Pythagore et trigonométrie – Cerf-volant – Brevet Nouvelle-Calédonie 2025

Thomas souhaite construire le cerf-volant représenté par la figure ci-dessous :

$Cerf-volant ABCD : A en haut, B en bas, C à gauche, D à droite, E est l'intersection des diagonales sur le segment [AB] avec ED = EC, AB = 50 cm, CD = 40 cm, angle DEB droit, angle EBD = 30^{\circ}$

On donne :

$ \widehat{DEB} = 90^{\circ} $
$ \widehat{EBD} = 30^{\circ} $
$ AB = 50 $ cm
$ CD = 40 $ cm
$ ED = EC $

Calculer BE. On donnera une valeur arrondie au millimètre.
Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.

Lorsque Thomas a essayé son cerf-volant, il s'est demandé à quelle altitude il volait. Il a attaché sa corde à un piquet planté dans le sol (point S) puis est allé se placer (point T) parfaitement à la verticale sous son cerf-volant (point H). Il a alors mesuré certaines longueurs et a réalisé le schéma ci-dessous.

Schéma vertical : un piquet en S au sol, un point T au sol situé à 7,60 m à droite de S, le cerf-volant en H à la verticale au-dessus de T ; la corde reliant S à H mesure 20,50 m, la hauteur HT est inconnue

Calculer HT, altitude à laquelle volait son cerf-volant. On donnera une valeur arrondie au mètre. Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.

Il est conseillé de ne pas utiliser ce cerf-volant lorsque le vent dépasse 20 km/h. La météo annonce un vent ne dépassant pas 15 nœuds.

On donne 1 nœud = 0,514 m/s.

Thomas peut-il faire voler son cerf-volant sans risque dans ces conditions ? Justifier votre réponse.

Corrigé

Comme $ \widehat{DEB} = 90^{\circ} $, le triangle DEB est rectangle en E.

Comme $ ED = EC $ et que les points C, E, D sont alignés avec $ CD = 40 $ cm, le point E est le milieu de [CD]. On en déduit :

$ ED = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{40}{2} = 20 $ cm.

Dans le triangle DEB rectangle en E, on connaît l'angle aigu $ \widehat{EBD} = 30^{\circ} $, le côté ED qui lui est opposé, et on cherche le côté BE qui lui est adjacent. On utilise la tangente :

$ \tan(\widehat{EBD}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \dfrac{ED}{BE} $

$ \tan(30^{\circ}) = \dfrac{20}{BE} $

$ BE = \dfrac{20}{\tan(30^{\circ})} $

À la calculatrice : $ BE \approx 34{,}641 $ cm.

Arrondie au millimètre, $ BE \approx 34{,}6 $ cm.
D'après le schéma, le triangle SHT est rectangle en T (HT est vertical et ST est horizontal). On connaît l'hypoténuse $ SH = 20{,}50 $ m et le côté $ ST = 7{,}60 $ m, et on cherche le troisième côté HT.

D'après le théorème de Pythagore :

$ SH^2 = ST^2 + HT^2 $

$ 20{,}50^2 = 7{,}60^2 + HT^2 $

$ 420{,}25 = 57{,}76 + HT^2 $

$ HT^2 = 420{,}25 - 57{,}76 = 362{,}49 $

$ HT = \sqrt{362{,}49} \approx 19{,}04 $ m.

Le cerf-volant volait à une altitude d'environ 19 m.
On convertit la vitesse maximale annoncée par la météo en km/h.

$ 15 $ nœuds $ = 15 \times 0{,}514 = 7{,}71 $ m/s.

Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6 :

$ 7{,}71 \times 3{,}6 = 27{,}756 $ km/h, soit environ 27,8 km/h.

Comme $ 27{,}8 > 20 $, le vent annoncé peut dépasser la limite recommandée pour ce cerf-volant.

Thomas ne peut donc pas faire voler son cerf-volant sans risque dans ces conditions.

