Brevet 2026 — Polynésie
À propos de ce sujet
Depuis la session 2026, l'épreuve de mathématiques du brevet est organisée en deux parties sur 2 heures :
- Partie 1 — Automatismes : 6 points, 20 minutes, sans calculatrice. Questions courtes (réponse directe, QCM) sans justification attendue. Les copies sont ramassées à l'issue de cette partie.
- Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes : 14 points, 1 h 40, avec calculatrice. Réponses justifiées, rédaction et clarté évaluées sur 2 points.
L'épreuve totale est notée sur 20 points.
Cette fiche présente le sujet tombé en Polynésie le 26 juin 2026.
Durée : 2 heures · Total : 20 points
- Partie 1 — Automatismes : 6 points · 20 min · calculatrice interdite
- Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes : 14 points · 1 h 40 · calculatrice autorisée
Partie 1 — Automatismes — 6 points — 20 minutes
Remarque
Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse correspondante. Pour cette partie, aucune justification n'est demandée. Pour les questions à choix multiple, une seule réponse est exacte.
Question 1
Déterminer la médiane de la série : $ 12 ~;~ 9 ~;~ 7 ~;~ 23 ~;~ 9 ~;~ 25 ~;~ 7 $.
Question 2
Donner la notation scientifique de $ 0{,}000\,457 $.
Question 3
Calculer l'aire, en cm², du triangle ci-contre.
Question 4
Une boîte opaque contient des beignets tous identiques, garnis de confitures différentes :
- 6 beignets sont à l'abricot ;
- 5 beignets sont à la pomme ;
- 4 beignets sont à la framboise.
Déterminer la probabilité de piocher au hasard un beignet à la framboise.
Question 5
Un article coûte $ 800 $ €. Son prix baisse de $ 10 $ %.
Calculer le prix, en euro, de l'article après réduction.
Question 6
Développer et réduire l'expression $ B = 4y(3y - 1) $.
Question 7
Recopier la réponse permettant de compléter l'égalité $ 3{,}57 ~\text{L} = \ldots ~\text{cm}^3 $.
Question 8
Recopier sur la copie l'image de $ 4 $ par la fonction affine $ f $ définie par $ f(x) = 3x - 5 $.
| Réponse A |
Réponse B |
Réponse C |
Réponse D |
| $ 3 $ |
$ 7 $ |
$ 12 $ |
$ 29 $ |
Question 9
Le quadrilatère $ ABCD $ ci-contre est tracé à main levée.
À partir des codages donnés, en déduire sa nature parmi les quatre réponses proposées et la recopier sur la copie.
| Réponse A |
Réponse B |
Réponse C |
Réponse D |
| Un losange |
Un rectangle |
Un carré |
Un parallélogramme |
Remarque
Restitution de la copie du candidat à l'issue de la partie 1
Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes — 14 points — 1 h 40
Remarque
Dans cette partie, toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
La clarté et la précision des raisonnements ainsi que la rédaction sont évaluées sur 2 points.
Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; les essais et les démarches engagées, même non aboutis, seront pris en compte dans la notation.
Exercice 1 — 4 points
Dans cet exercice, $ x $ représente un nombre supérieur ou égal à $ 5 $.
Voici, ci-dessous, deux figures géométriques : un rectangle $ ABCD $ et un triangle isocèle $ IJK $.
Partie A
- Calculer la longueur $ AB $ pour $ x = 10 $. Justifier que le périmètre du rectangle $ ABCD $ vaut $ 78 $ pour $ x = 10 $.
- Montrer que le périmètre du rectangle $ ABCD $, en fonction de $ x $, est $ 8x - 2 $.
Partie B
Nour a exprimé, en fonction de $ x $, le périmètre du triangle isocèle $ IJK $ et a obtenu $ 6x + 9 $.
Nour souhaite trouver pour quelle valeur de $ x $ le périmètre du rectangle $ ABCD $ et le périmètre du triangle $ IJK $ sont égaux.
Pour cela, Nour a créé le programme Scratch ci-contre qui permet de tester, pour une valeur donnée de $ x $, si les périmètres sont égaux :
- Question algorithmique — Que renvoie le programme si Nour saisit $ 7 $ ?
Avec le programme précédent, Nour n'a pas réussi à trouver une valeur exacte de $ x $ pour laquelle le périmètre du rectangle et le périmètre du triangle sont égaux. Nour décide d'utiliser un tableur et les formules trouvées précédemment :
- $ 8x - 2 $ pour le périmètre du rectangle $ ABCD $ ;
- $ 6x + 9 $ pour le périmètre du triangle isocèle $ IJK $.
Voici ci-dessous un extrait de la feuille de calcul dans laquelle Nour a fait afficher le périmètre du rectangle et le périmètre du triangle pour différentes valeurs de $ x $.
| |
A |
B |
C |
| 1 |
$ x $ |
Périmètre de ABCD |
Périmètre de IJK |
| 2 |
$ 5 $ |
$ 38 $ |
$ 39 $ |
| 3 |
$ 6 $ |
$ 46 $ |
$ 45 $ |
| 4 |
$ 7 $ |
$ 54 $ |
$ 51 $ |
| 5 |
$ 8 $ |
$ 62 $ |
$ 57 $ |
| 6 |
$ 9 $ |
$ 70 $ |
$ 63 $ |
| 7 |
$ 10 $ |
$ 78 $ |
$ 69 $ |
| 8 |
$ 11 $ |
$ 86 $ |
$ 75 $ |
| 9 |
$ 12 $ |
$ 94 $ |
$ 81 $ |
| 10 |
$ 13 $ |
$ 102 $ |
$ 87 $ |
Recopier sur la copie la formule que Nour a saisie dans la cellule $ B2 $ avant de l'étirer vers le bas pour obtenir les résultats affichés.
| $ = 8 * 5 - 2 $ |
$ = 8 * A2 - 2 $ |
$ = 8 * B2 - 2 $ |
$ = 8 * A1 - 2 $ |
- En observant sa feuille de calcul, Nour affirme : « S'il existe une valeur de $ x $ pour laquelle le périmètre du rectangle $ ABCD $ et le périmètre du triangle $ IJK $ sont égaux, elle est comprise entre $ 5 $ et $ 6 $. »
Expliquer le raisonnement de Nour. Argumenter la réponse en précisant la démarche.
