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T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques1

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques1

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques1

C'est vrai.

$A = \ln \left( \frac{ 1 }{ 4 } \right) - \ln \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right)$ $= - \ln (4) - \left( - \ln(2) \right)$ $= - 2 \ln (2) + \ln (2)$ $= - \ln (2)$

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques2

$\ln \left( \text{e}^{ 2 } \right) + \ln \left( \sqrt{ \text{e} } \right) = \frac{ 5 }{ 2 }$

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques2

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques2

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques2

C'est vrai.

$\ln \left( \text{e}^{ 2 } \right) =2 \ln ( \text{e}) = 2$

$\ln \left( \sqrt{ \text{e} } \right) = \frac{ 1 }{ 2 } \ln ( \text{e}) = \frac{ 1 }{ 2 }$

donc :

$\ln \left( \text{e}^{ 2 } \right) + \ln \left( \sqrt{ \text{e} } \right) = 2 + \frac{ 1 }{ 2 } = \frac{ 5 }{ 2 }$

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques3

On pose : $A = \ln \left( \frac{ 2 }{ 3 } \right) + \ln (3)$

$A = \ln (2)$

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques3

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques3

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques3

C'est vrai.

En effet :
$A = \ln \left( \frac{ 2 }{ 3 } \right) + \ln (3)$ $= \ln (2) - \ln (3) + \ln (3) = \ln (2)$

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques4

Pour tout réel $x$ : $\ln \left( \text{e}^{ x } + \text{e}^{ - x } \right) = 0$

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques4

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques4

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques4

C'est faux.

Il n'existe pas de formule pour $\ln \left( a+b \right)$ .

La formule proposée est fausse car, par exemple, pour $x = 0$ :

$\ln \left( \text{e}^{ 0 } + \text{e}^{ - 0 } \right) = \ln \left( 2 \right) \neq 0$

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques5

Soit $f$ la fonction définie sur $\left] 0~;~ +\infty \right[$ par $f(x)= \ln(x^2 \text{e}^{ x } )$

Pour tout réel $x > 0$ , $f(x)= 2 \ln (x) + 1$

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques5

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques5

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques5

C'est faux.

Pour tout réel $x > 0$ :

$\ln(x^2 \text{e}^{ x } ) = \ln(x^2) + \ln ( \text{e}^{ x } )$ $= 2 \ln (x) + x$

T^le - Fonction ln : Propriétés algébriques6

Pour tout réel $x>0$ : $\ln (2x^2) = 2 \ln(x) + \ln (2)$