Scratch – Losange et motif – Brevet Amérique du Sud 2024

On considère le bloc « Losange » suivant ainsi que le losange obtenu en l'exécutant :

$À gauche : bloc Scratch Losange — stylo en position d'écriture, répéter 2 fois (avancer de 20, tourner droite de 60 degrés, avancer de a, tourner droite de b degrés), relever le stylo. À droite : losange (rhombe) avec deux angles aigus de 60^{\circ} et deux angles obtus de 120^{\circ}, côté 20 pas, le point de départ étant un sommet d'angle aigu.$

Dans le bloc « Losange », par quelles valeurs faut-il remplacer $ a $ et $ b $ pour obtenir le losange ci-dessus ?
On définit ensuite un nouveau bloc nommé « Motif A » :

Parmi les figures suivantes, quelle est celle qui est obtenue en exécutant le bloc « Motif A » ?
- Figure 1 : trois losanges identiques disposés autour d'un sommet commun, chacun tourné de 60° par rapport au précédent (rosace incomplète à 3 branches sur 180°).
- Figure 2 : trois losanges identiques alignés horizontalement et séparés.
- Figure 3 : trois losanges concentriques de tailles différentes.
On a défini un nouveau bloc nommé « Motif B ». En l'exécutant, on a obtenu la figure ci-dessous (rosace complète formée de 6 losanges identiques disposés autour d'un sommet commun).

$Rosace formée de 6 losanges identiques disposés autour d'un sommet commun, chacun tourné de 60^{\circ} par rapport au précédent$

Écrire un script du bloc « Motif B ».

Corrigé

Un losange a quatre côtés égaux. Comme deux côtés mesurent 20 pas, on doit avoir $ a = 20 $.

Pour la valeur de $ b $ : à chaque sommet, le lutin tourne d'un angle extérieur. Pour fermer la figure (faire un tour complet), la somme des angles extérieurs doit valoir 360°. Dans une exécution complète du bloc, le lutin tourne 4 fois : deux fois de 60° et deux fois de $ b° $. On a donc :

$ 2 \times 60 + 2 \times b = 360 $

$ 120 + 2b = 360 $

$ 2b = 240 $

$ b = 120 $

Il faut prendre $ a = 20 $ et $ b = 120 $.

(On vérifie : aux sommets « aigus » du losange, l'angle extérieur de 120° correspond à un angle intérieur de 60° ; aux sommets « obtus », l'angle extérieur de 60° correspond à un angle intérieur de 120°. C'est bien la structure du losange dessiné.)
Le bloc « Motif A » trace 3 losanges en pivotant de 60° entre chacun, tous à partir du point initial. Comme $ 3 \times 60° = 180° $, on n'effectue que la moitié du tour complet : on obtient une demi-rosace.

C'est la Figure 1 (trois losanges autour d'un même sommet, tournés de 60° l'un par rapport à l'autre).
La rosace complète comporte 6 losanges identiques, chacun tourné de 60° par rapport au précédent ($ 6 \times 60° = 360° $). On reprend la structure de « Motif A » en remplaçant 3 par 6 :

Scratch – Motif de deux triangles équilatéraux et variable côté – Brevet Asie 2024

On donne le programme suivant.

Remarque

Rappel. L'instruction « s'orienter à 90 » signifie que le lutin se dirige vers la droite.

Script principal :

Définition du bloc Motif :

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue.

À quelles coordonnées le lutin se positionne-t-il juste après avoir cliqué sur le drapeau vert ?
En prenant 1 cm pour 20 pas, dessiner en vraie grandeur la figure obtenue en exécutant le script principal.
On modifie le script principal de trois façons différentes. Associer chaque script à la figure qui lui correspond.

Script n°1 :

Script n°2 :

Script n°3 :

Les trois figures à associer aux scripts sont les suivantes :

Figure A :

$Trois losanges identiques alignés horizontalement, espacés régulièrement, chacun ayant ses angles aigus de 60^{\circ} au sommet et à la base et ses angles obtus de 120^{\circ} à gauche et à droite$

Figure B :

Figure C :

$Trois losanges identiques disposés autour d'un sommet commun en formant une rosace, chacun tourné de 120^{\circ} par rapport au précédent ; l'union des trois forme un hexagone régulier$
Dans cette question on s'intéresse au script n°2 (celui où l'on multiplie la variable « côté » par 1,2 à chaque tour).
1. Combien de fois le bloc « Motif » est-il exécuté ?
2. Quelle est la valeur de la variable « côté » à la fin de ce script ?

Corrigé

L'instruction « aller à x : $ -100 $ y : 0 » place le lutin au point de coordonnées $ (-100\,;\,0) $.
Le bloc « Motif » trace deux triangles équilatéraux successifs partageant un même côté horizontal :
- la première boucle « répéter 3 fois (avancer + tourner droite 120°) » trace un triangle équilatéral pointant vers le bas ;
- la seconde boucle « répéter 3 fois (avancer + tourner gauche 120°) » repart du même point de départ et trace un triangle équilatéral pointant vers le haut.
L'assemblage des deux triangles forme un losange (rhombe régulier) dont les angles sont 60° et 120° et dont les côtés mesurent 80 pas, soit $ 80 \div 20 = 4 $ cm sur le dessin.