- Comme elle n'a pas obtenu la solution exacte avec les méthodes précédentes, Nour propose de résoudre algébriquement l'équation $ 8x - 2 = 6x + 9 $. Résoudre cette équation afin de déterminer la valeur exacte de $ x $ pour laquelle le périmètre du rectangle et le périmètre du triangle sont égaux.
Exercice 2 — 4 points
On donne la figure ci-contre.
$ BGF $ est un triangle rectangle en $ G $.
Voici les informations dont on dispose :
- $ AC = 5 $ cm, $ BC = 4 $ cm
- $ AB = 3 $ cm, $ BG = 2 $ cm
- $ BF = 4 $ cm
- $ \widehat{BCF} = 74°$
La figure n'est pas représentée en vraie grandeur.
Le but de cet exercice est de déterminer si les points $ A $, $ B $ et $ G $ sont alignés ou non.
On se place dans le triangle $ CBF $.
- Justifier que l'angle $ \widehat{CFB} $ mesure $ 74° $.
- Calculer la mesure de l'angle $ \widehat{CBF} $.
- Démontrer que le triangle $ ABC $ est un triangle rectangle.
- Dans le triangle rectangle $ BGF $, calculer la mesure de l'angle $ \widehat{FBG} $.
- Les points $ A $, $ B $ et $ G $ sont-ils alignés ? Justifier la réponse. Argumenter la réponse en précisant la démarche.
Exercice 3 — 4 points
Les Jeux Olympiques d'été 2024 se sont déroulés en France. Toutes les épreuves ont eu lieu en métropole sauf l'épreuve de surf qui a eu lieu à Tahiti, en Polynésie française.
Camille, qui aime le surf, a eu la chance de se rendre à Tahiti pour assister aux épreuves.
L'organisation du voyage lui a permis de mieux connaître les caractéristiques de cette destination lointaine.
- Sur la carte ci-dessous, les coordonnées géographiques approximatives de Los Angeles sont $ (118°\text{O} ~;~ 35°\text{N}) $.
Écrire sur la copie, de la même façon et avec la précision permise par la carte, les coordonnées géographiques approximatives de Tahiti.
Camille s'est rendu à Tahiti en avion. Son trajet s'est déroulé en trois étapes :
- Vol n° 1 : Paris – Los Angeles.
- Un temps d'attente dans l'aéroport.
- Vol n° 2 : Los Angeles – Tahiti.
La totalité du trajet a duré $ 22 $ h $ 10 $ min en comptant le temps d'attente de $ 2 $ h $ 20 $ min à Los Angeles.
Calculer la durée, en heure et minute, nécessaire pour effectuer les deux vols, sans prendre en compte le temps d'attente à Los Angeles.
- Le surfeur australien Jack ROBINSON a gagné la médaille d'argent aux Jeux Olympiques de 2024. Camille s'interroge sur la masse d'argent contenue dans la médaille.
Voici, ci-dessous, des informations récoltées au sujet de la conception des médailles olympiques.
| Document 1 : Une médaille olympique peut être modélisée par un cylindre de hauteur $ 0{,}92 $ cm et de diamètre $ 8{,}5 $ cm. |
Document 2 : L'argent est un métal qui a une masse volumique de $ 10{,}5 $ g/cm³. |
Document 3 : Volume d'un cylindre : $ \pi \times R^2 \times h $ où $ R $ est le rayon du cylindre et $ h $ est la hauteur du cylindre. |
- Montrer que le volume de la médaille, arrondi au dixième, est d'environ $ 52{,}2 $ cm³.
- Calculer la masse d'argent, en gramme (g), de la médaille de Jack ROBINSON aux Jeux Olympiques 2024. Donner l'arrondi à l'unité.
Partie 1 — Automatismes
Question 1. On range la série dans l'ordre croissant : $ 7 ~;~ 7 ~;~ 9 ~;~ 9 ~;~ 12 ~;~ 23 ~;~ 25 $. La série compte $ 7 $ valeurs, donc la médiane est la $ 4^{\text{e}} $ valeur : la médiane est $ 9 $.
Question 2. On a $ 0{,}000\,457 = 4{,}57 \times 10^{-4} $.
Question 3. Le triangle $ ABC $ est rectangle en $ B $, donc les deux côtés de l'angle droit sont $ AB = 8 $ cm et $ BC = 6 $ cm.
$ \text{Aire} = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{8 \times 6}{2} = \dfrac{48}{2} = $ $ 24 $ cm².
(Vérification : $ AB^2 + BC^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2 = AC^2 $. ✓ L'angle droit est bien en $ B $.)
Question 4. La boîte contient $ 6 + 5 + 4 = 15 $ beignets en tout. La probabilité de piocher un beignet à la framboise est $ \mathbf{\dfrac{4}{15}} $.
Question 5. Une baisse de $ 10\% $ revient à multiplier par $ 0{,}9 $ : $ 800 \times 0{,}9 = $ $ 720 $ €.
Question 6. $ B = 4y(3y - 1) = 4y \times 3y - 4y \times 1 = $ $ \mathbf{12y^2 - 4y} $.
Question 7. $ 1 $ L $ = 1000 $ cm³, donc $ 3{,}57 $ L $ = 3{,}57 \times 1000 = $ $ 3\,570 $ cm³.
Question 8. $ f(4) = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7 $. Réponse B.
Question 9. Le seul codage donné indique que les diagonales se coupent en leur milieu. Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Les diagonales n'ont pas nécessairement la même longueur (ce n'est pas forcément un rectangle) et ne sont pas nécessairement perpendiculaires (ce n'est pas forcément un losange). Réponse D — Un parallélogramme.
Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes
Exercice 1.
Partie A
- Pour $ x = 10 $ : $ AB = 3 \times 10 + 1 = 31 $ cm et $ AD = 10 - 2 = 8 $ cm.
