Vrai/Faux : Règles de l’arbre pondéré

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les règles de l'arbre pondéré, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère l'arbre pondéré incomplet ci-dessous :

Arbre pondere avec p(A)=0,4 et branche A-barre manquante

Affirmation : La probabilité manquante sur la branche menant à $\overline{A}$ est $0{,}6$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$.
Donc $p(\overline{A}) = 1 - p(A) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : les probabilités portées par les branches issues d'un même nœud doivent sommer à $1$.
Ici, du nœud racine partent les deux branches $A$ et $\overline{A}$ : leurs poids doivent donc se compléter à $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud étant égale à $1$, on a $p(\overline{A}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'arbre pondéré ci-dessous :

Arbre pondere avec p(A)=0,3 et p_A(B)=0,5

Affirmation : $p(A \cap B) = 0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La probabilité d'un chemin se calcule en multipliant les poids des branches successives, pas en les additionnant.
On a donc $p(A \cap B) = 0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}15$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à la règle qui s'applique le long d'un chemin : ce n'est pas une addition.
Pour passer de la racine au nœud final $B$ via $A$, il faut combiner les deux poids successifs.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : $p(A \cap B) = 0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}15$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On reprend l'arbre pondéré précédent :

Arbre pondere avec p(A)=0,3 et p_A(B)=0,5 - lecture directe

Affirmation : $p_A(B) = 0{,}5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Sur un arbre pondéré, le poids d'une branche du second niveau est directement la probabilité conditionnelle.
La branche $A \to B$ porte $0{,}5$, donc $p_A(B) = 0{,}5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de chercher à recalculer ce qui est déjà écrit sur l'arbre.
Sur les branches du second niveau d'un arbre pondéré, on lit directement les probabilités conditionnelles, pas l'inverse.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Sur un arbre pondéré, $p_A(B)$ se lit directement sur la branche conditionnelle issue de $A$ menant à $B$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère toujours le même arbre :

Arbre pondere - somme des chemins menant a B

Affirmation : $p(B) = (0{,}3 \times 0{,}5) \times (0{,}7 \times 0{,}6) = 0{,}063$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La probabilité d'un événement final s'obtient en additionnant les probabilités des chemins qui y mènent, pas en les multipliant.
Ici $p(B) = 0{,}3 \times 0{,}5 + 0{,}7 \times 0{,}6 = 0{,}15 + 0{,}42 = 0{,}57$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre les deux règles de l'arbre : l'une vaut le long d'un chemin, l'autre entre les chemins.
Multiplier deux probabilités déjà petites donne forcément un résultat encore plus petit, ce qui est suspect ici.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent : $p(B) = 0{,}3 \times 0{,}5 + 0{,}7 \times 0{,}6 = 0{,}57$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'arbre pondéré suivant :

Arbre pondere avec p(A)=0,2 et p_A(B)=0,4

Affirmation : La somme $0{,}2 + 0{,}4$ vaut $0{,}6$, donc la règle des branches issues d'un même nœud n'est pas respectée sur cet arbre.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La règle ne concerne que les branches qui partent du même nœud.
Or $0{,}2$ est sur une branche du premier niveau (issue de la racine) et $0{,}4$ est sur une branche du second niveau (issue de $A$) : ces deux branches ne partent pas du même nœud, on ne doit pas les sommer.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à bien identifier les nœuds de départ avant d'appliquer la règle de la somme.
Deux branches qui se suivent le long d'un chemin ne partent pas du même nœud : seules les branches qui rayonnent depuis un même point peuvent être sommées.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La règle « somme égale à $1$ » ne concerne que les branches issues d'un même nœud. Les poids $0{,}2$ et $0{,}4$ sont portés par deux branches successives (différents nœuds de départ), il n'y a aucune raison qu'ils se complètent à $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'arbre pondéré incomplet ci-dessous, où certaines probabilités sont à compléter :

Arbre pondere incomplet avec p(A)=0,6 et p_A(B-barre)=0,7

Affirmation : La probabilité du chemin $A \to B$ vaut $p(A \cap B) = 0{,}18$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On complète d'abord la branche manquante issue de $A$ : $p_A(B) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$.
Puis on multiplie le long du chemin : $p(A \cap B) = 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}18$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de croire qu'il manque trop d'informations pour conclure.
En réalité, la règle de la somme des branches issues d'un même nœud permet de retrouver la probabilité conditionnelle absente, et la règle du produit le long d'un chemin termine le calcul.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On complète la branche issue de $A$ : $p_A(B) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$, puis on multiplie le long du chemin : $p(A \cap B) = 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}18$.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Formule de Bayes et tests diagnostiques