$Losange formé par deux triangles équilatéraux assemblés sur leur base horizontale, côté 4 cm, angles aigus 60^{\circ} à gauche et à droite, angles obtus 120^{\circ} en haut et en bas$
Script 1 (« avancer de 100 pas » entre chaque Motif) : entre deux losanges, le lutin se déplace en ligne droite de 100 pas, sans tourner. Il trace donc trois losanges identiques alignés horizontalement et séparés. C'est la Figure A.

Script 2 (« mettre côté à côté × 1,2 ») : la taille du losange est multipliée par 1,2 à chaque tour. On obtient trois losanges concentriques de tailles croissantes. C'est la Figure B.

Script 3 (« tourner droite de 120 degrés ») : entre chaque losange, le lutin pivote de 120° autour du point de départ, puis trace un nouveau losange à partir de ce point. On obtient trois losanges disposés autour d'un sommet commun (rosace). C'est la Figure C.

Remarque

La numérotation A/B/C peut différer dans le sujet original ; ce qui compte est de relier la modification du script à l'effet géométrique produit.
1. Le bloc « répéter 3 fois » du script principal exécute la boucle 3 fois ; à chaque tour, on appelle « Motif » exactement une fois.
  
  Le bloc « Motif » est donc exécuté 3 fois.
2. La variable « côté » est mise à jour après le tracé de chaque Motif, dans la boucle. On obtient successivement :
  - au départ : $ \text{côté} = 80 $ ;
  - après le 1ᵉʳ tour : $ \text{côté} = 80 \times 1{,}2 = 96 $ ;
  - après le 2ᵉ tour : $ \text{côté} = 96 \times 1{,}2 = 115{,}2 $ ;
  - après le 3ᵉ tour : $ \text{côté} = 115{,}2 \times 1{,}2 = 138{,}24 $.
  À la fin du script, la variable « côté » vaut 138,24.

Scratch – Hexagone et triangles équilatéraux – Brevet Asie 2025

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue.

Remarque

Rappel. L'instruction « s'orienter à 90 » signifie que le lutin se dirige vers la droite.

Partie A

Un élève souhaite tracer un hexagone à partir de 6 triangles équilatéraux comme sur la figure ci-dessous.

Hexagone régulier décomposé en 6 triangles équilatéraux assemblés autour de son centre

Pour cela, il commence par écrire le script ci-dessous du motif « triangle équilatéral » :

Bloc Scratch incomplet définissant triangle équilatéral : ligne 1 définir triangle équilatéral, ligne 2 répéter ... fois (à compléter), ligne 3 avancer de ... pas (à compléter), ligne 4 tourner de ... degrés (à compléter)

Compléter et recopier sur la copie les lignes 2, 3 et 4 du script pour que le lutin dessine un triangle équilatéral de côté 50 pas.
Cet élève teste les deux programmes A et B. Il obtient les deux dessins ci-dessous. Quel programme permet de tracer l'hexagone souhaité ?

Programme A :

Programme B :

Partie B

Un autre élève souhaite tracer un hexagone régulier de 50 pas de côté.

Informations sur les hexagones réguliers : tous les côtés ont la même longueur ; les six angles intérieurs sont égaux et mesurent 120°.

Il a écrit le programme suivant :

Script Scratch incomplet : quand drapeau cliqué, aller à 0;0, s'orienter à 90, stylo en position d'écriture, effacer tout, répéter A fois (deux instructions à compléter)

Sur la copie, recopier le bloc « répéter » en remplaçant A par sa valeur et en le complétant avec 2 instructions choisies parmi les 6 instructions proposées ci-dessous :

avancer de 50 pas
tourner droite de 120 degrés
tourner droite de 60 degrés
avancer de 5 pas
tourner gauche de 120 degrés
tourner gauche de 60 degrés

Corrigé

Partie A

Pour tracer un triangle équilatéral, le lutin doit avancer trois fois de la longueur du côté et tourner d'un angle extérieur de $ 180° - 60° = 120° $ entre deux côtés.

