Quiz . Maths-cours

C'est vrai.

Le nombre de « 6 » obtenus suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 30~; \frac{ 1 }{ 6 } \right)$.

Le nombre moyen de succès est donné par l'espérance mathématique de cette variable aléatoire :

$E(X) = np = 30 \times \frac{ 1 }{ 6 } = 5.$

C'est vrai.

$X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 3~; \frac{ 3 }{ 5 } \right) .$

$p \left( X= 1 \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix} \times \left( \frac{ 3 }{ 5 } \right) ^1 \times \left( \frac{ 2 }{ 5 } \right) ^2$$= 3 \times \frac{ 3 }{ 5 } \times \frac{ 4 }{ 25 } = \frac{ 36 }{ 125 }.$

C'est faux.

La variable aléatoire $X$ de l'énoncé ne comptabilise pas le nombre de succès ; elle ne suit donc pas une loi binomiale.

Remarque : Une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ne prend que des valeurs entières positives , ce qui n'est pas le cas pour le gain algébrique qui est négatif en cas de perte.

C'est vrai.

$p \left( X= 5 \right) = \begin{pmatrix} 10 \\ 5\end{pmatrix} \times 0,5^5 \times 0,5^5$$=\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} \times 0,5^{10}.$

C'est vrai.

Pour une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale $\mathscr{B} (n~; p)$  :

$E(X) = np$
$V(X) = np(1 - p)=E(X) \times (1 - p)$

Comme $1 - p \leqslant 1$, la variance $V(X)$ est inférieure ou égale à l'espérance $E(X).$

C'est vrai.

Notons $A$ l'événement « obtenir au moins un six » . L'événement contraire $\overline{ A }$ est « n'obtenir aucun six ». Sa probabilité est :

$p \left( \overline{ A } \right) = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix} \times \left( \frac{ 1 }{ 6 } \right) ^0 \times \left( \frac{ 5 }{ 6 } \right) ^4 = \frac{ 5^4 }{ 6^4 }$

La probabilité de A est donc :

$p(A) = 1 - p( \overline{ A } )= 1 - \frac{ 5^4 }{ 6^4 }.$