PPCM – Circuits d’entraînement sportif – Brevet Centres étrangers 2024
Un entraîneur de sport prépare deux circuits d'entraînement contenant plusieurs exercices de cardio et de renforcement musculaire :
- un circuit commence à l'exercice 1 et se termine en revenant à l'exercice 1 ;
- le circuit 1 contient cinq exercices. Chaque exercice dure 40 secondes et doit être suivi de 16 secondes de repos permettant de se rendre à l'exercice suivant ;
- le circuit 2 contient dix exercices. Chaque exercice dure 30 secondes et doit être suivi de 5 secondes de repos permettant de se rendre à l'exercice suivant.
- Montrer que le circuit 1 s'effectue en 280 secondes et que le circuit 2 s'effectue en 350 secondes.
- Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 280 et de 350.
Une séance d'entraînement est constituée de plusieurs tours du même circuit.
Au coup de sifflet de l'entraîneur, Camille commence une séance d'entraînement sur le circuit 1 et Dominique sur le circuit 2.
Expliquer pourquoi, lorsque 2 800 secondes se sont écoulées à partir du coup de sifflet, Camille se trouve de nouveau au départ du circuit 1.
Préciser où se trouve Dominique sur le circuit 2 lorsque 2 800 secondes se sont écoulées.
- Après le coup de sifflet, combien de temps faut-il à Camille et Dominique pour se retrouver en même temps pour la première fois au départ de leur circuit ? Exprimer cette durée en minute et seconde.
Circuit 1 : 5 exercices de 40 s chacun, suivis chacun de 16 s de repos (y compris le dernier, pour revenir à l'exercice 1).
$ T_1 = 5 \times 40 + 5 \times 16 = 200 + 80 = 280 $ secondes.
Circuit 2 : 10 exercices de 30 s chacun, suivis chacun de 5 s de repos.
$ T_2 = 10 \times 30 + 10 \times 5 = 300 + 50 = 350 $ secondes.
Le circuit 1 dure bien 280 s et le circuit 2 dure bien 350 s.
On décompose chaque nombre par divisions successives par les nombres premiers.
Pour 280 : $ 280 = 2 \times 140 = 2 \times 2 \times 70 = 2 \times 2 \times 2 \times 35 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7 $.
$ 280 = 2^3 \times 5 \times 7 $
Pour 350 : $ 350 = 2 \times 175 = 2 \times 5 \times 35 = 2 \times 5 \times 5 \times 7 $.
$ 350 = 2 \times 5^2 \times 7 $
On effectue la division euclidienne de 2 800 par 280 :
$ 2\,800 = 280 \times 10 $.
Camille a donc parcouru exactement 10 tours complets du circuit 1 : elle se retrouve au départ du circuit 1.
De même, on divise 2 800 par 350 :
$ 2\,800 = 350 \times 8 $.
Dominique a donc parcouru exactement 8 tours complets du circuit 2 : elle se retrouve elle aussi au départ du circuit 2.
On cherche le plus petit nombre $ N $ qui soit à la fois un multiple de 280 et de 350 : c'est le PPCM de 280 et 350.
À partir des décompositions précédentes :
$ 280 = 2^3 \times 5 \times 7 $ et $ 350 = 2 \times 5^2 \times 7 $.
Le PPCM s'obtient en prenant chaque facteur premier à la puissance la plus élevée :
$ \text{PPCM}(280\,;\,350) = 2^3 \times 5^2 \times 7 = 8 \times 25 \times 7 = 1\,400 $.
Au bout de 1 400 secondes, Camille et Dominique se retrouveront pour la première fois ensemble au départ de leur circuit.
On convertit 1 400 secondes en minutes et secondes :
$ 1\,400 = 23 \times 60 + 20 $.
Camille et Dominique se retrouvent au départ pour la première fois après 23 minutes et 20 secondes.
Calcul littéral – Programme de calcul à deux branches – Brevet Amérique du Nord 2024
Voici un programme de calcul :
- Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ, le résultat à l'arrivée est 112.
- Quel est le résultat obtenu à l'arrivée quand on choisit $ -3 $ comme nombre de départ ?
