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Scratch – Losange et motif – Brevet Amérique du Sud 2024

On considère le bloc « Losange » suivant ainsi que le losange obtenu en l'exécutant :

À gauche : bloc Scratch Losange — stylo en position d'écriture, répéter 2 fois (avancer de 20, tourner droite de 60 degrés, avancer de a, tourner droite de b degrés), relever le stylo. À droite : losange (rhombe) avec deux angles aigus de 60^{\circ} et deux angles obtus de 120^{\circ}, côté 20 pas, le point de départ étant un sommet d'angle aigu.
  1. Dans le bloc « Losange », par quelles valeurs faut-il remplacer $ a $ et $ b $ pour obtenir le losange ci-dessus ?

  2. On définit ensuite un nouveau bloc nommé « Motif A » :

    Bloc Motif A : répéter 3 fois (Losange, tourner droite de 60 degrés)

    Parmi les figures suivantes, quelle est celle qui est obtenue en exécutant le bloc « Motif A » ?

    • Figure 1 : trois losanges identiques disposés autour d'un sommet commun, chacun tourné de 60° par rapport au précédent (rosace incomplète à 3 branches sur 180°).
    • Figure 2 : trois losanges identiques alignés horizontalement et séparés.
    • Figure 3 : trois losanges concentriques de tailles différentes.

  3. On a défini un nouveau bloc nommé « Motif B ». En l'exécutant, on a obtenu la figure ci-dessous (rosace complète formée de 6 losanges identiques disposés autour d'un sommet commun).

    Rosace formée de 6 losanges identiques disposés autour d'un sommet commun, chacun tourné de 60^{\circ} par rapport au précédent

    Écrire un script du bloc « Motif B ».

Corrigé

  1. Un losange a quatre côtés égaux. Comme deux côtés mesurent 20 pas, on doit avoir $ a = 20 $.

    Pour la valeur de $ b $ : à chaque sommet, le lutin tourne d'un angle extérieur. Pour fermer la figure (faire un tour complet), la somme des angles extérieurs doit valoir 360°. Dans une exécution complète du bloc, le lutin tourne 4 fois : deux fois de 60° et deux fois de $ b° $. On a donc :

    $ 2 \times 60 + 2 \times b = 360 $

    $ 120 + 2b = 360 $

    $ 2b = 240 $

    $ b = 120 $

    Il faut prendre $ a = 20 $ et $ b = 120 $.

    (On vérifie : aux sommets « aigus » du losange, l'angle extérieur de 120° correspond à un angle intérieur de 60° ; aux sommets « obtus », l'angle extérieur de 60° correspond à un angle intérieur de 120°. C'est bien la structure du losange dessiné.)

  2. Le bloc « Motif A » trace 3 losanges en pivotant de 60° entre chacun, tous à partir du point initial. Comme $ 3 \times 60° = 180° $, on n'effectue que la moitié du tour complet : on obtient une demi-rosace.

    C'est la Figure 1 (trois losanges autour d'un même sommet, tournés de 60° l'un par rapport à l'autre).

  3. La rosace complète comporte 6 losanges identiques, chacun tourné de 60° par rapport au précédent ($ 6 \times 60° = 360° $). On reprend la structure de « Motif A » en remplaçant 3 par 6 :

    Bloc Motif B : répéter 6 fois (Losange, tourner droite de 60 degrés)

Scratch – Motif de deux triangles équilatéraux et variable côté – Brevet Asie 2024

On donne le programme suivant.

Remarque

Rappel. L'instruction « s'orienter à 90 » signifie que le lutin se dirige vers la droite.

Script principal :

Script principal Scratch : quand drapeau cliqué, aller à x=-100 y=0, s'orienter à 90, effacer tout, mettre côté à 80, appel du bloc Motif

Définition du bloc Motif :

Définition du bloc Motif : stylo en position d'écriture, répéter 3 fois (avancer de côté pas, tourner droite de 120 degrés), répéter 3 fois (avancer de côté pas, tourner gauche de 120 degrés), relever le stylo

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue.

  1. À quelles coordonnées le lutin se positionne-t-il juste après avoir cliqué sur le drapeau vert ?
  2. En prenant 1 cm pour 20 pas, dessiner en vraie grandeur la figure obtenue en exécutant le script principal.

  3. On modifie le script principal de trois façons différentes. Associer chaque script à la figure qui lui correspond.

    Script n°1 :

    Script 1 modifié : répéter 3 fois (Motif, avancer de 100 pas)

    Script n°2 :

    Script 2 modifié : répéter 3 fois (Motif, mettre côté à côté * 1.2)

    Script n°3 :

    Script 3 modifié : répéter 3 fois (Motif, tourner droite de 120 degrés)

    Les trois figures à associer aux scripts sont les suivantes :

    Figure A :

    Trois losanges identiques alignés horizontalement, espacés régulièrement, chacun ayant ses angles aigus de 60^{\circ} au sommet et à la base et ses angles obtus de 120^{\circ} à gauche et à droite

    Figure B :

    Trois losanges concentriques de tailles croissantes partageant le même sommet de gauche, le plus petit à l'intérieur du moyen, lui-même à l'intérieur du plus grand

    Figure C :

    Trois losanges identiques disposés autour d'un sommet commun en formant une rosace, chacun tourné de 120^{\circ} par rapport au précédent ; l'union des trois forme un hexagone régulier

  4. Dans cette question on s'intéresse au script n°2 (celui où l'on multiplie la variable « côté » par 1,2 à chaque tour).