Le périmètre du rectangle $ ABCD $ vaut $ 2 \times AB + 2 \times AD = 2 \times 31 + 2 \times 8 = 62 + 16 = \mathbf{78} $.
- Le périmètre du rectangle $ ABCD $ en fonction de $ x $ est :
$ 2 \times AB + 2 \times AD = 2(3x+1) + 2(x-2) = 6x + 2 + 2x - 4 = \mathbf{8x - 2} $.
Partie B
- Pour $ x = 7 $ : le périmètre $ ABCD = 8 \times 7 - 2 = 54 $ et le périmètre $ IJK = 6 \times 7 + 9 = 51 $. Comme $ 54 \neq 51 $, le programme affiche « Les deux périmètres ne sont pas égaux ».
- La cellule $ A2 $ contient la valeur de $ x $. Pour calculer le périmètre $ ABCD = 8x - 2 $, on saisit en $ B2 $ la formule = 8 * A2 - 2.
- D'après le tableau, pour $ x = 5 $ : $ ABCD = 38 < 39 = IJK $ (le périmètre du triangle est plus grand). Pour $ x = 6 $ : $ ABCD = 46 > 45 = IJK $ (le périmètre du rectangle est désormais plus grand). Les périmètres ont échangé leur ordre entre $ x = 5 $ et $ x = 6 $. Si une valeur de $ x $ les rend égaux, elle se trouve donc bien entre $ 5 $ et $ 6 $.
- On résout $ 8x - 2 = 6x + 9 $ :
$ 8x - 6x = 9 + 2 $, soit $ 2x = 11 $, d'où $ \mathbf{x = \dfrac{11}{2} = 5{,}5} $.
On vérifie : $ 5 < 5{,}5 < 6 $, ce qui est cohérent avec l'observation du tableur. ✓
Exercice 2.
- Dans le triangle $ CBF $, on a $ BC = BF = 4 $ cm (lisible sur la figure). Ce triangle est donc isocèle en $ B $. Les angles à la base sont égaux : $ \widehat{BCF} = \widehat{BFC} $. Comme $ \widehat{BCF} = 74° $, on conclut $ \mathbf{\widehat{CFB} = 74°} $.
- La somme des angles d'un triangle vaut $ 180° $ : $ \widehat{CBF} = 180° - 74° - 74° = \mathbf{32°} $.
- On calcule $ AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $ et $ AC^2 = 5^2 = 25 $. Comme $ AB^2 + BC^2 = AC^2 $, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ ABC $ est rectangle en $ B $.
- Dans le triangle $ BGF $ rectangle en $ G $, le côté $ BF $ est l'hypoténuse. On a : $ \cos(\widehat{FBG}) = \dfrac{BG}{BF} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} $. Donc $ \mathbf{\widehat{FBG} = 60°} $.
- Si $ A $, $ B $ et $ G $ étaient alignés (avec $ B $ entre $ A $ et $ G $), l'angle formé des deux côtés de $ B $ devrait valoir $ 180° $. Or :
$ \widehat{ABC} + \widehat{CBF} + \widehat{FBG} = 90° + 32° + 60° = 182° \neq 180°. $
Comme cette somme est différente de $ 180° $, les points $ A $, $ B $ et $ G $ ne sont pas alignés.
Exercice 3.
- Sur le planisphère, Los Angeles est à $ 118° $ à l'ouest du méridien de Greenwich et à $ 35° $ au nord de l'équateur. En lisant les coordonnées de Tahiti sur la carte, Tahiti se situe à environ $ 149° $ à l'ouest et à environ $ 17° $ au sud de l'équateur. Les coordonnées géographiques approximatives de Tahiti sont $ \mathbf{(149°\text{O} ~;~ 17°\text{S})} $.
- La durée totale est de $ 22 $ h $ 10 $ min. Le temps d'attente est de $ 2 $ h $ 20 $ min.
Durée des deux vols : $ 22 $ h $ 10 $ min $ - $ $ 2 $ h $ 20 $ min $ = 22 $ h $ 10 $ min $ - $ $ 2 $ h $ 20 $ min.
On convertit : $ 22 $ h $ 10 $ min $ = 21 $ h $ 70 $ min.
$ 21 $ h $ 70 $ min $ - $ $ 2 $ h $ 20 $ min $ = 19 $ h $ 50 $ min.
La durée nécessaire pour effectuer les deux vols est $ 19 $ heures et $ 50 $ minutes.
- Le rayon de la médaille est $ R = \dfrac{8{,}5}{2} = 4{,}25 $ cm et la hauteur est $ h = 0{,}92 $ cm.
$ V = \pi \times R^2 \times h = \pi \times 4{,}25^2 \times 0{,}92 = \pi \times 18{,}0625 \times 0{,}92 \approx \pi \times 16{,}617 \approx 52{,}18 $ cm³.
Arrondi au dixième : $ V \approx 52{,}2 $ cm³. ✓
- La masse d'argent est : $ m = V \times \text{masse volumique} = 52{,}2 \times 10{,}5 \approx 548{,}1 $ g.
La masse d'argent de la médaille de Jack ROBINSON est $ \approx 548 $ g.
Proportionnalité, vitesse moyenne et lecture graphique – Brevet Amérique du Nord 2025
À l'approche d'une course organisée par son collège, Malo s'entraîne sur un parcours de $13{,}5$ km.
La courbe ci-dessous représente la distance parcourue par Malo (en kilomètres) en fonction du temps écoulé (en minutes).
[*]Le temps et la distance parcourue par Malo sont-ils proportionnels ?
[*]Quelle distance Malo a-t-il parcourue au bout de 20 minutes ?
Aucune justification n'est attendue.
[*]Combien de temps a-t-il mis pour faire les 9 premiers kilomètres ?
Aucune justification n'est attendue.
[*]Quelle est la vitesse moyenne de Malo lors de cette course ? Exprimer le résultat au dixième de km/h près.
