Calculer et simplifier avec des racines carrées

Rappel des règles

Pour tous nombres positifs $ a $ et $ b $ :

$ \sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b} $
$ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}} $ (avec $ b\neq 0 $)
$ \left(\sqrt{a}\right)^{2}=a $

Méthode

Pour simplifier une racine carrée $ \sqrt{n} $ :

Repérer le plus grand carré parfait ($ 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, \ldots $) qui divise $ n $.
Écrire $ n $ comme le produit de ce carré parfait par un autre facteur.
Séparer la racine du produit en produit de racines, puis sortir le carré parfait de la racine.

Simplifier une racine carrée

Simplifier $ A = \sqrt{72} $.

Étape 1 : Le plus grand carré parfait qui divise $ 72 $ est $ 36 $ ($ 72 = 36 \times 2 $).

Étape 2 : On sépare la racine :

$ A = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} $

Étape 3 : On sort le carré parfait :

$ A = 6\sqrt{2} $

Produit de racines carrées

Calculer $ B = \sqrt{3} \times \sqrt{12} $.

On utilise la règle du produit :

$ B = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6 $

Somme de racines après simplification

Écrire $ C = \sqrt{12} + \sqrt{27} $ sous la forme $ a\sqrt{3} $.

On simplifie chaque racine séparément :

$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} $ et $ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} $

On peut alors additionner (mêmes racines) :

$ C = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} $

Attention

On ne peut additionner ou soustraire que des racines identiques : $ 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} $, mais $ \sqrt{2} + \sqrt{3} $ ne se simplifie pas.
En général, $ \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} $.
On garde la valeur exacte (par exemple $ 5\sqrt{2} $) dans les calculs ; on ne donne une valeur approchée qu'à la fin, si l'énoncé le demande.

Pythagore et trigonométrie – Cerf-volant – Brevet Nouvelle-Calédonie 2025

Thomas souhaite construire le cerf-volant représenté par la figure ci-dessous :

$Cerf-volant ABCD : A en haut, B en bas, C à gauche, D à droite, E est l'intersection des diagonales sur le segment [AB] avec ED = EC, AB = 50 cm, CD = 40 cm, angle DEB droit, angle EBD = 30^{\circ}$

On donne :

$ \widehat{DEB} = 90^{\circ} $
$ \widehat{EBD} = 30^{\circ} $
$ AB = 50 $ cm
$ CD = 40 $ cm
$ ED = EC $

Calculer BE. On donnera une valeur arrondie au millimètre.
Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.

Lorsque Thomas a essayé son cerf-volant, il s'est demandé à quelle altitude il volait. Il a attaché sa corde à un piquet planté dans le sol (point S) puis est allé se placer (point T) parfaitement à la verticale sous son cerf-volant (point H). Il a alors mesuré certaines longueurs et a réalisé le schéma ci-dessous.

Schéma vertical : un piquet en S au sol, un point T au sol situé à 7,60 m à droite de S, le cerf-volant en H à la verticale au-dessus de T ; la corde reliant S à H mesure 20,50 m, la hauteur HT est inconnue

Calculer HT, altitude à laquelle volait son cerf-volant. On donnera une valeur arrondie au mètre. Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.

Il est conseillé de ne pas utiliser ce cerf-volant lorsque le vent dépasse 20 km/h. La météo annonce un vent ne dépassant pas 15 nœuds.

On donne 1 nœud = 0,514 m/s.

Thomas peut-il faire voler son cerf-volant sans risque dans ces conditions ? Justifier votre réponse.

Corrigé

Comme $ \widehat{DEB} = 90^{\circ} $, le triangle DEB est rectangle en E.

Comme $ ED = EC $ et que les points C, E, D sont alignés avec $ CD = 40 $ cm, le point E est le milieu de [CD]. On en déduit :

$ ED = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{40}{2} = 20 $ cm.

Dans le triangle DEB rectangle en E, on connaît l'angle aigu $ \widehat{EBD} = 30^{\circ} $, le côté ED qui lui est opposé, et on cherche le côté BE qui lui est adjacent. On utilise la tangente :

$ \tan(\widehat{EBD}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \dfrac{ED}{BE} $

$ \tan(30^{\circ}) = \dfrac{20}{BE} $

$ BE = \dfrac{20}{\tan(30^{\circ})} $

À la calculatrice : $ BE \approx 34{,}641 $ cm.

Arrondie au millimètre, $ BE \approx 34{,}6 $ cm.
D'après le schéma, le triangle SHT est rectangle en T (HT est vertical et ST est horizontal). On connaît l'hypoténuse $ SH = 20{,}50 $ m et le côté $ ST = 7{,}60 $ m, et on cherche le troisième côté HT.

