[enonce]
Une citerne vide se remplit d'eau à débit constant grâce à une pompe. On note $f$ la fonction qui, au temps $x$ (en minutes), associe le volume d'eau $f(x)$ (en litres) présent dans la citerne.

Le graphique ci-dessous représente la fonction $f$ pendant les premières minutes de remplissage.

Le point $A$ a pour coordonnées $(5~;~40)$.
[/enonce]

[etape]
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est fausse ?
[qcm]
[option]$f$ est une fonction linéaire[/option]
[option]Le volume d'eau est proportionnel au temps[/option]
[option correct="true"]Le débit de la pompe augmente au cours du temps[/option]
[option]La citerne contient $0$ litre à l'instant $x = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le graphique est une droite, donc le volume augmente de maniere réguliere : le débit est constant, pas croissant.
Si le débit augmentait, la courbe serait de plus en plus pentue, ce qui n'est pas le cas ici.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est une fonction linéaire"]Non, cette affirmation est vraie.
Le graphique est une droite passant par l'origine : c'est bien la définition d'une fonction linéaire.[/reponse]
[reponse motif="Le volume d'eau est proportionnel"]Non, cette affirmation est vraie.
Une fonction linéaire traduit exactement une situation de proportionnalité.
Chercher l'affirmation qui contredit ce que montre une droite.[/reponse]
[reponse motif="La citerne contient"]Non, cette affirmation est vraie.
La droite passe par l'origine, donc $f(0) = 0$ : la citerne est bien vide au départ.
Chercher l'affirmation qui décrit mal l'évolution du volume.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Relire chaque affirmation et se demander : une droite traduit-elle une augmentation réguliere ou une augmentation accélérée ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Lire graphiquement le volume d'eau dans la citerne après $5$ minutes de remplissage.

$f(5) = $ [[vol5]] L
[math id="vol5" attendu="40"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le point $A(5~;~40)$ est sur la droite, donc $f(5) = 40$ L.[/reponse]
[reponse motif="5"]Ne pas confondre abscisse et ordonnée.
Le volume est lu sur l'axe vertical (ordonnée du point $A$).[/reponse]
[reponse motif="8"]Non.
Lire les graduations de l'axe vertical : chaque carreau correspond à $10$ L, pas $1$ L.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lire l'ordonnée du point $A$ sur l'axe vertical.[/reponse]
[aide essai="2"]Le point $A$ a pour coordonnées $(5~;~40)$. L'ordonnée donne le volume.[/aide]
[aide essai="3"]Sur l'axe vertical, le point $A$ se situe au niveau de la graduation $40$.[/aide]
[/math]
[solution]$f(5) = 40$ : après $5$ minutes, la citerne contient $40$ L d'eau.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le coefficient $a$ de la fonction linéaire $f$.

$a = $ [[coeff]]
[math id="coeff" attendu="8"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$a = \dfrac{f(5)}{5} = \dfrac{40}{5} = 8$.
La citerne se remplit de $8$ litres par minute.[/reponse]
[reponse motif="0.125"]Non.
La formule est $a = \dfrac{f(x_0)}{x_0}$, pas $\dfrac{x_0}{f(x_0)}$.
C'est l'image divisée par l'antécédent.[/reponse]
[reponse motif="40"]Non.
$40$ est l'image de $5$, pas le coefficient.
Utiliser la formule $a = \dfrac{f(x_0)}{x_0}$.[/reponse]
[reponse motif="5"]Non.
Le coefficient est le quotient de l'image par l'antécédent, pas l'antécédent lui-meme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule est $a = \dfrac{f(x_0)}{x_0}$. Utiliser le point $A(5~;~40)$.[/reponse]
[aide essai="2"]$a = \dfrac{f(5)}{5} = \dfrac{40}{5}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{40}{5} = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$a = \dfrac{40}{5} = 8$ : le débit est de $8$ L/min.[/solution]
[/etape]

[etape]
Écrire l'expression de $f(x)$.

$f(x) = $ [[fexpr]]
[math id="fexpr" attendu="8x"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(x) = 8x$.[/reponse]
[reponse motif="8"]Il manque la variable $x$.
La fonction donne le volume en fonction du temps : $f(x) = a \times x$.[/reponse]
[reponse motif="40x"]Non.
$40$ est l'image de $5$, pas le coefficient de la fonction.
Le coefficient est $a = 8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $a$ par sa valeur dans $f(x) = ax$.[/reponse]
[aide essai="2"]On a trouvé $a = 8$. Une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$.[/aide]
[aide essai="3"]$f(x) = 8 \times x$.[/aide]
[/math]
[solution]$f(x) = 8x$.[/solution]
[/etape]

[etape]
La citerne a une capacité maximale de $200$ litres. Déterminer le temps nécessaire, en minutes, pour la remplir entièrement.