[*]Louise et Hillal ont couru sur le même parcours de $13{,}5$ km. Louise à une vitesse régulière égale à $12$ km/h et Hillal a une vitesse régulière égale à $10$ km/h
- [*]Sachant que Louise et Hillal sont partis en même temps, qui a été le premier à franchir la ligne d'arrivée ?
[*]Quelle distance sépare Louise et Hillal, lorsque le premier des deux franchit la ligne d'arrivée ?
[*]Si le temps et la distance étaient proportionnels, la représentation graphique serait une droite passant par l'origine. Or la courbe est une ligne brisée : entre $30$ min et $40$ min elle reste horizontale (Malo n'avance plus), tandis qu'ailleurs sa pente change. Le temps et la distance parcourue ne sont pas proportionnels.
[*]Sur la courbe, à l'abscisse $20$ min correspond l'ordonnée $4{,}5$ km. Au bout de $20$ minutes, Malo a parcouru $\mathbf{4{,}5}$ km.
[*]On cherche l'abscisse du point d'ordonnée $9$ km. La courbe atteint la distance $9$ km à l'instant $50$ min. Malo a mis $\mathbf{50}$ minutes pour faire les $9$ premiers kilomètres.
[*]La vitesse moyenne est le quotient de la distance totale parcourue par le temps total mis. Malo parcourt $13{,}5$ km en $80$ minutes (abscisse du dernier point de la courbe).
On convertit la durée en heures : $80$ min $= \dfrac{80}{60}$ h $= \dfrac{4}{3}$ h.
$v = \dfrac{13{,}5}{\dfrac{4}{3}} = 13{,}5 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{40{,}5}{4} = 10{,}125$ km/h.
Arrondie au dixième, la vitesse moyenne de Malo est environ $\mathbf{10{,}1}$ km/h.
[*]
- [*]Chaque coureur ayant une vitesse régulière, le temps de parcours s'obtient en divisant la distance par la vitesse.
Pour Louise : $t_L = \dfrac{13{,}5}{12} = 1{,}125$ h, soit $1$ h $7$ min $30$ s.
Pour Hillal : $t_H = \dfrac{13{,}5}{10} = 1{,}35$ h, soit $1$ h $21$ min.
Comme $1{,}125 < 1{,}35$, c'est Louise qui a franchi la première la ligne d'arrivée.
[*]Lorsque Louise franchit la ligne d'arrivée, $1{,}125$ h se sont écoulées. Pendant cette durée, Hillal, qui roule à $10$ km/h, a parcouru :
$d_H = 10 \times 1{,}125 = 11{,}25$ km.
La distance qui sépare alors les deux coureurs est la différence entre la longueur du parcours et la distance déjà parcourue par Hillal :
$13{,}5 - 11{,}25 = 2{,}25$ km.
À l'instant où Louise franchit la ligne d'arrivée, les deux coureurs sont séparés de $\mathbf{2{,}25}$ km.
Pythagore et trigonométrie – Cerf-volant – Brevet Nouvelle-Calédonie 2025
Thomas souhaite construire le cerf-volant représenté par la figure ci-dessous :
On donne :
- $ \widehat{DEB} = 90^{\circ} $
- $ \widehat{EBD} = 30^{\circ} $
- $ AB = 50 $ cm
- $ CD = 40 $ cm
- $ ED = EC $
- Calculer BE. On donnera une valeur arrondie au millimètre.
Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
Lorsque Thomas a essayé son cerf-volant, il s'est demandé à quelle altitude il volait. Il a attaché sa corde à un piquet planté dans le sol (point S) puis est allé se placer (point T) parfaitement à la verticale sous son cerf-volant (point H). Il a alors mesuré certaines longueurs et a réalisé le schéma ci-dessous.
- Calculer HT, altitude à laquelle volait son cerf-volant. On donnera une valeur arrondie au mètre. Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
Il est conseillé de ne pas utiliser ce cerf-volant lorsque le vent dépasse 20 km/h. La météo annonce un vent ne dépassant pas 15 nœuds.
On donne 1 nœud = 0,514 m/s.
- Thomas peut-il faire voler son cerf-volant sans risque dans ces conditions ? Justifier votre réponse.
Comme $ \widehat{DEB} = 90^{\circ} $, le triangle DEB est rectangle en E.
Comme $ ED = EC $ et que les points C, E, D sont alignés avec $ CD = 40 $ cm, le point E est le milieu de [CD]. On en déduit :
$ ED = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{40}{2} = 20 $ cm.
Dans le triangle DEB rectangle en E, on connaît l'angle aigu $ \widehat{EBD} = 30^{\circ} $, le côté ED qui lui est opposé, et on cherche le côté BE qui lui est adjacent. On utilise la tangente :
$ \tan(\widehat{EBD}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \dfrac{ED}{BE} $
$ \tan(30^{\circ}) = \dfrac{20}{BE} $
$ BE = \dfrac{20}{\tan(30^{\circ})} $
À la calculatrice : $ BE \approx 34{,}641 $ cm.
Arrondie au millimètre, $ BE \approx 34{,}6 $ cm.
D'après le schéma, le triangle SHT est rectangle en T (HT est vertical et ST est horizontal). On connaît l'hypoténuse $ SH = 20{,}50 $ m et le côté $ ST = 7{,}60 $ m, et on cherche le troisième côté HT.
D'après le théorème de Pythagore :
$ SH^2 = ST^2 + HT^2 $
$ 20{,}50^2 = 7{,}60^2 + HT^2 $
$ 420{,}25 = 57{,}76 + HT^2 $
$ HT^2 = 420{,}25 - 57{,}76 = 362{,}49 $
$ HT = \sqrt{362{,}49} \approx 19{,}04 $ m.
Le cerf-volant volait à une altitude d'environ 19 m.
On convertit la vitesse maximale annoncée par la météo en km/h.
$ 15 $ nœuds $ = 15 \times 0{,}514 = 7{,}71 $ m/s.
Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6 :
$ 7{,}71 \times 3{,}6 = 27{,}756 $ km/h, soit environ 27,8 km/h.