D'après le théorème de Pythagore :

$ SH^2 = ST^2 + HT^2 $

$ 20{,}50^2 = 7{,}60^2 + HT^2 $

$ 420{,}25 = 57{,}76 + HT^2 $

$ HT^2 = 420{,}25 - 57{,}76 = 362{,}49 $

$ HT = \sqrt{362{,}49} \approx 19{,}04 $ m.

Le cerf-volant volait à une altitude d'environ 19 m.
On convertit la vitesse maximale annoncée par la météo en km/h.

$ 15 $ nœuds $ = 15 \times 0{,}514 = 7{,}71 $ m/s.

Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6 :

$ 7{,}71 \times 3{,}6 = 27{,}756 $ km/h, soit environ 27,8 km/h.

Comme $ 27{,}8 > 20 $, le vent annoncé peut dépasser la limite recommandée pour ce cerf-volant.

Thomas ne peut donc pas faire voler son cerf-volant sans risque dans ces conditions.

Solides et volumes – Glaçons et verres à cocktail – Brevet Amérique du Sud 2025

Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes.

Remarque

Rappels

Volume du cylindre = Aire de la base × Hauteur du cylindre
Aire du disque = $ \pi \times \text{(rayon)}^2 $
$ 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL} $

Pour un anniversaire, on veut préparer des cocktails de jus de fruits.

Partie 1 : Étude des glaçons

Document : photo du moule à glaçons utilisé et caractéristiques des glaçons.

Vue de dessus d'un moule à glaçons rectangulaire comportant 20 alvéoles disposées en 4 rangées de 5 alvéoles ; à côté, un glaçon en perspective indiquant longueur 5 cm, largeur 2,5 cm, hauteur 1,5 cm

Chaque glaçon a la forme d'un pavé droit :

de longueur 5 cm ;
de largeur 2,5 cm ;
de hauteur 1,5 cm.

On possède 12 moules à glaçons de ce type. Combien peut-on faire de glaçons en même temps ?
Montrer que le volume d'un glaçon est d'environ 19 mL.
5 litres d'eau sont-ils suffisants pour remplir ces 12 moules à glaçons ?

Partie 2 : Le service

On souhaite servir le cocktail dans des verres cylindriques.

Verre cylindrique de hauteur 15 cm et de diamètre 5 cm avec un repère noté h indiquant la hauteur de remplissage à 25 cL

Montrer que le verre a un volume total d'environ 295 mL.
Pour verser précisément 25 cL de cocktail, on utilise des verres avec un repère indiquant une contenance de 25 cL.
1. On a préparé 30 litres de cocktail. Combien peut-on remplir de verres contenant 25 cL de cocktail ?
2. En versant 25 cL de cocktail dans le verre, à quelle hauteur $ h $ du verre, le liquide arrive-t-il ? Arrondir au dixième.

Corrigé

Partie 1 : Étude des glaçons

D'après la photo, chaque moule contient 4 rangées de 5 alvéoles, soit $ 4 \times 5 = 20 $ glaçons.

Avec 12 moules : $ 12 \times 20 = 240 $.

On peut donc faire 240 glaçons en même temps.
Le volume d'un pavé droit est égal au produit de ses trois dimensions :

$ V_{\text{glaçon}} = 5 \times 2{,}5 \times 1{,}5 = 18{,}75 \text{ cm}^3 $

Comme $ 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL} $, on a $ V_{\text{glaçon}} \approx 19 \text{ mL} $.

Le volume d'un glaçon vaut bien environ 19 mL.
On calcule le volume total nécessaire pour remplir les 240 glaçons (en utilisant la valeur exacte 18,75 mL pour ne pas accumuler d'erreurs d'arrondi) :

$ V_{\text{total}} = 240 \times 18{,}75 = 4\,500 \text{ mL} = 4{,}5 \text{ L} $

Comme $ 4{,}5 \text{ L} < 5 \text{ L} $, 5 litres d'eau sont effectivement suffisants pour remplir les 12 moules à glaçons.

Partie 2 : Le service

Le verre est un cylindre de diamètre 5 cm, donc de rayon $ R = 2{,}5 $ cm, et de hauteur $ H = 15 $ cm.