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : formule de Bayes, tests diagnostiques (sensibilité, spécificité, VPP, VPN) et lecture de tableaux croisés. Choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Une maladie touche $2\,\%$ d'une population. Un test de dépistage est positif chez $90\,\%$ des malades et chez $5\,\%$ des personnes saines.
On note $M$ : « être malade » et $T$ : « le test est positif ».
Quelle est la probabilité $p(T)$ qu'un individu pris au hasard ait un test positif ?
[qcm]
[option]$0{,}9$[/option]
[option]$0{,}05$[/option]
[option correct="true"]$0{,}067$[/option]
[option]$0{,}049$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On applique la formule des probabilités totales avec la partition $\{M;\overline{M}\}$ :
$p(T)=p(M)\times p_M(T)+p(\overline{M})\times p_{\overline{M}}(T)$
$p(T)=0{,}02\times 0{,}9+0{,}98\times 0{,}05=0{,}018+0{,}049=0{,}067$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}9$"]Non.
Cette valeur est la sensibilité $p_M(T)$ du test, pas $p(T)$.
$p(T)$ se calcule en pondérant par les probabilités $p(M)$ et $p(\overline{M})$ via la formule des probabilités totales.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}05$"]Non.
Cette valeur est $p_{\overline{M}}(T)$, la probabilité d'un test positif chez une personne saine.
Pour obtenir $p(T)$, il faut prendre en compte les deux branches de l'arbre $M$ et $\overline{M}$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}049$"]Non.
Tu as calculé uniquement $p(\overline{M}\cap T)=0{,}98\times 0{,}05$ en oubliant la branche $M$.
La formule des probabilités totales additionne $p(M\cap T)$ et $p(\overline{M}\cap T)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut appliquer la formule des probabilités totales : $p(T)=p(M)\times p_M(T)+p(\overline{M})\times p_{\overline{M}}(T)$.
Avec les valeurs de l'énoncé, on obtient $0{,}02\times 0{,}9+0{,}98\times 0{,}05=0{,}067$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On reprend la situation précédente : $p(M)=0{,}02$, $p_M(T)=0{,}9$, $p_{\overline{M}}(T)=0{,}05$ et $p(T)=0{,}067$.
Une personne est testée positive. Quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade, à $10^{-3}$ près ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}269$[/option]
[option]$0{,}900$[/option]
[option]$0{,}018$[/option]
[option]$0{,}020$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On applique la formule de Bayes (inversion du conditionnement) :
$p_T(M)=\dfrac{p(M)\times p_M(T)}{p(T)}=\dfrac{0{,}02\times 0{,}9}{0{,}067}=\dfrac{0{,}018}{0{,}067}\approx 0{,}269$.
La rareté de la maladie fait chuter la VPP malgré une sensibilité élevée.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}900$"]Non.
$0{,}9$ est la sensibilité $p_M(T)$ du test, à ne pas confondre avec la valeur prédictive positive $p_T(M)$.
La sensibilité se lit dans le sens « test sachant malade », la VPP dans le sens inverse.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}018$"]Non.
$0{,}018=p(M\cap T)$ est la probabilité d'être à la fois malade et testé positif.
Pour obtenir $p_T(M)$, il faut encore diviser cette intersection par $p(T)$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}020$"]Non.
$0{,}02$ est la prévalence $p(M)$, c'est-à-dire la probabilité a priori d'être malade.
La probabilité a posteriori $p_T(M)$ tient compte de l'information « test positif » via la formule de Bayes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule de Bayes donne $p_T(M)=\dfrac{p(M)\times p_M(T)}{p(T)}$.
Avec les valeurs de l'énoncé, $p_T(M)=\dfrac{0{,}018}{0{,}067}\approx 0{,}269$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une étude portant sur $1\,000$ personnes, on a relevé les résultats d'un test de dépistage selon le statut de la maladie $M$ :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & M & \overline{M} & \textbf{Total} \\ \hline T & 45 & 38 & 83 \\ \hline \overline{T} & 5 & 912 & 917 \\ \hline \textbf{Total} & 50 & 950 & 1\,000 \\ \hline \end{array}$$

Quelle est la sensibilité du test, c'est-à-dire $p_M(T)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{45}{83}\approx 0{,}542$[/option]
[option]$\dfrac{45}{1\,000}=0{,}045$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{45}{50}=0{,}9$[/option]
[option]$\dfrac{5}{50}=0{,}1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La sensibilité est $p_M(T)=\dfrac{p(M\cap T)}{p(M)}$.
Dans la colonne $M$ : $50$ malades, dont $45$ ont un test positif.
$p_M(T)=\dfrac{45}{50}=0{,}9$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{45}{83}\approx 0{,}542$"]Pas tout à fait.
Tu as divisé par le total de la ligne $T$ ($83$) au lieu du total de la colonne $M$ ($50$).
Ce résultat correspond à la VPP $p_T(M)$, pas à la sensibilité.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{45}{1\,000}=0{,}045$"]Non.
Tu as divisé par l'effectif total ($1\,000$) au lieu de l'effectif des malades.
La sensibilité est une probabilité conditionnelle : on se restreint à la sous-population des malades.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{50}=0{,}1$"]Non.
$\dfrac{5}{50}$ est la probabilité d'un test négatif sachant qu'on est malade, c'est $p_M(\overline{T})$.
La sensibilité concerne le test positif chez les malades.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la sensibilité, on se place dans la sous-population des malades (colonne $M$) et on calcule la part de tests positifs.
Avec ce tableau, $p_M(T)=\dfrac{45}{50}=0{,}9$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On reprend le tableau précédent.

Une personne a un test positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit malade (valeur prédictive positive), à $10^{-3}$ près ?
[qcm]
[option]$0{,}900$[/option]
[option]$0{,}045$[/option]
[option]$0{,}458$[/option]
[option correct="true"]$0{,}542$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La VPP est $p_T(M)=\dfrac{p(M\cap T)}{p(T)}$.
Dans la ligne $T$ : $83$ tests positifs au total, dont $45$ chez des malades.
$p_T(M)=\dfrac{45}{83}\approx 0{,}542$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}900$"]Non.
$0{,}9$ est la sensibilité $p_M(T)$, pas la valeur prédictive positive.
Sensibilité et VPP sont deux conditionnelles inverses : il faut diviser par le bon total.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}045$"]Non.
Tu as divisé par l'effectif total $1\,000$ au lieu du total des tests positifs.
La VPP est une probabilité conditionnelle : on se restreint aux personnes testées positives.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}458$"]Non.
$\dfrac{38}{83}$ est la probabilité d'être sain sachant que le test est positif, c'est-à-dire $p_T(\overline{M})$.
La VPP concerne les malades parmi les positifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la VPP, on se place dans la ligne des tests positifs et on calcule la part des malades.
Avec ce tableau, $p_T(M)=\dfrac{45}{83}\approx 0{,}542$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On reprend le même tableau.