    1. Combien de fois le bloc « Motif » est-il exécuté ?
    2. Quelle est la valeur de la variable « côté » à la fin de ce script ?

Corrigé

  1. L'instruction « aller à x : $ -100 $ y : 0 » place le lutin au point de coordonnées $ (-100\,;\,0) $.

  2. Le bloc « Motif » trace deux triangles équilatéraux successifs partageant un même côté horizontal :

    • la première boucle « répéter 3 fois (avancer + tourner droite 120°) » trace un triangle équilatéral pointant vers le bas ;
    • la seconde boucle « répéter 3 fois (avancer + tourner gauche 120°) » repart du même point de départ et trace un triangle équilatéral pointant vers le haut.

    L'assemblage des deux triangles forme un losange (rhombe régulier) dont les angles sont 60° et 120° et dont les côtés mesurent 80 pas, soit $ 80 \div 20 = 4 $ cm sur le dessin.

    Losange formé par deux triangles équilatéraux assemblés sur leur base horizontale, côté 4 cm, angles aigus 60^{\circ} à gauche et à droite, angles obtus 120^{\circ} en haut et en bas

  3. Script 1 (« avancer de 100 pas » entre chaque Motif) : entre deux losanges, le lutin se déplace en ligne droite de 100 pas, sans tourner. Il trace donc trois losanges identiques alignés horizontalement et séparés. C'est la Figure A.

    Script 2 (« mettre côté à côté × 1,2 ») : la taille du losange est multipliée par 1,2 à chaque tour. On obtient trois losanges concentriques de tailles croissantes. C'est la Figure B.

    Script 3 (« tourner droite de 120 degrés ») : entre chaque losange, le lutin pivote de 120° autour du point de départ, puis trace un nouveau losange à partir de ce point. On obtient trois losanges disposés autour d'un sommet commun (rosace). C'est la Figure C.

    Remarque

    La numérotation A/B/C peut différer dans le sujet original ; ce qui compte est de relier la modification du script à l'effet géométrique produit.

    1. Le bloc « répéter 3 fois » du script principal exécute la boucle 3 fois ; à chaque tour, on appelle « Motif » exactement une fois.

      Le bloc « Motif » est donc exécuté 3 fois.

    2. La variable « côté » est mise à jour après le tracé de chaque Motif, dans la boucle. On obtient successivement :

      • au départ : $ \text{côté} = 80 $ ;
      • après le 1ᵉʳ tour : $ \text{côté} = 80 \times 1{,}2 = 96 $ ;
      • après le 2ᵉ tour : $ \text{côté} = 96 \times 1{,}2 = 115{,}2 $ ;
      • après le 3ᵉ tour : $ \text{côté} = 115{,}2 \times 1{,}2 = 138{,}24 $.

      À la fin du script, la variable « côté » vaut 138,24.

Scratch – Hexagone et triangles équilatéraux – Brevet Asie 2025

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue.

Remarque

Rappel. L'instruction « s'orienter à 90 » signifie que le lutin se dirige vers la droite.

Partie A

Un élève souhaite tracer un hexagone à partir de 6 triangles équilatéraux comme sur la figure ci-dessous.

Hexagone régulier décomposé en 6 triangles équilatéraux assemblés autour de son centre

Pour cela, il commence par écrire le script ci-dessous du motif « triangle équilatéral » :

Bloc Scratch incomplet définissant triangle équilatéral : ligne 1 définir triangle équilatéral, ligne 2 répéter ... fois (à compléter), ligne 3 avancer de ... pas (à compléter), ligne 4 tourner de ... degrés (à compléter)
  1. Compléter et recopier sur la copie les lignes 2, 3 et 4 du script pour que le lutin dessine un triangle équilatéral de côté 50 pas.
  2. Cet élève teste les deux programmes A et B. Il obtient les deux dessins ci-dessous. Quel programme permet de tracer l'hexagone souhaité ?

Programme A :

Programme A : quand touche A pressée, aller à 0;0, s'orienter à 90, effacer tout, stylo en position d'écriture, répéter 6 fois (triangle équilatéral, tourner droite de 60 degrés)

Programme B :

Programme B : quand touche B pressée, aller à 0;0, s'orienter à 90, effacer tout, stylo en position d'écriture, répéter 6 fois (triangle équilatéral, tourner droite de 120 degrés)

Partie B

Un autre élève souhaite tracer un hexagone régulier de 50 pas de côté.

Informations sur les hexagones réguliers : tous les côtés ont la même longueur ; les six angles intérieurs sont égaux et mesurent 120°.