$ V_{\text{verre}} = \pi \times R^2 \times H = \pi \times 2{,}5^2 \times 15 = \pi \times 6{,}25 \times 15 = 93{,}75\pi $

$ V_{\text{verre}} \approx 294{,}52 \text{ cm}^3 \approx 295 \text{ mL} $

Le verre a bien un volume total d'environ 295 mL.
1. On convertit 30 L en cL : $ 30 \text{ L} = 3\,000 \text{ cL} $.
  
  $ \dfrac{3\,000}{25} = 120 $.
  
  On peut donc remplir 120 verres de 25 cL avec les 30 litres de cocktail.
2. On cherche la hauteur $ h $ telle que le volume contenu dans le verre vaille 25 cL = 250 mL = 250 cm³.
  
  Le volume de cocktail à hauteur $ h $ s'écrit $ \pi \times R^2 \times h = 6{,}25\pi \times h $.
  
  On résout :
  
  $ 6{,}25\pi \times h = 250 $
  
  $ h = \dfrac{250}{6{,}25\pi} = \dfrac{40}{\pi} $
  
  $ h \approx 12{,}73 $ cm
  
  Le liquide arrive donc à une hauteur d'environ 12,7 cm dans le verre.

Fonctions affines – Tarifs de deux carreleurs – Brevet Polynésie septembre 2025

On veut poser du carrelage sur le sol intérieur d'une maison.

Le carreleur A fait payer 80 € par m².

Le carreleur B fait payer 60 € par m² auxquels il faut ajouter 970 € pour la mise en place du chantier.

Montrer que pour une surface dont l'aire est de 20 m², le prix est de 1 600 € avec le carreleur A et de 2 170 € avec le carreleur B.
Calculer le prix à payer pour une surface dont l'aire est 60 m² avec le carreleur A, puis avec le carreleur B.
On désigne par $ x $ l'aire de la surface à carreler exprimée en m².
- On appelle $ f $ la fonction qui à l'aire à carreler en m² associe le prix en euros à payer avec le carreleur A. On admet que $ f $ est définie par $ f(x) = 80x $.
- On appelle $ g $ la fonction qui à l'aire à carreler en m² associe le prix en euros à payer avec le carreleur B. On admet que $ g $ est définie par $ g(x) = 60x + 970 $.
1. Quelle est l'image de 70 par la fonction $ f $ ?
2. Quel est l'antécédent de 2 400 par la fonction $ f $ ?
3. Sur le graphique fourni en annexe, on a tracé la représentation graphique de la fonction $ g $.
  Tracer la représentation graphique de la fonction $ f $ sur ce même graphique.
En utilisant le graphique fourni en annexe, estimer l'aire maximale en m² que l'on peut carreler avec un budget de 2 800 € si l'on choisit le carreleur B.
Calculer l'aire en m² pour laquelle on paie exactement le même prix avec le carreleur A et le carreleur B.

Annexe

Repère orthogonal avec en abscisse l'aire en mètres carrés (de 0 à 60) et en ordonnée le prix en euros (de 0 à 5000) ; la droite g(x)=60x+970 du carreleur B est tracée en bleu, partant de (0,970) jusqu'à (60,4570)

Corrigé

Carreleur A : $ 80 \times 20 = 1\,600 $ €. Le prix est bien de 1 600 €.

Carreleur B : $ 60 \times 20 + 970 = 1\,200 + 970 = 2\,170 $ €. Le prix est bien de 2 170 €.
Pour une surface de 60 m² :

Carreleur A : $ 80 \times 60 = 4\,800 $ €.

Carreleur B : $ 60 \times 60 + 970 = 3\,600 + 970 = 4\,570 $ €.

Pour 60 m², on paie 4 800 € avec le carreleur A et 4 570 € avec le carreleur B.
1. L'image de 70 par $ f $ est $ f(70) = 80 \times 70 = 5\,600 $.
  
  $ f(70) = 5\,600 $
2. On cherche $ x $ tel que $ f(x) = 2\,400 $, c'est-à-dire $ 80x = 2\,400 $, d'où $ x = \dfrac{2\,400}{80} = 30 $.
  
  L'antécédent de 2 400 par $ f $ est 30.
3. La fonction $ f $ est linéaire : sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Pour la tracer, il suffit de placer un second point, par exemple $ (60\,;\,4\,800) $ d'après la question 2, et de joindre ce point à l'origine.
On lit l'antécédent de 2 800 € par la fonction $ g $ : on repère 2 800 sur l'axe des ordonnées, on se déplace horizontalement jusqu'à la droite représentant $ g $, puis verticalement jusqu'à l'axe des abscisses.

On lit graphiquement environ 30 m².