Avec un côté de 50 pas, le bloc devient :
Pour assembler 6 triangles équilatéraux autour d'un même sommet et obtenir un hexagone, il faut que les 6 triangles se suivent angulairement de 60° (soit l'angle au sommet d'un triangle équilatéral). En effet, $ 6 \times 60° = 360° $, ce qui referme bien la figure.

C'est donc le programme A (avec « tourner de 60 degrés ») qui permet de tracer l'hexagone souhaité.

(Le programme B, qui tourne de 120° entre chaque triangle, ne permet de placer que 3 triangles distincts puisque $ 3 \times 120° = 360° $ : on revient au point de départ après seulement 3 itérations.)

Partie B

L'hexagone régulier de côté 50 pas a six côtés identiques. À chaque sommet, le lutin doit tourner d'un angle extérieur égal à $ 180° - 120° = 60° $.

On répète donc 6 fois la séquence « avancer de 50 pas, tourner droite de 60 degrés ».

Script Scratch complété : répéter 6 fois (avancer de 50 pas, tourner droite de 60 degrés)

A = 6 ; les deux instructions à insérer sont « avancer de 50 pas » et « tourner droite de 60 degrés ».

Solides et volumes – Glaçons et verres à cocktail – Brevet Amérique du Sud 2025

Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes.

Remarque

Rappels

Volume du cylindre = Aire de la base × Hauteur du cylindre
Aire du disque = $ \pi \times \text{(rayon)}^2 $
$ 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL} $

Pour un anniversaire, on veut préparer des cocktails de jus de fruits.

Partie 1 : Étude des glaçons

Document : photo du moule à glaçons utilisé et caractéristiques des glaçons.

Vue de dessus d'un moule à glaçons rectangulaire comportant 20 alvéoles disposées en 4 rangées de 5 alvéoles ; à côté, un glaçon en perspective indiquant longueur 5 cm, largeur 2,5 cm, hauteur 1,5 cm

Chaque glaçon a la forme d'un pavé droit :

de longueur 5 cm ;
de largeur 2,5 cm ;
de hauteur 1,5 cm.

On possède 12 moules à glaçons de ce type. Combien peut-on faire de glaçons en même temps ?
Montrer que le volume d'un glaçon est d'environ 19 mL.
5 litres d'eau sont-ils suffisants pour remplir ces 12 moules à glaçons ?

Partie 2 : Le service

On souhaite servir le cocktail dans des verres cylindriques.

Verre cylindrique de hauteur 15 cm et de diamètre 5 cm avec un repère noté h indiquant la hauteur de remplissage à 25 cL

Montrer que le verre a un volume total d'environ 295 mL.
Pour verser précisément 25 cL de cocktail, on utilise des verres avec un repère indiquant une contenance de 25 cL.
1. On a préparé 30 litres de cocktail. Combien peut-on remplir de verres contenant 25 cL de cocktail ?
2. En versant 25 cL de cocktail dans le verre, à quelle hauteur $ h $ du verre, le liquide arrive-t-il ? Arrondir au dixième.

Corrigé

Partie 1 : Étude des glaçons

D'après la photo, chaque moule contient 4 rangées de 5 alvéoles, soit $ 4 \times 5 = 20 $ glaçons.

Avec 12 moules : $ 12 \times 20 = 240 $.

On peut donc faire 240 glaçons en même temps.
Le volume d'un pavé droit est égal au produit de ses trois dimensions :

$ V_{\text{glaçon}} = 5 \times 2{,}5 \times 1{,}5 = 18{,}75 \text{ cm}^3 $

Comme $ 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL} $, on a $ V_{\text{glaçon}} \approx 19 \text{ mL} $.

Le volume d'un glaçon vaut bien environ 19 mL.
On calcule le volume total nécessaire pour remplir les 240 glaçons (en utilisant la valeur exacte 18,75 mL pour ne pas accumuler d'erreurs d'arrondi) :

$ V_{\text{total}} = 240 \times 18{,}75 = 4\,500 \text{ mL} = 4{,}5 \text{ L} $

Comme $ 4{,}5 \text{ L} < 5 \text{ L} $, 5 litres d'eau sont effectivement suffisants pour remplir les 12 moules à glaçons.

Partie 2 : Le service

Le verre est un cylindre de diamètre 5 cm, donc de rayon $ R = 2{,}5 $ cm, et de hauteur $ H = 15 $ cm.