Il a écrit le programme suivant :

Script Scratch incomplet : quand drapeau cliqué, aller à 0;0, s'orienter à 90, stylo en position d'écriture, effacer tout, répéter A fois (deux instructions à compléter)

Sur la copie, recopier le bloc « répéter » en remplaçant A par sa valeur et en le complétant avec 2 instructions choisies parmi les 6 instructions proposées ci-dessous :

  • avancer de 50 pas
  • tourner droite de 120 degrés
  • tourner droite de 60 degrés
  • avancer de 5 pas
  • tourner gauche de 120 degrés
  • tourner gauche de 60 degrés

Corrigé

Partie A

  1. Pour tracer un triangle équilatéral, le lutin doit avancer trois fois de la longueur du côté et tourner d'un angle extérieur de $ 180° - 60° = 120° $ entre deux côtés.

    Avec un côté de 50 pas, le bloc devient :

    Bloc Scratch complété : ligne 1 définir triangle équilatéral, ligne 2 répéter 3 fois, ligne 3 avancer de 50 pas, ligne 4 tourner droite de 120 degrés

  2. Pour assembler 6 triangles équilatéraux autour d'un même sommet et obtenir un hexagone, il faut que les 6 triangles se suivent angulairement de 60° (soit l'angle au sommet d'un triangle équilatéral). En effet, $ 6 \times 60° = 360° $, ce qui referme bien la figure.

    C'est donc le programme A (avec « tourner de 60 degrés ») qui permet de tracer l'hexagone souhaité.

    (Le programme B, qui tourne de 120° entre chaque triangle, ne permet de placer que 3 triangles distincts puisque $ 3 \times 120° = 360° $ : on revient au point de départ après seulement 3 itérations.)

Partie B

L'hexagone régulier de côté 50 pas a six côtés identiques. À chaque sommet, le lutin doit tourner d'un angle extérieur égal à $ 180° - 120° = 60° $.

On répète donc 6 fois la séquence « avancer de 50 pas, tourner droite de 60 degrés ».

Script Scratch complété : répéter 6 fois (avancer de 50 pas, tourner droite de 60 degrés)

A = 6 ; les deux instructions à insérer sont « avancer de 50 pas » et « tourner droite de 60 degrés ».

Fonctions affines – Tarifs de deux carreleurs – Brevet Polynésie septembre 2025

On veut poser du carrelage sur le sol intérieur d'une maison.

Le carreleur A fait payer 80 € par m².

Le carreleur B fait payer 60 € par m² auxquels il faut ajouter 970 € pour la mise en place du chantier.

  1. Montrer que pour une surface dont l'aire est de 20 m², le prix est de 1 600 € avec le carreleur A et de 2 170 € avec le carreleur B.
  2. Calculer le prix à payer pour une surface dont l'aire est 60 m² avec le carreleur A, puis avec le carreleur B.

  3. On désigne par $ x $ l'aire de la surface à carreler exprimée en m².

    • On appelle $ f $ la fonction qui à l'aire à carreler en m² associe le prix en euros à payer avec le carreleur A. On admet que $ f $ est définie par $ f(x) = 80x $.
    • On appelle $ g $ la fonction qui à l'aire à carreler en m² associe le prix en euros à payer avec le carreleur B. On admet que $ g $ est définie par $ g(x) = 60x + 970 $.
    1. Quelle est l'image de 70 par la fonction $ f $ ?
    2. Quel est l'antécédent de 2 400 par la fonction $ f $ ?
    3. Sur le graphique fourni en annexe, on a tracé la représentation graphique de la fonction $ g $.
      Tracer la représentation graphique de la fonction $ f $ sur ce même graphique.
  4. En utilisant le graphique fourni en annexe, estimer l'aire maximale en m² que l'on peut carreler avec un budget de 2 800 € si l'on choisit le carreleur B.
  5. Calculer l'aire en m² pour laquelle on paie exactement le même prix avec le carreleur A et le carreleur B.

Annexe

Repère orthogonal avec en abscisse l'aire en mètres carrés (de 0 à 60) et en ordonnée le prix en euros (de 0 à 5000) ; la droite g(x)=60x+970 du carreleur B est tracée en bleu, partant de (0,970) jusqu'à (60,4570)

Corrigé

  1. Carreleur A : $ 80 \times 20 = 1\,600 $ €. Le prix est bien de 1 600 €.

    Carreleur B : $ 60 \times 20 + 970 = 1\,200 + 970 = 2\,170 $ €. Le prix est bien de 2 170 €.

  2. Pour une surface de 60 m² :

    Carreleur A : $ 80 \times 60 = 4\,800 $ €.

    Carreleur B : $ 60 \times 60 + 970 = 3\,600 + 970 = 4\,570 $ €.

    Pour 60 m², on paie 4 800 € avec le carreleur A et 4 570 € avec le carreleur B.

    1. L'image de 70 par $ f $ est $ f(70) = 80 \times 70 = 5\,600 $.

      $ f(70) = 5\,600 $

    2. On cherche $ x $ tel que $ f(x) = 2\,400 $, c'est-à-dire $ 80x = 2\,400 $, d'où $ x = \dfrac{2\,400}{80} = 30 $.

      L'antécédent de 2 400 par $ f $ est 30.