Remarque

On peut vérifier par le calcul : $ g(x) = 2\,800 \;\Leftrightarrow\; 60x + 970 = 2\,800 \;\Leftrightarrow\; 60x = 1\,830 \;\Leftrightarrow\; x = 30{,}5 $ m², ce qui est cohérent avec la lecture graphique.
On cherche l'aire $ x $ pour laquelle $ f(x) = g(x) $ :

$ 80x = 60x + 970 $

$ 80x - 60x = 970 $

$ 20x = 970 $

$ x = \dfrac{970}{20} = 48{,}5 $.

Pour une aire de 48,5 m², les deux carreleurs facturent le même prix.

(On peut vérifier : $ f(48{,}5) = 80 \times 48{,}5 = 3\,880 $ € et $ g(48{,}5) = 60 \times 48{,}5 + 970 = 2\,910 + 970 = 3\,880 $ €.)

PPCM – Circuits d’entraînement sportif – Brevet Centres étrangers 2024

Un entraîneur de sport prépare deux circuits d'entraînement contenant plusieurs exercices de cardio et de renforcement musculaire :

un circuit commence à l'exercice 1 et se termine en revenant à l'exercice 1 ;
le circuit 1 contient cinq exercices. Chaque exercice dure 40 secondes et doit être suivi de 16 secondes de repos permettant de se rendre à l'exercice suivant ;
le circuit 2 contient dix exercices. Chaque exercice dure 30 secondes et doit être suivi de 5 secondes de repos permettant de se rendre à l'exercice suivant.

Deux circuits d'entraînement représentés par des cercles. Circuit 1 : cinq exercices numérotés 1 à 5 disposés en pentagone, départ et arrivée à l'exercice 1. Circuit 2 : dix exercices numérotés 1 à 10 disposés en décagone, départ et arrivée à l'exercice 1.

Montrer que le circuit 1 s'effectue en 280 secondes et que le circuit 2 s'effectue en 350 secondes.
Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 280 et de 350.
Une séance d'entraînement est constituée de plusieurs tours du même circuit.

Au coup de sifflet de l'entraîneur, Camille commence une séance d'entraînement sur le circuit 1 et Dominique sur le circuit 2.
1. Expliquer pourquoi, lorsque 2 800 secondes se sont écoulées à partir du coup de sifflet, Camille se trouve de nouveau au départ du circuit 1.
  
  Préciser où se trouve Dominique sur le circuit 2 lorsque 2 800 secondes se sont écoulées.
2. Après le coup de sifflet, combien de temps faut-il à Camille et Dominique pour se retrouver en même temps pour la première fois au départ de leur circuit ? Exprimer cette durée en minute et seconde.

Corrigé

Circuit 1 : 5 exercices de 40 s chacun, suivis chacun de 16 s de repos (y compris le dernier, pour revenir à l'exercice 1).

$ T_1 = 5 \times 40 + 5 \times 16 = 200 + 80 = 280 $ secondes.

Circuit 2 : 10 exercices de 30 s chacun, suivis chacun de 5 s de repos.

$ T_2 = 10 \times 30 + 10 \times 5 = 300 + 50 = 350 $ secondes.

Le circuit 1 dure bien 280 s et le circuit 2 dure bien 350 s.
On décompose chaque nombre par divisions successives par les nombres premiers.

Pour 280 : $ 280 = 2 \times 140 = 2 \times 2 \times 70 = 2 \times 2 \times 2 \times 35 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7 $.

$ 280 = 2^3 \times 5 \times 7 $

Pour 350 : $ 350 = 2 \times 175 = 2 \times 5 \times 35 = 2 \times 5 \times 5 \times 7 $.

$ 350 = 2 \times 5^2 \times 7 $
1. On effectue la division euclidienne de 2 800 par 280 :
  
  $ 2\,800 = 280 \times 10 $.
  
  Camille a donc parcouru exactement 10 tours complets du circuit 1 : elle se retrouve au départ du circuit 1.
  
  De même, on divise 2 800 par 350 :
  
  $ 2\,800 = 350 \times 8 $.
  
  Dominique a donc parcouru exactement 8 tours complets du circuit 2 : elle se retrouve elle aussi au départ du circuit 2.
2. On cherche le plus petit nombre $ N $ qui soit à la fois un multiple de 280 et de 350 : c'est le PPCM de 280 et 350.
  
  À partir des décompositions précédentes :
  
  $ 280 = 2^3 \times 5 \times 7 $ et $ 350 = 2 \times 5^2 \times 7 $.
  
  Le PPCM s'obtient en prenant chaque facteur premier à la puissance la plus élevée :
  
  $ \text{PPCM}(280\,;\,350) = 2^3 \times 5^2 \times 7 = 8 \times 25 \times 7 = 1\,400 $.
  
