Équation trigonométrique (1)
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Créer un compte- Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'équation $ \sin\left(x\right)= - \dfrac{1}{2} $
Résoudre sur $ \left[0;2\pi \right[ $ l'équation $ \cos\left(x\right)= - \dfrac{1}{2} $
Corrigé
On cherche un angle dont le sinus vaut $-\dfrac{1}{2}$. On sait que $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$, donc $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}$. L'équation s'écrit alors :
$\sin\left(x\right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$D'après le cours, cela équivaut à :
$x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=\pi-\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+2k\pi$ (avec $k\in\mathbb{Z}$)Soit :
$x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi$ (avec $k\in\mathbb{Z}$)L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ est $\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ ;\ \dfrac{7\pi}{6}+2k\pi\ \middle|\ k\in\mathbb{Z}\right\}$.
On cherche un angle dont le cosinus vaut $-\dfrac{1}{2}$. On sait que $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$. L'équation s'écrit alors :
$\cos\left(x\right)=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$D'après le cours, cela équivaut à :
$x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$ (avec $k\in\mathbb{Z}$)On cherche maintenant les solutions appartenant à l'intervalle $\left[0;2\pi\right[$. La première famille donne $x=\dfrac{2\pi}{3}$ (pour $k=0$). La seconde famille donne, pour $k=1$ : $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi=\dfrac{4\pi}{3}$.
L'ensemble des solutions dans $\left[0;2\pi\right[$ est $\mathcal{S}=\left\{\dfrac{2\pi}{3}\ ;\ \dfrac{4\pi}{3}\right\}$.