Quelle est la spécificité du test, c'est-à-dire $p_{\overline{M}}(\overline{T})$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{912}{917}\approx 0{,}995$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{912}{950}\approx 0{,}960$[/option]
[option]$\dfrac{912}{1\,000}=0{,}912$[/option]
[option]$\dfrac{38}{950}=0{,}040$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La spécificité est $p_{\overline{M}}(\overline{T})=\dfrac{p(\overline{M}\cap \overline{T})}{p(\overline{M})}$.
Dans la colonne $\overline{M}$ : $950$ personnes saines, dont $912$ ont un test négatif.
$p_{\overline{M}}(\overline{T})=\dfrac{912}{950}\approx 0{,}960$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{912}{917}\approx 0{,}995$"]Non.
Tu as lu en ligne (total $917$ des tests négatifs) au lieu de lire en colonne (total $950$ des personnes saines).
La spécificité conditionne par $\overline{M}$, donc le dénominateur est l'effectif de $\overline{M}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{912}{1\,000}=0{,}912$"]Non.
Tu as divisé par l'effectif total $1\,000$ au lieu du total des personnes saines.
La spécificité est une probabilité conditionnelle, pas une probabilité simple.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{38}{950}=0{,}040$"]Non.
$\dfrac{38}{950}$ est la probabilité d'un test positif chez une personne saine, c'est $p_{\overline{M}}(T)$.
La spécificité concerne le test négatif chez les personnes saines.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la spécificité, on se place dans la colonne $\overline{M}$ et on calcule la part de tests négatifs.
Avec ce tableau, $p_{\overline{M}}(\overline{T})=\dfrac{912}{950}\approx 0{,}960$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$A$ et $B$ sont deux événements de probabilités non nulles vérifiant :
$p(A)=0{,}4$, $p_A(B)=0{,}3$ et $p(B)=0{,}5$.
Quelle est la valeur de $p_B(A)$ ?
[qcm]
[option]$0{,}300$[/option]
[option]$0{,}120$[/option]
[option correct="true"]$0{,}240$[/option]
[option]$0{,}375$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On applique la formule de Bayes :
$p_B(A)=\dfrac{p(A)\times p_A(B)}{p(B)}=\dfrac{0{,}4\times 0{,}3}{0{,}5}=\dfrac{0{,}12}{0{,}5}=0{,}24$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}300$"]Non.
$0{,}3$ est $p_A(B)$, le conditionnement « dans l'autre sens ».
$p_B(A)$ et $p_A(B)$ ne sont pas égales en général : il faut passer par la formule de Bayes.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}120$"]Pas tout à fait.
Tu as calculé $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)=0{,}12$ mais tu n'as pas terminé.
Il reste à diviser par $p(B)$ pour obtenir $p_B(A)$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}375$"]Non.
Tu as divisé $p_A(B)$ par une mauvaise quantité.
La formule de Bayes part de l'intersection $p(A)\times p_A(B)$, pas de $p_A(B)$ seul, et divise par $p(B)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule de Bayes donne $p_B(A)=\dfrac{p(A)\times p_A(B)}{p(B)}$.
Avec les valeurs de l'énoncé, $p_B(A)=\dfrac{0{,}4\times 0{,}3}{0{,}5}=0{,}24$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Formule des probabilités totales

[enonce]
Ce QCM porte sur la formule des probabilités totales : reconnaître une partition, identifier les chemins menant à un événement et calculer $p(B)$ comme somme pondérée. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5\}$. Parmi les familles d'événements suivantes, laquelle forme une partition de l'univers ?
[qcm]
[option]$\{X\leqslant 2\}$ et $\{X\geqslant 2\}$[/option]
[option]$\{X<2\}$ et $\{X>2\}$[/option]
[option correct="true"]$\{X<2\}$, $\{X=2\}$ et $\{X>2\}$[/option]
[option]$\{X\geqslant 0\}$ et $\{X\leqslant 5\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Ces trois événements sont deux à deux disjoints et leur réunion couvre toutes les valeurs de $\{0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5\}$ : chaque issue appartient à un et un seul d'entre eux.[/reponse]
[reponse motif="$\{X\leqslant 2\}$ et $\{X\geqslant 2\}$"]Non.
Ces deux événements ne sont pas disjoints : la valeur $2$ appartient aux deux. Pour une partition, l'intersection doit être vide.[/reponse]
[reponse motif="$\{X<2\}$ et $\{X>2\}$"]Non.
Ces deux événements sont disjoints, mais ils ne recouvrent pas tout l'univers : la valeur $2$ n'appartient à aucun des deux.[/reponse]
[reponse motif="$\{X\geqslant 0\}$ et $\{X\leqslant 5\}$"]Non.
Ces deux événements valent chacun l'univers entier ($X$ est toujours entre $0$ et $5$). Une partition exige des sous-ensembles disjoints, pas le même ensemble répété.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une partition de $\Omega$ doit être formée d'événements deux à deux disjoints dont la réunion est $\Omega$. Vérifier les deux conditions.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère un événement $A$ de probabilité $p(A)=0{,}3$. On sait que $p_A(B)=0{,}4$ et $p_{\overline{A}}(B)=0{,}6$. Calculer $p(B)$.
[qcm]
[option]$0{,}12$[/option]
[option]$0{,}24$[/option]
[option correct="true"]$0{,}54$[/option]
[option]$1{,}0$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La famille $\{A~;~\overline{A}\}$ forme une partition de l'univers, donc :
$p(B)=p(A)\times p_A(B)+p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(B)$
$p(B)=0{,}3\times 0{,}4+0{,}7\times 0{,}6=0{,}12+0{,}42=0{,}54$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}12$"]Non.
$0{,}12=0{,}3\times 0{,}4=p(A\cap B)$ : ce n'est que la probabilité du chemin passant par $A$. Il manque le chemin passant par $\overline{A}$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}24$"]Non.
$0{,}24=0{,}4\times 0{,}6$ : c'est le produit des deux probabilités conditionnelles, sans tenir compte des poids $p(A)$ et $p(\overline{A})$. La formule des probabilités totales additionne les chemins, elle ne les multiplie pas.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}0$"]Non.
$1{,}0=0{,}4+0{,}6$ correspond à la somme des deux probabilités conditionnelles, sans pondération. Il faut multiplier chaque conditionnelle par la probabilité de l'événement correspondant avant de les additionner.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer la partition $\{A~;~\overline{A}\}$ et appliquer $p(B)=p(A)\times p_A(B)+p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(B)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Trois urnes $A$, $B$ et $C$ contiennent des boules rouges et noires :

urne $A$ : $2$ rouges et $3$ noires
urne $B$ : $3$ rouges et $1$ noire
urne $C$ : $1$ rouge et $4$ noires