Le temps de remplissage est de [[temps]] minutes.
[math id="temps" attendu="25" format="strict"]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout $8x = 200$, soit $x = \dfrac{200}{8} = 25$.
La citerne sera pleine après $25$ minutes.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le raisonnement est correct, mais il faut donner le résultat numérique en minutes.
Effectuer le calcul.[/reponse]
[reponse motif="1600"]Non.
On ne cherche pas $f(200)$, mais le temps $x$ tel que $f(x) = 200$.
Il faut résoudre $8x = 200$, pas calculer $8 \times 200$.[/reponse]
[reponse motif="24"]Non.
Vérifier : $f(24) = 8 \times 24 = 192 \neq 200$.
Reprendre la division $200 \div 8$.[/reponse]
[reponse motif="200"]Non.
On cherche le temps en minutes, pas le volume.
Résoudre l'équation $8x = 200$ en isolant $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On cherche $x$ tel que $f(x) = 200$, c'est-à-dire $8x = 200$.
Diviser $200$ par $8$ et donner le résultat.[/reponse]
[aide essai="2"]Résoudre l'équation $8x = 200$ en divisant chaque membre par $8$.[/aide]
[aide essai="3"]$x = \dfrac{200}{8}$. Effectuer la division.[/aide]
[/math]
[solution]On résout $8x = 200$, donc $x = 25$ minutes.[/solution]
[/etape]

[etape]
On remplace la pompe par une pompe deux fois plus puissante. Quel est le nouveau coefficient de la fonction linéaire qui modélise le remplissage ?
[qcm]
[option]$a = 4$[/option]
[option]$a = 10$[/option]
[option correct="true"]$a = 16$[/option]
[option]$a = 80$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un débit deux fois plus grand signifie $8 \times 2 = 16$ L/min.
Le coefficient de la nouvelle fonction linéaire est $16$.[/reponse]
[reponse motif="$a = 4$"]Non.
Doubler la puissance, c'est doubler le débit, pas le diviser par deux.
Que vaut $8 \times 2$ ?[/reponse]
[reponse motif="$a = 10$"]Non.
Doubler le débit, ce n'est pas ajouter $2$ au coefficient.
C'est le multiplier par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$a = 80$"]Non.
Le coefficient est le débit en L/min, pas le volume total.
Doubler la puissance, c'est doubler le débit : $8 \times 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le débit initial est de $8$ L/min. Doubler la puissance revient à doubler ce débit.[/reponse]
[/qcm]
[solution]Le nouveau débit est $8 \times 2 = 16$ L/min, donc le nouveau coefficient est $a = 16$.[/solution]
[/etape]

[enonce]
On a tracé ci-dessous la représentation graphique d'une fonction $f$ dans un repère.

Le point $A$ a pour coordonnées $(4~;~-3)$.
[/enonce]

[etape]
La droite passe par l'origine du repère. Que peut-on en déduire sur la fonction $f$ ?
[qcm]
[option]$f$ est une fonction quelconque[/option]
[option correct="true"]$f$ est une fonction linéaire[/option]
[option]$f$ est une fonction croissante[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La représentation graphique de $f$ est une droite qui passe par l'origine : $f$ est donc une fonction linéaire, de la forme $f(x) = ax$.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est une fonction quelconque"]Non.
Une droite passant par l'origine a une propriété particulière.
Quelle famille de fonctions a pour graphique une droite passant par l'origine ?[/reponse]
[reponse motif="$f$ est une fonction croissante"]Non.
Regarder la direction de la droite : elle descend quand $x$ augmente.
De plus, la question porte sur la nature de la fonction, pas sur son sens de variation.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Rappel : une droite passant par l'origine est la représentation graphique d'un type de fonction bien précis.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Lire graphiquement l'image de $4$ par $f$.

$f(4) = $ [[img4]]
[math id="img4" attendu="-3"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le point $A(4~;~-3)$ est sur la droite, donc $f(4) = -3$.[/reponse]
[reponse motif="3"]Attention au signe.
Le point $A$ est situé sous l'axe des abscisses, donc son ordonnée est négative.[/reponse]
[reponse motif="4"]Ne pas confondre abscisse et ordonnée.
L'image de $4$ est l'ordonnée du point de la droite d'abscisse $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer le point de la droite dont l'abscisse est $4$, puis lire son ordonnée.[/reponse]
[aide essai="2"]Le point $A(4~;~-3)$ est sur la courbe. Son abscisse est $4$ et son ordonnée est...[/aide]
[aide essai="3"]L'image de $4$ est l'ordonnée du point $A$, c'est-à-dire le nombre lu sur l'axe vertical.[/aide]
[/math]
[solution]Le point $A(4~;~-3)$ est sur la droite, donc $f(4) = -3$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Lire graphiquement l'antécédent de $-1{,}5$ par $f$.