  Au bout de 1 400 secondes, Camille et Dominique se retrouveront pour la première fois ensemble au départ de leur circuit.
  
  On convertit 1 400 secondes en minutes et secondes :
  
  $ 1\,400 = 23 \times 60 + 20 $.
  
  Camille et Dominique se retrouvent au départ pour la première fois après 23 minutes et 20 secondes.

Calcul littéral – Programme de calcul à deux branches – Brevet Amérique du Nord 2024

Voici un programme de calcul :

Programme de calcul à deux branches : à partir d'un nombre choisi, branche gauche on ajoute 2 puis on multiplie par 4, branche droite on multiplie par 5 puis on soustrait 3, enfin on multiplie les deux résultats obtenus.

Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ, le résultat à l'arrivée est 112.
Quel est le résultat obtenu à l'arrivée quand on choisit $ -3 $ comme nombre de départ ?

On choisit $ x $ comme nombre de départ. Parmi les expressions suivantes, lesquelles permettent d'exprimer le résultat à l'arrivée de ce programme de calcul. Aucune justification n'est demandée.

Expression A	Expression B	Expression C	Expression D
$ (x + 2 \times 4)(x \times 5 - 3) $	$ (4x + 2)(5x - 3) $	$ (4x + 8)(5x - 3) $	$ (x + 2) \times 4 \times (5x - 3) $

Trouver les deux nombres de départ qui permettent d'obtenir 0 à l'arrivée. Expliquer la démarche.
Développer et réduire l'expression B.

Corrigé

On applique le programme à partir de 2 :

Branche de gauche : $ 2 + 2 = 4 $, puis $ 4 \times 4 = 16 $.

Branche de droite : $ 2 \times 5 = 10 $, puis $ 10 - 3 = 7 $.

Multiplication finale : $ 16 \times 7 = 112 $.

Le résultat à l'arrivée est bien 112.
On applique le programme à partir de $ -3 $ :

Branche de gauche : $ -3 + 2 = -1 $, puis $ -1 \times 4 = -4 $.

Branche de droite : $ -3 \times 5 = -15 $, puis $ -15 - 3 = -18 $.

Multiplication finale : $ (-4) \times (-18) = 72 $.

Le résultat à l'arrivée est 72.
On exprime le résultat en fonction de $ x $ :

Branche de gauche : $ x + 2 $ puis $ \times 4 $ donne $ 4(x + 2) = 4x + 8 $.

Branche de droite : $ 5x $ puis $ - 3 $ donne $ 5x - 3 $.

Résultat : $ (4x + 8)(5x - 3) $, qui s'écrit aussi $ 4(x + 2)(5x - 3) $.

Les expressions C et D conviennent.

(L'expression A est égale à $ (x + 8)(5x - 3) $ et l'expression B à $ (4x + 2)(5x - 3) $ : aucune des deux ne correspond au programme.)
D'après la question précédente, le résultat à l'arrivée s'écrit $ (4x + 8)(5x - 3) $.

On cherche $ x $ tel que $ (4x + 8)(5x - 3) = 0 $.

C'est une équation produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

$ 4x + 8 = 0 $ donne $ 4x = -8 $ puis $ x = -2 $.

$ 5x - 3 = 0 $ donne $ 5x = 3 $ puis $ x = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 $.

Les deux nombres de départ qui donnent 0 à l'arrivée sont $ -2 $ et $ 0{,}6 $.
On développe l'expression B en utilisant la double distributivité :

$ (4x + 2)(5x - 3) = 4x \times 5x + 4x \times (-3) + 2 \times 5x + 2 \times (-3) $

$ \phantom{(4x + 2)(5x - 3)} = 20x^2 - 12x + 10x - 6 $

$ (4x + 2)(5x - 3) = 20x^2 - 2x - 6 $

Calcul littéral – Deux programmes de calcul – Brevet Amérique du Nord 2025

On considère les deux programmes de calcul suivants :

Deux programmes de calcul présentés côte à côte. Programme A : choisir un nombre, multiplier par 3, ajouter 15, diviser par 3, soustraire le nombre de départ. Programme B : choisir un nombre, soustraire 1 d'un côté et soustraire 6 de l'autre, multiplier les deux résultats, ajouter 5.