On choisit une urne au hasard (de manière équiprobable), puis on tire une boule dans l'urne choisie. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
[qcm]
[option]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{10}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{9}{20}$[/option]
[option]$\dfrac{27}{20}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les événements « choisir l'urne $A$ », « choisir l'urne $B$ », « choisir l'urne $C$ » forment une partition, chacun de probabilité $\dfrac{1}{3}$. En notant $R$ : « tirer une boule rouge » :
$p(R)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{5}$
$p(R)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{8+15+4}{20}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{27}{20}=\dfrac{9}{20}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{5}$"]Non.
$\dfrac{2}{5}$ correspond à la probabilité de tirer une rouge sachant que l'on a choisi l'urne $A$ : c'est un seul des trois chemins. Il faut sommer les trois chemins menant à une boule rouge.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{10}$"]Non.
$\dfrac{1}{10}=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{5}\div ...$ : ce résultat vient d'un produit des conditionnelles. La formule des probabilités totales additionne les chemins, elle ne les multiplie pas entre eux.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{27}{20}$"]Non.
$\dfrac{27}{20}=\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{5}$ correspond à la somme des trois conditionnelles, sans tenir compte du poids $\dfrac{1}{3}$ de chaque urne. Une probabilité doit toujours être inférieure à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier la partition formée par le choix de l'urne, puis additionner les trois chemins pondérés menant à une boule rouge.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)=0{,}2$, $p_A(B)=0{,}5$ et $p_{\overline{A}}(B)=0{,}25$. Parmi les expressions ci-dessous, laquelle donne $p(B)$ ?
[qcm]
[option]$0{,}2\times 0{,}5$[/option]
[option]$0{,}5+0{,}25$[/option]
[option correct="true"]$0{,}2\times 0{,}5+0{,}8\times 0{,}25$[/option]
[option]$0{,}2\times 0{,}5\times 0{,}8\times 0{,}25$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est cela !
La partition est $\{A~;~\overline{A}\}$, avec $p(\overline{A})=1-0{,}2=0{,}8$. La formule donne :
$p(B)=p(A)\times p_A(B)+p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(B)=0{,}2\times 0{,}5+0{,}8\times 0{,}25$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2\times 0{,}5$"]Non.
$0{,}2\times 0{,}5=p(A)\times p_A(B)=p(A\cap B)$ : c'est la probabilité de l'intersection $A\cap B$, pas la probabilité totale de $B$. Attention à ne pas confondre $p(A\cap B)$ et $p(B)$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5+0{,}25$"]Non.
Cette somme additionne les conditionnelles sans les pondérer par $p(A)$ et $p(\overline{A})$. Chaque chemin de l'arbre se calcule en multipliant le long du chemin avant d'additionner les chemins.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2\times 0{,}5\times 0{,}8\times 0{,}25$"]Non.
La formule additionne les probabilités des chemins, elle ne les multiplie pas entre eux. Le produit s'effectue uniquement le long d'un même chemin.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier la partition $\{A~;~\overline{A}\}$, calculer $p(\overline{A})$ et appliquer $p(B)=p(A)\times p_A(B)+p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(B)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère l'arbre pondéré ci-dessous, où $\{A~;~\overline{A}\}$ forme une partition de l'univers :

Arbre pondéré pour la formule des probabilités totales

Calculer $p(B)$.
[qcm]
[option]$0{,}21$[/option]
[option]$0{,}28$[/option]
[option correct="true"]$0{,}58$[/option]
[option]$1{,}2$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les chemins menant à $B$ sont $A\cap B$ et $\overline{A}\cap B$. On lit sur l'arbre :
$p(B)=p(A)\times p_A(B)+p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(B)$
$p(B)=0{,}4\times 0{,}7+0{,}6\times 0{,}5=0{,}28+0{,}30=0{,}58$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}21$"]Non.
$0{,}21=0{,}7\times 0{,}3$ correspond au produit des deux probabilités conditionnelles partant de $A$ : ce n'est ni un chemin de l'arbre, ni une somme de chemins. Repérer les chemins qui aboutissent à $B$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}28$"]Non.
$0{,}28=0{,}4\times 0{,}7=p(A\cap B)$ : c'est la probabilité du chemin passant par $A$ uniquement. L'événement $B$ peut aussi être atteint en passant par $\overline{A}$, ce chemin a été oublié.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}2$"]Non.
$1{,}2=0{,}7+0{,}5$ correspond à la somme des deux probabilités conditionnelles aboutissant à $B$, sans pondération. Une probabilité ne peut jamais dépasser $1$ : c'est un signal qu'il manque les poids $p(A)$ et $p(\overline{A})$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer les deux chemins qui mènent à $B$ sur l'arbre, calculer chacun en multipliant le long du chemin, puis additionner les deux résultats.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une usine produit des pièces sur trois machines. La machine $M_1$ fabrique $50\,\%$ de la production avec un taux de défaut de $2\,\%$, la machine $M_2$ en fabrique $30\,\%$ avec un taux de défaut de $4\,\%$ et la machine $M_3$ en fabrique $20\,\%$ avec un taux de défaut de $5\,\%$. Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans la production soit défectueuse ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}032$[/option]
[option]$0{,}037$[/option]
[option]$0{,}11$[/option]
[option]$0{,}10$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Les événements « la pièce vient de $M_1$ », « de $M_2$ », « de $M_3$ » forment une partition. En notant $D$ : « la pièce est défectueuse » :
$p(D)=0{,}5\times 0{,}02+0{,}3\times 0{,}04+0{,}2\times 0{,}05$
$p(D)=0{,}010+0{,}012+0{,}010=0{,}032$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}037$"]Non.
$0{,}037\approx \dfrac{0{,}02+0{,}04+0{,}05}{3}$ correspond à la moyenne simple des trois taux de défaut, alors que les machines ne produisent pas la même proportion de la production. Il faut pondérer par la part de chaque machine.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}11$"]Non.
$0{,}11=0{,}02+0{,}04+0{,}05$ est la somme des trois taux de défaut, sans pondération par les parts $0{,}5$, $0{,}3$ et $0{,}2$. La somme brute des conditionnelles ne donne pas $p(D)$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}10$"]Non.
$0{,}10$ ne correspond à aucune lecture cohérente de l'arbre. Repérer la partition formée par les trois machines et écrire la formule complète avant de calculer.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier la partition $\{M_1~;~M_2~;~M_3\}$ et appliquer $p(D)=\sum_i p(M_i)\times p_{M_i}(D)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Probabilités – Bac blanc ES/L Sujet 3 – Maths-cours 2018

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Dans le cadre d'essais cliniques, on souhaite tester l'efficacité d'un nouveau médicament destiné à lutter contre l'excès de cholestérol.

L'expérimentation s'effectue sur un échantillon de patients présentant un excès de cholestérol dans le sang.

