Construire une frise et un pavage à partir d’un motif
Sur le quadrillage ci-dessous, on a tracé un motif : un carré de 2 carreaux de côté, partagé par une diagonale en deux triangles, l'un bleu et l'autre orange. Le vecteur $\vec{u}$ représenté correspond à un déplacement de 3 carreaux vers la droite.
1. Construire la frise obtenue en reproduisant le motif par la translation de vecteur $\vec{u}$, de façon à obtenir 4 motifs alignés au total.
2. On veut maintenant réaliser un pavage. À partir du motif de départ, on utilise deux translations : la translation de vecteur $\vec{a}$ (2 carreaux vers la droite) et la translation de vecteur $\vec{b}$ (2 carreaux vers le haut). Construire le pavage qui recouvre un rectangle de 6 carreaux de large sur 4 carreaux de haut, soit 3 motifs en largeur et 2 motifs en hauteur.
1. La frise
On applique la translation de vecteur $\vec{u}$ (3 carreaux vers la droite) au motif, puis on recommence à partir de chaque nouvelle image. Les motifs occupent les positions de gauche à droite, espacés de 3 carreaux. On obtient une frise de 4 motifs identiques, tous orientés de la même manière (la translation ne retourne pas le motif).
2. Le pavage
On reproduit le motif dans deux directions : vers la droite par la translation de vecteur $\vec{a}$ (2 carreaux) et vers le haut par la translation de vecteur $\vec{b}$ (2 carreaux). Comme le côté du motif mesure exactement 2 carreaux, les motifs se touchent sans laisser de trou ni se superposer. On obtient un pavage de $3 \times 2 = 6$ motifs.
Une frise n'utilise qu'une seule translation (une seule direction), tandis qu'un pavage en utilise deux et recouvre tout le plan.
QCM : Frises, pavages et vecteurs égaux
[enonce]
Ce QCM porte sur les frises, les pavages et les vecteurs égaux. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Dans une frise, comment le motif est-il reproduit ?
[qcm]
[option]Par une rotation autour d'un point fixe.[/option]
[option correct="true"]Par translation, dans une seule direction.[/option]
[option]Par translation, dans deux directions.[/option]
[option]Par symétrie axiale par rapport à une droite.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une frise est contenue dans une bande, entre deux droites parallèles : son motif se répète régulièrement dans une seule direction, en le faisant glisser par translation tout au long de la bande.[/reponse]
[reponse motif="Par une rotation autour d'un point fixe."]Non.
Dans une frise, le motif ne tourne pas : il garde la même orientation d'un bout à l'autre de la bande. Repenser au mouvement qui fait simplement glisser une figure sans la tourner.[/reponse]
[reponse motif="Par translation, dans deux directions."]Non.
Deux directions de répétition correspondent à un assemblage qui recouvre tout le plan, pas à un dessin contenu dans une bande. Combien de directions une bande propose-t-elle ?[/reponse]
[reponse motif="Par symétrie axiale par rapport à une droite."]Non.
La symétrie axiale retourne la figure comme dans un miroir. Dans une frise, le motif n'est pas retourné : il est seulement déplacé sans changer d'orientation.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser au mouvement qui fait simplement glisser le motif le long de la bande, sans le tourner ni le retourner, et au nombre de directions disponibles dans une bande.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
À quelle condition deux vecteurs sont-ils égaux ?
[qcm]
[option]Ils ont la même longueur.[/option]
[option]Ils ont la même direction et la même longueur.[/option]
[option correct="true"]Ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.[/option]
[option]Ils ont la même origine.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont à la fois la même direction, le même sens et la même longueur. Ces trois conditions doivent être réunies simultanément.[/reponse]
[reponse motif="Ils ont la même longueur."]Non.
La longueur seule ne suffit pas : deux flèches de même taille peuvent pointer dans des directions ou des sens différents. Combien de caractéristiques définissent un vecteur ?[/reponse]
[reponse motif="Ils ont la même direction et la même longueur."]Non.
