Répartition d’un budget mensuel
Chaque mois, Léa reçoit son salaire, qu'elle répartit en plusieurs catégories de dépenses :
- $ \dfrac{2}{5} $ de son salaire sont consacrés au logement ;
- $ \dfrac{1}{4} $ aux courses alimentaires ;
- $ \dfrac{1}{8} $ aux transports ;
- le reste est épargné.
- Calculer la fraction du salaire consacrée à l'ensemble des dépenses (logement, courses, transports).
- En déduire la fraction du salaire qui est épargnée chaque mois.
- Le salaire mensuel de Léa est de $ 1\,800 $ €. Quel montant est épargné chaque mois ?
- À la fin du mois, Léa reçoit une facture imprévue qu'elle paye en utilisant $ \dfrac{2}{3} $ de la somme épargnée durant ce mois. Quelle fraction du salaire mensuel a-t-elle alors réellement épargnée ce mois-ci, après le paiement de la facture ? Donner le résultat sous forme de fraction simplifiée.
On additionne les trois fractions. Dénominateur commun de $ 5 $, $ 4 $ et $ 8 $ : $ 40 $.
$ \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{2 \times 8}{40} + \dfrac{1 \times 10}{40} + \dfrac{1 \times 5}{40} = \dfrac{16 + 10 + 5}{40} = \dfrac{31}{40} $
L'ensemble des dépenses représente $\mathbf{\dfrac{31}{40}}$ du salaire.
Le salaire entier représente $ 1 = \dfrac{40}{40} $ du salaire. La fraction épargnée est donc :
$ 1 - \dfrac{31}{40} = \dfrac{40}{40} - \dfrac{31}{40} = \dfrac{9}{40} $
Léa épargne $\mathbf{\dfrac{9}{40}}$ de son salaire chaque mois.
Le montant épargné est :
$ \dfrac{9}{40} \times 1\,800 = \dfrac{9 \times 1\,800}{40} = \dfrac{16\,200}{40} = 405 $
Léa épargne donc $ 405 $ € chaque mois.
La facture utilise $ \dfrac{2}{3} $ de l'épargne du mois, c'est-à-dire $ \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{40} $ du salaire.
$ \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{40} = \dfrac{2 \times 9}{3 \times 40} = \dfrac{1 \times 3}{1 \times 20} = \dfrac{3}{20} $
La facture représente $ \dfrac{3}{20} $ du salaire mensuel.
L'épargne réellement conservée vaut donc :
$ \dfrac{9}{40} - \dfrac{3}{20} = \dfrac{9}{40} - \dfrac{3 \times 2}{20 \times 2} = \dfrac{9}{40} - \dfrac{6}{40} = \dfrac{3}{40} $
Après paiement de la facture, Léa a réellement épargné $\mathbf{\dfrac{3}{40}}$ de son salaire ce mois-ci.
Vrai/Faux : Pièges classiques avec les fractions
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur des pièges classiques avec les fractions, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{9}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On ne peut pas additionner numérateurs et dénominateurs séparément. Avec le dénominateur commun $20$ : $\dfrac{8}{20} + \dfrac{15}{20} = \dfrac{23}{20}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
C'est l'erreur la plus classique : ajouter les numérateurs et les dénominateurs séparément.
Pour additionner deux fractions, il faut les mettre au même dénominateur, ici $20$ : $\dfrac{8}{20} + \dfrac{15}{20} = \dfrac{23}{20}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La règle « numérateur + numérateur sur dénominateur + dénominateur » ne fonctionne jamais. Le bon résultat est $\dfrac{23}{20}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\dfrac{5 + 3}{8} = \dfrac{1 + 3}{1} = 4$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On ne peut pas simplifier le $5$ avec le $8$ dans une somme. Il faut d'abord calculer le numérateur : $\dfrac{5 + 3}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, on ne peut pas simplifier un terme du numérateur avec le dénominateur quand le numérateur est une somme.