$ V_{\text{verre}} = \pi \times R^2 \times H = \pi \times 2{,}5^2 \times 15 = \pi \times 6{,}25 \times 15 = 93{,}75\pi $

$ V_{\text{verre}} \approx 294{,}52 \text{ cm}^3 \approx 295 \text{ mL} $

Le verre a bien un volume total d'environ 295 mL.
1. On convertit 30 L en cL : $ 30 \text{ L} = 3\,000 \text{ cL} $.
  
  $ \dfrac{3\,000}{25} = 120 $.
  
  On peut donc remplir 120 verres de 25 cL avec les 30 litres de cocktail.
2. On cherche la hauteur $ h $ telle que le volume contenu dans le verre vaille 25 cL = 250 mL = 250 cm³.
  
  Le volume de cocktail à hauteur $ h $ s'écrit $ \pi \times R^2 \times h = 6{,}25\pi \times h $.
  
  On résout :
  
  $ 6{,}25\pi \times h = 250 $
  
  $ h = \dfrac{250}{6{,}25\pi} = \dfrac{40}{\pi} $
  
  $ h \approx 12{,}73 $ cm
  
  Le liquide arrive donc à une hauteur d'environ 12,7 cm dans le verre.

Probabilités – Billes et dés colorés – Brevet Nouvelle-Calédonie 2025

Dans un jeu, les candidats doivent tirer une bille dans une boite et noter sa couleur, puis ils doivent ensuite lancer un dé de la couleur de la bille tirée et noter le résultat obtenu.

Les issues de cette expérience sont donc des couples du type (couleur ; nombre).

Le matériel est le suivant :

La boite contient des billes indiscernables au toucher : 15 rouges, 10 vertes et 5 bleues.
Le dé rouge a 10 faces numérotées de 0 à 9. Le dé vert a 6 faces numérotées de 1 à 6.
Le dé bleu a 4 faces numérotées de 1 à 4.

Pour gagner au jeu il faut obtenir 1 au lancé de dé.

Quelle est la probabilité de tirer une bille bleue dans la boîte ?
Amandine a tiré une bille verte et Alexis a tiré une bille rouge. Qui a le plus de chance de gagner à ce jeu ? Justifier.
Donner l'ensemble des issues possibles de ce jeu. On notera « R » pour rouge, « V » pour vert et « B » pour bleu. Par exemple : l'issue (R ; 3) correspond à : « la bille tirée est rouge et le résultat du lancer de dé est 3 ».

Corrigé

La boîte contient $ 15 + 10 + 5 = 30 $ billes indiscernables au toucher : il y a donc équiprobabilité entre les 30 tirages possibles.

Parmi ces 30 billes, 5 sont bleues. La probabilité de tirer une bille bleue est donc :

$ P(\text{bille bleue}) = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6} $
Une fois la bille tirée, le dé associé à la couleur est lancé. Chaque face a la même probabilité d'apparaître.

Cas d'Amandine (bille verte) : elle lance le dé vert qui a 6 faces.

$ P(\text{obtenir 1 au dé vert}) = \dfrac{1}{6} $

Cas d'Alexis (bille rouge) : il lance le dé rouge qui a 10 faces.

$ P(\text{obtenir 1 au dé rouge}) = \dfrac{1}{10} $

On compare ces deux fractions au même dénominateur 30 :

$ \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{30} $ et $ \dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{30} $.

Comme $ \dfrac{5}{30} > \dfrac{3}{30} $, on a $ \dfrac{1}{6} > \dfrac{1}{10} $.

Amandine a donc plus de chances de gagner que Alexis.
On liste toutes les issues possibles selon la couleur de la bille tirée.

Bille rouge (dé à 10 faces, de 0 à 9) :

$ (R\,;\,0)\,;\,(R\,;\,1)\,;\,(R\,;\,2)\,;\,(R\,;\,3)\,;\,(R\,;\,4)\,;\,(R\,;\,5)\,;\,(R\,;\,6)\,;\,(R\,;\,7)\,;\,(R\,;\,8)\,;\,(R\,;\,9) $

Bille verte (dé à 6 faces, de 1 à 6) :

$ (V\,;\,1)\,;\,(V\,;\,2)\,;\,(V\,;\,3)\,;\,(V\,;\,4)\,;\,(V\,;\,5)\,;\,(V\,;\,6) $

Bille bleue (dé à 4 faces, de 1 à 4) :

$ (B\,;\,1)\,;\,(B\,;\,2)\,;\,(B\,;\,3)\,;\,(B\,;\,4) $

Au total, le jeu admet $ 10 + 6 + 4 = 20 $ issues possibles.

