Fonctions paires et impaires
Définition
Une fonction définie sur un ensemble symétrique par rapport à 0 est paire si et seulement si pour tout :
Propriété
Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Définition
Une fonction définie sur un ensemble symétrique par rapport à 0 est impaire si et seulement si pour tout :
Propriété
La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Méthode
Préalable : On vérifie que l'ensemble de définition de la fonction est symétrique par rapport à 0.
C'est le cas, en particulier, pour les ensembles , et les intervalles du type et . Si l'ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0, la fonction n'est ni paire ni impaire.
Pour montrer qu'une fonction est paire:
On calcule en remplaçant par dans l'expression de .
On montre que
Pour montrer qu'une fonction est impaire :
On calcule en remplaçant par dans l'expression de .
On calcule
On montre que
Pour montrer qu'une fonction n'est pas paire :
Il suffit d'un contre-exemple c'est à dire qu'il suffit de trouver un nombre tel que
Pour montrer qu'une fonction n'est pas impaire :
Il suffit d'un contre-exemple c'est à dire qu'il suffit de trouver un nombre tel que
Remarques
Si l'énoncé ne précise pas s'il faut montrer que est paire ou s'il faut montrer que est impaire, il peut s'avérer utile de tracer la courbe représentative de à la calculatrice.
si la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, la fonction est paire.
si la courbe est symétrique par rapport à l'origine, la fonction est impaire.
Une fonction peut n'être ni paire, ni impaire (c'est même le cas général ! )
Seule la fonction nulle () est à la fois paire et impaire.
Exemple 1
Montrer que la fonction définie sur par est paire.
Pour tout réel non nul :
Or donc
Pour tout , donc la fonction est paire.
Exemple 2
Etudier la parité de la fonction définie sur par
La courbe de la fonction donnée par la calculatrice semble symétrique par rapport à l'origine du repère.
On va donc montrer que est impaire.
Pour tout réel :
Or donc
Par ailleurs :
Pour tout réel , donc la fonction est impaire.
Exemple 3
Etudier la parité de la fonction définie sur par
La courbe de la fonction donnée par la calculatrice ne présente aucune symétrie.
On va donc montrer que n'est ni paire ni impaire.
Calculons par exemple et
et
On a donc et
Donc n'est ni paire ni impaire.