Il faut d'abord effectuer le calcul $5 + 3 = 8$, puis $\dfrac{8}{8} = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La simplification ne s'applique qu'aux produits. $\dfrac{5 + 3}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\dfrac{-3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{-2}{3}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On simplifie avant de multiplier : $3$ et $9$ par $3$, $4$ et $8$ par $4$. $\dfrac{-3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{-1}{1} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{-2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le résultat est correct. On a un produit de signes contraires (négatif), et après simplification croisée par $3$ et $4$, on obtient $\dfrac{-2}{3}$.
On peut aussi vérifier en faisant le produit puis en simplifiant : $\dfrac{-24}{36} = \dfrac{-2}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Après simplification croisée, $\dfrac{-3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{-1}{1} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{-2}{3}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\dfrac{2}{3} \div 4 = \dfrac{8}{3}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Diviser par $4$ revient à multiplier par $\dfrac{1}{4}$, pas par $4$. Donc $\dfrac{2}{3} \div 4 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'avoir multiplié au lieu de diviser. Diviser par $4$ revient à multiplier par son inverse, $\dfrac{1}{4}$.
$\dfrac{2}{3} \div 4 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Diviser par $4$ revient à multiplier par $\dfrac{1}{4}$ : $\dfrac{2}{3} \div 4 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{6}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\dfrac{-2}{3} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{-5}{6}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Avec le dénominateur commun $6$ : $\dfrac{-2}{3} = \dfrac{-4}{6}$. Donc $\dfrac{-4}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{-4 - 1}{6} = \dfrac{-5}{6}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une erreur fréquente est d'oublier le signe $-$ lors de la conversion : $\dfrac{-2}{3} = \dfrac{-4}{6}$ (le signe accompagne tout le numérateur).
Le calcul donne ensuite $\dfrac{-4}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{-5}{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec le dénominateur commun $6$ : $\dfrac{-4}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{-5}{6}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour calculer $\dfrac{-3}{5}$ d'un nombre, on multiplie ce nombre par $-\dfrac{3}{5}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
« Prendre une fraction d'un nombre » signifie multiplier le nombre par cette fraction. Le mot « de » se traduit par une multiplication.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand on dit « les $\dfrac{2}{3}$ de $30$ », cela veut dire $\dfrac{2}{3} \times 30 = 20$.
Le mot « de » entre une fraction et un nombre se traduit toujours par une multiplication.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Prendre une fraction d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par la fraction.
[/solution]
[/etape]
QCM : Additions et soustractions de fractions
[enonce]
Ce QCM porte sur les additions et soustractions de fractions, y compris avec des fractions négatives. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]
[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{4}{16}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{16}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les fractions ont déjà le même dénominateur : $\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ après simplification par $4$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{16}$"]Non.
Tu as additionné aussi les dénominateurs alors qu'ils sont déjà identiques. On garde le dénominateur commun : $\dfrac{3 + 1}{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{8}$"]Pas tout à fait.
Le calcul $\dfrac{3 + 1}{8} = \dfrac{4}{8}$ est correct, mais la fraction se simplifie : $4$ et $8$ sont divisibles par $4$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{16}$"]Non.
Tu as multiplié les dénominateurs au lieu d'utiliser le dénominateur commun déjà présent.
Quand les deux fractions ont le même dénominateur, on le conserve.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{5}{6}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{9}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{6}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$6$ est un multiple de $3$ : on prend $6$ comme dénominateur commun. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$, donc $\dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{9}$"]Non.
Tu as additionné les numérateurs et les dénominateurs séparément. On ne fait jamais $\dfrac{2 + 1}{3 + 6}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{6}$"]Non.