    3. La fonction $ f $ est linéaire : sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Pour la tracer, il suffit de placer un second point, par exemple $ (60\,;\,4\,800) $ d'après la question 2, et de joindre ce point à l'origine.

      Mêmes axes que l'annexe avec en plus la droite f(x)=80x du carreleur A tracée en rouge, passant par l'origine et le point (60, 4800)

  4. On lit l'antécédent de 2 800 € par la fonction $ g $ : on repère 2 800 sur l'axe des ordonnées, on se déplace horizontalement jusqu'à la droite représentant $ g $, puis verticalement jusqu'à l'axe des abscisses.

    On lit graphiquement environ 30 m².

    Remarque

    On peut vérifier par le calcul : $ g(x) = 2\,800 \;\Leftrightarrow\; 60x + 970 = 2\,800 \;\Leftrightarrow\; 60x = 1\,830 \;\Leftrightarrow\; x = 30{,}5 $ m², ce qui est cohérent avec la lecture graphique.

  5. On cherche l'aire $ x $ pour laquelle $ f(x) = g(x) $ :

    $ 80x = 60x + 970 $

    $ 80x - 60x = 970 $

    $ 20x = 970 $

    $ x = \dfrac{970}{20} = 48{,}5 $.

    Pour une aire de 48,5 m², les deux carreleurs facturent le même prix.

    (On peut vérifier : $ f(48{,}5) = 80 \times 48{,}5 = 3\,880 $ € et $ g(48{,}5) = 60 \times 48{,}5 + 970 = 2\,910 + 970 = 3\,880 $ €.)

Triangles équilatéraux et variable – Brevet Amérique du Sud 2025

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue

Une élève utilise un logiciel de programmation pour réaliser des dessins à partir d'un triangle équilatéral. Elle crée le bloc « triangle » ci-contre.

Bloc triangle : définir triangle, stylo en position d'écriture, répéter ... fois, avancer de côté pas, tourner droite de ... degrés

  1. Sur la copie, recopier et compléter les lignes 3 et 5 du bloc « triangle » afin qu'il dessine un triangle équilatéral.

    Elle utilise maintenant le bloc « triangle » pour l'intégrer dans différents programmes.

  2. Associer chaque programme au dessin qu'il permet de réaliser.
    On indiquera sur la copie le numéro du dessin et la lettre du programme associé.

    Programme A : quand drapeau cliqué, s'orienter à 90, mettre côté à 20, répéter 4 fois triangle tourner droite de 90 degrés
    Programme B : quand drapeau cliqué, s'orienter à 90, mettre côté à 20, répéter 4 fois triangle avancer de côté pas

    On rappelle que l'instruction

    s'orienter à 90 degrés

    permet de s'orienter vers la droite.

    Dessin 1 : 4 triangles alignés côte à côte, séparés. Dessin 2 : étoile à 4 branches formée de triangles orientés dans les 4 directions. Dessin 3 : 4 triangles accolés en frise.

  3. On s'intéresse maintenant au programme ci-dessous. En prenant 1 cm pour 10 pas, construire sur la copie le dessin obtenu lorsque le programme s'exécute.

    Programme : quand drapeau cliqué, s'orienter à 90, mettre côté à 20, répéter 4 fois triangle mettre côté à côté fois 2

Corrigé

  1. Un triangle équilatéral a 3 côtés, donc la boucle se répète 3 fois (ligne 3).

    L'angle extérieur d'un triangle équilatéral vaut $ 120° $, donc le lutin tourne de 120 degrés (ligne 5).

    Le bloc complété :

    Bloc triangle complété : répéter 3 fois, avancer de côté pas, tourner droite de 120 degrés

  2. Analysons chaque programme :

    Programme A : le lutin trace un triangle, puis tourne de $ 90° $ à droite, trace un nouveau triangle orienté différemment, et ainsi de suite 4 fois. Les 4 triangles sont tracés depuis le même point de départ avec des orientations à $ 90° $ l'une de l'autre. Cela forme une étoile à 4 branches.
    Le programme A correspond au dessin 2.

    Programme B : le lutin trace un triangle, puis avance de « côté » pas (soit 20 pas) vers la droite, trace un nouveau triangle, avance encore, etc. Les 4 triangles sont alignés côte à côte, mais séparés d'un espace car le lutin avance d'un côté entier après chaque triangle. Comme le bloc « triangle » ramène le lutin au point de départ du triangle (car $ 3 \times 120° = 360° $), l'avance de 20 pas décale le départ du triangle suivant.
    Le programme B correspond au dessin 1.

  3. Le programme trace 4 triangles équilatéraux depuis le même point de départ (le lutin revient à sa position initiale après chaque triangle). A chaque itération, la variable « côté » est multipliée par 2 :

    • 1er triangle : côté = 20 pas, soit 2 cm
    • 2e triangle : côté = $ 20 \times 2 = 40 $ pas, soit 4 cm
    • 3e triangle : côté = $ 40 \times 2 = 80 $ pas, soit 8 cm
    • 4e triangle : côté = $ 80 \times 2 = 160 $ pas, soit 16 cm

    On obtient 4 triangles équilatéraux imbriqués, tous partant du même sommet, de côtés 2 cm, 4 cm, 8 cm et 16 cm.