Il manque une troisième condition. Deux vecteurs de même direction et même longueur peuvent pointer en sens opposés : revoir la définition complète d'un vecteur.[/reponse]
[reponse motif="Ils ont la même origine."]Non.
Deux vecteurs égaux peuvent très bien partir de points différents. Ce ne sont pas leurs origines qu'il faut comparer, mais leurs caractéristiques géométriques.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un vecteur est caractérisé par trois éléments. Revoir la définition d'un vecteur pour retrouver ces trois caractéristiques que deux vecteurs égaux doivent partager.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
$ABCD$ est un parallélogramme. À quel vecteur le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est-il égal ?
[qcm]
[option correct="true"]$\overrightarrow{DC}$[/option]
[option]$\overrightarrow{CD}$[/option]
[option]$\overrightarrow{BA}$[/option]
[option]$\overrightarrow{AD}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Dans le parallélogramme $ABCD$, les côtés $[AB]$ et $[DC]$ sont parallèles, de même longueur, et orientés dans le même sens : on a donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{CD}$"]Non.
$\overrightarrow{CD}$ a bien la même direction et la même longueur que $\overrightarrow{AB}$, mais regarder de plus près son sens : il va de $C$ vers $D$. Est-ce le même sens que de $A$ vers $B$ ?[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{BA}$"]Non.
$\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{AB}$ ont la même direction et la même longueur, mais ils sont opposés. Comparer le sens de la flèche dans chaque cas.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AD}$"]Non.
$[AD]$ est un autre côté du parallélogramme, qui n'a ni la même direction ni la même longueur que $[AB]$. Chercher le côté parallèle à $[AB]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans un parallélogramme, deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Repérer le côté parallèle à $[AB]$, puis vérifier que le sens correspond bien à celui de $A$ vers $B$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Sur la frise ci-dessous, le motif glisse d'un cran vers la droite. Par quel déplacement passe-t-on d'un motif au suivant ?
[qcm]
[option]2 carreaux vers la droite.[/option]
[option correct="true"]3 carreaux vers la droite.[/option]
[option]3 carreaux vers la droite et 1 vers le haut.[/option]
[option]4 carreaux vers la droite.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le vecteur $\vec{u}$ va d'un motif au suivant en se déplaçant horizontalement de 3 carreaux vers la droite, sans aucun déplacement vertical : les motifs restent à la même hauteur dans la bande.[/reponse]
[reponse motif="2 carreaux vers la droite."]Non.
Compter à nouveau les carreaux entre le début d'un motif et le début du motif suivant : l'écart est plus grand que 2.[/reponse]
[reponse motif="3 carreaux vers la droite et 1 vers le haut."]Non.
Les motifs sont tous à la même hauteur dans la bande. Vérifier s'il y a réellement un déplacement vertical entre deux motifs consécutifs.[/reponse]
[reponse motif="4 carreaux vers la droite."]Non.
Repérer un point précis du motif (par exemple son coin en bas à gauche) et compter combien de carreaux le séparent du même point sur le motif suivant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Choisir un point repère sur un motif, puis compter le nombre de carreaux horizontaux et verticaux qui le séparent du même point sur le motif suivant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Qu'est-ce qui distingue un pavage d'une frise ?
[qcm]
[option]Le pavage utilise des figures toutes différentes.[/option]
[option]Le pavage répète un motif dans une seule direction.[/option]
[option correct="true"]Le pavage répète un motif dans deux directions et recouvre tout le plan.[/option]
[option]Le pavage laisse des trous entre les figures.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Un pavage recouvre le plan entier, sans trou ni superposition, en reproduisant un motif par des translations dans deux directions. Une frise, elle, ne se développe que dans une seule direction le long d'une bande.[/reponse]
[reponse motif="Le pavage utilise des figures toutes différentes."]Non.
Un pavage repose au contraire sur un motif qui se répète. Penser à un carrelage ou à un mur de briques : le même élément revient régulièrement.[/reponse]
[reponse motif="Le pavage répète un motif dans une seule direction."]Non.
Une seule direction de répétition correspond à une frise. Combien de directions faut-il pour recouvrir entièrement une surface comme un sol ?[/reponse]
[reponse motif="Le pavage laisse des trous entre les figures."]Non.