Remarque

Attention : ces 20 issues ne sont pas équiprobables. La probabilité d'obtenir, par exemple, l'issue $ (R\,;\,0) $ est $ \dfrac{15}{30} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{20} $, alors que celle d'obtenir $ (B\,;\,1) $ est $ \dfrac{5}{30} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{24} $.

Probabilités – Roulette de casino – Brevet Métropole 2024

Au casino, la roulette est un jeu de hasard pour lequel chaque joueur mise au choix sur un ou plusieurs numéros.

On lance une bille sur une roue qui tourne, numérotée de 0 à 36.

La bille a la même probabilité de s'arrêter sur chaque numéro.

Roue de la roulette européenne avec 37 cases numérotées de 0 à 36 ; le 0 est vert, les autres cases alternent rouge et noir suivant la disposition standard

Expliquer pourquoi la probabilité que la bille s'arrête sur le numéro 7 est $ \dfrac{1}{37} $.
Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur une case à la fois noire et paire.
1. Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro inférieur ou égal à 6.
2. En déduire la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro supérieur ou égal à 7.
3. Un joueur affirme qu'on a plus de 3 chances sur 4 d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7. A-t-il raison ?

Corrigé

La roue comporte les numéros entiers de 0 à 36, soit $ 37 - 0 + 1 = 37 $ numéros.

L'énoncé précise que la bille a la même probabilité de s'arrêter sur chacun des numéros : il y a donc équiprobabilité entre les 37 issues.

La probabilité d'obtenir le numéro 7 est :

$ P(7) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}} = \dfrac{1}{37} $
D'après la disposition de la roulette européenne, les cases noires portent les numéros : 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33 et 35.

Parmi celles-ci, les numéros pairs sont : 2, 4, 6, 8, 10, 20, 22, 24, 26 et 28, soit 10 cases noires et paires.

$ P(\text{noire et paire}) = \dfrac{10}{37} $
1. Les numéros inférieurs ou égaux à 6 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6, soit 7 issues favorables sur 37.
  
  $ P(\text{numéro} \leqslant 6) = \dfrac{7}{37} $
2. Les événements « obtenir un numéro $ \leqslant 6 $ » et « obtenir un numéro $ \geqslant 7 $ » sont contraires (puisque les numéros sont des entiers de 0 à 36).
  
  $ P(\text{numéro} \geqslant 7) = 1 - P(\text{numéro} \leqslant 6) = 1 - \dfrac{7}{37} = \dfrac{37 - 7}{37} = \dfrac{30}{37} $
3. On compare $ \dfrac{30}{37} $ à $ \dfrac{3}{4} $ en les ramenant au même dénominateur 148 :
  
  $ \dfrac{30}{37} = \dfrac{30 \times 4}{37 \times 4} = \dfrac{120}{148} $ et $ \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 37}{4 \times 37} = \dfrac{111}{148} $.
  
  Comme $ \dfrac{120}{148} > \dfrac{111}{148} $, on a $ \dfrac{30}{37} > \dfrac{3}{4} $.
  
  Le joueur a donc raison : la probabilité d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7 dépasse bien $ \dfrac{3}{4} $.

Probabilités – Tableau à double entrée et produit de tirages – Brevet Polynésie 2024

On dispose de deux boîtes contenant des boules numérotées, indiscernables au toucher.

La première boîte contient trois boules numérotées 2, 3 et 5.

La deuxième boîte contient deux boules numérotées 3 et 5.

On tire au hasard une boule dans la première boîte puis une boule dans la deuxième boîte.

On s'intéresse au produit des nombres inscrits sur ces deux boules.

Par exemple, si on tire la boule numérotée 2 dans la première boîte puis la boule numérotée 5 dans la deuxième boîte, on obtient comme résultat : $ 2 \times 5 = 10 $.

Compléter le tableau à double entrée ci-dessous afin de faire apparaître tous les résultats possibles de cette expérience.

2ᵉ tirage : 3 2ᵉ tirage : 5

1ᵉʳ tirage : 2 $ 2 \times 5 = 10 $

1ᵉʳ tirage : 3

1ᵉʳ tirage : 5 15
Quelle est la probabilité d'obtenir 15 comme résultat ?
L'affirmation suivante est-elle vraie ?

Affirmation : Il y a 2 chances sur 3 d'obtenir un multiple de 3.
On ajoute une troisième boîte contenant deux boules numérotées avec des nombres entiers.