    4 triangles équilatéraux imbriqués de côtés 2, 4, 8 et 16 cm, partant du même sommet en bas à gauche

Scripts et spirale de rectangles – Brevet Nouvelle-Calédonie 2025

  1. Associer à chaque script ci-dessous la figure qui lui correspond.
    Sur la copie, indiquer le numéro du script et la figure correspondante.

    Script 1 : quand drapeau cliqué, stylo en position d'écriture, répéter 3 fois avancer de 100 pas tourner gauche de 60 degrés
    Script 2 : quand drapeau cliqué, stylo en position d'écriture, répéter 3 fois avancer de 100 pas tourner gauche de 90 degrés
    Script 3 : quand drapeau cliqué, stylo en position d'écriture, répéter 3 fois avancer de 100 pas tourner gauche de 120 degrés
    Figure A : un angle droit ouvert (deux côtés perpendiculaires). Figure B : un triangle pointe en bas. Figure C : un angle obtus ouvert (deux côtés formant un angle de 60 degrés).

    Le script ci-dessous commande la construction de la figure D.

    Script pour la figure D : quand drapeau cliqué, stylo en position d'écriture, avancer de 20 pas, tourner gauche de 90 degrés, avancer de 40 pas, tourner gauche de 90 degrés, avancer de 60 pas, tourner gauche de 90 degrés, avancer de 80 pas, tourner gauche de 90 degrés
    Figure D : un petit angle droit en spirale. Figure E : une spirale de rectangles imbriqués.

  2. Compléter le script sur l'annexe 2 qui commande la construction de la figure E.

    Script à compléter pour la figure E : quand drapeau cliqué, mettre longueur à ..., stylo en position d'écriture, répéter ... fois, avancer de longueur pas, tourner gauche de 90 degrés, ajouter ... à longueur

Corrigé

  1. Analysons chaque script. Les trois scripts répètent 3 fois « avancer de 100 pas » puis « tourner à gauche ». Seul l'angle de rotation change.

    Script 1 : l'angle de rotation est $ 60° $. Tourner à gauche de $ 60° $ trois fois donne un angle total de $ 3 \times 60° = 180° $. Le lutin trace 3 segments en tournant peu à chaque fois : il dessine un tracé ouvert en forme de chevron. Le script 1 correspond à la figure C.

    Script 2 : l'angle de rotation est $ 90° $. Tourner à gauche de $ 90° $ trois fois donne $ 3 \times 90° = 270° $. Le lutin trace 3 côtés d'un carré (il manque le 4e côté). Le script 2 correspond à la figure A.

    Script 3 : l'angle de rotation est $ 120° $. Comme $ 3 \times 120° = 360° $, le lutin fait un tour complet et trace un triangle équilatéral fermé. Le script 3 correspond à la figure B.

  2. En observant la figure D, la spirale est tracée avec des segments dont la longueur augmente de 20 pas à chaque étape : 20, 40, 60, 80...

    Le lutin tourne toujours de $ 90° $ à gauche et la longueur augmente de 20 à chaque segment.

    Pour la figure E, on observe 8 segments (la spirale fait deux tours complets, soit $ 2 \times 4 = 8 $ segments).

    Le script complété :

    Script complété pour la figure E : mettre longueur à 20, répéter 8 fois, avancer de longueur, tourner gauche 90, ajouter 20 à longueur

    Les valeurs à compléter sont :

    • mettre longueur à 20 (valeur initiale du premier segment)
    • répéter 8 fois (nombre de segments de la spirale E)
    • ajouter 20 à longueur (incrément constant entre chaque segment)

Digicode et probabilités – Brevet Centres étrangers 2025

Un digicode commande l'ouverture de la porte d'entrée de la maison de la grand-mère de Léna.
Léna a oublié le code. Elle sait qu'il est composé d'une lettre A, B, ou C, suivie d'un chiffre compris entre 0 et 9.

  1. Proposer deux codes différents que Léna peut tester.
  2. Quelle est la probabilité que la grand-mère de Léna ait choisi la lettre C dans son code ?
  3. Montrer que la probabilité que la grand-mère de Léna ait choisi le chiffre 7 dans son code est $ \dfrac{1}{10} $.
  4. Léna se souvient que sa grand-mère, enseignante de mathématiques à la retraite, aime bien les nombres premiers. Quelle est la probabilité que le code choisi par sa grand-mère comporte un nombre premier ?
    1. Léna décide de tester tous les codes possibles. Elle estime qu'il lui faut 5 secondes pour essayer un code. Réussira-t-elle à ouvrir la porte de la maison en moins de 3 minutes ?
    2. Le format de ce code garantit-il la sécurité de la maison ? Comment pourrait-on améliorer ce système de code ?

  6. Chaque fois qu'un utilisateur saisit un code, un programme lui annonce si le code est correct ou faux. Le programme utilisé est noté ci-dessous.