Comme $ 27{,}8 > 20 $, le vent annoncé peut dépasser la limite recommandée pour ce cerf-volant.
Thomas ne peut donc pas faire voler son cerf-volant sans risque dans ces conditions.
Scratch – Losange et motif – Brevet Amérique du Sud 2024
On considère le bloc « Losange » suivant ainsi que le losange obtenu en l'exécutant :
- Dans le bloc « Losange », par quelles valeurs faut-il remplacer $ a $ et $ b $ pour obtenir le losange ci-dessus ?
On définit ensuite un nouveau bloc nommé « Motif A » :
Parmi les figures suivantes, quelle est celle qui est obtenue en exécutant le bloc « Motif A » ?
- Figure 1 : trois losanges identiques disposés autour d'un sommet commun, chacun tourné de 60° par rapport au précédent (rosace incomplète à 3 branches sur 180°).
- Figure 2 : trois losanges identiques alignés horizontalement et séparés.
- Figure 3 : trois losanges concentriques de tailles différentes.
On a défini un nouveau bloc nommé « Motif B ». En l'exécutant, on a obtenu la figure ci-dessous (rosace complète formée de 6 losanges identiques disposés autour d'un sommet commun).
Écrire un script du bloc « Motif B ».
Un losange a quatre côtés égaux. Comme deux côtés mesurent 20 pas, on doit avoir $ a = 20 $.
Pour la valeur de $ b $ : à chaque sommet, le lutin tourne d'un angle extérieur. Pour fermer la figure (faire un tour complet), la somme des angles extérieurs doit valoir 360°. Dans une exécution complète du bloc, le lutin tourne 4 fois : deux fois de 60° et deux fois de $ b° $. On a donc :
$ 2 \times 60 + 2 \times b = 360 $
$ 120 + 2b = 360 $
$ 2b = 240 $
$ b = 120 $
Il faut prendre $ a = 20 $ et $ b = 120 $.
(On vérifie : aux sommets « aigus » du losange, l'angle extérieur de 120° correspond à un angle intérieur de 60° ; aux sommets « obtus », l'angle extérieur de 60° correspond à un angle intérieur de 120°. C'est bien la structure du losange dessiné.)
Le bloc « Motif A » trace 3 losanges en pivotant de 60° entre chacun, tous à partir du point initial. Comme $ 3 \times 60° = 180° $, on n'effectue que la moitié du tour complet : on obtient une demi-rosace.
C'est la Figure 1 (trois losanges autour d'un même sommet, tournés de 60° l'un par rapport à l'autre).
La rosace complète comporte 6 losanges identiques, chacun tourné de 60° par rapport au précédent ($ 6 \times 60° = 360° $). On reprend la structure de « Motif A » en remplaçant 3 par 6 :
Scratch – Motif de deux triangles équilatéraux et variable côté – Brevet Asie 2024
On donne le programme suivant.
Remarque
Rappel. L'instruction « s'orienter à 90 » signifie que le lutin se dirige vers la droite.
Script principal :
Définition du bloc Motif :
Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue.
- À quelles coordonnées le lutin se positionne-t-il juste après avoir cliqué sur le drapeau vert ?
- En prenant 1 cm pour 20 pas, dessiner en vraie grandeur la figure obtenue en exécutant le script principal.
On modifie le script principal de trois façons différentes. Associer chaque script à la figure qui lui correspond.
Script n°1 :
Script n°2 :
Script n°3 :
Les trois figures à associer aux scripts sont les suivantes :
Figure A :
Figure B :
Figure C :
Dans cette question on s'intéresse au script n°2 (celui où l'on multiplie la variable « côté » par 1,2 à chaque tour).
- Combien de fois le bloc « Motif » est-il exécuté ?
- Quelle est la valeur de la variable « côté » à la fin de ce script ?
- L'instruction « aller à x : $ -100 $ y : 0 » place le lutin au point de coordonnées $ (-100\,;\,0) $.
Le bloc « Motif » trace deux triangles équilatéraux successifs partageant un même côté horizontal :
- la première boucle « répéter 3 fois (avancer + tourner droite 120°) » trace un triangle équilatéral pointant vers le bas ;
- la seconde boucle « répéter 3 fois (avancer + tourner gauche 120°) » repart du même point de départ et trace un triangle équilatéral pointant vers le haut.
L'assemblage des deux triangles forme un losange (rhombe régulier) dont les angles sont 60° et 120° et dont les côtés mesurent 80 pas, soit $ 80 \div 20 = 4 $ cm sur le dessin.
Script 1 (« avancer de 100 pas » entre chaque Motif) : entre deux losanges, le lutin se déplace en ligne droite de 100 pas, sans tourner. Il trace donc trois losanges identiques alignés horizontalement et séparés. C'est la Figure A.
Script 2 (« mettre côté à côté × 1,2 ») : la taille du losange est multipliée par 1,2 à chaque tour. On obtient trois losanges concentriques de tailles croissantes. C'est la Figure B.
Script 3 (« tourner droite de 120 degrés ») : entre chaque losange, le lutin pivote de 120° autour du point de départ, puis trace un nouveau losange à partir de ce point. On obtient trois losanges disposés autour d'un sommet commun (rosace). C'est la Figure C.
Remarque
La numérotation A/B/C peut différer dans le sujet original ; ce qui compte est de relier la modification du script à l'effet géométrique produit.
Le bloc « répéter 3 fois » du script principal exécute la boucle 3 fois ; à chaque tour, on appelle « Motif » exactement une fois.
Le bloc « Motif » est donc exécuté 3 fois.
La variable « côté » est mise à jour après le tracé de chaque Motif, dans la boucle. On obtient successivement :
- au départ : $ \text{côté} = 80 $ ;
- après le 1ᵉʳ tour : $ \text{côté} = 80 \times 1{,}2 = 96 $ ;
- après le 2ᵉ tour : $ \text{côté} = 96 \times 1{,}2 = 115{,}2 $ ;
- après le 3ᵉ tour : $ \text{côté} = 115{,}2 \times 1{,}2 = 138{,}24 $.