Lors de cet essai clinique, 70% des patients reçoivent le médicament tandis que les 30% restant reçoivent un placebo (comprimé sans principe actif).

À la fin de la période de test, le taux de cholestérol de chaque patient est mesuré et comparé au taux initial.

On observe une baisse significative du taux de cholestérol chez 85% des personnes ayant pris le médicament tandis que chez les personnes ayant pris le placebo, cette baisse n'est constatée que dans 20% des cas.

Le laboratoire pharmaceutique ayant réalisé cette étude affirme que « plus de 90% des patients chez qui une baisse significative a été constatée avaient pris le médicament ».

Que pensez-vous de cette affirmation ?
Justifier votre réponse.

Corrigé

Choisissons un patient au hasard et notons :

$ M $ : l'événement « le patient a pris le médicament » ;
$ \overline{M} $ : l'événement « le patient a pris le placebo » ;
$ B $ : l'événement « le taux de cholestérol du patient a baissé » ;
$ \overline{B} $ : l'événement « le taux de cholestérol du patient n'a pas baissé ».

Les données de l'énoncé permettent de construire l'arbre suivant :

Pour juger la validité de l'affirmation du laboratoire, il faut évaluer la probabilité qu'un patient ait pris le médicament, sachant que son taux de cholestérol a diminué.

Il faut calculer $ p_B(M) $.

D'après la formule des probabilités conditionnelles :

$ p_B(M)=\dfrac{p(B \cap M)}{p(B)} $.

Or :

$ p(B \cap M) = p(M) \times p_M(B)=0{,}7 \times 0{,}85 = 0{,}595 $ ;

et, d'après la formule des probabilités totales :

$ p(B)=p(M) \times p_M(B) + p(\overline{M}) p_{\overline{M}}(B) = 0{,}7 \times 0{,}85 +0{,}3 \times 0{,}2=0{,}655 $.

Par conséquent :

$ p_B(M)=\dfrac{0{,}595}{0{,}655} \approx 0{,}91 = 91\% $.

Cette probabilité est supérieure à 90% donc l'affirmation du laboratoire pharmaceutique est exacte.

Probabilités – Bac blanc ES/L Sujet 2 – Maths-cours 2018

Un cinéma de trois salles propose le choix entre les films A, B ou C. Suivant leur âge, les spectateurs payent leur place plein tarif ou bénéficient d'un tarif réduit.

Le directeur de la salle a constaté que :

30% des spectateurs bénéficient du tarif réduit (les 70% restant payant plein tarif) ;
45% des spectateurs payant plein tarif et 40% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film A ;
30% des spectateurs payant plein tarif et 37% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film B ;
25% des spectateurs payant plein tarif et 23% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film C.

On choisit au hasard un spectateur à la sortie du cinéma. On note :

$ R $ : l'événement « le spectateur bénéficie du tarif réduit » ;
$ A $ : l'événement « le spectateur a été voir le film A » ;
$ B $ : l'événement « le spectateur a été voir le film B » ;
$ C $ : l'événement « le spectateur a été voir le film C ».

Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
Montrer que la probabilité que le spectateur choisi vienne d'aller voir le film A est égale à $ 0{,}435 $.
On sait que le spectateur vient de voir le film A. Quelle est la probabilité qu'il bénéficie du tarif réduit ?
On choisit maintenant au hasard et de façon indépendante, trois spectateurs. On suppose que ces choix peuvent être assimilés à des tirages successifs avec remise.

On note $ X $ la variable aléatoire correspondant au nombre de ces spectateurs qui viennent de voir le film A.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par $ X $ ? Préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité $ p(X \geqslant 1) $. Interpréter cette probabilité dans le cadre de l'énoncé.

Corrigé

La situation peut être modélisée par l'arbre pondéré ci-après :

À retenir

Le total des probabilités figurant sur l'ensemble des branches partant d'un même nœud est toujours égal à 1.
La probabilité que le spectateur ait été voir le film A est $ p(A) $.

D'après la formule des probabilités totales :

$ p(A)=p(A\cap R)+p(A\cap \overline{R}) $
$ \phantom{p(A)}=p(R) \times p_R(A)+ p({\overline{R}}) \times p_{\overline{R}}(A) $
$ \phantom{p(A)}=0{,}3 \times 0{,}4 + 0{,}7 \times 0{,}45 = 0{,}435. $

Théorème

À retenir

Formule des probabilités totales :

Si les événements $ B_1, B_2, \cdots , B_n $ forment une partition de l'univers (c'est à dire regroupent toutes les éventualités) alors, pour tout événement $ A $ :

$ p(A)= p(A\cap B_1)+p(A\cap B_2) $

$ +\cdots+p(A\cap B_n). $

Un cas particulier très fréquent, dû au fait que $ B $ et $ \overline{B} $ forment une partition de l'univers, donne :

$ p(A)= p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B}). $
La probabilité demandée est $ p_A(R) $.

Propriété

En pratique

Très souvent, en probabilités, la première étape consiste à traduire la probabilité cherchée en utilisant les notations de l'énoncé.

Dans le cas présent, on sait que l'événement $ A $ est vérifié et on souhaite déterminer la probabilité de l'événement $ R $. On recherche donc $ p_A(R) $.
Théorème
Attention

Ne pas confondre :
- $ p(A\cap R) $ : probabilité que $ A $ et $ R $ se réalisent (alors que l'on n'a, a priori, aucune information concernant la réalisation de $ A $ ou de $ R $) ;
- $ p_A(R) $ : probabilité que $ R $ se réalise alors que l'on sait que $ A $ est réalisé.
D'après la formule des probabilités conditionnelles :

$ p_A(R)=\dfrac{p(A\cap R)}{p(A)}=\dfrac{0{,}3 \times 0{,}4}{0{,}435} =\dfrac{0{,}12}{0{,}435} \approx 0{,}276\ $ (à $ 10^{ - 3} $ près).
1. La variable aléatoire $ X $ suit une loi binomiale de paramètres $ {n=3} $ et $ {p=0{,}435} $.
  