L'antécédent de $-1{,}5$ est $x = $ [[ant]]
[math id="ant" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Correct !
On lit sur le graphique que la droite passe par le point $(2~;~-1{,}5)$, donc l'antécédent de $-1{,}5$ est $2$.[/reponse]
[reponse motif="-1.5"]Ne pas confondre image et antécédent.
On cherche l'abscisse $x$ du point dont l'ordonnée est $-1{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="-2"]Attention au signe.
L'abscisse du point recherché est à droite de l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Partir de $y = -1{,}5$ sur l'axe vertical, aller horizontalement jusqu'à la droite, puis lire l'abscisse du point obtenu.[/reponse]
[aide essai="2"]Sur l'axe vertical, repérer $-1{,}5$ (à mi-chemin entre $-1$ et $-2$), puis tracer mentalement une horizontale jusqu'à la droite.[/aide]
[aide essai="3"]L'horizontale $y = -1{,}5$ coupe la droite en un point dont l'abscisse est un nombre entier positif.[/aide]
[/math]
[solution]La droite passe par $(2~;~-1{,}5)$, donc l'antécédent de $-1{,}5$ par $f$ est $2$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le coefficient directeur $a$ de la fonction linéaire $f$.

$a = $ [[coeff]]
[math id="coeff" attendu="-0.75" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Correct !
En utilisant le point $A(4~;~-3)$ : $a = \dfrac{f(4)}{4} = \dfrac{-3}{4} = -0{,}75$.[/reponse]
[reponse statut="format"]La valeur est correcte, mais elle doit être simplifiée.[/reponse]
[reponse motif="0.75"]Attention au signe.
L'image $f(4) = -3$ est négative, donc le coefficient est négatif.[/reponse]
[reponse motif="-1.33"]Non.
La formule est $a = \dfrac{f(x_0)}{x_0}$, pas $\dfrac{x_0}{f(x_0)}$.
La division est dans le bon sens : image divisée par antécédent.[/reponse]
[reponse motif="-3/4"]C'est correct !
$a = \dfrac{-3}{4} = -0{,}75$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la formule $a = \dfrac{f(x_0)}{x_0}$ avec le point $A(4~;~-3)$.[/reponse]
[aide essai="2"]La formule du coefficient est $a = \dfrac{f(x_0)}{x_0}$. Utiliser les coordonnées du point $A$.[/aide]
[aide essai="3"]$a = \dfrac{-3}{4}$. Effectuer la division.[/aide]
[/math]
[solution]$a = \dfrac{f(4)}{4} = \dfrac{-3}{4} = -0{,}75$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Écrire l'expression de la fonction $f$.

$f(x) = $ [[fexpr]]
[math id="fexpr" attendu="-0.75x"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f$ est la fonction linéaire de coefficient $-0{,}75$, donc $f(x) = -0{,}75x$.[/reponse]
[reponse motif="0.75x"]Attention au signe.
Le coefficient directeur est négatif (la droite est décroissante).[/reponse]
[reponse motif="-0.75"]Il manque la variable $x$.
La fonction s'écrit $f(x) = ax$, pas simplement la valeur du coefficient.[/reponse]
[reponse motif="-3/4x"]C'est correct !
$f(x) = -\dfrac{3}{4}x = -0{,}75x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On a trouvé $a = -0{,}75$. Une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$.[/reponse]
[aide essai="2"]Remplacer $a$ par sa valeur dans $f(x) = ax$.[/aide]
[aide essai="3"]Le coefficient est $-0{,}75$. L'expression est $f(x) = -0{,}75 \times x$.[/aide]
[/math]
[solution]$f(x) = -0{,}75x$ (ou $f(x) = -\dfrac{3}{4}x$).[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer l'image de $-6$ par $f$. Cette valeur n'est pas lisible sur le graphique.