À la fin du script, la variable « côté » vaut 138,24.
Scratch – Hexagone et triangles équilatéraux – Brevet Asie 2025
Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue.
Remarque
Rappel. L'instruction « s'orienter à 90 » signifie que le lutin se dirige vers la droite.
Partie A
Un élève souhaite tracer un hexagone à partir de 6 triangles équilatéraux comme sur la figure ci-dessous.
Pour cela, il commence par écrire le script ci-dessous du motif « triangle équilatéral » :
- Compléter et recopier sur la copie les lignes 2, 3 et 4 du script pour que le lutin dessine un triangle équilatéral de côté 50 pas.
- Cet élève teste les deux programmes A et B. Il obtient les deux dessins ci-dessous. Quel programme permet de tracer l'hexagone souhaité ?
Programme A :
Programme B :
Partie B
Un autre élève souhaite tracer un hexagone régulier de 50 pas de côté.
Informations sur les hexagones réguliers : tous les côtés ont la même longueur ; les six angles intérieurs sont égaux et mesurent 120°.
Il a écrit le programme suivant :
Sur la copie, recopier le bloc « répéter » en remplaçant A par sa valeur et en le complétant avec 2 instructions choisies parmi les 6 instructions proposées ci-dessous :
- avancer de 50 pas
- tourner droite de 120 degrés
- tourner droite de 60 degrés
- avancer de 5 pas
- tourner gauche de 120 degrés
- tourner gauche de 60 degrés
Partie A
Pour tracer un triangle équilatéral, le lutin doit avancer trois fois de la longueur du côté et tourner d'un angle extérieur de $ 180° - 60° = 120° $ entre deux côtés.
Avec un côté de 50 pas, le bloc devient :
Pour assembler 6 triangles équilatéraux autour d'un même sommet et obtenir un hexagone, il faut que les 6 triangles se suivent angulairement de 60° (soit l'angle au sommet d'un triangle équilatéral). En effet, $ 6 \times 60° = 360° $, ce qui referme bien la figure.
C'est donc le programme A (avec « tourner de 60 degrés ») qui permet de tracer l'hexagone souhaité.
(Le programme B, qui tourne de 120° entre chaque triangle, ne permet de placer que 3 triangles distincts puisque $ 3 \times 120° = 360° $ : on revient au point de départ après seulement 3 itérations.)
Partie B
L'hexagone régulier de côté 50 pas a six côtés identiques. À chaque sommet, le lutin doit tourner d'un angle extérieur égal à $ 180° - 120° = 60° $.
On répète donc 6 fois la séquence « avancer de 50 pas, tourner droite de 60 degrés ».
A = 6 ; les deux instructions à insérer sont « avancer de 50 pas » et « tourner droite de 60 degrés ».
Solides et volumes – Glaçons et verres à cocktail – Brevet Amérique du Sud 2025
Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes.
Remarque
Rappels
- Volume du cylindre = Aire de la base × Hauteur du cylindre
- Aire du disque = $ \pi \times \text{(rayon)}^2 $
- $ 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL} $
Pour un anniversaire, on veut préparer des cocktails de jus de fruits.
Partie 1 : Étude des glaçons
Document : photo du moule à glaçons utilisé et caractéristiques des glaçons.
Chaque glaçon a la forme d'un pavé droit :
- de longueur 5 cm ;
- de largeur 2,5 cm ;
- de hauteur 1,5 cm.
- On possède 12 moules à glaçons de ce type. Combien peut-on faire de glaçons en même temps ?
- Montrer que le volume d'un glaçon est d'environ 19 mL.
- 5 litres d'eau sont-ils suffisants pour remplir ces 12 moules à glaçons ?
Partie 2 : Le service
On souhaite servir le cocktail dans des verres cylindriques.
- Montrer que le verre a un volume total d'environ 295 mL.
Pour verser précisément 25 cL de cocktail, on utilise des verres avec un repère indiquant une contenance de 25 cL.
- On a préparé 30 litres de cocktail. Combien peut-on remplir de verres contenant 25 cL de cocktail ?
- En versant 25 cL de cocktail dans le verre, à quelle hauteur $ h $ du verre, le liquide arrive-t-il ? Arrondir au dixième.
Partie 1 : Étude des glaçons
D'après la photo, chaque moule contient 4 rangées de 5 alvéoles, soit $ 4 \times 5 = 20 $ glaçons.
Avec 12 moules : $ 12 \times 20 = 240 $.
On peut donc faire 240 glaçons en même temps.
Le volume d'un pavé droit est égal au produit de ses trois dimensions :
$ V_{\text{glaçon}} = 5 \times 2{,}5 \times 1{,}5 = 18{,}75 \text{ cm}^3 $
Comme $ 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL} $, on a $ V_{\text{glaçon}} \approx 19 \text{ mL} $.
Le volume d'un glaçon vaut bien environ 19 mL.
On calcule le volume total nécessaire pour remplir les 240 glaçons (en utilisant la valeur exacte 18,75 mL pour ne pas accumuler d'erreurs d'arrondi) :
$ V_{\text{total}} = 240 \times 18{,}75 = 4\,500 \text{ mL} = 4{,}5 \text{ L} $
Comme $ 4{,}5 \text{ L} < 5 \text{ L} $, 5 litres d'eau sont effectivement suffisants pour remplir les 12 moules à glaçons.
Partie 2 : Le service
Le verre est un cylindre de diamètre 5 cm, donc de rayon $ R = 2{,}5 $ cm, et de hauteur $ H = 15 $ cm.
$ V_{\text{verre}} = \pi \times R^2 \times H = \pi \times 2{,}5^2 \times 15 = \pi \times 6{,}25 \times 15 = 93{,}75\pi $
$ V_{\text{verre}} \approx 294{,}52 \text{ cm}^3 \approx 295 \text{ mL} $
Le verre a bien un volume total d'environ 295 mL.
On convertit 30 L en cL : $ 30 \text{ L} = 3\,000 \text{ cL} $.
$ \dfrac{3\,000}{25} = 120 $.