Montrer que, lorsque le nombre choisi est 4, le résultat obtenu avec le programme A est 5.
Montrer que, lorsque le nombre choisi est $ -2 $, le résultat obtenu avec le programme A est 5.
Justifier que l'affirmation suivante est vraie :

« Le programme A donne toujours le même résultat. »
Lorsque le nombre choisi est 10, quel résultat obtient-on avec le programme B ?
Il existe exactement deux nombres pour lesquels les programmes A et B fournissent à chaque fois des résultats identiques. Quels sont ces deux nombres ?

Corrigé

On applique le programme A en partant de 4 :

$ 4 \times 3 = 12 $, puis $ 12 + 15 = 27 $, puis $ 27 \div 3 = 9 $, et enfin $ 9 - 4 = 5 $.

Le résultat est bien 5.
On applique le programme A en partant de $ -2 $ :

$ -2 \times 3 = -6 $, puis $ -6 + 15 = 9 $, puis $ 9 \div 3 = 3 $, et enfin $ 3 - (-2) = 5 $.

Le résultat est bien 5.
On choisit un nombre quelconque $ x $ et on applique le programme A étape par étape :

$ x \;\xrightarrow{\times 3}\; 3x \;\xrightarrow{+15}\; 3x + 15 \;\xrightarrow{\div 3}\; \dfrac{3x + 15}{3} = x + 5 \;\xrightarrow{-\,x}\; (x + 5) - x = 5. $

Quel que soit le nombre $ x $ choisi au départ, le résultat est égal à 5.

L'affirmation est donc vraie : le programme A renvoie toujours 5.
On applique le programme B en partant de 10 :

$ 10 - 1 = 9 $ (branche de gauche), $ 10 - 6 = 4 $ (branche de droite).

Multiplication : $ 9 \times 4 = 36 $.

Addition : $ 36 + 5 = 41 $.

Avec le programme B et le nombre 10, on obtient 41.
On note $ x $ le nombre choisi. D'après la question 3, le programme A renvoie toujours 5.

Pour le programme B, le résultat est $ (x - 1)(x - 6) + 5 $.

On cherche les valeurs de $ x $ pour lesquelles ces deux résultats sont égaux :

$ (x - 1)(x - 6) + 5 = 5 $

$ (x - 1)(x - 6) = 0 $

C'est une équation produit nul : un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

$ x - 1 = 0 $ donne $ x = 1 $, et $ x - 6 = 0 $ donne $ x = 6 $.

Les deux nombres recherchés sont donc 1 et 6.

Remarque

On peut vérifier : pour $ x = 1 $, le programme B donne $ 0 \times (-5) + 5 = 5 $ ; pour $ x = 6 $, il donne $ 5 \times 0 + 5 = 5 $. Les deux résultats valent bien 5, comme le programme A.

Statistiques – Enquête réseaux sociaux – Brevet Amérique du Sud 2025

Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes. Des élèves de 3ᵉ réalisent une enquête au sein de leur collège pour connaître le temps quotidien passé par leurs camarades sur les réseaux sociaux.

Partie 1

Voici la liste des durées (en minutes) recueillies auprès d'un groupe d'élèves :

135 ; 82 ; 104 ; 200 ; 102 ; 17 ; 143 ; 118 ; 62

Combien y a-t-il d'élèves dans ce groupe ? (sans justifier)
Calculer le temps moyen passé sur les réseaux sociaux par les élèves de ce groupe.
Calculer l'étendue de cette série.
L'affirmation suivante est-elle vraie ? « Plus de 50 % des élèves de ce groupe passent au moins 1 h 30 min par jour sur les réseaux sociaux. »

Partie 2

Le collège dans lequel l'enquête a été menée compte 640 élèves au total. 400 élèves ont répondu à l'enquête.

Vérifier que le nombre d'élèves ayant répondu représente plus de 60 % de l'effectif total du collège.

Les résultats obtenus auprès des 400 élèves interrogés sont organisés par niveaux (6ᵉ, 5ᵉ, 4ᵉ et 3ᵉ) dans un fichier tableur dont voici une copie d'écran :

	A	B	C	D	E	F
1		Moins d'une heure	Entre 1 h et 1 h 29	Entre 1 h 30 et 1 h 59	2 h ou plus	Nombre total de réponses
2	En 6ᵉ	30	18	29	13
3	En 5ᵉ	12	21	52	35
4	En 4ᵉ	1	23	19	37
5	En 3ᵉ	7	39	18	46
6	Total		101	118	131	400

Quelle formule peut-on entrer dans la cellule F2 afin de la recopier vers le bas jusqu'à la cellule F5 ? (sans justifier)
Combien d'élèves, ayant répondu, passent moins de 1 h par jour sur les réseaux sociaux ?
Calculer le pourcentage d'élèves ayant répondu, qui passent moins de 1 h 30 min par jour sur les réseaux sociaux.