On choisit $ x $ comme nombre de départ. Parmi les expressions suivantes, lesquelles permettent d'exprimer le résultat à l'arrivée de ce programme de calcul. Aucune justification n'est demandée.
| Expression A |
Expression B |
Expression C |
Expression D |
| $ (x + 2 \times 4)(x \times 5 - 3) $ |
$ (4x + 2)(5x - 3) $ |
$ (4x + 8)(5x - 3) $ |
$ (x + 2) \times 4 \times (5x - 3) $ |
- Trouver les deux nombres de départ qui permettent d'obtenir 0 à l'arrivée. Expliquer la démarche.
- Développer et réduire l'expression B.
On applique le programme à partir de 2 :
Branche de gauche : $ 2 + 2 = 4 $, puis $ 4 \times 4 = 16 $.
Branche de droite : $ 2 \times 5 = 10 $, puis $ 10 - 3 = 7 $.
Multiplication finale : $ 16 \times 7 = 112 $.
Le résultat à l'arrivée est bien 112.
On applique le programme à partir de $ -3 $ :
Branche de gauche : $ -3 + 2 = -1 $, puis $ -1 \times 4 = -4 $.
Branche de droite : $ -3 \times 5 = -15 $, puis $ -15 - 3 = -18 $.
Multiplication finale : $ (-4) \times (-18) = 72 $.
Le résultat à l'arrivée est 72.
On exprime le résultat en fonction de $ x $ :
Branche de gauche : $ x + 2 $ puis $ \times 4 $ donne $ 4(x + 2) = 4x + 8 $.
Branche de droite : $ 5x $ puis $ - 3 $ donne $ 5x - 3 $.
Résultat : $ (4x + 8)(5x - 3) $, qui s'écrit aussi $ 4(x + 2)(5x - 3) $.
Les expressions C et D conviennent.
(L'expression A est égale à $ (x + 8)(5x - 3) $ et l'expression B à $ (4x + 2)(5x - 3) $ : aucune des deux ne correspond au programme.)
D'après la question précédente, le résultat à l'arrivée s'écrit $ (4x + 8)(5x - 3) $.
On cherche $ x $ tel que $ (4x + 8)(5x - 3) = 0 $.
C'est une équation produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
$ 4x + 8 = 0 $ donne $ 4x = -8 $ puis $ x = -2 $.
$ 5x - 3 = 0 $ donne $ 5x = 3 $ puis $ x = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 $.
Les deux nombres de départ qui donnent 0 à l'arrivée sont $ -2 $ et $ 0{,}6 $.
On développe l'expression B en utilisant la double distributivité :
$ (4x + 2)(5x - 3) = 4x \times 5x + 4x \times (-3) + 2 \times 5x + 2 \times (-3) $
$ \phantom{(4x + 2)(5x - 3)} = 20x^2 - 12x + 10x - 6 $
$ (4x + 2)(5x - 3) = 20x^2 - 2x - 6 $
Calcul littéral – Deux programmes de calcul – Brevet Amérique du Nord 2025
On considère les deux programmes de calcul suivants :
- Montrer que, lorsque le nombre choisi est 4, le résultat obtenu avec le programme A est 5.
- Montrer que, lorsque le nombre choisi est $ -2 $, le résultat obtenu avec le programme A est 5.
Justifier que l'affirmation suivante est vraie :
« Le programme A donne toujours le même résultat. »
- Lorsque le nombre choisi est 10, quel résultat obtient-on avec le programme B ?
- Il existe exactement deux nombres pour lesquels les programmes A et B fournissent à chaque fois des résultats identiques. Quels sont ces deux nombres ?
On applique le programme A en partant de 4 :
$ 4 \times 3 = 12 $, puis $ 12 + 15 = 27 $, puis $ 27 \div 3 = 9 $, et enfin $ 9 - 4 = 5 $.
Le résultat est bien 5.
On applique le programme A en partant de $ -2 $ :
$ -2 \times 3 = -6 $, puis $ -6 + 15 = 9 $, puis $ 9 \div 3 = 3 $, et enfin $ 3 - (-2) = 5 $.
Le résultat est bien 5.