    Programme Scratch : quand drapeau cliqué, demander Saisir une lettre parmi A B et C et attendre, mettre lettre saisie à réponse, demander Saisir un nombre entre 0 et 9 et attendre, mettre chiffre saisi à réponse, si lettre saisie = B et chiffre saisi = 7 alors dire Code correct pendant 2 secondes sinon dire Code faux pendant 2 secondes
    1. Léna saisit le code B5. Qu'affiche le programme ?
    2. D'après ce programme, quel est le code qui permet d'entrer dans l'immeuble de la grand-mère de Léna ?

Corrigé

  1. On peut proposer par exemple A3 et C8.

    (Tout code formé d'une lettre parmi A, B, C suivie d'un chiffre de 0 à 9 convient.)

  2. Il y a 3 lettres possibles (A, B et C) et chacune a la même probabilité d'être choisie.

    La probabilité que la grand-mère ait choisi la lettre C est $\mathbf{\dfrac{1}{3}}$.

  3. Il y a 10 chiffres possibles (de 0 à 9) et chacun a la même probabilité d'être choisi.

    La probabilité que le chiffre soit 7 vaut donc :

    $ \dfrac{1}{10} $

  4. Les nombres premiers compris entre 0 et 9 sont : 2, 3, 5 et 7. Il y en a 4.

    La probabilité que le code comporte un nombre premier est $\mathbf{\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}}$.

    1. Le nombre total de codes possibles est :
      $ 3 \times 10 = 30 $

      Le temps nécessaire pour tester tous les codes est :
      $ 30 \times 5 = 150 $ secondes

      Or $ 3 $ minutes $ = 180 $ secondes. Comme $ 150 < 180 $, Léna aura le temps de tester tous les codes en moins de 3 minutes.

      Oui, elle réussira à ouvrir la porte en moins de 3 minutes.

    2. Ce format de code ne garantit pas la sécurité de la maison car il n'y a que 30 codes possibles, ce qui est très peu. On pourrait améliorer le système en augmentant le nombre de caractères du code (par exemple 4 chiffres au lieu d'une lettre et un chiffre), en utilisant un clavier complet (26 lettres et 10 chiffres), ou en bloquant l'accès après un certain nombre de tentatives.

    1. Léna saisit la lettre B puis le chiffre 5. Le programme teste si « lettre saisie = B et chiffre saisi = 7 ». Ici, la lettre est bien B, mais le chiffre est 5 (et non 7). La condition « et » n'est donc pas vérifiée.

      Le programme affiche « Code faux ».

    2. D'après la condition du programme (lettre saisie = B et chiffre saisi = 7), le code qui permet d'entrer est B7.

Motifs géométriques et probabilité – Brevet Amérique du Nord 2025

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue

Partie 1 : les motifs

On définit trois scripts :

Script 1 : définir Motif 1, stylo en position d'écriture, répéter 3 fois avancer de 30 pas tourner droite de 120 degrés, relever le stylo
Script 2 : définir Motif 2, stylo en position d'écriture, répéter 6 fois avancer de 30 pas tourner droite de 60 degrés, relever le stylo
Script 3 : définir Motif 3, stylo en position d'écriture, répéter 2 fois avancer de 30 pas puis partie effacée, relever le stylo

  1. Les scripts 1 et 2 permettent chacun d'obtenir un des dessins ci-dessous. Associer chacun des scripts à son dessin.

    Dessin 1 : un hexagone régulier. Dessin 2 : un triangle équilatéral.

  2. Le script 3 permet d'obtenir le losange ci-dessous.
    La partie du script effacée contient les 3 instructions A, B et C ci-dessous.
    Sur votre copie, recopier dans le bon ordre les instructions cachées. Chaque instruction ne doit être utilisée qu'une seule fois.

    Losange avec côtés de 30 pas, angles 120 degrés et 60 degrés, départ en bas à gauche vers la droite
    Instruction A : tourner droite de 60 degrés. Instruction B : tourner droite de 120 degrés. Instruction C : avancer de 30 pas.

Partie 2 : le script principal

Script principal : quand drapeau cliqué, aller à x:-200 y:0, effacer tout, s'orienter à 90, mettre Motif à nombre aléatoire entre 1 et 3, si Motif=3 alors répéter 6 fois Motif 3 avancer de 60 pas, dire Voici le dessin, sinon dire Perdu

Rappels :

  • « nombre aléatoire entre 1 et 3 » donne un nombre entier au hasard parmi 1 ; 2 et 3.
  • « s'orienter à 90 » oriente le lutin horizontalement vers la droite.
  1. Quelles sont les coordonnées du point de départ du lutin ?

  2. Parmi les 5 captures d'écran proposées ci-dessous, seules deux sont possibles. Lesquelles ?

    Capture d'écran Résultat
    Capture n°1 Voici le dessin ! (6 losanges en frise, accolés, inclinés)
    Capture n°2 Voici le dessin ! (7 losanges séparés régulièrement)
    Capture n°3 Perdu !
    Capture n°4 Voici le dessin ! (3 losanges séparés)
    Capture n°5 Voici le dessin ! (hexagone formé de 6 losanges)
  3. On clique sur le drapeau vert, et on observe le message affiché.
    Quelle est la probabilité que le message affiché soit « Voici le dessin ! » ?