Un pavage recouvre le plan sans trou ni superposition. Repenser à un carrelage : les dalles couvrent toute la surface sans espace vide.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer une frise (une bande) et un carrelage qui couvre tout un sol : penser au nombre de directions de répétition et au fait que la surface est entièrement recouverte.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Sur le quadrillage ci-dessous, lequel de ces vecteurs est égal au vecteur $\vec{u}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\vec{v}$[/option]
[option]$\vec{w}$[/option]
[option]$\vec{t}$[/option]
[option]Aucun de ces vecteurs.[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Le vecteur $\vec{v}$ se déplace de 2 carreaux vers la droite et 1 vers le haut, exactement comme $\vec{u}$ : même direction, même sens et même longueur, donc $\vec{u} = \vec{v}$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{w}$"]Non.
$\vec{w}$ se déplace bien de 2 carreaux horizontalement, mais observer son orientation verticale : monte-t-il ou descend-il ? Comparer son sens avec celui de $\vec{u}$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{t}$"]Non.
$\vec{t}$ est plus court que $\vec{u}$ : il ne franchit pas le même nombre de carreaux. Comparer les longueurs des deux flèches.[/reponse]
[reponse motif="Aucun de ces vecteurs."]Non.
Reprendre chaque vecteur et compter ses déplacements horizontal et vertical : l'un d'eux reproduit exactement ceux de $\vec{u}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour chaque vecteur, compter le nombre de carreaux franchis horizontalement et verticalement, et noter le sens. Le vecteur égal à $\vec{u}$ doit reproduire ces trois éléments à l'identique.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
Pavage d’une crédence de cuisine
Lucie souhaite recouvrir une crédence rectangulaire au-dessus de son plan de travail. La crédence mesure $ 2{,}40 $ m de longueur et $ 1{,}20 $ m de hauteur.
Elle utilise des carreaux carrés tous identiques, de $ 20 $ cm de côté.
Partie A — Étude du pavage
- Justifier que les carreaux peuvent recouvrir entièrement la crédence sans trou ni superposition.
- Combien de carreaux entiers faudra-t-il pour couvrir la crédence ?
- Décrire les deux translations qui permettent, à partir d'un carreau donné, d'obtenir tous les carreaux du pavage.
- Expliquer pourquoi ce recouvrement est appelé un pavage.
Partie B — Achat des carreaux
Le magasin propose deux modes d'achat des carreaux :
- soit par boîtes de $ 10 $ carreaux à $ 38 $ € la boîte (les boîtes ne se vendent pas à l'unité fractionnée),
- soit à l'unité, à $ 4{,}25 $ € le carreau.
Lucie souhaite prévoir $ 5 $ carreaux supplémentaires en cas de casse.
- Combien de carreaux Lucie doit-elle prévoir au total ?
- Calculer le prix à payer si elle achète seulement des boîtes (en achetant au plus juste).
- Calculer le prix à payer si elle achète tous les carreaux à l'unité.
- Quelle solution est la plus économique ? Quelle est l'économie réalisée ?
Partie A
Convertissons toutes les longueurs dans la même unité : $ 2{,}40 $ m $ = 240 $ cm et $ 1{,}20 $ m $ = 120 $ cm.
On vérifie que la longueur et la hauteur de la crédence sont des multiples du côté du carreau :
$ 240 \div 20 = 12 $
$ 120 \div 20 = 6 $
Les deux divisions tombent juste, donc on peut aligner $ 12 $ carreaux sur la longueur et $ 6 $ carreaux sur la hauteur, sans trou ni superposition.
Le nombre de carreaux nécessaires est :
$ N = 12 \times 6 = 72 $ carreaux
Il faudra donc $ 72 $ carreaux entiers pour couvrir la crédence.
Tous les carreaux étant identiques, on passe d'un carreau à un carreau voisin par une translation. Deux translations suffisent :
- une translation horizontale de $ 20 $ cm vers la droite (pour passer d'un carreau au carreau immédiatement à sa droite),
- une translation verticale de $ 20 $ cm vers le haut (pour passer d'un carreau au carreau immédiatement au-dessus).