On choisit un nombre quelconque $ x $ et on applique le programme A étape par étape :
$ x \;\xrightarrow{\times 3}\; 3x \;\xrightarrow{+15}\; 3x + 15 \;\xrightarrow{\div 3}\; \dfrac{3x + 15}{3} = x + 5 \;\xrightarrow{-\,x}\; (x + 5) - x = 5. $
Quel que soit le nombre $ x $ choisi au départ, le résultat est égal à 5.
L'affirmation est donc vraie : le programme A renvoie toujours 5.
On applique le programme B en partant de 10 :
$ 10 - 1 = 9 $ (branche de gauche), $ 10 - 6 = 4 $ (branche de droite).
Multiplication : $ 9 \times 4 = 36 $.
Addition : $ 36 + 5 = 41 $.
Avec le programme B et le nombre 10, on obtient 41.
On note $ x $ le nombre choisi. D'après la question 3, le programme A renvoie toujours 5.
Pour le programme B, le résultat est $ (x - 1)(x - 6) + 5 $.
On cherche les valeurs de $ x $ pour lesquelles ces deux résultats sont égaux :
$ (x - 1)(x - 6) + 5 = 5 $
$ (x - 1)(x - 6) = 0 $
C'est une équation produit nul : un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
$ x - 1 = 0 $ donne $ x = 1 $, et $ x - 6 = 0 $ donne $ x = 6 $.
Les deux nombres recherchés sont donc 1 et 6.
Remarque
On peut vérifier : pour $ x = 1 $, le programme B donne $ 0 \times (-5) + 5 = 5 $ ; pour $ x = 6 $, il donne $ 5 \times 0 + 5 = 5 $. Les deux résultats valent bien 5, comme le programme A.
Antécédents et représentation graphique – Brevet Centres étrangers juin 2024
On considère le programme de calcul suivant :
Partie A
- Justifier qu'en choisissant 5 comme nombre de départ, le résultat final obtenu est 18.
- Calculer le résultat final donné par ce programme lorsque le nombre de départ choisi est $ -\dfrac{3}{2} $.
- Le script donné en ANNEXE, écrit avec un logiciel de programmation, correspond au programme de calcul ci-dessus. Compléter les lignes 3, 4 et 5 du script sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie. Aucune justification n'est attendue.
- Quel(s) nombre(s) doit-on choisir comme nombre de départ pour que le programme de calcul donne 0 comme résultat final ?
Partie B
Soit la fonction $ g $ définie, pour un nombre $ x $ donné, par $ g(x) = x^2 - x - 2 $.
- Prouver que $ (x-2)(x+1) = x^2 - x - 2 $.
- Résoudre l'équation $ (x-2)(x+1) = 0 $.
- En déduire les antécédents de 0 par la fonction $ g $. Aucune justification n'est attendue.
Parmi les trois graphiques ci-dessous, lequel correspond à la représentation graphique de la fonction $ g $? Aucune justification n'est attendue.
Partie A
On choisit 5 comme nombre de départ.
Le programme effectue deux opérations en parallèle :
D'un côté : $ 5 - 2 = 3 $
De l'autre : $ 5 + 1 = 6 $
On multiplie les deux résultats : $ 3 \times 6 = 18 $.
En choisissant 5, le résultat final est bien 18.
On choisit $ -\dfrac{3}{2} $ comme nombre de départ.
D'un côté : $ -\dfrac{3}{2} - 2 = -\dfrac{3}{2} - \dfrac{4}{2} = -\dfrac{7}{2} $
De l'autre : $ -\dfrac{3}{2} + 1 = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{2} = -\dfrac{1}{2} $
On multiplie les deux résultats :
$ -\dfrac{7}{2} \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{7}{4} $
Le résultat final est $ \dfrac{7}{4} $.
- Le script correspond au programme de calcul :
Ligne 3 : `mettre a à réponse - 2`
Ligne 4 : `mettre b à réponse + 1`
Ligne 5 : `dire a * b`
On note $ x $ le nombre de départ. Le programme calcule $ (x-2)(x+1) $.
On cherche $ x $ tel que $ (x-2)(x+1) = 0 $.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
$ x - 2 = 0 $ donne $ x = 2 $
$ x + 1 = 0 $ donne $ x = -1 $
Il faut choisir $ 2 $ ou $ -1 $ pour obtenir 0 comme résultat final.