  4. On lance de nouveau le programme 100 fois et on regroupe les résultats obtenus dans le tableau suivant :

    Message du lutin « Voici le dessin ! » « Perdu ! »
    Effectif 40 60
    1. Calculer la fréquence de l'affichage « Voici le dessin ! ».
    2. Pourquoi ce résultat est-il différent de celui obtenu à la question 5 ?

Corrigé

Partie 1 : les motifs

  1. Le script 1 répète 3 fois « avancer de 30 pas » et « tourner de 120° ». Comme l'angle extérieur d'un triangle équilatéral vaut $ 120° $, le script 1 trace un triangle équilatéral.

    Le script 2 répète 6 fois « avancer de 30 pas » et « tourner de 60° ». Comme l'angle extérieur d'un hexagone régulier vaut $ 60° $, le script 2 trace un hexagone régulier.

    Donc : le script 1 correspond au dessin 2 (triangle) et le script 2 correspond au dessin 1 (hexagone).

  2. Le losange a deux angles de $ 120° $ et deux angles de $ 60° $.

    Le lutin part vers la droite (orientation 90°). Il avance de 30 pas (premier côté horizontal). Ensuite, il doit tourner pour tracer le côté qui monte : l'angle extérieur est $ 180° - 120° = 60° $, donc il tourne à droite de $ 60° $. Puis il avance de 30 pas. Ensuite, il tourne de $ 120° $ pour le côté qui redescend, puis avance de 30 pas, et enfin tourne de $ 60° $ pour revenir à l'horizontale.

    La boucle « répéter 2 fois » contient déjà « avancer de 30 pas » en première instruction. Les 3 instructions cachées complètent chaque itération.

    L'ordre est : Instruction A (tourner de 60°), Instruction C (avancer de 30 pas), Instruction B (tourner de 120°).

    Le script 3 complet :

    Script 3 complet pour tracer le losange

Partie 2 : le script principal

  1. Le bloc « aller à x : -200 y : 0 » indique les coordonnées du point de départ.

    Les coordonnées du point de départ sont $\mathbf{(-200\,;\,0)}$.

  2. Le programme tire un nombre aléatoire entre 1 et 3 :

    • Si Motif = 3 : le programme trace 6 losanges (Motif 3) en avançant de 60 pas entre chaque losange, et affiche « Voici le dessin ! »
    • Sinon (Motif = 1 ou Motif = 2) : le programme affiche « Perdu ! » sans rien dessiner

    Quand Motif = 3, les 6 losanges sont tracés côte à côte en avançant de 60 pas (soit 2 fois la longueur du côté horizontal du losange, $ 30 \times 2 = 60 $). Cela produit une frise de 6 losanges accolés (capture n°1).

    Quand Motif = 1 ou 2, le programme affiche seulement « Perdu ! » (capture n°3).

    Les deux captures possibles sont la capture n°1 et la capture n°3.

  3. Le nombre aléatoire est tiré parmi 1, 2 et 3 avec la même probabilité pour chaque valeur. Le message « Voici le dessin ! » s'affiche uniquement quand Motif = 3, soit dans 1 cas sur 3.

    La probabilité est $\mathbf{\dfrac{1}{3}}$.

    1. Sur 100 lancers, le message « Voici le dessin ! » est apparu 40 fois.

      La fréquence est :
      $ \dfrac{40}{100} = 0{,}4 $

      La fréquence d'affichage de « Voici le dessin ! » est $\mathbf{0{,}4}$ (soit $ 40\,\% $).

    2. La probabilité théorique est $ \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333 $ alors que la fréquence observée est $ 0{,}4 $. Ces deux valeurs sont différentes car la fréquence est un résultat expérimental : elle dépend du hasard et fluctue d'une série d'expériences à l'autre. Plus le nombre de lancers augmente, plus la fréquence tend à se rapprocher de la probabilité théorique.

Image et antécédent – Brevet Métropole Antilles-Guyane septembre 2024

On considère la fonction $ f $ définie par

$ f(x) = x^2 + 10x + 16 $
  1. Vérifier par le calcul que l'image de 6 par la fonction $ f $ est 112.

  2. On utilise un tableur afin de calculer les images des entiers compris entre $ -4 $ et 4 par la fonction $ f $.

      A B C D E F G H I J
    1 $ x $ $ -4 $ $ -3 $ $ -2 $ $ -1 $ $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $
    2 $ f(x) $ $ -8 $ $ -5 $ $ 0 $ $ 7 $ $ 16 $ $ 27 $ $ 40 $ $ 55 $ $ 72 $

    1. Parmi les 4 formules ci-dessous, recopier celle qui a été saisie dans la cellule B2, puis étirée vers la droite afin de calculer les images des nombres donnés par la fonction $ f $.

      • `=B1*B1+10*B1+16`
      • `=A1*A1+10*A1+16`
      • `=(-4)*(-4)+10*(-4)+16`
      • `=x*x+10*x+16`
    2. En utilisant le tableau, déterminer un antécédent de 0.
    1. Démontrer que $ f(x) $ peut s'écrire $ (x+2)(x+8) $.
    2. En déduire un autre antécédent de 0 par la fonction $ f $.