  En effet :
  - on assimile l'expérience aux tirages successifs et avec remise de 3 spectateurs ;
  - pour chaque spectateur, deux issues sont possibles :
  - succès : le spectateur vient d'aller voir le film A (probabilité $ p=0{,}435 $) ;
  - échec : le spectateur ne vient pas d'aller voir le film A.
  - la variable aléatoire $ X $ comptabilise le nombre de succès.
2. L'événement contraire de $ (X \geqslant 1) $ est $ (X<1) $ c'est-à-dire $ (X=0) $.
  
  Théorème
  
  Attention
  
  L'événement contraire de ($ X \geqslant a $) est ($ X < a $) et non ($ X \leqslant a $).
  
  Comme $ X $ suit une loi binomiale :
  
  $ p(X=0)=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times 0{,}435^0 \times 0{,}565^{3} = 0{,}565^{3} $.
  
  Par conséquent :
  
  $ p(X \geqslant 1)=1 - p(X=0) =1 - 0{,}565^{3} \approx 0{,}820\ $ (à $ 10^{ - 3} $ près).

Probabilités – Bac ES/L Métropole Réunion 2016

Un téléphone portable contient en mémoire 3200 chansons archivées par catégories : rock, techno, rap, reggae ... dont certaines sont interprétées en français.

Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock.

Une des fonctionnalités du téléphone permet d'écouter de la musique en mode « lecture aléatoire » : les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l'ensemble du répertoire.

Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture.

On note :

$ R $ l'évènement : « la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock »
$ F $ l'évènement : « la chanson écoutée est interprétée en français »

Calculer $ p(R) $, la probabilité de l'évènement $ R $.
35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français ; traduire cette donnée en utilisant les évènements $ R $ et $ F $.
Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu'elle soit interprétée en français.
Parmi toutes les chansons enregistrées 38,5 % sont interprétées en français.

Montrer que $ p\left(F \cap \overline R\right) = 0{,}28 $.
En déduire $ p_{\overline R}(F) $ et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat.

Corrigé

On est dans une situation d'équiprobabilité.
Il y a 960 chansons de catégorie rock sur un total de 3200 chansons.

$ p(R) = \dfrac{960}{3200} = 0{,}3 $
L'énoncé indique que 35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français.
Il s'agit d'une probabilité conditionnelle : la probabilité que la chanson soit en français sachant qu'elle est de catégorie rock est 0,35.

$ p_R(F) = 0{,}35 $
On cherche $ p(R \cap F) $.
D'après la formule des probabilités conditionnelles :
$ p(R \cap F) = p(R) \times p_R(F) $
$ p(R \cap F) = 0{,}3 \times 0{,}35 $

$ p(R \cap F) = 0{,}105 $
On sait que 38,5 % de toutes les chansons sont en français, donc $ p(F) = 0{,}385 $.
Les évènements $ R $ et $ \overline{R} $ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales :
$ p(F) = p(R \cap F) + p(\overline{R} \cap F) $
Soit :
$ 0{,}385 = 0{,}105 + p(F \cap \overline{R}) $
$ p(F \cap \overline{R}) = 0{,}385 - 0{,}105 $

$ p(F \cap \overline{R}) = 0{,}28 $
On cherche $ p_{\overline{R}}(F) $.
Par définition :
$ p_{\overline{R}}(F) = \dfrac{p(F \cap \overline{R})}{p(\overline{R})} $
On a $ p(\overline{R}) = 1 - p(R) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7 $.
$ p_{\overline{R}}(F) = \dfrac{0{,}28}{0{,}7} $

$ p_{\overline{R}}(F) = 0{,}4 $

Cela signifie que parmi les chansons qui ne sont pas de la catégorie rock, 40 % sont interprétées en français.

Probabilités Variables aléatoires – Bac S Liban 2008

Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.

On sait que :

15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.
Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.
Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes

On désigne par E l'évènement « les sacs de pommes sont vendus sur l'exploitation » et par V l'évènement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes ».

L'évènement contraire de l'évènement A sera noté $ \overline{A} $.

On achète de façon aléatoire un sac de pommes.

Traduire les trois données de l'énoncé en termes de probabilités.
Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
Définir par une phrase l'évènement $ E \cap V $ puis calculer sa probabilité.
Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à $ 0,205 $.
Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété.
Calculer la probabilité qu'il ait été acheté directement sur l'exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près.
Des producteurs, interrogés lors de l'enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs. Chaque sac, qu'il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l'exploitation agricole et 3,40 euros dans des supermarchés.
Calculer le montant total des ventes qu'ils peuvent prévoir.

Corrigé

Traduisons les données de l'énoncé en termes de probabilités :
- « 15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole » : $ p(E) = 0,15 $.
- « Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes » : $ p_E(V) = 0,8 $.
- « Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes » : $ p_{\overline{E}}(V) = 0,1 $.
Arbre pondéré traduisant la situation :
L'évènement $ E \cap V $ est : « le sac est vendu sur l'exploitation et contient des variétés différentes ».

Sa probabilité est :

$ p(E \cap V) = p(E) \times p_E(V) = 0,15 \times 0,8 = 0,12 $.
D'après la formule des probabilités totales :

$ p(V) = p(E \cap V) + p(\overline{E} \cap V) $

$ p(V) = p(E) \times p_E(V) + p(\overline{E}) \times p_{\overline{E}}(V) $

$ p(V) = 0,12 + 0,85 \times 0,1 = 0,12 + 0,085 = 0,205 $.

La probabilité que le sac contienne des pommes de variétés différentes est bien $ 0,205 $.
On cherche la probabilité conditionnelle $ p_{\overline{V}}(E) $.

$ p_{\overline{V}}(E) = \dfrac{p(E \cap \overline{V})}{p(\overline{V})} $

Or $ p(\overline{V}) = 1 - p(V) = 1 - 0,205 = 0,795 $.

Et $ p(E \cap \overline{V}) = p(E) \times p_E(\overline{V}) = 0,15 \times 0,2 = 0,03 $.

Donc :

$ p_{\overline{V}}(E) = \dfrac{0,03}{0,795} \approx 0,038 $.

La probabilité que le sac provienne de l'exploitation sachant qu'il ne contient qu'une variété est environ $ 0,038 $.
Calculons d'abord le nombre de sacs vendus sur l'exploitation et en supermarché :
- Nombre de sacs sur l'exploitation : $ 45\,000 \times 0,15 = 6\,750 $ sacs.
- Nombre de sacs en supermarché : $ 45\,000 \times 0,85 = 38\,250 $ sacs.
Le montant total des ventes est :

$ M = 6\,750 \times 0,80 + 38\,250 \times 3,40 $

$ M = 5\,400 + 130\,050 = 135\,450 $ euros.