On tire au hasard une boule dans la première boîte, puis une boule dans la deuxième boîte, puis une boule dans la troisième boîte.

On multiplie les nombres inscrits sur ces boules et on s'intéresse au produit de ces trois nombres. Anissa a obtenu comme résultat 165 et Bilel a obtenu 78.

Quels sont les nombres inscrits sur les boules de la troisième boîte ?

	2ᵉ tirage : 3	2ᵉ tirage : 5
1ᵉʳ tirage : 2		$ 2 \times 5 = 10 $
1ᵉʳ tirage : 3
1ᵉʳ tirage : 5	15

Corrigé

On effectue tous les produits possibles entre une boule de la première boîte et une boule de la deuxième boîte.

	2ᵉ tirage : 3	2ᵉ tirage : 5
1ᵉʳ tirage : 2	$ 2 \times 3 = 6 $	$ 2 \times 5 = 10 $
1ᵉʳ tirage : 3	$ 3 \times 3 = 9 $	$ 3 \times 5 = 15 $
1ᵉʳ tirage : 5	$ 5 \times 3 = 15 $	$ 5 \times 5 = 25 $

L'expérience comporte $ 3 \times 2 = 6 $ issues équiprobables. D'après le tableau, le résultat 15 apparaît 2 fois (avec les tirages $ (3\,;\,5) $ et $ (5\,;\,3) $).

$ P(\text{obtenir 15}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} $
On dénombre dans le tableau les résultats qui sont des multiples de 3 : ce sont 6, 9, 15 et 15, soit 4 issues sur 6.

$ P(\text{multiple de 3}) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} $

L'affirmation « Il y a 2 chances sur 3 d'obtenir un multiple de 3 » est donc vraie.
On note $ a $ et $ b $ les deux nombres entiers inscrits sur les boules de la troisième boîte.

D'après le tableau, le produit des deux premières boules appartient à l'ensemble $ \{6\,;\,9\,;\,10\,;\,15\,;\,25\} $.

Cas d'Anissa. Le produit final est 165. On cherche un produit $ p $ de la liste qui divise 165 :

$ 165 = 3 \times 5 \times 11 $.

Le seul élément de la liste $ \{6\,;\,9\,;\,10\,;\,15\,;\,25\} $ qui divise 165 est 15. On a alors $ 165 = 15 \times 11 $, donc l'une des boules de la troisième boîte porte le nombre 11.

Cas de Bilel. Le produit final est 78. On cherche de même un diviseur de 78 dans la liste :

$ 78 = 2 \times 3 \times 13 $.

Le seul élément de la liste qui divise 78 est 6. On a alors $ 78 = 6 \times 13 $, donc l'autre boule de la troisième boîte porte le nombre 13.

La troisième boîte contient les deux boules numérotées 11 et 13.

Probabilités – Urnes A et B – Brevet Métropole 2025

On dispose d'une urne A contenant 6 boules numérotées : 7 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30
et d'une urne B contenant 9 boules numérotées : 2 ; 5 ; 6 ; 8 ; 17 ; 18 ; 21 ; 22 ; 25.

Les boules sont indiscernables au toucher.

On tire une boule dans l'urne A, quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
On tire une boule dans l'urne B, justifier que la probabilité d'obtenir un nombre premier est de $ \dfrac{1}{3} $.
Quelle urne contient le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6 ?
On tire une boule au hasard dans l'une des urnes. Démontrer que la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est la même quelle que soit l'urne choisie.
En repartant avec la composition initiale des urnes A et B on décide d'ajouter une boule numérotée 50 dans chacune d'entre elles. Dans ces conditions, la probabilité d'obtenir un résultat supérieur ou égal à 20 est-elle toujours égale quelle que soit l'urne choisie ?

Corrigé

L'urne A contient 6 boules au total. Les nombres pairs parmi $ \{7\,;\,10\,;\,12\,;\,15\,;\,24\,;\,30\} $ sont 10, 12, 24 et 30, soit 4 boules.

La probabilité d'obtenir un nombre pair est donc :

$ p_1 = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} $
L'urne B contient 9 boules au total. Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Parmi $ \{2\,;\,5\,;\,6\,;\,8\,;\,17\,;\,18\,;\,21\,;\,22\,;\,25\} $, les nombres premiers sont 2, 5 et 17, soit 3 boules.

La probabilité d'obtenir un nombre premier est donc :

$ p_2 = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} $
On dénombre les multiples de 6 dans chaque urne.