On peut donc remplir 120 verres de 25 cL avec les 30 litres de cocktail.
On cherche la hauteur $ h $ telle que le volume contenu dans le verre vaille 25 cL = 250 mL = 250 cm³.
Le volume de cocktail à hauteur $ h $ s'écrit $ \pi \times R^2 \times h = 6{,}25\pi \times h $.
On résout :
$ 6{,}25\pi \times h = 250 $
$ h = \dfrac{250}{6{,}25\pi} = \dfrac{40}{\pi} $
$ h \approx 12{,}73 $ cm
Le liquide arrive donc à une hauteur d'environ 12,7 cm dans le verre.
Fonctions affines – Tarifs de deux carreleurs – Brevet Polynésie septembre 2025
On veut poser du carrelage sur le sol intérieur d'une maison.
Le carreleur A fait payer 80 € par m².
Le carreleur B fait payer 60 € par m² auxquels il faut ajouter 970 € pour la mise en place du chantier.
- Montrer que pour une surface dont l'aire est de 20 m², le prix est de 1 600 € avec le carreleur A et de 2 170 € avec le carreleur B.
- Calculer le prix à payer pour une surface dont l'aire est 60 m² avec le carreleur A, puis avec le carreleur B.
On désigne par $ x $ l'aire de la surface à carreler exprimée en m².
- On appelle $ f $ la fonction qui à l'aire à carreler en m² associe le prix en euros à payer avec le carreleur A. On admet que $ f $ est définie par $ f(x) = 80x $.
- On appelle $ g $ la fonction qui à l'aire à carreler en m² associe le prix en euros à payer avec le carreleur B. On admet que $ g $ est définie par $ g(x) = 60x + 970 $.
- Quelle est l'image de 70 par la fonction $ f $ ?
- Quel est l'antécédent de 2 400 par la fonction $ f $ ?
- Sur le graphique fourni en annexe, on a tracé la représentation graphique de la fonction $ g $.
Tracer la représentation graphique de la fonction $ f $ sur ce même graphique.
- En utilisant le graphique fourni en annexe, estimer l'aire maximale en m² que l'on peut carreler avec un budget de 2 800 € si l'on choisit le carreleur B.
- Calculer l'aire en m² pour laquelle on paie exactement le même prix avec le carreleur A et le carreleur B.
Annexe
Carreleur A : $ 80 \times 20 = 1\,600 $ €. Le prix est bien de 1 600 €.
Carreleur B : $ 60 \times 20 + 970 = 1\,200 + 970 = 2\,170 $ €. Le prix est bien de 2 170 €.
Pour une surface de 60 m² :
Carreleur A : $ 80 \times 60 = 4\,800 $ €.
Carreleur B : $ 60 \times 60 + 970 = 3\,600 + 970 = 4\,570 $ €.
Pour 60 m², on paie 4 800 € avec le carreleur A et 4 570 € avec le carreleur B.
L'image de 70 par $ f $ est $ f(70) = 80 \times 70 = 5\,600 $.
$ f(70) = 5\,600 $
On cherche $ x $ tel que $ f(x) = 2\,400 $, c'est-à-dire $ 80x = 2\,400 $, d'où $ x = \dfrac{2\,400}{80} = 30 $.
L'antécédent de 2 400 par $ f $ est 30.
La fonction $ f $ est linéaire : sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Pour la tracer, il suffit de placer un second point, par exemple $ (60\,;\,4\,800) $ d'après la question 2, et de joindre ce point à l'origine.
On lit l'antécédent de 2 800 € par la fonction $ g $ : on repère 2 800 sur l'axe des ordonnées, on se déplace horizontalement jusqu'à la droite représentant $ g $, puis verticalement jusqu'à l'axe des abscisses.
On lit graphiquement environ 30 m².
Remarque
On peut vérifier par le calcul : $ g(x) = 2\,800 \;\Leftrightarrow\; 60x + 970 = 2\,800 \;\Leftrightarrow\; 60x = 1\,830 \;\Leftrightarrow\; x = 30{,}5 $ m², ce qui est cohérent avec la lecture graphique.
On cherche l'aire $ x $ pour laquelle $ f(x) = g(x) $ :
$ 80x = 60x + 970 $
$ 80x - 60x = 970 $
$ 20x = 970 $
$ x = \dfrac{970}{20} = 48{,}5 $.
Pour une aire de 48,5 m², les deux carreleurs facturent le même prix.
(On peut vérifier : $ f(48{,}5) = 80 \times 48{,}5 = 3\,880 $ € et $ g(48{,}5) = 60 \times 48{,}5 + 970 = 2\,910 + 970 = 3\,880 $ €.)
PPCM – Circuits d’entraînement sportif – Brevet Centres étrangers 2024
Un entraîneur de sport prépare deux circuits d'entraînement contenant plusieurs exercices de cardio et de renforcement musculaire :
- un circuit commence à l'exercice 1 et se termine en revenant à l'exercice 1 ;
- le circuit 1 contient cinq exercices. Chaque exercice dure 40 secondes et doit être suivi de 16 secondes de repos permettant de se rendre à l'exercice suivant ;
- le circuit 2 contient dix exercices. Chaque exercice dure 30 secondes et doit être suivi de 5 secondes de repos permettant de se rendre à l'exercice suivant.
- Montrer que le circuit 1 s'effectue en 280 secondes et que le circuit 2 s'effectue en 350 secondes.
- Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 280 et de 350.
Une séance d'entraînement est constituée de plusieurs tours du même circuit.
Au coup de sifflet de l'entraîneur, Camille commence une séance d'entraînement sur le circuit 1 et Dominique sur le circuit 2.
Expliquer pourquoi, lorsque 2 800 secondes se sont écoulées à partir du coup de sifflet, Camille se trouve de nouveau au départ du circuit 1.
Préciser où se trouve Dominique sur le circuit 2 lorsque 2 800 secondes se sont écoulées.
- Après le coup de sifflet, combien de temps faut-il à Camille et Dominique pour se retrouver en même temps pour la première fois au départ de leur circuit ? Exprimer cette durée en minute et seconde.