Tu as oublié de convertir $\dfrac{2}{3}$ avec le dénominateur commun. Il faut écrire $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$ avant d'additionner.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$, ce qui correspond à un calcul incorrect (numérateur $3$ au lieu de $5$). Recalculer après avoir converti $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$, donc $\dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{-3}{4} + \dfrac{1}{2}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{-2}{6}$[/option]
[option]$\dfrac{-2}{4}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{-1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$4$ est un multiple de $2$ : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$. Donc $\dfrac{-3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{-3 + 2}{4} = \dfrac{-1}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-2}{6}$"]Non.
Tu as additionné numérateurs et dénominateurs séparément : $\dfrac{-3 + 1}{4 + 2}$. Cette méthode ne fonctionne jamais avec les fractions.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-2}{4}$"]Non.
Tu as oublié de convertir $\dfrac{1}{2}$ avant d'additionner les numérateurs. Avec $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$, le calcul donne $-3 + 2 = -1$ au numérateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]Non.
La distance à zéro est correcte mais le signe est faux. Comme $\dfrac{3}{4}$ est plus grand que $\dfrac{1}{2}$, le résultat doit être négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$, donc $\dfrac{-3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{-1}{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{9}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{11}{18}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{18}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{15}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le plus petit dénominateur commun de $6$ et $9$ est $18$ : $\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}$ et $\dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{18}$. Donc $\dfrac{15}{18} - \dfrac{4}{18} = \dfrac{11}{18}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{3}$"]Non.
Tu as soustrait numérateurs et dénominateurs séparément ($5 - 2 = 3$ et $6 - 9 = -3$, écrit en valeur absolue). Cette méthode ne fonctionne jamais.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{18}$"]Non.
Tu as bien pris $18$ comme dénominateur, mais le numérateur n'est pas correct.
$\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}$ et $\dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{18}$, donc $15 - 4 = 11$, pas $3$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{15}$"]Non.
Tu as additionné les dénominateurs ($6 + 9 = 15$) au lieu de chercher un multiple commun. On cherche un nombre divisible par $6$ et par $9$, pas leur somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Avec le dénominateur commun $18$ : $\dfrac{15}{18} - \dfrac{4}{18} = \dfrac{11}{18}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quel est le résultat simplifié de $2 - \dfrac{3}{5}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{-1}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{7}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{-1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On écrit $2 = \dfrac{10}{5}$, donc $2 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-1}{5}$"]Non.
Tu as soustrait $2$ du numérateur ($3 - 2 = 1$, avec un signe inversé). Il faut convertir $2$ en fraction de dénominateur $5$ : $2 = \dfrac{10}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Le résultat ne peut pas être plus petit que $1$ : $2$ est bien plus grand que $\dfrac{3}{5}$, donc la différence est plus grande que $1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-1}{3}$"]Non.
Tu as fait $2 - 3 = -1$ au numérateur en oubliant de convertir $2$. Avec $2 = \dfrac{10}{5}$, le numérateur devient $10 - 3 = 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$2 = \dfrac{10}{5}$, donc $2 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{10 - 3}{5} = \dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{-7}{12} - \dfrac{-1}{4}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{-8}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{-2}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{-1}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{-6}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Soustraire un négatif revient à additionner : $\dfrac{-7}{12} - \dfrac{-1}{4} = \dfrac{-7}{12} + \dfrac{1}{4}$.
Avec $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$ : $\dfrac{-7 + 3}{12} = \dfrac{-4}{12} = \dfrac{-1}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-8}{12}$"]Non.
Tu as soustrait $\dfrac{1}{4}$ au lieu de l'ajouter. Soustraire $-\dfrac{1}{4}$ revient à ajouter $\dfrac{1}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-2}{3}$"]Non.
Cela correspond à $\dfrac{-8}{12}$ simplifiée. Tu as oublié que soustraire un nombre négatif revient à additionner son opposé.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-6}{12}$"]Non.
La distance à zéro de ton numérateur n'est pas la bonne. Après transformation en addition : $-7 + 3 = -4$, et non $-6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{-7}{12} - \dfrac{-1}{4} = \dfrac{-7}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{-4}{12} = \dfrac{-1}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
