalité de concentration ne suppose aucune loi particulière. Elle est valable pour tout échantillon de variables aléatoires identiques et indépendantes admettant une espérance et un écart-type.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une confusion classique : associer toute estimation à la loi normale.
L'inégalité de concentration découle de Bienaymé-Tchebychev et s'applique sans hypothèse sur la loi suivie par les $X_i$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'inégalité s'applique à tout échantillon iid admettant une espérance et un écart-type, quelle que soit la loi.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur l'inégalité de concentration $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ et sur la loi faible des grands nombres. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
$(X_1, \ldots, X_n)$ est un échantillon d'une loi de variance $\sigma^2 = 4$, et $M_n$ sa moyenne empirique. Pour $n = 100$ et $\varepsilon = 0{,}5$, donner la majoration de $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}5\right)$ par l'inégalité de concentration.
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}16$[/option]
[option]$0{,}04$[/option]
[option]$0{,}4$[/option]
[option]$16$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On applique $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} = \dfrac{4}{100 \times 0{,}25} = \dfrac{4}{25} = 0{,}16$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}04$"]Non.
$0{,}04 = \dfrac{4}{100}$ : la division par $\varepsilon^2 = 0{,}25$ a été oubliée. Or diviser par un nombre plus petit que $1$ augmente le résultat.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}4$"]Non.
$0{,}4 = \dfrac{2}{5} = \dfrac{\sigma}{n\varepsilon}$ : il manque les carrés. La formule fait intervenir $\sigma^2$ au numérateur et $\varepsilon^2$ au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
$16 = \dfrac{4}{0{,}25}$ : la taille $n = 100$ a été oubliée au dénominateur. Sans elle, l'inégalité de concentration se réduit à Bienaymé-Tchebychev appliquée à un seul tirage.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ avec $\sigma^2 = 4$, $n = 100$, $\varepsilon^2 = 0{,}25$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$(X_1, \ldots, X_n)$ est un échantillon d'une loi d'écart-type $\sigma = 2$. Pour $n = 4000$ et $\varepsilon = 0{,}1$, majorer $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}1\right)$ par l'inégalité de concentration.
[qcm]
[option]$0{,}5$[/option]
[option correct="true"]$0{,}1$[/option]
[option]$0{,}01$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Avec $\sigma^2 = 4$, $n = 4000$ et $\varepsilon^2 = 0{,}01$ :
$p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}1\right) \leqslant \dfrac{4}{4000 \times 0{,}01} = \dfrac{4}{40} = 0{,}1$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5 = \dfrac{2}{4}$ : le calcul a confondu écart-type et variance, ou n'a pas appliqué le carré sur $\varepsilon$. Reprendre la formule avec $\sigma^2$ et $\varepsilon^2$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}01$"]Non.
$0{,}01 = \varepsilon^2$ : le calcul s'est arrêté au dénominateur ou a confondu les rôles. La formule donne $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$, et non $\varepsilon^2$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Une majoration par $1$ est triviale (toute probabilité est $\leqslant 1$). Ici la division par $n = 4000$ donne une majoration bien plus précise.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ avec $\sigma^2 = 4$, $n = 4000$, $\varepsilon^2 = 0{,}01$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$(X_1, \ldots, X_n)$ est un échantillon d'une loi de variance $\sigma^2 = 1$. On souhaite garantir $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}1\right) \leqslant 0{,}05$ via l'inégalité de concentration. Quelle est la valeur minimale entière de $n$ ?
[qcm]
[option]$100$[/option]
[option]$200$[/option]
[option correct="true"]$2000$[/option]
[option]$20000$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On résout $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \leqslant 0{,}05$, soit $\dfrac{1}{n \times 0{,}01} \leqslant 0{,}05$.
Cela équivaut à $\dfrac{100}{n} \leqslant 0{,}05$, donc $n \geqslant \dfrac{100}{0{,}05} = 2000$.[/reponse]
[reponse motif="$100$"]Non.
$100 = \dfrac{1}{\varepsilon^2}$ : c'est seulement le coefficient $\dfrac{1}{\varepsilon^2}$ ; il manque la division par le seuil $0{,}05$.[/reponse]
[reponse motif="$200$"]Non.
$200 = \dfrac{1}{0{,}05 \times 0{,}1}$ : le carré sur $\varepsilon$ a été oublié. Or $\varepsilon^2 = 0{,}01$ et non $0{,}1$.[/reponse]
[reponse motif="$20000$"]Non.