Circuit 1 : 5 exercices de 40 s chacun, suivis chacun de 16 s de repos (y compris le dernier, pour revenir à l'exercice 1).
$ T_1 = 5 \times 40 + 5 \times 16 = 200 + 80 = 280 $ secondes.
Circuit 2 : 10 exercices de 30 s chacun, suivis chacun de 5 s de repos.
$ T_2 = 10 \times 30 + 10 \times 5 = 300 + 50 = 350 $ secondes.
Le circuit 1 dure bien 280 s et le circuit 2 dure bien 350 s.
On décompose chaque nombre par divisions successives par les nombres premiers.
Pour 280 : $ 280 = 2 \times 140 = 2 \times 2 \times 70 = 2 \times 2 \times 2 \times 35 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7 $.
$ 280 = 2^3 \times 5 \times 7 $
Pour 350 : $ 350 = 2 \times 175 = 2 \times 5 \times 35 = 2 \times 5 \times 5 \times 7 $.
$ 350 = 2 \times 5^2 \times 7 $
On effectue la division euclidienne de 2 800 par 280 :
$ 2\,800 = 280 \times 10 $.
Camille a donc parcouru exactement 10 tours complets du circuit 1 : elle se retrouve au départ du circuit 1.
De même, on divise 2 800 par 350 :
$ 2\,800 = 350 \times 8 $.
Dominique a donc parcouru exactement 8 tours complets du circuit 2 : elle se retrouve elle aussi au départ du circuit 2.
On cherche le plus petit nombre $ N $ qui soit à la fois un multiple de 280 et de 350 : c'est le PPCM de 280 et 350.
À partir des décompositions précédentes :
$ 280 = 2^3 \times 5 \times 7 $ et $ 350 = 2 \times 5^2 \times 7 $.
Le PPCM s'obtient en prenant chaque facteur premier à la puissance la plus élevée :
$ \text{PPCM}(280\,;\,350) = 2^3 \times 5^2 \times 7 = 8 \times 25 \times 7 = 1\,400 $.
Au bout de 1 400 secondes, Camille et Dominique se retrouveront pour la première fois ensemble au départ de leur circuit.
On convertit 1 400 secondes en minutes et secondes :
$ 1\,400 = 23 \times 60 + 20 $.
Camille et Dominique se retrouvent au départ pour la première fois après 23 minutes et 20 secondes.
Calcul littéral – Programme de calcul à deux branches – Brevet Amérique du Nord 2024
Voici un programme de calcul :
- Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ, le résultat à l'arrivée est 112.
- Quel est le résultat obtenu à l'arrivée quand on choisit $ -3 $ comme nombre de départ ?
On choisit $ x $ comme nombre de départ. Parmi les expressions suivantes, lesquelles permettent d'exprimer le résultat à l'arrivée de ce programme de calcul. Aucune justification n'est demandée.
| Expression A |
Expression B |
Expression C |
Expression D |
| $ (x + 2 \times 4)(x \times 5 - 3) $ |
$ (4x + 2)(5x - 3) $ |
$ (4x + 8)(5x - 3) $ |
$ (x + 2) \times 4 \times (5x - 3) $ |
- Trouver les deux nombres de départ qui permettent d'obtenir 0 à l'arrivée. Expliquer la démarche.
- Développer et réduire l'expression B.
On applique le programme à partir de 2 :
Branche de gauche : $ 2 + 2 = 4 $, puis $ 4 \times 4 = 16 $.
Branche de droite : $ 2 \times 5 = 10 $, puis $ 10 - 3 = 7 $.
Multiplication finale : $ 16 \times 7 = 112 $.
Le résultat à l'arrivée est bien 112.
On applique le programme à partir de $ -3 $ :
Branche de gauche : $ -3 + 2 = -1 $, puis $ -1 \times 4 = -4 $.
Branche de droite : $ -3 \times 5 = -15 $, puis $ -15 - 3 = -18 $.
Multiplication finale : $ (-4) \times (-18) = 72 $.
Le résultat à l'arrivée est 72.
On exprime le résultat en fonction de $ x $ :
Branche de gauche : $ x + 2 $ puis $ \times 4 $ donne $ 4(x + 2) = 4x + 8 $.
Branche de droite : $ 5x $ puis $ - 3 $ donne $ 5x - 3 $.
Résultat : $ (4x + 8)(5x - 3) $, qui s'écrit aussi $ 4(x + 2)(5x - 3) $.
Les expressions C et D conviennent.
(L'expression A est égale à $ (x + 8)(5x - 3) $ et l'expression B à $ (4x + 2)(5x - 3) $ : aucune des deux ne correspond au programme.)
D'après la question précédente, le résultat à l'arrivée s'écrit $ (4x + 8)(5x - 3) $.
On cherche $ x $ tel que $ (4x + 8)(5x - 3) = 0 $.
C'est une équation produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
$ 4x + 8 = 0 $ donne $ 4x = -8 $ puis $ x = -2 $.
$ 5x - 3 = 0 $ donne $ 5x = 3 $ puis $ x = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 $.
Les deux nombres de départ qui donnent 0 à l'arrivée sont $ -2 $ et $ 0{,}6 $.
On développe l'expression B en utilisant la double distributivité :
$ (4x + 2)(5x - 3) = 4x \times 5x + 4x \times (-3) + 2 \times 5x + 2 \times (-3) $
$ \phantom{(4x + 2)(5x - 3)} = 20x^2 - 12x + 10x - 6 $
$ (4x + 2)(5x - 3) = 20x^2 - 2x - 6 $
![Cerf-volant ABCD : A en haut, B en bas, C à gauche, D à droite, E est l'intersection des diagonales sur le segment [AB] avec ED = EC, AB = 50 cm, CD = 40 cm, angle DEB droit, angle EBD = 30^{\circ}](/assets/svg/pythagore-trigonometrie-cerf-volant-brevet-nouvelle-caledonie-2025-graph-bb-14.svg?v=1780760126)