Corrigé

Partie 1

La liste comporte 9 valeurs : il y a donc 9 élèves dans ce groupe.
La moyenne s'obtient en additionnant toutes les durées et en divisant par le nombre d'élèves.

$ M = \dfrac{135 + 82 + 104 + 200 + 102 + 17 + 143 + 118 + 62}{9} $

$ M = \dfrac{963}{9} = 107 $

Le temps moyen passé sur les réseaux sociaux est donc de 107 minutes, soit 1 h 47 min.
L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série.

La valeur maximale est 200 et la valeur minimale est 17.

Étendue $ = 200 - 17 = 183 $ minutes.
La durée 1 h 30 min correspond à 90 minutes. On dénombre les élèves qui passent au moins 90 min par jour sur les réseaux sociaux.

Les durées concernées dans la liste sont : 135 ; 104 ; 200 ; 102 ; 143 ; 118, soit 6 élèves sur 9.

$ \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67 = 67\,\% $

Comme $ 67\,\% > 50\,\% $, l'affirmation est vraie.

Partie 2

On calcule la part des élèves ayant répondu :

$ \dfrac{400}{640} = 0{,}625 = 62{,}5\,\% $

Comme $ 62{,}5\,\% > 60\,\% $, plus de 60 % des élèves du collège ont effectivement répondu.
La cellule F2 doit contenir le nombre total de réponses pour les élèves de 6ᵉ, c'est-à-dire la somme des cellules de B2 à E2.

$ \texttt{=B2+C2+D2+E2} $ (ou de manière équivalente $ \texttt{=SOMME(B2:E2)} $).
On additionne les valeurs de la colonne B (« Moins d'une heure ») pour les quatre niveaux :

$ 30 + 12 + 1 + 7 = 50 $.

50 élèves passent moins d'une heure par jour sur les réseaux sociaux.
Les élèves passant moins de 1 h 30 min sont ceux des deux premières colonnes (« Moins d'une heure » et « Entre 1 h et 1 h 29 »).

D'après la question précédente, la colonne B totalise 50 élèves, et l'énoncé indique que la colonne C totalise 101 élèves.

Le nombre total d'élèves passant moins de 1 h 30 min est donc $ 50 + 101 = 151 $.

$ \dfrac{151}{400} = 0{,}3775 = 37{,}75\,\% $

Environ 37,75 % des élèves ayant répondu passent moins de 1 h 30 min par jour sur les réseaux sociaux.

Probabilités – Billes et dés colorés – Brevet Nouvelle-Calédonie 2025

Dans un jeu, les candidats doivent tirer une bille dans une boite et noter sa couleur, puis ils doivent ensuite lancer un dé de la couleur de la bille tirée et noter le résultat obtenu.

Les issues de cette expérience sont donc des couples du type (couleur ; nombre).

Le matériel est le suivant :

La boite contient des billes indiscernables au toucher : 15 rouges, 10 vertes et 5 bleues.
Le dé rouge a 10 faces numérotées de 0 à 9. Le dé vert a 6 faces numérotées de 1 à 6.
Le dé bleu a 4 faces numérotées de 1 à 4.

Pour gagner au jeu il faut obtenir 1 au lancé de dé.

Quelle est la probabilité de tirer une bille bleue dans la boîte ?
Amandine a tiré une bille verte et Alexis a tiré une bille rouge. Qui a le plus de chance de gagner à ce jeu ? Justifier.
Donner l'ensemble des issues possibles de ce jeu. On notera « R » pour rouge, « V » pour vert et « B » pour bleu. Par exemple : l'issue (R ; 3) correspond à : « la bille tirée est rouge et le résultat du lancer de dé est 3 ».

Corrigé

La boîte contient $ 15 + 10 + 5 = 30 $ billes indiscernables au toucher : il y a donc équiprobabilité entre les 30 tirages possibles.

Parmi ces 30 billes, 5 sont bleues. La probabilité de tirer une bille bleue est donc :

$ P(\text{bille bleue}) = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6} $
Une fois la bille tirée, le dé associé à la couleur est lancé. Chaque face a la même probabilité d'apparaître.

Cas d'Amandine (bille verte) : elle lance le dé vert qui a 6 faces.

$ P(\text{obtenir 1 au dé vert}) = \dfrac{1}{6} $

Cas d'Alexis (bille rouge) : il lance le dé rouge qui a 10 faces.

