Similitudes et nombres complexes
Ce chapitre ne figure plus au programme de Terminale.
Il est présenté ici à titre de complément.
Définition
Une transformation est une bijection du plan dans lui-même. Cela signifie que:
tout point M du plan possède une et une seule image M' par
tout point M' du plan possède un et un seul antécédent M par
Définition
La transformation réciproque d'une tranformation est la transformation qui à tout point du plan associe son unique antécédent par .
Définition
Soit un réel strictement positif. Une similitude plane de rapport est une transformation telle que pour tous points et du plan d'images respectives et : .
Exemples
Les translations, symétries centrales et axiales et les rotations sont des similitudes de rapport 1.
Les homothéties de rapport sont des similitudes de rapport .
Propriétés
La composée de deux similitudes de rapports et , est une similitude de rapport
La réciproque d'une similitude de rapport est une similitude de rapport
Remarque
La composition des similitudes n'est pas commutative; c'est à dire que si et sont deux similitudes, les similitudes et ne sont, en général, pas égales.
Propriétés
Une similitude de rapport transforme :
une droite en une droite
un segment de longueur en un segment de longueur
un cercle de rayon en un cercle de rayon
un angle géométrique en un angle géométrique de même mesure
un triangle en un triangle semblable
Remarque
Une isométrie est une transformation du plan qui conserve les distances : c'est donc une similitude de rapport 1.
Les translations, les symétries axiales et centrales et les rotations sont des exemples d'isométries.
Définition
On dit qu'une similitude est directe si elle conserve les angles orientés, c'est à dire si, pour tous points distincts A,B,C d'images A', B', C' :
.
Une similitude qui n'est pas directe est dite indirecte. Une similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé.
Exemples
Les translations, homothéties, rotations sont des similitudes directes
Les symétries axiales sont des similitudes indirectes.
Théorème
Les similitudes directes du plan sont les transformations qui a un point M d'affixe associe un point M' d'affixe défini par , où et sont deux nombres complexes avec .
Propriété
Le rapport d'une similitude directe d'expression complexe est le réel
Théorème et définition
Soit une similitude directe qui transforme deux points distincts A et B en A' et B'.
La mesure de l'angle ne dépend pas des points A et B. On l'appelle angle de la similitude .
Propriété
L'angle d'une similitude directe d'expression complexe est
Théorème et définition
Une similitude directe qui n'est pas une translation admet un unique point fixe. Ce point est appelé le centre de la similitude.