$f(-6) = $ [[img6]]
[math id="img6" attendu="4.5"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(-6) = -0{,}75 \times (-6) = 4{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="-4.5"]Attention à la règle des signes.
Le produit de deux nombres négatifs est positif : $(-0{,}75) \times (-6) > 0$.[/reponse]
[reponse motif="4"]Non.
Recalculer $0{,}75 \times 6$ en posant la multiplication.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $x$ par $-6$ dans $f(x) = -0{,}75x$ et appliquer la règle des signes.[/reponse]
[aide essai="2"]$f(-6) = -0{,}75 \times (-6)$. Le produit de deux nombres négatifs est positif.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $0{,}75 \times 6$, puis déterminer le signe du résultat.[/aide]
[/math]
[solution]$f(-6) = -0{,}75 \times (-6) = 4{,}5$.[/solution]
[/etape]

[enonce]
Six graphiques sont présentés ci-dessous. Pour chaque affirmation, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère la droite $(d_1)$ ci-dessous, représentation graphique d'une fonction linéaire $f$.

Affirmation : L'image de $-1$ par la fonction $f$ est $-2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Sur le graphique, on lit $f(-1) = 2$ (et non $-2$).
Quand le coefficient est négatif, l'image d'un nombre négatif est positive : le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au signe : la droite passe par le point $(-1 ; 2)$, pas par $(-1 ; -2)$.
Le coefficient est négatif, donc l'image d'un nombre négatif est positive.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Sur le graphique, $f(-1) = 2$. Le produit de deux nombres négatifs est positif.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la droite $(d_2)$ ci-dessous, représentation graphique d'une fonction linéaire $g$.

Affirmation : Le coefficient directeur de la droite $(d_2)$ est $\dfrac{4}{3}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Avec le point $(4 ; 3)$ on calcule : $a = \dfrac{g(4)}{4} = \dfrac{3}{4}$.
L'erreur est d'avoir inversé le rapport (antécédent sur image au lieu d'image sur antécédent).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le coefficient directeur se calcule par $a = \dfrac{\text{image}}{\text{antécédent}}$, pas l'inverse.
Avec le point $(4 ; 3)$ : $a = \dfrac{3}{4}$ et non $\dfrac{4}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient directeur est $a = \dfrac{3}{4}$, pas $\dfrac{4}{3}$ : c'est image sur antécédent.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la droite $(d_3)$ représentée ci-dessous.

Affirmation : Cette droite $(d_3)$ représente une fonction linéaire.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La droite $(d_3)$ ne passe pas par l'origine du repère : elle coupe l'axe des ordonnées en $y = 1$.
Elle représente donc une fonction affine, pas linéaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine.
Ici, la droite $(d_3)$ coupe l'axe des ordonnées en $(0 ; 1)$, pas en $(0 ; 0)$ : ce n'est pas une fonction linéaire.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La droite $(d_3)$ ne passe pas par l'origine (elle coupe l'axe des ordonnées en $y = 1$) : elle ne représente pas une fonction linéaire.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la droite $(d_4)$ ci-dessous, représentation graphique d'une fonction linéaire $h$.

Affirmation : Si $x$ augmente de $4$, alors l'image par $h$ diminue de $2$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le coefficient directeur est $a = \dfrac{-2}{4} = -0{,}5$.
Quand $x$ augmente de $4$, l'image varie de $a \times 4 = -0{,}5 \times 4 = -2$ : elle diminue bien de $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On lit sur le graphique que le coefficient directeur est $-0{,}5$.
Quand $x$ augmente de $4$, la variation de l'image est $-0{,}5 \times 4 = -2$, ce qui correspond à une diminution de $2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le coefficient est $-0{,}5$, donc pour une augmentation de $4$ en $x$, l'image varie de $-0{,}5 \times 4 = -2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la droite $(d_5)$ ci-dessous, représentation graphique d'une fonction linéaire $k$.

Affirmation : L'antécédent de $9$ par la fonction $k$ est $3$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On cherche $x$ tel que $k(x) = 9$. Le coefficient est $3$ (on le lit avec le point $(2 ; 6)$), donc $3x = 9$, soit $x = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le coefficient directeur est $a = \dfrac{6}{2} = 3$, donc $k(x) = 3x$.
Pour trouver l'antécédent de $9$ : $3x = 9$, d'où $x = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le coefficient est $3$, donc l'antécédent de $9$ est $\dfrac{9}{3} = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la droite $(d_6)$ ci-dessous, représentation graphique d'une fonction linéaire $m$.

Affirmation : L'expression de la fonction $m$ est $m(x) = -1{,}5x$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Avec le point $(2 ; -3)$ on calcule : $a = \dfrac{-3}{2} = -1{,}5$.
Donc $m(x) = -1{,}5x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La droite passe par l'origine et par le point $(2 ; -3)$.
Le coefficient est $a = \dfrac{-3}{2} = -1{,}5$, donc $m(x) = -1{,}5x$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le coefficient directeur est $\dfrac{-3}{2} = -1{,}5$, donc $m(x) = -1{,}5x$.
[/solution]
[/etape]