Vecteurs et alignement
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Soient un triangle $ ABC $, $ I $ le symétrique de $ A $ par rapport à $ B $, $ J $ le milieu de $ \left[BC\right] $ et $ K $ le point tel que $ \overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AC} $
Montrer que les points $ I, J $ et $ K $ sont alignés. (On pourra se placer dans un repère judicieusement choisi)
Corrigé
On se place dans la base $ \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) $ et on exprime $ \overrightarrow{KJ} $ et $ \overrightarrow{KI} $ dans cette base.
En utilisant la relation de Chasles et le fait que $ J $ est le milieu de $ \left[BC\right] $ :
$ \overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} $
Comme $ \overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC} $, on a $ \overrightarrow{KA}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC} $. De plus, $ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} $.
$ \overrightarrow{KJ}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right) $
$ \overrightarrow{KJ}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} $
En regroupant et en réduisant au même dénominateur :
$ \overrightarrow{KJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\left(-\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6}\right)\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC} $
Comme $ B $ est le milieu de $ \left[AI\right] $, on a $ \overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB} $, donc :
$ \overrightarrow{KI}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC} $
On observe que $ 4\overrightarrow{KJ}=2\overrightarrow{AB} - \dfrac{4}{6}\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{KI} $.
Les vecteurs $ \overrightarrow{KI} $ et $ \overrightarrow{KJ} $ sont donc colinéaires : les points $ I $, $ J $ et $ K $ sont alignés.