Le montant total des ventes prévisible est de $ 135\,450 $ euros.

Probabilités – Bac ES/L Centres étrangers 2013

Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.

On sait que :

15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.
Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.
Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes

On désigne par E l'évènement « les sacs de pommes sont vendus sur l'exploitation » et par V l'évènement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes ».

L'évènement contraire de l'évènement A sera noté $ \overline{A} $.

On achète de façon aléatoire un sac de pommes.

Traduire les trois données de l'énoncé en termes de probabilités.
Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
Définir par une phrase l'évènement $ E \cap V $ puis calculer sa probabilité.
Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à $ 0{,}205 $.
Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété.

Calculer la probabilité qu'il ait été acheté directement sur l'exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près.
Des producteurs, interrogés lors de l'enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs. Chaque sac, qu'il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l'exploitation agricole et 3,40 euros dans des supermarchés.

Calculer le montant total des ventes qu'ils peuvent prévoir.

Corrigé

Traduction des données de l'énoncé :
- « 15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole » se traduit par :
  
  $ P(E) = 0{,}15 $
- « Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes » se traduit par :
  
  $ P_E(V) = 0{,}8 $
- « Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes » se traduit par :
  
  $ P_{\overline{E}}(V) = 0{,}1 $
Arbre pondéré représentant la situation :
L'évènement $ E \cap V $ est défini par la phrase : « Le sac de pommes a été acheté directement sur l'exploitation agricole ET il contient des pommes de variétés différentes ».

Sa probabilité est :

$ P(E \cap V) = P(E) \times P_E(V) = 0{,}15 \times 0{,}8 = 0{,}12 $
D'après la formule des probabilités totales :

$ P(V) = P(E \cap V) + P(\overline{E} \cap V) $

On calcule $ P(\overline{E} \cap V) $ :

$ P(\overline{E} \cap V) = P(\overline{E}) \times P_{\overline{E}}(V) = 0{,}85 \times 0{,}1 = 0{,}085 $

Donc :

$ P(V) = 0{,}12 + 0{,}085 = 0{,}205 $
« Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété » est l'évènement $ \overline{V} $.

On cherche la probabilité conditionnelle $ P_{\overline{V}}(E) $ :

$ P_{\overline{V}}(E) = \dfrac{P(E \cap \overline{V})}{P(\overline{V})} $
- $ P(E \cap \overline{V}) = P(E) \times P_E(\overline{V}) = 0{,}15 \times 0{,}2 = 0{,}03 $
- $ P(\overline{V}) = 1 - P(V) = 1 - 0{,}205 = 0{,}795 $
D'où :

$ P_{\overline{V}}(E) = \dfrac{0{,}03}{0{,}795} \approx 0{,}038 $
Calcul des ventes prévues :
- Nombre de sacs vendus sur l'exploitation :
  $ 45\,000 \times 0{,}15 = 6\,750 $
- Montant des ventes sur l'exploitation :
  $ 6\,750 \times 0{,}80 = 5\,400 $ euros
- Nombre de sacs vendus en supermarchés :
  $ 45\,000 \times 0{,}85 = 38\,250 $
- Montant des ventes en supermarchés :
  $ 38\,250 \times 3{,}40 = 130\,050 $ euros
Montant total des ventes :

$ 5\,400 + 130\,050 = 135\,450 $ euros

Probabilités – Bac ES/L Polynésie 2013

Une agence de voyage propose des formules week-end à Londres au départ de Paris pour lesquelles le transport et l'hôtel sont compris. Les clients doivent choisir entre les deux formules : « avion+hôtel » ou « train+hôtel » et peuvent compléter ou non leur formule par une option « visites guidées ».

Une étude a produit les données suivantes :

40% des clients optent pour la formule « avion+hôtel » et les autres pour la formule « train+hôtel » ;
parmi les clients ayant choisi la formule « train+hôtel », 50% choisissent aussi l'option « visites guidées » ;
12% des clients ont choisi la formule « avion+hôtel » et l'option « visites guidées ».

On interroge au hasard un client de l'agence ayant souscrit à une formule week-end à Londres. On note :

$ A $ l'événement : le client interrogé a choisi la formule « avion+hôtel » ;
$ Z $ l'événement : le client interrogé a choisi la formule « train+hôtel » ;
$ V $ l'événement : le client interrogé a choisi l'option « visites guidées ».

1. Quelle est la probabilité de l'événement : le client interrogé a choisi la formule « avion+hôtel » et l'option « visites guidées » ?
2. Calculer la probabilité $ P_{A}\left(V\right) $.
3. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré
1. Montrer que la probabilité pour que le client interrogé ait choisi l'option « visites guidées » est égale à 0,42.
2. Calculer la probabilité pour que le client interrogé ait pris l'avion sachant qu'il n'a pas choisi l'option « visites guidées ». Arrondir le résultat au millième
L'agence pratique les prix (par personne) suivants :
- Formule « avion+hôtel » : 390 €
- Formule « train+hôtel » : 510 €
- Option « visites guidées » : 100 €
Quel montant du chiffre d'affaires l'agence de voyage peut-elle espérer obtenir avec 50 clients qui choisissent un week-end à Londres

Corrigé

1. D'après l'énoncé, 12% des clients ont choisi la formule « avion+hôtel » et l'option « visites guidées ».
  Cela correspond à l'événement $ A \cap V $.
  
  La probabilité de cet événement est donc :
  
  $ P(A \cap V) = 0{,}12 $
2. On cherche la probabilité $ P_{A}(V) $, c'est-à-dire la probabilité que le client ait choisi l'option « visites guidées » sachant qu'il a choisi la formule « avion+hôtel ».
  D'après la formule des probabilités conditionnelles :
  
  $ P_{A}(V) = \dfrac{P(A \cap V)}{P(A)} $
  
  On sait que $ P(A) = 0{,}40 $ (40% des clients) et $ P(A \cap V) = 0{,}12 $.
  