Corrigé

  1. On remplace $ x $ par 6 dans l'expression de $ f(x) $ :
    $ f(6) = 6^2 + 10 \times 6 + 16 $
    $ f(6) = 36 + 60 + 16 $
    $ f(6) = 112 $

    L'image de 6 par la fonction $ f $ est bien 112.

    1. La formule doit utiliser la référence de la cellule B1 (qui contient la valeur de $ x $) pour pouvoir être étirée vers la droite. Elle doit calculer $ x^2 + 10x + 16 $ en remplaçant $ x $ par le contenu de B1.
      La formule `=A1*A1+10*A1+16` utilise la cellule A1, qui ne contient pas une valeur de $ x $ mais le libellé « $ x $ ».
      La formule `=(-4)*(-4)+10*(-4)+16` utilise directement la valeur $ -4 $ : elle ne s'adaptera pas en l'étirant.
      La formule `=x*x+10*x+16` n'est pas valide dans un tableur car $ x $ n'est pas une référence de cellule.

      La formule saisie en B2 est : `=B1*B1+10*B1+16`

    2. Un antécédent de 0 est une valeur de $ x $ telle que $ f(x) = 0 $. On cherche dans la ligne 2 du tableau la valeur 0.
      On trouve $ f(-2) = 0 $.

      Un antécédent de 0 par la fonction $ f $ est $ -2 $.

    1. On développe $ (x+2)(x+8) $ :
      $ (x+2)(x+8) = x \times x + x \times 8 + 2 \times x + 2 \times 8 $
      $ = x^2 + 8x + 2x + 16 $
      $ = x^2 + 10x + 16 $

      On retrouve bien $ f(x) $, donc $ f(x) = (x+2)(x+8) $.

    2. On cherche les valeurs de $ x $ telles que $ f(x) = 0 $, c'est-à-dire $ (x+2)(x+8) = 0 $.
      Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
      $ x + 2 = 0 $ donne $ x = -2 $ (déjà trouvé à la question 2.b.)
      $ x + 8 = 0 $ donne $ x = -8 $

      Un autre antécédent de 0 par la fonction $ f $ est $ -8 $.

Lecture graphique distance-temps – Brevet Amérique du Nord 2025

A l'approche d'une course organisée par son collège, Malo s'entraîne sur un parcours de 13,5 km.
La courbe ci-dessous représente la distance parcourue par Malo (en kilomètres) en fonction du temps écoulé (en minutes).

Courbe distance parcourue par Malo en fonction du temps
  1. Le temps et la distance parcourue par Malo sont-ils proportionnels ?
  2. Quelle distance Malo a-t-il parcourue au bout de 20 minutes ?
    Aucune justification n'est attendue.
  3. Combien de temps a-t-il mis pour faire les 9 premiers kilomètres ?
    Aucune justification n'est attendue.
  4. Quelle est la vitesse moyenne de Malo lors de cette course ? Exprimer le résultat au dixième de km/h près.

  5. Louise et Hillal ont couru sur le même parcours de 13,5 km. Louise à une vitesse régulière égale à 12 km/h et Hillal a une vitesse régulière égale à 10 km/h.

    1. Sachant que Louise et Hillal sont partis en même temps, qui a été le premier à franchir la ligne d'arrivée ?
    2. Quelle distance sépare Louise et Hillal, lorsque le premier des deux franchit la ligne d'arrivée ?

Corrigé

  1. Si le temps et la distance étaient proportionnels, la courbe serait une droite passant par l'origine. Or la courbe n'est pas une droite (elle présente des portions de pentes différentes).

    Le temps et la distance parcourue par Malo ne sont pas proportionnels.

  2. Par lecture graphique, on cherche l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 20.

    Au bout de 20 minutes, Malo a parcouru environ 3 km.

  3. Par lecture graphique, on cherche l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée 9.

    Malo a mis environ 50 minutes pour parcourir les 9 premiers kilomètres.

  4. La distance totale parcourue est 13,5 km. Par lecture graphique, Malo met environ 90 minutes, soit 1,5 heure, pour terminer le parcours.
    La vitesse moyenne est :
    $ v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{13{,}5}{1{,}5} = 9 $

    La vitesse moyenne de Malo est de 9,0 km/h.

    1. On calcule le temps mis par chacun pour parcourir 13,5 km :
      Louise : $ t_L = \dfrac{13{,}5}{12} = 1{,}125 $ h $ = 67{,}5 $ min.
      Hillal : $ t_H = \dfrac{13{,}5}{10} = 1{,}35 $ h $ = 81 $ min.
      Louise met moins de temps que Hillal.

      Louise est la première à franchir la ligne d'arrivée.

    2. Lorsque Louise franchit la ligne d'arrivée (au bout de 67,5 min = 1,125 h), Hillal a parcouru :
      $ d_H = 10 \times 1{,}125 = 11{,}25 $ km.
      La distance entre eux est :
      $ 13{,}5 - 11{,}25 = 2{,}25 $

      Lorsque Louise franchit la ligne d'arrivée, 2,25 km les séparent.