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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Equations différentielles

  Ce chapitre ne figure plus au programme de terminale. Nouveau programme de Terminale S  

Définition

Une équation différentielle est une égalité mettant en relation une fonction et sa dérivée (ou ses dérivées successives). Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, consiste à trouver l'ensemble des fonctions dérivables sur I qui vérifie l'égalité pour tout  [latex]x\in I[/latex]

Remarque

Attention aux notations : Dans une équation différentielle, l'usage est de noter [latex]y[/latex] pour [latex]f\left(x\right)[/latex], [latex]y^{\prime}[/latex] pour [latex]f^{\prime}\left(x\right)[/latex] etc. L'équation différentielle [latex]f^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)+x[/latex] s'écrira par exemple [latex]y^{\prime}=y+x[/latex]. Cette notation ne doit pas faire oublier que les solutions recherchées sont des fonctions!

Exemple

La fonction définie sur [latex]\mathbb{R}[/latex] par [latex]f(x) = x^2[/latex] est une solution de l'équation différentielle: [latex]2y=xy^{\prime}[/latex] En effet : [latex]f\left(x\right)=x^{2}[/latex] et [latex]f^{\prime}\left(x\right)=2x[/latex] donc [latex]2f\left(x\right)=x\times f^{\prime}\left(x\right)[/latex]

Théorème

Les solutions, sur [latex]\mathbb{R}[/latex], de l'équation différentielle [latex]y^{\prime}=ay[/latex] (où [latex]a\in \mathbb{R}[/latex]) sont les fonctions définies par [latex]f\left(x\right)=Ke^{ax}[/latex] où [latex]K[/latex] est un réel quelconque.

Démonstration

  • Soit une fonction f définie par  [latex]f\left(x\right)=Ke^{ax}[/latex] où [latex]K[/latex] est un réel quelconque. [latex]f^{\prime}\left(x\right)=aKe^{ax}[/latex] donc [latex]f^{\prime}\left(x\right)=af\left(x\right)[/latex] et f est bien solution de l'équation différentielle [latex]y^{\prime}=ay[/latex]
  • Réciproquement, soit [latex]f[/latex] une solution de l'équation différentielle [latex]y^{\prime}=ay[/latex]. On a [latex]f^{\prime}\left(x\right)=af\left(x\right)[/latex] pour tout [latex]x\in \mathbb{R}[/latex]. Posons [latex]g\left(x\right)=f\left(x\right)e^{-ax}[/latex]. [latex]g[/latex] est dérivable sur [latex]\mathbb{R}[/latex] et : [latex]g^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)e^{-ax}-af\left(x\right)e^{-ax}=\left(f^{\prime}\left(x\right)-af\left(x\right)\right)e^{-ax}=0[/latex] [latex]g[/latex] est donc une fonction constante : [latex]g\left(x\right)=K[/latex] Donc [latex]f\left(x\right)e^{-ax}=K[/latex], c'est à dire en multipliant chaque membre par [latex]e^{ax}[/latex]: [latex]f\left(x\right)=Ke^{ax}[/latex]

Théorème

Les solutions, sur [latex]\mathbb{R}[/latex], de l'équation différentielle [latex]y^{\prime}=ay+b[/latex] ( où [latex]a\in \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}[/latex] et [latex]b\in \mathbb{R}[/latex]) sont les fonctions définies par [latex]f\left(x\right)=Ke^{ax}-\frac{b}{a}[/latex] où [latex]K[/latex] est un réel quelconque.

Théorème

Soit [latex]\left(x_{0}, y_{0}\right)[/latex] un couple de réels. Il existe une unique fonction [latex]f[/latex] solution sur [latex]\mathbb{R}[/latex] de l'équation différentielle [latex]y^{\prime}=ay+b[/latex] ( où [latex]a\in \mathbb{R}[/latex] et [latex]b\in \mathbb{R} [/latex]) vérifiant la condtion [latex]f\left(x_{0}\right)=y_{0}[/latex]

Remarque

La condition [latex]f\left(x_{0}\right)=y_{0}[/latex] est souvent appelée condition initiale