  $ P_{A}(V) = \dfrac{0{,}12}{0{,}40} = 0{,}3 $
3. Arbre pondéré représentant la situation :
  L'événement $ Z $ est le contraire de l'événement $ A $, donc $ P(Z) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6 $.
  On sait aussi que $ P_Z(V) = 0{,}5 $ (50% des clients « train+hôtel » choisissent l'option).
1. L'événement $ V $ est la réunion des événements disjoints $ A \cap V $ et $ Z \cap V $.
  D'après la formule des probabilités totales :
  
  $ P(V) = P(A \cap V) + P(Z \cap V) $
  
  On a déjà $ P(A \cap V) = 0{,}12 $.
  Calculons $ P(Z \cap V) $ :
  
  $ P(Z \cap V) = P(Z) \times P_Z(V) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}30 $
  
  On obtient donc :
  
  $ P(V) = 0{,}12 + 0{,}30 = 0{,}42 $
2. On cherche la probabilité que le client ait pris l'avion sachant qu'il n'a pas choisi l'option visites guidées, soit $ P_{\overline{V}}(A) $.
  
  $ P_{\overline{V}}(A) = \dfrac{P(A \cap \overline{V})}{P(\overline{V})} $
  
  Calculons $ P(A \cap \overline{V}) $ :
  
  $ P(A \cap \overline{V}) = P(A) \times P_A(\overline{V}) = 0{,}4 \times 0{,}7 = 0{,}28 $
  
  On sait que $ P(\overline{V}) = 1 - P(V) = 1 - 0{,}42 = 0{,}58 $.
  
  $ P_{\overline{V}}(A) = \dfrac{0{,}28}{0{,}58} \approx 0{,}483 $
Calculons d'abord l'espérance du prix payé par un client, notée $ E(X) $.
Les quatre combinaisons possibles et leurs probabilités sont :
- Avion + Hôtel + Visites : $ 390 + 100 = 490 $ € avec une probabilité $ P(A \cap V) = 0{,}12 $
- Avion + Hôtel seul : 390 € avec une probabilité $ P(A \cap \overline{V}) = 0{,}28 $
- Train + Hôtel + Visites : $ 510 + 100 = 610 $ € avec une probabilité $ P(Z \cap V) = 0{,}30 $
- Train + Hôtel seul : 510 € avec une probabilité $ P(Z \cap \overline{V}) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}30 $
L'espérance est :
$ E(X) = 490 \times 0{,}12 + 390 \times 0{,}28 + 610 \times 0{,}30 + 510 \times 0{,}30 $
$ E(X) = 58{,}8 + 109{,}2 + 183 + 153 $
$ E(X) = 504 $ €

Pour 50 clients, le chiffre d'affaires espéré est :

$ 50 \times 504 = 25\,200 $ €

Probabilités – Bac ES/L Liban 2013

Un propriétaire d'une salle louant des terrains de squash s'interroge sur le taux d'occupation de ses terrains.

Sachant que la location d'un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine).

Dans le cadre de cette répartition, 70% des heures sont creuses.

Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s'apercevoir que :

lorsque l'heure est creuse, 20% des terrains sont occupés ;
lorsque l'heure est pleine, 90% des terrains sont occupés.

On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les évènements :

$ C $ : « l'heure est creuse »
$ T $ : « le terrain est occupé »

Représenter cette situation par un arbre de probabilités.
Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé et que l'heure soit creuse.
Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé.
Montrer que la probabilité que l'heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à $ \dfrac{27}{41} $.
Dans le but d'inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d'un terrain, des tarifs différenciés :
- 10 € pour une heure pleine,
- 6 € pour une heure creuse.
On note $ X $ la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d'un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, $ X $ prend 3 valeurs :
- 10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine,
- 6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse,
- 0 lorsque le terrain n'est pas occupé.
Construire le tableau décrivant la loi de probabilité de $ X $.
Déterminer l'espérance de $ X $.
La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine.
Calculer la recette hebdomadaire moyenne de la salle.

Corrigé

Arbre de probabilités décrivant la situation :
$ p(C \cap T) = p(C) \times p_C(T) = 0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}14 $.
$ p(T) = p(C \cap T) + p(\overline{C} \cap T) = 0{,}14 + p(\overline{C}) \times p_{\overline{C}}(T) = 0{,}14 + 0{,}3 \times 0{,}9 = 0{,}14 + 0{,}27 = 0{,}41 $.
$ p_T(\overline{C}) = \dfrac{p(\overline{C} \cap T)}{p(T)} = \dfrac{0{,}27}{0{,}41} = \dfrac{27}{41} $.
$ X_1 = 10 $ avec $ p(X_1) = p(\overline{C} \cap T) = 0{,}27 $.
$ X_2 = 6 $ avec $ p(X_2) = p(C \cap T) = 0{,}14 $.
$ X_3 = 0 $ avec $ p(X_3) = p(\overline{T}) = 1 - p(T) = 1 - 0{,}41 = 0{,}59 $.

On obtient le tableau suivant :

$ X_i $ $ 10 $ $ 6 $ $ 0 $

$ p(X_i) $ $ 0{,}27 $ $ 0{,}14 $ $ 0{,}59 $
L'espérance de $ X $ est :

$ E(X) = \sum_{i=1}^{3} p(X_i) \times X_i = 0{,}27 \times 10 + 0{,}14 \times 6 + 0{,}59 \times 0 = 3{,}54 $.

Cette valeur représente ce que rapporte en moyenne, sur une longue période, la location d'un terrain de squash pendant une heure.
La recette moyenne hebdomadaire de la salle est égale à :

$ E(X) \times 10 \times 70 = 2478 $ €.

$ X_i $	$ 10 $	$ 6 $	$ 0 $
$ p(X_i) $	$ 0{,}27 $	$ 0{,}14 $	$ 0{,}59 $

Vrai/Faux : Règles de l’arbre pondéré

QCM Bilan : Formule de Bayes et tests diagnostiques

QCM : Formule des probabilités totales

Probabilités – Bac blanc ES/L Sujet 3 – Maths-cours 2018

Corrigé

Probabilités – Bac blanc ES/L Sujet 2 – Maths-cours 2018

Corrigé

Théorème

Propriété

Théorème

Théorème

Probabilités – Bac ES/L Métropole Réunion 2016

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Probabilités Variables aléatoires – Bac S Liban 2008

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Probabilités – Bac ES/L Polynésie 2013

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Probabilités – Bac ES/L Liban 2013

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