Partie B
On développe $ (x-2)(x+1) $ :
$ (x-2)(x+1) = x \times x + x \times 1 + (-2) \times x + (-2) \times 1 $
$ = x^2 + x - 2x - 2 $
$ = x^2 - x - 2 $
On a bien prouvé que $ (x-2)(x+1) = x^2 - x - 2 $.
On résout l'équation $ (x-2)(x+1) = 0 $.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
$ x - 2 = 0 $ donne $ x = 2 $
$ x + 1 = 0 $ donne $ x = -1 $
Les solutions de l'équation sont $ x = 2 $ et $ x = -1 $.
Puisque $ g(x) = (x-2)(x+1) $, les antécédents de 0 par $ g $ sont les solutions de $ g(x) = 0 $.
Les antécédents de 0 par la fonction $ g $ sont $ -1 $ et $ 2 $.
La fonction $ g $ est définie par $ g(x) = x^2 - x - 2 $.
On sait que $ g(-1) = 0 $ et $ g(2) = 0 $ : la courbe doit couper l'axe des abscisses en $ x = -1 $ et $ x = 2 $.
De plus, $ g(0) = 0^2 - 0 - 2 = -2 $ : la courbe doit passer par le point $ (0~;~-2) $.
Le coefficient de $ x^2 $ est positif (égal à 1), donc la parabole est tournée vers le haut.
Le Graphique 1 représente une courbe en S (ni une parabole), il ne convient pas.
Le Graphique 2 est une parabole, mais elle ne coupe pas l'axe des abscisses aux bonnes valeurs.
Le Graphique 3 est une parabole qui coupe l'axe des abscisses en $ -1 $ et $ 2 $ et passe par $ (0~;~-2) $.
La représentation graphique de la fonction $ g $ est le Graphique 3.
Identités remarquables (Brevet 2002)
(Brevet, Centres étrangers 2002)
Recopier et compléter pour que les égalités soient vraies pour toutes les valeurs de $ x $ :
- $ \left(x+\cdots\right)^{2} = \cdots + 6x + \cdots $
- $ \left(\cdots - \cdots\right)^{2} = 4x^{2} \cdots + 25 $
- $ \cdots - 64 = \left(7x - \cdots\right)\left( \cdots + \cdots\right) $
On identifie les identités remarquables pour compléter chaque égalité.
- $ \left(x+{\color{red}{3}}\right)^{2} = {\color{red}{x^{2}}} + 6x + {\color{red}{9}} $
Identité remarquable $ (a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2} $
- $ \left({\color{red}{2x}} - {\color{red}{5}}\right)^{2} = 4x^{2} {\color{red}{-}} {\color{red}{20x}} + 25 $
Identité remarquable $ (a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2} $
- $ {\color{red}{49x^{2}}} - 64 = \left(7x - {\color{red}{8}}\right)\left({\color{red}{7x}} + {\color{red}{8}}\right) $
Identité remarquable $ a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b) $
Problème de partage (Brevet Nord 2006)
(Brevet Groupement Nord 2006)
Pierre a gagné 84 sucettes et 147 bonbons à un jeu. Étant très généreux, et ayant surtout très peur du dentiste, il décide de les partager avec des amis.
Pour ne pas faire de jaloux, chacun doit avoir le même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons.
- Combien de personnes au maximum pourront bénéficier de ces friandises (Pierre étant inclus dans ces personnes) ?
Expliquer votre raisonnement.
- Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne ?
- Pour qu'un partage équitable soit possible, il faut que le nombre de personnes divise le nombre de sucettes et le nombre de bonbons.
Au maximum, ce nombre sera donc égal au PGCD de 84 et 147.
La décomposition de 84 en produit de facteurs premiers est :
$ 84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 $
La décomposition de 147 est :
$ 147 = 3 \times 7 \times 7 $
Le PGCD de 147 et 84 est donc $ 3 \times 7 = 21 $ .
21 personnes au maximum pourront donc bénéficier de ces friandises.
$ 84 \div 21 = 4 $
$ 147 \div 21 = 7 $
Chacune des 21 personnes aura alors 4 sucettes et 7 bonbons.