En combinant ces deux translations un certain nombre de fois, on obtient tous les autres carreaux du pavage à partir d'un carreau de référence.
- Le motif élémentaire (un carreau carré) est reproduit dans deux directions (horizontale et verticale) par des translations, et il recouvre toute la crédence sans trou ni superposition. C'est donc bien un pavage, conformément à la définition.
Partie B
Lucie a besoin de $ 72 $ carreaux pour le pavage et de $ 5 $ carreaux supplémentaires en réserve, soit :
$ 72 + 5 = 77 $ carreaux
Elle doit prévoir $ 77 $ carreaux.
Si elle achète des boîtes de $ 10 $ carreaux, il faut chercher le plus petit nombre de boîtes contenant au moins $ 77 $ carreaux.
$ 77 \div 10 = 7{,}7 $
Avec $ 7 $ boîtes, on n'a que $ 70 $ carreaux ; il en faudrait donc $ 8 $ pour couvrir les $ 77 $ carreaux nécessaires.
Prix : $ 8 \times 38 = 304 $ €
L'achat en boîtes coûterait $ 304 $ €.
Si elle achète $ 77 $ carreaux à l'unité :
Prix : $ 77 \times 4{,}25 = 327{,}25 $ €
L'achat à l'unité coûterait $ 327{,}25 $ €.
On compare : $ 304 $ € (boîtes) $ < 327{,}25 $ € (unité).
L'achat en boîtes est plus économique.
L'économie réalisée vaut :
$ 327{,}25 - 304 = 23{,}25 $ €
Lucie économise $ 23{,}25 $ € en choisissant l'achat en boîtes (et il lui restera $ 8 \times 10 - 77 = 3 $ carreaux supplémentaires en plus de sa réserve).
Frise, pavage ou ni l’un ni l’autre ?
Pour chacune des situations suivantes, indiquer s'il s'agit d'une frise, d'un pavage ou ni l'un ni l'autre. Justifier la réponse.
- Un papier peint sur lequel le même bouquet de fleurs se répète régulièrement, à la fois horizontalement et verticalement, recouvrant tout le mur sans laisser de blanc.
- Une bande décorative collée en haut d'un mur de salle de bain : le même motif géométrique se répète horizontalement, le long d'une seule ligne.
- Un unique logo brodé au centre d'un sweat-shirt.
- Le sol d'une terrasse recouvert d'hexagones identiques, posés côte à côte sans trou ni recouvrement.
- Une étiquette autocollante avec un motif décoratif unique placée sur le couvercle d'une boîte.
- Le bord d'une assiette ornée d'une suite de petits oiseaux identiques, qui fait le tour de l'assiette.
Pour chaque frise et chaque pavage identifié, préciser combien de translations différentes sont nécessaires pour reproduire le motif.
- C'est un pavage. Le motif (le bouquet) se répète dans deux directions (horizontalement et verticalement) et recouvre tout le mur sans trou ni superposition.
Deux translations sont nécessaires : une horizontale et une verticale.
- C'est une frise. Le motif géométrique se répète dans une seule direction (horizontalement), à l'intérieur d'une bande située entre deux droites parallèles.
Une seule translation (horizontale) est nécessaire.
- C'est ni une frise, ni un pavage. Le motif n'apparaît qu'une seule fois et n'est répété par aucune translation.
- C'est un pavage. Les hexagones, identiques, recouvrent tout le sol sans trou ni superposition. Le motif se répète dans plusieurs directions à partir de translations.
Deux translations suffisent pour générer ce pavage à partir d'un motif élémentaire.
- C'est ni une frise, ni un pavage. Comme pour le logo, il s'agit d'un motif unique, sans répétition.
- Ce n'est pas une frise au sens mathématique (le motif ne se répète pas le long d'une bande rectiligne mais le long d'un cercle). Ce n'est pas non plus un pavage. C'est ni l'un ni l'autre : la répétition se fait par rotation autour du centre de l'assiette, et non par translation.