Dans l'urne A : 12, 24 et 30 sont des multiples de 6, soit 3 boules.

Dans l'urne B : 6 et 18 sont des multiples de 6, soit 2 boules.

L'urne A contient donc le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6.
On compte dans chaque urne le nombre de boules portant un numéro supérieur ou égal à 20.

Dans l'urne A (6 boules) : 24 et 30 conviennent, soit 2 boules.

$ p_A = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} $

Dans l'urne B (9 boules) : 21, 22 et 25 conviennent, soit 3 boules.

$ p_B = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} $

On a $ p_A = p_B = \dfrac{1}{3} $ : la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est bien la même dans les deux urnes.
On ajoute la boule 50 dans chaque urne.

L'urne A contient maintenant 7 boules. Les boules de numéro $ \geqslant 20 $ sont 24, 30 et 50, soit 3 boules :

$ p'_A = \dfrac{3}{7} $

L'urne B contient maintenant 10 boules. Les boules de numéro $ \geqslant 20 $ sont 21, 22, 25 et 50, soit 4 boules :

$ p'_B = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} $

On compare ces deux fractions en les ramenant au même dénominateur 35 :

$ p'_A = \dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{35} $ et $ p'_B = \dfrac{2}{5} = \dfrac{14}{35} $.

Comme $ \dfrac{15}{35} \neq \dfrac{14}{35} $, on a $ p'_A \neq p'_B $.

Les probabilités ne sont donc plus égales : il vaut mieux choisir l'urne A pour avoir un nombre supérieur ou égal à 20.

Triangles équilatéraux et variable – Brevet Amérique du Sud 2025

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue

Une élève utilise un logiciel de programmation pour réaliser des dessins à partir d'un triangle équilatéral. Elle crée le bloc « triangle » ci-contre.

Bloc triangle : définir triangle, stylo en position d'écriture, répéter ... fois, avancer de côté pas, tourner droite de ... degrés

Sur la copie, recopier et compléter les lignes 3 et 5 du bloc « triangle » afin qu'il dessine un triangle équilatéral.

Elle utilise maintenant le bloc « triangle » pour l'intégrer dans différents programmes.
Associer chaque programme au dessin qu'il permet de réaliser.
On indiquera sur la copie le numéro du dessin et la lettre du programme associé.

On rappelle que l'instruction

permet de s'orienter vers la droite.
On s'intéresse maintenant au programme ci-dessous. En prenant 1 cm pour 10 pas, construire sur la copie le dessin obtenu lorsque le programme s'exécute.

Corrigé

Un triangle équilatéral a 3 côtés, donc la boucle se répète 3 fois (ligne 3).

L'angle extérieur d'un triangle équilatéral vaut $ 120° $, donc le lutin tourne de 120 degrés (ligne 5).

Le bloc complété :
Analysons chaque programme :

Programme A : le lutin trace un triangle, puis tourne de $ 90° $ à droite, trace un nouveau triangle orienté différemment, et ainsi de suite 4 fois. Les 4 triangles sont tracés depuis le même point de départ avec des orientations à $ 90° $ l'une de l'autre. Cela forme une étoile à 4 branches.
Le programme A correspond au dessin 2.

Programme B : le lutin trace un triangle, puis avance de « côté » pas (soit 20 pas) vers la droite, trace un nouveau triangle, avance encore, etc. Les 4 triangles sont alignés côte à côte, mais séparés d'un espace car le lutin avance d'un côté entier après chaque triangle. Comme le bloc « triangle » ramène le lutin au point de départ du triangle (car $ 3 \times 120° = 360° $), l'avance de 20 pas décale le départ du triangle suivant.
Le programme B correspond au dessin 1.
Le programme trace 4 triangles équilatéraux depuis le même point de départ (le lutin revient à sa position initiale après chaque triangle). A chaque itération, la variable « côté » est multipliée par 2 :
- 1er triangle : côté = 20 pas, soit 2 cm
- 2e triangle : côté = $ 20 \times 2 = 40 $ pas, soit 4 cm
- 3e triangle : côté = $ 40 \times 2 = 80 $ pas, soit 8 cm
- 4e triangle : côté = $ 80 \times 2 = 160 $ pas, soit 16 cm
On obtient 4 triangles équilatéraux imbriqués, tous partant du même sommet, de côtés 2 cm, 4 cm, 8 cm et 16 cm.