$20000$ correspondrait à $\sigma^2 = 10$ ou à un facteur $10$ supplémentaire. Avec $\sigma^2 = 1$, on obtient $n \geqslant 2000$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \leqslant 0{,}05$ : isoler $n$ et calculer la borne.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La loi faible des grands nombres affirme que, pour un échantillon $(X_1, \ldots, X_n)$ d'une loi d'espérance $\mu$ et pour tout réel $\varepsilon > 0$ : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon\right) = \ ?$
[qcm]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$\varepsilon$[/option]
[option]$\dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La loi faible des grands nombres affirme que cette probabilité tend vers $0$ quand $n \to +\infty$. Autrement dit, la moyenne empirique se concentre autour de l'espérance pour les grands échantillons.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
La probabilité tend vers $0$, pas vers $1$ : c'est le fait que $M_n$ s'éloigne de $\mu$ qui devient improbable, pas le contraire.[/reponse]
[reponse motif="$\varepsilon$"]Non.
La limite ne dépend pas de $\varepsilon$ : pour tout $\varepsilon > 0$, la probabilité tend vers la même valeur. C'est un nombre précis.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$"]Non.
$\dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$ est une valeur fixe, indépendante de $n$, donc ne peut pas être la limite quand $n$ varie. La majoration de concentration $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$, elle, tend bien vers $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La loi faible des grands nombres exprime la convergence en probabilité de la moyenne empirique vers son espérance.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Comment l'inégalité de concentration se déduit-elle de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
[qcm]
[option]Ce sont deux résultats indépendants qui n'ont aucun lien.[/option]
[option]C'est l'inverse : Bienaymé-Tchebychev est une conséquence de l'inégalité de concentration.[/option]
[option correct="true"]En appliquant Bienaymé-Tchebychev à $M_n$ et en utilisant $E(M_n) = \mu$ et $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.[/option]
[option]L'inégalité de concentration s'applique uniquement aux lois normales, contrairement à Bienaymé-Tchebychev.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On applique Bienaymé-Tchebychev à la variable $M_n$, dont l'espérance est $\mu$ et l'écart-type est $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Cela donne $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{\sigma(M_n)^2}{\varepsilon^2} = \dfrac{\sigma^2/n}{\varepsilon^2} = \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$.[/reponse]
[reponse motif="Ce sont deux résultats indépendants qui n'ont aucun lien."]Non.
L'inégalité de concentration n'est qu'une application directe de Bienaymé-Tchebychev à la moyenne empirique. Le lien est essentiel pour la démonstration.[/reponse]
[reponse motif="C'est l'inverse : Bienaymé-Tchebychev est une conséquence de l'inégalité de concentration."]Non.
L'ordre logique est l'inverse : Bienaymé-Tchebychev est plus générale (toute v.a.) et la concentration en est un cas particulier appliqué à $M_n$.[/reponse]
[reponse motif="L'inégalité de concentration s'applique uniquement aux lois normales, contrairement à Bienaymé-Tchebychev."]Non.
Les deux inégalités sont valables pour toute variable aléatoire admettant une espérance et une variance, sans hypothèse de loi particulière.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La démonstration figure au cours : appliquer Bienaymé-Tchebychev à $M_n$ dont les paramètres sont connus.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance $10\,000$ fois une pièce supposée équilibrée et on note $F_n$ la fréquence empirique de « Pile ». Pour cette loi de Bernoulli, $\mu = 0{,}5$ et $\sigma^2 = 0{,}25$. Majorer $p\!\left(|F_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}02\right)$ par l'inégalité de concentration.
[qcm]
[option]$0{,}25$[/option]
[option correct="true"]$0{,}0625$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option]$6{,}25$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On applique la formule avec $\sigma^2 = 0{,}25$, $n = 10\,000$ et $\varepsilon^2 = 0{,}0004$ :
$p\!\left(|F_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}02\right) \leqslant \dfrac{0{,}25}{10\,000 \times 0{,}0004} = \dfrac{0{,}25}{4} = 0{,}0625$.
La fréquence empirique a donc moins de $6{,}25\,\%$ de chances de s'écarter de plus de $0{,}02$ de $0{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25$"]Non.
$0{,}25 = \sigma^2$ : le facteur $\dfrac{1}{n\varepsilon^2}$ a été oublié. Sans la taille $n$ très grande, l'inégalité ne dirait pas grand-chose.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ ressemble à $\mu$ : la majoration n'est pas la moyenne. Recalculer $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ avec les valeurs données.[/reponse]
[reponse motif="$6{,}25$"]Non.
$6{,}25 = \dfrac{0{,}25}{0{,}04}$ : il manque la taille $n$ au dénominateur. De plus, une probabilité ne peut pas dépasser $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ avec $\sigma^2 = 0{,}25$, $n = 10\,000$ et $\varepsilon = 0{,}02$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]