$ P(\text{obtenir 1 au dé rouge}) = \dfrac{1}{10} $

On compare ces deux fractions au même dénominateur 30 :

$ \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{30} $ et $ \dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{30} $.

Comme $ \dfrac{5}{30} > \dfrac{3}{30} $, on a $ \dfrac{1}{6} > \dfrac{1}{10} $.

Amandine a donc plus de chances de gagner que Alexis.
On liste toutes les issues possibles selon la couleur de la bille tirée.

Bille rouge (dé à 10 faces, de 0 à 9) :

$ (R\,;\,0)\,;\,(R\,;\,1)\,;\,(R\,;\,2)\,;\,(R\,;\,3)\,;\,(R\,;\,4)\,;\,(R\,;\,5)\,;\,(R\,;\,6)\,;\,(R\,;\,7)\,;\,(R\,;\,8)\,;\,(R\,;\,9) $

Bille verte (dé à 6 faces, de 1 à 6) :

$ (V\,;\,1)\,;\,(V\,;\,2)\,;\,(V\,;\,3)\,;\,(V\,;\,4)\,;\,(V\,;\,5)\,;\,(V\,;\,6) $

Bille bleue (dé à 4 faces, de 1 à 4) :

$ (B\,;\,1)\,;\,(B\,;\,2)\,;\,(B\,;\,3)\,;\,(B\,;\,4) $

Au total, le jeu admet $ 10 + 6 + 4 = 20 $ issues possibles.

Remarque

Attention : ces 20 issues ne sont pas équiprobables. La probabilité d'obtenir, par exemple, l'issue $ (R\,;\,0) $ est $ \dfrac{15}{30} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{20} $, alors que celle d'obtenir $ (B\,;\,1) $ est $ \dfrac{5}{30} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{24} $.

Probabilités – Roulette de casino – Brevet Métropole 2024

Au casino, la roulette est un jeu de hasard pour lequel chaque joueur mise au choix sur un ou plusieurs numéros.

On lance une bille sur une roue qui tourne, numérotée de 0 à 36.

La bille a la même probabilité de s'arrêter sur chaque numéro.

Roue de la roulette européenne avec 37 cases numérotées de 0 à 36 ; le 0 est vert, les autres cases alternent rouge et noir suivant la disposition standard

Expliquer pourquoi la probabilité que la bille s'arrête sur le numéro 7 est $ \dfrac{1}{37} $.
Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur une case à la fois noire et paire.
1. Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro inférieur ou égal à 6.
2. En déduire la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro supérieur ou égal à 7.
3. Un joueur affirme qu'on a plus de 3 chances sur 4 d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7. A-t-il raison ?

Corrigé

La roue comporte les numéros entiers de 0 à 36, soit $ 37 - 0 + 1 = 37 $ numéros.

L'énoncé précise que la bille a la même probabilité de s'arrêter sur chacun des numéros : il y a donc équiprobabilité entre les 37 issues.

La probabilité d'obtenir le numéro 7 est :

$ P(7) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}} = \dfrac{1}{37} $
D'après la disposition de la roulette européenne, les cases noires portent les numéros : 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33 et 35.

Parmi celles-ci, les numéros pairs sont : 2, 4, 6, 8, 10, 20, 22, 24, 26 et 28, soit 10 cases noires et paires.

$ P(\text{noire et paire}) = \dfrac{10}{37} $
1. Les numéros inférieurs ou égaux à 6 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6, soit 7 issues favorables sur 37.
  
  $ P(\text{numéro} \leqslant 6) = \dfrac{7}{37} $
2. Les événements « obtenir un numéro $ \leqslant 6 $ » et « obtenir un numéro $ \geqslant 7 $ » sont contraires (puisque les numéros sont des entiers de 0 à 36).
  
  $ P(\text{numéro} \geqslant 7) = 1 - P(\text{numéro} \leqslant 6) = 1 - \dfrac{7}{37} = \dfrac{37 - 7}{37} = \dfrac{30}{37} $
3. On compare $ \dfrac{30}{37} $ à $ \dfrac{3}{4} $ en les ramenant au même dénominateur 148 :
  
  $ \dfrac{30}{37} = \dfrac{30 \times 4}{37 \times 4} = \dfrac{120}{148} $ et $ \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 37}{4 \times 37} = \dfrac{111}{148} $.
  
  Comme $ \dfrac{120}{148} > \dfrac{111}{148} $, on a $ \dfrac{30}{37} > \dfrac{3}{4} $.
  
  Le joueur a donc raison : la probabilité d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7 dépasse bien $ \dfrac{3}{4} $.